电与磁对偶性原理
电磁感应电与磁的奇妙交互
电磁感应电与磁的奇妙交互电磁感应——电与磁的奇妙交互电磁感应是一种神奇而又重要的物理现象，它揭示了电与磁之间的奇妙交互关系。
在这篇文章中，我们将深入探讨电磁感应的基本原理、应用以及未来发展的前景。
1. 电磁感应的基本原理电磁感应是指当导体受到磁场变化时，将会产生感应电流或感应电势。
这一现象是由迈克尔·法拉第在19世纪首次发现并描述的。
根据法拉第定律，电磁感应的大小与磁场变化的速率成正比，与导体的长度和磁场的强度有关。
2. 电磁感应的实际应用电磁感应在我们的日常生活中有着广泛的应用。
其中最常见的是发电机的原理，它通过将导体绕在通电的磁场中，利用电磁感应产生电流。
这种原理广泛应用于发电厂，为我们提供了洁净的电力。
除了发电机，电磁感应还可以应用于电动机、变压器等电动设备中。
电动机通过施加电流来产生电磁感应，从而实现运动。
而变压器则利用电磁感应的原理来实现电压的升降。
此外，电磁感应还被用于感应炉、感应加热、电磁波传输等领域。
感应炉利用电磁感应产生的热量进行加热，可以提高加热效率。
电磁波传输则利用电磁感应的原理，将信息以无线的方式传输。
3. 电磁感应的未来发展随着科学技术的不断进步，电磁感应在未来将有更广阔的应用前景。
一方面，随着可再生能源的发展，电磁感应将在风力发电、太阳能发电等领域发挥更大作用。
这将有助于推动清洁能源的发展。
另一方面，在无线充电技术领域，电磁感应将起到关键的作用。
通过利用电磁感应原理，我们可以实现无线充电，为电子设备提供便捷的能量供应。
此外，电磁感应还在医疗领域有着重要的应用。
磁共振成像（MRI）就是基于电磁感应的原理，通过将人体置于强磁场中，利用电磁感应获得人体内部的影像。
这种技术对于诊断疾病有着重要意义。
4. 总结电磁感应作为一种重要的物理现象，揭示了电与磁之间的奇妙交互关系。
通过深入理解电磁感应的原理，我们可以应用于发电、电动设备、加热和通信等方面，为人类的生活和科技进步带来了巨大的改变。
电磁感应原理：电与磁的相互作用
• 法拉第电磁感应定律的公式表示：e = -dΦ/dt
电磁感应原理的早期研究成果
• 楞次定律：感应电流的方向总是与磁场变化产生的副作用相抵消
• 安培环路定理：磁场与电流之间的关系可以通过环路积分来描述
电磁感应原理的早期研究意义
• 为电磁感应原理的应用提供了理论支持
• 为电磁感应原理的进一步发展奠定了基础
• 交变磁场切割副线圈，使副线圈产生感应电动势和电
流
变压器的设计与优化
• 需要考虑线圈匝数、线圈间距、磁芯材料等因素
• 通过优化设计，提高变压器的效率和使用寿命
电磁感应原理在电动机中的应用
01
02
03
电动机的原理
电动机的工作过程
电动机的设计与优化
• 利用电磁感应原理，将电能转化为机
• 通入交流电的线圈产生交变磁场
磁场
• 旋转磁场切割导线，使导线中产生感应
电动势和电流
发电机的设计与优化
• 需要考虑磁场强度、导线长度、转速等
因素
• 通过优化设计，提高发电机的效率和使
用寿命
电磁感应原理在变压器中的应用
变压器的原理
• 利用电磁感应原理，实现电压的变换
• 通过改变线圈匝数，实现电压的升高或降低
变压器的工作过程
• 原线圈通入交流电，产生交变磁场
创新
• 与其他信息技术相结合，推动信
• 需要发展高速、高效、安全的信
• 磁存储、电磁传感器等新型信息
息技术的革新
息技术
技术的研发
电磁感应原理面临的挑战与研究方向
电磁感应原理的研究方向
• 电磁感应现象的实验验证和理论分析
• 电磁感应原理在新兴领域的应用研究和技术创新
电磁学对偶原理的应用论文
电磁学对偶原理的应用论文引言在电磁学领域中，对偶原理是一种重要的概念。
它表明在电动力学中，电场与磁场之间存在着密切的关系，可以根据一个场的性质推导出另一个场的性质。
这种对偶性为我们理解和应用电磁学提供了便利。
本文将介绍电磁学对偶原理的基本概念，并探讨其在实际应用中的重要性和意义。
电磁学对偶原理的基本概念电磁学对偶原理是由麦克斯韦方程组中的麦克斯韦方程所揭示的。
麦克斯韦方程组描述了电场与磁场的演化规律。
其中，麦克斯韦第一和第二方程描述了电磁场的传播规律，而麦克斯韦第三和第四方程描述了电磁场的产生和消失规律。
对于电磁学对偶原理，我们将电场和磁场互相转换为对方。
具体而言，对于一个具有特定电场分布的问题，我们可以应用对偶原理来确定相应的磁场分布。
同样，对于一个具有特定磁场分布的问题，我们也可以应用对偶原理来确定相应的电场分布。
电磁学对偶原理的应用1. 天线设计天线是一种用于收发无线电信号的装置，其设计需要考虑电磁场的分布。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的电场分布来确定相应的磁场分布，从而优化天线的设计。
2. 光学器件设计光学器件设计中经常需要根据所需的光场分布来确定器件的形状和参数。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的磁场分布来确定相应的电场分布，从而指导光学器件的设计和优化。
3. 无线电波传播无线电通信中，信号的传播需要考虑电磁场的分布和干扰情况。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的电场分布来确定相应的磁场分布，从而优化无线电波的传播。
4. 电磁波屏蔽和隔离在一些特定的应用中，我们需要对电磁波进行屏蔽和隔离。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的磁场分布来确定相应的电场分布，从而设计和优化电磁波屏蔽和隔离材料。
5. 元件互补和逆设计元件互补技术是一种基于电磁学对偶原理的方法，可以根据已有元件的电场分布来设计逆向的磁场分布，从而实现对该元件的互补。
这一技术在电路设计和电磁学研究中有着广泛的应用。
电与磁对偶性原理
课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性姓名学号课程名称专业同组同学得分电与磁的对偶性摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。
只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流产生的电磁场。
关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
1、 无源区麦克斯韦方程组：如果把其中的两个按如下方式写成一组：0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩（1）得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H（除了有一负号）是对称的。
这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-、εμ→、με→代换，得到另外一组方程。
0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩ →,,E H H E εμμε⎡⎤→→-⎢⎥→→⎣⎦ 0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。
数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。
2、 广义麦克斯韦方程（有源区）在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。
设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J，并满足守恒定律，即()(),,0mmr t r t tJ ρ∂∇+=∂进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。
根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：, ,e mm eH E E J t EH H J t ρμερεμ⎧∂∇=∇⨯=--⎪∂⎪⎨∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩（3） ()()2122121,1 ,n es n msn ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ⎧⎡⎤-=⨯-=-⎣⎦⎪⎨⎡⎤-=⨯-=-⎪⎣⎦⎩(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为Wb/3m 。
磁耦工作原理-概述说明以及解释
磁耦工作原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述磁耦是一种通过磁场的作用将信号或功率传输的装置。
它由一个主动端和一个被动端组成，主动端和被动端之间没有电气连接。
磁耦利用磁场的耦合效应，在电磁感应的基础上实现信号的传输和隔离。
磁耦的工作原理是基于法拉第电磁感应定律和电磁感应耦合制动效应。
当主动端通电时，形成的磁场通过铁芯传播到被动端，从而在被动端产生感应电动势。
这个感应电动势可以用于传输信号或功率。
磁耦的铁芯起到了传导磁场和隔离信号的作用，使得主动端和被动端之间没有直接的电气连接。
磁耦具有很多优点。
首先，磁耦的传输效率较高，能够实现高性能的功率传输和信号传输。
其次，磁耦具有电气隔离的功能，能够有效地隔离电气噪声和干扰。
此外，磁耦具有体积小、重量轻、结构简单等特点，便于集成和应用。
然而，磁耦也存在一些局限性。
首先，由于磁场衰减的影响，磁耦在传输距离上有一定的限制。
其次，磁耦对频率的适应性较差，对于高频信号的传输效果较差。
此外，磁耦在温度变化和外界磁场干扰下的性能稳定性也受到一定的影响。
未来，磁耦技术还有很大的发展空间。
随着科技的进步，磁耦的传输效率和频响特性将得到进一步提升。
磁耦也将在更多领域得到应用，例如电力系统中的能量传输、电动车的无线充电等。
因此，磁耦作为一种重要的传输技术，将为各行各业的发展提供更多的可能性和便利性。
1.2文章结构1.2 文章结构:本文将分为三个主要部分来讨论磁耦的工作原理。
首先，在引言部分概述磁耦的基本概念和作用。
接着，正文部分将详细介绍磁耦的基本原理、工作过程以及广泛应用的领域。
最后，结论部分对磁耦的工作原理进行总结，并探讨其优势和局限性，同时展望其未来的发展方向。
通过逐步展开，读者将能够全面了解磁耦的工作原理及其在各个领域中的应用情况。
1.3 目的目的磁耦是一种常见的电子元件，具有广泛的应用领域。
本文旨在通过对磁耦工作原理的深入探究，全面了解磁耦的基本原理、工作过程以及应用领域。
电磁力中的对偶
电、磁、力中的对偶刘红摘要：本文从对偶的角度解释了电、磁、力之间的关系，总结了高扬提出的用于全局优化的典范对偶理论及利用它解决非线性非凸问题的主要思路和优点。
引言电、磁、力三大物理分支存在对偶关系。
透过它们之间的不同外部现象，抽象出数学模型，看到他们的本质却是相同的。
三大系统的物理量间又存在着对偶关系，这就是典范对偶理论。
非线性的变量关系或非凸性的能量函数是造成系统复杂性的关键原因。
典范对偶理论旨在利用非线性变换，凸化的手段，把原空间中不便于处理的问题转化到对偶空间中来处理。
这就是把“不美”的东西转化为“美”的东西，然后处理“美”的东西，最后通过能量守恒的原理把处理的结果反馈回原空间中。
而三个驻点对偶定理提供了能量在原空间和对偶空间中进行的最优化的理论基础。
本文先从最简单的线性电阻电路模型开始，表示出在线性情况下的典范对偶模型。
描述这种电路的数学模型是线性方程组。
解这类线性方程组等价于二次规划的最优解。
线性模型对应线性算子，非线性模型对应非线性算子。
通过非线性变换，以及利用任何函数都可以分解为凸函数之差的方法，可将非线性非凸问题转换为线性的凸的问题。
这种转换，有别于泰勒展开后取线性部分近似。
这里不是近似而是变换，所以能得到更准确的效果。
1. 线性电阻电路的数学描述考虑如图1所示的电路。
此电路中，节点为1，2，3，4。
令[]1234U ,,,TU U U U =为各节点的电位，假设节点4的电位为零，[]1234f=,,,Tf f f f 分别从节点1，2，3，4流进电路的电流，设网络除节点4外没有其它的接地点，所以40f =。
[]12345I ,,,,TI I I I I =为各支路的电流，[]12345V ,,,,TV V V V V =为各支路电阻上的电压。
各支路上电阻的电压与电流取关联参考方向。
图 1 一个电路该电路各变量之间的关系可由下列三式描述。
由基尔霍夫电压定律可得：12341100001100V U b 001100101010016t U U U U -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ+=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （1）由欧姆定律可得：11223344551/000001/000I D V 001/000001/0001/R V R V R V R V R V ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（２） 由基尔霍夫电流定律可得： 123451000111010f I 011000111Tt I I I I I ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦（３） 其中，式（１）称为代数变换关系，将各节点的电位变换为各支路电阻元件上的电压降，即仿射变换U =U b t ΛΛ+。
电和磁的相互作用
电和磁的相互作用电和磁的相互作用是物理学中一个重要的研究领域，它揭示了电荷与磁场之间的密切关系。
自从电和磁的相互作用被发现以来，它在工业、医学和科学研究等方面发挥着重要作用。
本文将介绍电和磁的基本概念，探讨它们之间的相互作用机制，并举例说明其应用。
1. 电的基本概念电是一种基本的物理量，代表了物质中带电粒子的运动状态。
电荷分为正电荷和负电荷，它们相互之间会发生作用。
根据库仑定律，同性电荷相互之间会发生排斥作用，异性电荷则会发生吸引作用。
电场是描述电荷之间相互作用的概念，它的强度和方向是由电荷的性质和距离决定的。
2. 磁的基本概念磁是一种物质的性质，对磁场有响应。
磁场是存在于能够产生磁力的物体周围的区域，由磁场线表示。
磁场中存在两种极性：北极和南极。
根据磁场中的磁力线规律，同名磁极相互之间发生排斥作用，异名磁极则会发生吸引作用。
磁感线是描述磁场分布的主要概念。
3. 电磁感应电磁感应是指改变磁场或电场中的一个，会引起另一个场发生变化。
当一个磁场通过一个线圈时，线圈内会产生电流。
这个现象被称为电磁感应。
根据这个原理，发电机、变压器等设备可以将机械能转换为电能，或者改变电能的电压大小。
4. 电磁波电磁波是一种特殊的波动形式，是由振动的电场和磁场交替产生的。
根据波长的不同，电磁波可以分为无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
电磁波在通信、医学成像和科学研究等领域具有广泛的应用。
5. 应用举例电和磁的相互作用在现代科学和工程中扮演着重要角色。
例如，在电子设备中，电磁感应原理被广泛应用于制作电感、变压器、电磁继电器和电磁铁。
这些设备可以将电能互相转换，控制电路的开关和传输电信号。
另外，电和磁的相互作用还在医学成像技术中得到应用，如核磁共振成像（MRI）和磁共振成像（MRA），通过利用电磁波和磁场的相互作用，可以生成人体内部的高清图像。
综上所述，电和磁的相互作用是一个复杂而有趣的领域，它们之间的相互作用以及应用涵盖了众多方面。
电与磁对偶性原理的应用
电与磁对偶性原理的应用1. 介绍电与磁对偶性原理是一个重要的物理原理，它指出电场和磁场之间存在对称关系。
根据这一原理，我们可以利用电场的特性推导出磁场的特性，反之亦然。
在实际应用中，电与磁对偶性原理被广泛运用于多个领域，包括电磁波传播、天线设计、电磁感应等。
2. 电与磁对偶性原理在电磁波传播中的应用电与磁对偶性原理在电磁波传播中起到重要的作用。
通过对电场和磁场的关系进行研究，我们可以推导出电磁波的传播特性。
例如，根据对偶性原理，我们可以推导出电场和磁场之间的波动方程，并得到电磁波的传播速度和传输特性。
这些推导为电磁波技术的应用提供了理论基础。
3. 电与磁对偶性原理在天线设计中的应用天线是将电能转换成电磁波能量的装置。
在天线设计中，电与磁对偶性原理可以帮助我们理解天线的辐射和接收特性。
例如，通过分析天线的电场分布和磁场分布，我们可以确定天线的辐射方向和辐射功率。
利用对偶性原理，我们可以将电场的特性应用于磁场，以确定天线的磁场分布。
这对于优化天线设计和提高天线性能至关重要。
4. 电与磁对偶性原理在电磁感应中的应用电与磁对偶性原理在电磁感应中也有广泛的应用。
根据对偶性原理，我们可以推导出在磁场变化时产生的感应电场和感应磁场。
这些感应场可以用于能量传输、传感器设计等应用。
例如，利用对偶性原理，我们可以设计感应电磁线圈来实现无线电能传输。
这可以应用于无线充电、无线通信等领域。
5. 其他应用领域除了上述应用领域外，电与磁对偶性原理还可以应用于电磁屏蔽、电能传输、电磁传感等领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了一个统一的框架。
通过对偶性原理的应用，我们可以更好地理解电场和磁场之间的关系，从而推导出一系列的应用。
结论电与磁对偶性原理的应用广泛，涵盖了电磁波传播、天线设计、电磁感应等多个领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了有力支持。
通过充分利用电与磁对偶性原理，我们可以优化设计、提高性能，并推动电磁技术的不断发展。
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课程研究报告（课程设计）
电与磁的对偶性
姓名
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同组同学
得分
电与磁的对偶性
摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。
只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流
产生的电磁场。
关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：
假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
1、 无源区麦克斯韦方程组：
如果把其中的两个按如下方式写成一组：
0E H E t μ
⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩
0H E H t ε
⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩
（1）
得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H
（除了有一负号）是对称的。
这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-
、
εμ→、με→代换，得到另外一组方程。
0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩ →,,E H H E εμμε⎡⎤→→-⎢⎥→→⎣⎦ 0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩
(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。
数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。
2、 广义麦克斯韦方程（有源区）
在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推
广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。
设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J
，并满足守恒定律，
即
()(),,0m
m
r t r t t
J ρ∂
∇+=∂
进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。
根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：
, ,e m
m e
H E E J t E
H H J t ρμερεμ⎧∂∇=∇⨯=--⎪∂⎪
⎨∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩
（3） ()()
2122
121,1 ,n es n ms
n ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ⎧⎡⎤-=⨯-=-⎣⎦⎪
⎨⎡⎤-=⨯-=-⎪⎣⎦⎩
(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，
ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为
Wb/3m 。
等式右边用负号，表示磁流与电场之间是左手螺旋关系。
式（3）为广义麦克斯韦方程组。
当然遐想的“磁荷”和“磁流”不可能是随意的，必须建立在合理的理论基础之上。
3、 广义麦克斯韦方程的对偶性
广义麦克斯韦方程组仍然是线性方程，满足叠加定理。
因此，总场是电荷、电流、磁荷、磁流各自独立所产生场的叠加，如果用下表e 和m 分别为来自电荷、电流和磁荷、磁流的贡献，总场
为,e m m e E E E H H H =+=+。
它们分别满足的方程和边界条件是：
,0,e e
e e e
e e e H E E t E H H J t ρμεε⎧∂∇=∇⨯=-⎪⎪∂⎨
∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩
（5a ）
()()
21211212
,,n e e es n ms ms es n e n e e e e D D e B B e E E J e H H J ρρ⎧-=-=⎪
⎨⎡⎤⎡⎤⨯-=-⨯-=-⎪⎣⎦⎣⎦⎩
（5b ） 0,,e
m m m
m m
m m
H E E J t E H H t μρεμ⎧∂∇=∇⨯=-⎪∂⎪
⎨∂⎪∇=∇⨯=⎪∂⎩
（6a ）
()()
21211212
,,0n m m es n m m ms ms n m n m m m e D D e B B e E E J e H H ρρ⎧-=-=⎪
⎨⎡⎤⎡⎤⨯-=-⨯-=⎪⎣⎦⎣⎦⎩
（6b ） 比较方程（5）和（6），可以获得如下对应关系：
e m
e m H E E E ⎧→-⎪⎨→⎪⎩
εμμε→⎧⎨→⎩ m
m
J J ρρ⎧→⎪⎨⎪→⎩
根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间
存在方程（5）描述的电磁场问题，其解为e E ，e H
；那么在同一空间中方程方程（6）描述的电磁场问题，其解m E ，m H
也存在，且与e E ，e H 对偶。
因此 m E ，m H
不必直接求解而可以通
过对偶变换
e m e m
H E E E ⎧→-⎪⎨→⎪⎩
εμ
με→⎧⎨→⎩ m m
J J ρρ⎧→⎪
⎨
⎪→⎩
获得，反之亦然。
[例题]：根据对偶原理，利用电偶极子激发的场求出磁偶极子激
发的场。
解：在静电场中，位于坐标原点的电偶极子z e p e QL =
激发的静电
场是
33
2cos sin 44e e r
P p E e e r r
θθ
θπεπε=+
（1） 通过对偶变量替换，得到磁偶极子m z m p e p =
激发的磁场为：
33
2cos sin 44m m r P p H e e ur ur θθθ
ππ=+ （2）
将式（2）与小电流圆环激发的磁场进行比较，得到m z p e I s μ=∆。
4、电位与磁位的对偶
类似的，对应于矢量电位A 有矢量磁位m A
；对应于标量电位ϕ
有标量磁位m ϕ，即对应于：1
e m e H A A E t μ
ϕ⎧=∇⨯⎪⎪⎨
∂⎪=∇-⎪∂⎩
有 1
m m m
m m
E A A H t εϕ⎧=∇⨯⎪⎪
⎨∂⎪=∇-⎪∂⎩
当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和：
1
1m m m A E A t A H A t ϕεϕε⎧∂=-∇--∇⨯⎪⎪∂⎨∂⎪=∇-+∇⨯⎪∂⎩
5.参考文献：
[1] 作者：谢处方 饶克谨 文献名称：电磁场与电磁波 高等教育出版社，318-319（页码）
[2] 作者.：柯亨玉 文献名称：电磁场理论. 人民邮电出版社,
134-136(页码)。