(完整版)对偶单纯形法详解
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运筹学 对偶单纯形法
3.若所有akj’≥0( j = 1,2,…,n )，则原问题 无可行解,停止;否则,若有akj’<0 则选
=min{j’ / akj’┃akj’<0}=r’/akr’那么 xr为进基变量,转4； 4.以akr’为转轴元,作矩阵行变换使其变为1,该
列其他元变为0,转2。
2.对偶单纯形法
例3.2：求解线性规划问题：
1.线性规划对偶问题
对称形式： (P) Max z = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥0 “Max -- ≤ ”
互为对偶 (D) Min f = bT y s.t. AT y ≥ c y ≥0 “Min-- ≥”
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数 max 约 束 条 件 m个 ≤ ≥ = n个 变 量 ≥0 ≤0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 约 束 条 件 变 量
否
所有aik
计算
0
否
是
Hale Waihona Puke 0 bi be min aik 0 aik aek
计算
j min aej 0 k < aej aek
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法步骤
2.对偶单纯形法 对偶单纯形法的适用范围 对偶单纯形法适合于解如下形式 的线性规划问题
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 -50
I
θ i 300 400 250 50 75
=min{j’ / akj’┃akj’<0}=r’/akr’那么 xr为进基变量,转4； 4.以akr’为转轴元,作矩阵行变换使其变为1,该
列其他元变为0,转2。
2.对偶单纯形法
例3.2：求解线性规划问题：
1.线性规划对偶问题
对称形式： (P) Max z = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥0 “Max -- ≤ ”
互为对偶 (D) Min f = bT y s.t. AT y ≥ c y ≥0 “Min-- ≥”
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数 max 约 束 条 件 m个 ≤ ≥ = n个 变 量 ≥0 ≤0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 约 束 条 件 变 量
否
所有aik
计算
0
否
是
Hale Waihona Puke 0 bi be min aik 0 aik aek
计算
j min aej 0 k < aej aek
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法步骤
2.对偶单纯形法 对偶单纯形法的适用范围 对偶单纯形法适合于解如下形式 的线性规划问题
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 -50
I
θ i 300 400 250 50 75
运筹学及其应用4.3 对偶单纯形法
3
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 -x1-2x2- x3+x4＝ -1 -2x1+x2-3x3+x5＝ -4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
4
234 000
0
x1 x2 x3 x4 -1 -2 -1
x4 x5 b 1 0 -1
max
2 −2
4 ，
−3
=
−1
0 x5 -2* 1 -3 0 1 -4
σ 234 000
0 x4 0 -2.5 0.5 1 -0.5 1
2 x1 1 -0.5 1.5 0 -0.5 2
σ 0 4 1 0 1 -4
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
1
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
5
• 作业 • P81 1.12(1)
6
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 -x1-2x2- x3+x4＝ -1 -2x1+x2-3x3+x5＝ -4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
4
234 000
0
x1 x2 x3 x4 -1 -2 -1
x4 x5 b 1 0 -1
max
2 −2
4 ，
−3
=
−1
0 x5 -2* 1 -3 0 1 -4
σ 234 000
0 x4 0 -2.5 0.5 1 -0.5 1
2 x1 1 -0.5 1.5 0 -0.5 2
σ 0 4 1 0 1 -4
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
1
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
5
• 作业 • P81 1.12(1)
6
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题
对偶单纯形法
单纯形法迭代过程的实质是：在保持原问题可行性的前提下，驱使对偶问题从 不可行转变为可行的发展历程。
把上述思想移植到对偶问题上。
对偶单纯形法迭代过程的实质是：保持对偶问题的可行性（只要检验数≤0即可）， 通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两 个可行解就是原始和对偶问题的最优解。
例2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3
6 x2 + x3 ≥2
st.
5x1+2 x2 + x3 ≥1
x1 , x2 , x3 ≥0
解：把线性规划问题化为标准形式。
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
-2/3是主元素， x3是换入变量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj
－15 －24 － 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
-24
x2 1/4
-5/4
1
0
表 11
0
0
x4
x5
-1/4 1/4
5
x3 1/2 15/2
0
1
1/2 -3/2
(cj－zj) 或 j
-15/2 0
0
-7/2 -3/2
由于原始，对偶都已经可行，所以，表11对应的解是最优解。
求极大为标准形式时
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
求极小为标准形式时
min j
z
j c arj
j
arj
0
把上述思想移植到对偶问题上。
对偶单纯形法迭代过程的实质是：保持对偶问题的可行性（只要检验数≤0即可）， 通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两 个可行解就是原始和对偶问题的最优解。
例2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3
6 x2 + x3 ≥2
st.
5x1+2 x2 + x3 ≥1
x1 , x2 , x3 ≥0
解：把线性规划问题化为标准形式。
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
-2/3是主元素， x3是换入变量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj
－15 －24 － 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
-24
x2 1/4
-5/4
1
0
表 11
0
0
x4
x5
-1/4 1/4
5
x3 1/2 15/2
0
1
1/2 -3/2
(cj－zj) 或 j
-15/2 0
0
-7/2 -3/2
由于原始，对偶都已经可行，所以，表11对应的解是最优解。
求极大为标准形式时
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
求极小为标准形式时
min j
z
j c arj
j
arj
0
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
对偶单纯形法
2x1 x2 3x3 4 x1 , x2 , x3 0
1. 换出变量的确定原则
常数列中最小的负元素所在的行所对应的基变量为换出变量.
p11-1
§3.4 灵敏度分析
运筹学
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
一、改变价值向量
在最终表内, cr的变化只引起检验数的变化, 需重新计算检验数.
§3.3 对偶单纯形法
运筹学
一、对偶单纯形法与单纯形法的区别
对 运用对偶单纯形法时, 不需要引入人工变量, 但必须先给 定原问题的一个对偶可行基本解.
二、对偶单纯形法的求解方法
▲ 以求解下述线性规划 问题为例
min z 2x1 3x2 4x3 s.t. x1 2x2 x3 3
二、改变资源向量
在最终表内, br的变化只引起右端项的变化, 需重新计算右端项. 利用B-1(b+b).
三、改变A中的一列
通常是非基变量所对应的列, 需重新计算检验数.
四、增加一个新的约束条件
五、增加一个新的变量
p11-2
运筹学
作业：P81第1.12题之（2）； 第1.13题
p11-3
1. 换出变量的确定原则
常数列中最小的负元素所在的行所对应的基变量为换出变量.
p11-1
§3.4 灵敏度分析
运筹学
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
一、改变价值向量
在最终表内, cr的变化只引起检验数的变化, 需重新计算检验数.
§3.3 对偶单纯形法
运筹学
一、对偶单纯形法与单纯形法的区别
对 运用对偶单纯形法时, 不需要引入人工变量, 但必须先给 定原问题的一个对偶可行基本解.
二、对偶单纯形法的求解方法
▲ 以求解下述线性规划 问题为例
min z 2x1 3x2 4x3 s.t. x1 2x2 x3 3
二、改变资源向量
在最终表内, br的变化只引起右端项的变化, 需重新计算右端项. 利用B-1(b+b).
三、改变A中的一列
通常是非基变量所对应的列, 需重新计算检验数.
四、增加一个新的约束条件
五、增加一个新的变量
p11-2
运筹学
作业：P81第1.12题之（2）； 第1.13题
p11-3
单纯形解法与对偶解法
线性规划的单纯形解法 例：1212121max Z 432216005 2.52500.. 4000, 1,2i x x x x x x s t x x i =++≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩一、建立初始基本可行解标准化：1212312415max Z 4322 16005 2.5 2500.. 4000, 1,2,...,5i x x x x x x x x s t x x x i =+++=⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩ 其中，x 3,x 4,x 5为松驰变量。
增广矩阵表示：2x 1+2x 2 1600Z=4005x 1+2.5x 212345 2 2 1 0 0 16005 2.5 0 1 0 2500 1 0 0 0 1 400x x x x x b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦初始可行基：1 1 0 00 1 00 0 1B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦基变量可用非基变量表示成：3124125116002-225005 2.5400x x x x x x x x=-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩ 令非基变量x 1=x 2=0，得初始可行解：X=[0,0,1600,2500,400]，对应于可行域的O 点。
相应的Z 值为0二、解的最优性检验规划判断的方法是检查目标函数中是否还有正的系数。
Z=4x 1+3x 2+0 因此，如果将这两个非基变量中的任意一个变成基变量，也就是使该变量的取值由零变为正值，都有可能使目标函数值增加，因此原来的解不是最优解。
三、第一次迭代（基变换） 1.确定换入变量一般选取价值系数大的那个为入基变量。
这里选择x 1为入基变量。
2.确定换出变量确定入基变量，同时要确定换出变量，其原则是使得到的新的基本解同时是可行解。
分析如下：令x 2=0（x 2仍为非基变量），得：3141511600225005400x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 随着x 1的增加，x 3, x 4, x 5的值就会逐渐变小，但始终应保持非负。
单纯形法和对偶问题
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• • • •
§1 §2 §3 §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
1
单纯形表
管
理
运
筹
学
2
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩 阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的系 数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。 这时 K= Ck-Zk就变成了Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原来的 最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤- K。
由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变换，Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列
数据，包括Xk的系数列、Zk以及 ，这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成 k
CBB-1Pk’，新的检验数 迭代以求出最优。 例 以第二章例1为基础，设该厂除了生产Ι，Ⅱ种产品外，现在试制成一个新产品Ⅲ，已知生产产品
实际意义可以描述为：设备台时数在250与325之间变化，则设备台时
• • • •
§1 §2 §3 §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
1
单纯形表
管
理
运
筹
学
2
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩 阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的系 数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。 这时 K= Ck-Zk就变成了Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原来的 最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤- K。
由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变换，Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列
数据，包括Xk的系数列、Zk以及 ，这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成 k
CBB-1Pk’，新的检验数 迭代以求出最优。 例 以第二章例1为基础，设该厂除了生产Ι，Ⅱ种产品外，现在试制成一个新产品Ⅲ，已知生产产品
实际意义可以描述为：设备台时数在250与325之间变化，则设备台时
对偶单纯形法
3x2 2x2
x4 x5
x7 3
6
用单纯形 法求解
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
对偶单纯形法的优点：
1、不需要人工变量；
2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数；
3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应
X（0）为基本可行 解的X（条0）件为？最优解的 条件？
B-1b≥0 C CBB1 A 0
原问题最优解条件
令Y=CBB-1，代入原问题最优解条件，→YA≥C
min Yb
YA C Y无符号限制
取基本解X1 B1b,0
保证对偶问题的可行性，逐
步改进原问题的可行性，求
x1 x3 2
s.t
x2
2x3
5
x1，x2，x3 0
若取初始基B1 P4，P5
则关于B1的标准型为
max Z 4x1 3x2 8x3
不s可.t 行 x1x2
x3 2x3
x4
2 x5 5
x1，x2，x3 , x4 , x5 0
且由对偶理论知，Y0 CB B 1为（D）的最优解
对偶单纯形法步骤：
1. 列出初始单纯形表，检查b 列的数字若都为非负， 则已得到最优解，停止计算，若b列的数字中至少 有一个负分量，转第二步。
2. 确定出基变量
按 min B1b i B1b i 0 B1b l ,对应的基变量法： 求max Z x6 Mx9
2x2 x3 x4 x5
x9 1
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2.3 对偶单纯形法
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
-3
-1 -4 0 1 0-3-Fra bibliotek -7 0 0 1
0
-3 -9 0 0 0
值 -3/-1 -9/-1 --- --- ---
CB
CB
XB
0
x4
-2 x1
cj xj b
-1
2
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 -5/2 1/2 1 -1/2 1 -1/2 3/2 0 -1/2
cj-zj
比
0
0 -4 -1 0 -1
值 --- -4/-5/2 --- -1/-1/2
CB
XB
-3 x2
-2 x1
cj xj b
证明： C CBB-1A 0
(CB MCN ) CBB-1 (BMN) 0
(CB MCN ) (CBB-1BMCBB-1N) 0 (CB CBB-1BMCN CBB-1N) 0
CB CBB-1B 0 CN CBB-1N 0
N 0
单纯形法的求解过程就是：
在保持原始可行的前提下(b列保持≥0)，
通过逐步迭代实现对偶可行(检验数行≤0)。 2、 对偶单纯形法思想：
换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原始可行（b列≥0，从非可行解变成 可行解）。
对偶单纯形法的思想（图示）
始终满 足对偶 可行性
最优解 基本可行性 对偶可行性
保持对偶可行性 初始对偶可行解
XB
-3 y1
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
2 -1 -1
-3 -9 0 y1 y2 y3
1 1 -1 0 -3 -1 0 -6 -1
00 y4 y5
00 10 01
→迭代→另一个可行基（对应另一个基 本可行解），直至所有检验数≤0为止。
所有检验数≤0意味着
CN CB B1N 0 YA C ，
说明原始问题的最优基也是对偶问题的可行 基。换言之，当原始问题的基B既是原始可 行基又是对偶可行基时，B成为最优基。
定理2-5 B是线性规划的最优基的充要条件 是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
保持为基本 可行解
原问题
初始基本 可行解
始终满足解 的可行性
三、对偶单纯形法的实施
1、使用条件： ①检验数全部≤0；
②解答列至少一个元素 < 0；
2、实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每 一次迭代过程中取出基变量中的一个负分量 作为换出变量去替换某个非基变量(作为换入 变量),使原始问题的非可行解向可行解靠近。
素
a
' lk
为主元素。
若 值吗al'j？为0 ,要什计么算？最小比
按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢 运算），将主元素变成1，主元列变成单位向 量，得到新的单纯形表。
循环以上步骤，直至求出最优解。
3、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33
即
min i
( B 1b) i
( B 1b) i
0
(B1b)l ,则选xl出基，
相应的行为主元行。
然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。
如果
min j
c
j
al'j
z
j
al'j
0
ck zk
a
' lk
(最小比值原则),则选 xk 为换入变量 , 相应 的列为主元列 , 主元行和主元列交叉处的元
3 4
x1, x2, x3 0
化为标准型 →
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3 4
x1, x2, x3, x4, x5 0
将两个等式约束两边分别乘以-1，得
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3、计算步骤：
①建立初始单纯形表，计算检验数行。
解答列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
至少一个元素<0,转下步;
至少一个检验数>0
解答列≥0——原始单纯形法； 至少一个元素<0,另外处理；
基变换：
先 确 定 换 出 变 量 —— 解 答 列 中 的 负 元 素 （一般选最小的负元素）对应的基变量出基；
Max Z CX
LP原问题: AX b
s.t.
X
0
若B是A中的一个基
可行基
对偶可行基
B对应的解是基 本可行解，则B 是可行基
若单纯形乘子 Y CBB1 是对偶问题的可行解， 则B是对偶可行基
的CB可B行1 解是对偶问题
等价
检验数 N 0
YA C CBB-1A C C CBB-1A 0 N 0
4、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 3y1 9 y2
MaxZ 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
化为
y1 y2 y3 2
标准型
→
s.t.
y1 y1
4 7
y2 y2
y4 y5
3 3
y1 0, y2 0
y1, , y5 0
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
-3
-1 -4 0 1 0-3-Fra bibliotek -7 0 0 1
0
-3 -9 0 0 0
值 -3/-1 -9/-1 --- --- ---
CB
CB
XB
0
x4
-2 x1
cj xj b
-1
2
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 -5/2 1/2 1 -1/2 1 -1/2 3/2 0 -1/2
cj-zj
比
0
0 -4 -1 0 -1
值 --- -4/-5/2 --- -1/-1/2
CB
XB
-3 x2
-2 x1
cj xj b
证明： C CBB-1A 0
(CB MCN ) CBB-1 (BMN) 0
(CB MCN ) (CBB-1BMCBB-1N) 0 (CB CBB-1BMCN CBB-1N) 0
CB CBB-1B 0 CN CBB-1N 0
N 0
单纯形法的求解过程就是：
在保持原始可行的前提下(b列保持≥0)，
通过逐步迭代实现对偶可行(检验数行≤0)。 2、 对偶单纯形法思想：
换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原始可行（b列≥0，从非可行解变成 可行解）。
对偶单纯形法的思想（图示）
始终满 足对偶 可行性
最优解 基本可行性 对偶可行性
保持对偶可行性 初始对偶可行解
XB
-3 y1
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
2 -1 -1
-3 -9 0 y1 y2 y3
1 1 -1 0 -3 -1 0 -6 -1
00 y4 y5
00 10 01
→迭代→另一个可行基（对应另一个基 本可行解），直至所有检验数≤0为止。
所有检验数≤0意味着
CN CB B1N 0 YA C ，
说明原始问题的最优基也是对偶问题的可行 基。换言之，当原始问题的基B既是原始可 行基又是对偶可行基时，B成为最优基。
定理2-5 B是线性规划的最优基的充要条件 是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
保持为基本 可行解
原问题
初始基本 可行解
始终满足解 的可行性
三、对偶单纯形法的实施
1、使用条件： ①检验数全部≤0；
②解答列至少一个元素 < 0；
2、实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每 一次迭代过程中取出基变量中的一个负分量 作为换出变量去替换某个非基变量(作为换入 变量),使原始问题的非可行解向可行解靠近。
素
a
' lk
为主元素。
若 值吗al'j？为0 ,要什计么算？最小比
按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢 运算），将主元素变成1，主元列变成单位向 量，得到新的单纯形表。
循环以上步骤，直至求出最优解。
3、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33
即
min i
( B 1b) i
( B 1b) i
0
(B1b)l ,则选xl出基，
相应的行为主元行。
然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。
如果
min j
c
j
al'j
z
j
al'j
0
ck zk
a
' lk
(最小比值原则),则选 xk 为换入变量 , 相应 的列为主元列 , 主元行和主元列交叉处的元
3 4
x1, x2, x3 0
化为标准型 →
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3 4
x1, x2, x3, x4, x5 0
将两个等式约束两边分别乘以-1，得
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3、计算步骤：
①建立初始单纯形表，计算检验数行。
解答列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
至少一个元素<0,转下步;
至少一个检验数>0
解答列≥0——原始单纯形法； 至少一个元素<0,另外处理；
基变换：
先 确 定 换 出 变 量 —— 解 答 列 中 的 负 元 素 （一般选最小的负元素）对应的基变量出基；
Max Z CX
LP原问题: AX b
s.t.
X
0
若B是A中的一个基
可行基
对偶可行基
B对应的解是基 本可行解，则B 是可行基
若单纯形乘子 Y CBB1 是对偶问题的可行解， 则B是对偶可行基
的CB可B行1 解是对偶问题
等价
检验数 N 0
YA C CBB-1A C C CBB-1A 0 N 0
4、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 3y1 9 y2
MaxZ 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
化为
y1 y2 y3 2
标准型
→
s.t.
y1 y1
4 7
y2 y2
y4 y5
3 3
y1 0, y2 0
y1, , y5 0