对偶单纯形法
对偶单纯形法的原理和应用
对偶单纯形法的原理和应用一、原理介绍对偶单纯形法是线性规划的一种求解方法，通过对原问题的对偶问题进行迭代求解，来达到求解原问题的目的。
下面详细介绍对偶单纯形法的原理。
1. 线性规划问题的对偶性在线性规划问题中，我们常常需要求解最小化或最大化线性目标函数的问题，同时满足一系列线性约束条件。
对于这样的问题，可以通过定义对偶问题来求解。
2. 对偶问题的定义对于原问题的最小化形式，可以定义对偶问题的最大化形式。
对于原问题的最大化形式，可以定义对偶问题的最小化形式。
对偶问题和原问题之间具有很强的对称性。
3. 对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过迭代求解对偶问题来达到求解原问题的目的。
在每一次迭代中，首先确定最优解是否已经找到，如果找到最优解，则结束算法；否则，确定要改进的变量，通过计算改变最变量之前对应的对偶变量的值，然后再进行下一次迭代。
二、应用场景对偶单纯形法在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举几个典型的应用场景。
1. 生产计划问题在生产计划问题中，常常需要确定各个生产线的产量，以最小化总成本或最大化总利润。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定生产线的产量。
2. 项目调度问题在项目调度问题中，需要确定各个项目的开始时间和结束时间，以最小化总工期或最大化资源利用率。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定项目的调度方案。
3. 运输问题在运输问题中，需要确定各个供应商到各个销售点的运输量，以最小化总运输成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定每个供应商和销售点的运输量。
4. 资源分配问题在资源分配问题中，需要确定各个资源的分配比例，以最大化总效益或最小化总成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定资源的分配比例。
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
对偶单纯形法
1. 换出变量的确定原则
常数列中最小的负元素所在的行所对应的基变量为换出变量.
p11-1
§3.4 灵敏度分析
运筹学
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
一、改变价值向量
在最终表内, cr的变化只引起检验数的变化, 需重新计算检验数.
§3.3 对偶单纯形法
运筹学
一、对偶单纯形法与单纯形法的区别
对 运用对偶单纯形法时, 不需要引入人工变量, 但必须先给 定原问题的一个对偶可行基本解.
二、对偶单纯形法的求解方法
▲ 以求解下述线性规划 问题为例
min z 2x1 3x2 4x3 s.t. x1 2x2 x3 3
二、改变资源向量
在最终表内, br的变化只引起右端项的变化, 需重新计算右端项. 利用B-1(b+b).
三、改变A中的一列
通常是非基变量所对应的列, 需重新计算检验数.
四、增加一个新的约束条件
五、增加一个新的变量
p11-2
运筹学
作业：P81第1.12题之（2）； 第1.13题
p11-3
对偶单纯形法的条件
对偶单纯形法的条件
首先，对偶单纯形法的条件包括：
1. 对偶可行性条件，对偶单纯形法要求原始问题和对偶问题都是可行的。
也就是说，原始问题的约束条件和对偶问题的变量非负条件都必须满足。
2. 对偶非退化条件，这个条件要求对偶单纯形表中的对偶变量都是非负的，且对偶问题的最优解是非退化的。
3. 对偶互补松弛条件，这个条件指的是原始问题的最优解和对偶问题的最优解之间存在一种互补关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解必须满足一组互补松弛条件。
其次，对偶单纯形法的条件还涉及到对偶单纯形表的构建和迭代计算的条件：
1. 对偶单纯形表的构建需要满足对偶问题的约束条件和非负条件，通过构建对偶单纯形表，可以进行对偶单纯形法的迭代计算。
2. 对偶单纯形法的迭代计算需要满足一定的迭代规则和条件，
包括选择合适的进入变量和离开变量，进行主元素的换入换出操作，更新对偶单纯形表等操作。
最后，对偶单纯形法的条件还包括了对原始问题和对偶问题的
理解和转化能力：
1. 需要理解原始问题和对偶问题之间的对偶关系，以及如何通
过对偶问题来求解原始问题的最优解。
2. 需要具备将原始问题转化为对偶问题的能力，以及对对偶问
题的理解和求解能力。
总的来说，对偶单纯形法的条件涉及到对原始问题和对偶问题
的理解、对偶单纯形表的构建和迭代计算条件，以及对偶问题的可
行性、非退化性和互补松弛条件的满足。
这些条件是对偶单纯形法
顺利求解线性规划问题的基础，需要严格满足和理解。
对偶单纯形法
y1, y2 0
Min w 2 y1 3y2
解:
先将原问题化为下列形式
s.t.
2 y1 y1
y1 y2 y3 4 3y2 y4 6 y2 y5 3
y1, y2 , y3, y4 , y5 0
对偶单纯形法举例(例2-2) 则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下
5
-w 8 -15 0 -1 -4 0
对偶单纯形法举例(例1-4)
T(B2) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 1/3 0 1 1/6 -1/6 0
Y -1/3 -5 0
5
-w 8 -15 0
-2/3 -1/3 1 -1 -4 0
T(B3)
Y2 1/4 -5/4 1 Y3 1/2 15/2 0 -w 17/2 -15/2 0
5
w 0 -2 -3 0 0 0
Y3 -2 -5/3 0 Y2 2 1/3 1 Y5 -1 -2/3 0
1 -1/3 -1/3 0 -1/3 -1/3 0 -1/3 2/3
w 6 -1 0 0 -1 -1
对偶单纯形法举例(例3-1)
例3：用对偶单纯形法解下列线性规划
Min w x1 x2
3x1 x2 x3 1
s.t.
x1 x2 2x1 2x2
x4 2 x5 4
x j 0 j 1,2,3,4,5
解: 取B1=(P3，P4，P5)=I
为对偶可行基
因此其对应的单纯形表如下
对偶单纯形法举例(例3-2)
T(B1)
x1 x2 x3 x4
x5
x3 -1 3 -1 1 0 0
x4 -2 -1 1 0 1
介绍对偶单纯型算法
介绍对偶单纯型算法
对偶单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。
它基于线性规划问题的对偶理论，从对偶可行性出发，通过迭代搜索，逐步找出原始问题的最优解。
在具体操作上，对偶单纯形法首先需要设定一个初始基和对应的最优解。
然后，它会根据对偶问题的约束条件进行迭代，每次迭代都会根据一定规则（如“进基”和“出基”规则）更新基和对应的最优解。
当无法找到能使目标函数值更优的可行解时，算法结束，此时得到的解即为原始问题的最优解。
对偶单纯形法具有一些优点。
例如，它可以处理一些不可行或无界的情况，这些情况可能会让原始单纯形法束手无策。
此外，对偶单纯形法还可以提供对偶问题的信息，这些信息可能有助于理解原始问题的性质。
然而，对偶单纯形法也有一些缺点。
例如，它需要处理的是对偶问题而非原始问题，这可能会导致一些计算上的复杂性。
此外，虽然对偶单纯形法可以找到最优解，但它不能提供任何关于解的可行性和最优性的证明。
总的来说，对偶单纯形法是一种有效的求解线性规划问题的算法，但使用时需要注意其可能存在的局限性。
对偶单纯形法
2 2
x1 x1
+x2 + 4x3 2 +2x2 + 4x4 3
x
j
0,
j
= 1, 2,3
MinS =1200x1 +800x2 +1600x3 +1200x4 + 0x5 + 0x6
−−22xx11
− −
x 2
−
2
x2
4x3 + − 4x4
x
+
=
5
x6
−2 = −3
K
Min{-1200/-2; -800/-2; -1200/-4}=300
Cj
CB
XB
0
X5
1200
X4
Zj
cj-zj
1200 800 1600 1200 0
0
b
x1
x2
x3x4x5Fra bibliotekx6L
-2
-2
--11
-4
0
1
0
3/4
1/2 1/2
0
1
0
-1/4
600 600
0 1200
0
-300
600 200 1600 0
即：保持对偶问 题可行，将原问 题由不可行化为 可行
➢算法流程：
? 找出初始基本解，满足cj-zj≤0 （MaxZ）
bi>0? N
Y
最优解
i=L
Y
aLj 0 ?
N
无解
? 找出新的基本解，满足cj-zj≤0
例题： 解：标准型为
Min S = 1200x1 +800x2 + 1600x3 + 1200x4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
把上述思想移植到对偶问题上。
对偶单纯形法迭代过程的实质是：保持对偶问题的可行性（只要检验数≤0即可）， 通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两 个可行解就是原始和对偶问题的最优解。
例2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3
6 x2 + x3 ≥2
st.
5x1+2 x2 + x3 ≥1
x1 , x2 , x3 ≥0
解：把线性规划问题化为标准形式。
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
-2/3是主元素， x3是换入变量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj
－15 －24 － 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
-24
x2 1/4
-5/4
1
0
表 11
0
0
x4
x5
-1/4 1/4
5
x3 1/2 15/2
0
1
1/2 -3/2
(cj－zj) 或 j
-15/2 0
0
-7/2 -3/2
由于原始，对偶都已经可行，所以，表11对应的解是最优解。
求极大为标准形式时
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
求极小为标准形式时
min j
z
j c arj
j
arj
0
zs cs ars
（2-22a） （2-22b）
第s 列所在的变量xs作为换入变量。 (4) 选择 ar s 为主元素，把该列向量变为单位列向量。
这里的旋转运算和单纯形法一样，主元素处变为1，其余变为0即可。 （5）重复步骤（2）—（4），直至原问题变为可行解为止。
0
1
(cj－zj) 或 j
-15
-24
-6
0
0
根据对偶单纯形法，首先选择换出变量：显然常数项列最负的元素是-2，所以
第一行的基变量 x4 作为换出变量。
换入变量的确定利用公式（2-22）。第一行与检验数行对应分量比值的最小值为： 最小比值={—，-24/-6，-6/-1} = 4
-6是主元素， x2是换入变量。
注意： 具有本例题形式的线性规划问题在求最优解时，可以不使用人工变量，对偶 单纯形法能使求解过程更简便。
返回
表 10
cj
－15 －24 － 5
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
-24
x2 1/3
0
1 1/6
-1/6 0
0
x5 -1/3 －5
0 [-2/3] -1/3 1
(cj－zj) 或 j
-15
0 -1
-4
0
选择换出变量。显然负元素是-1/3，所以第二行的基变量 x5 作为换出变量。
换入变量的确定利用公式（2-22）。第二行与检验数行对应分量比值的最小值为： 最小比值={-15/-5，-1/（-2/3），- 4/（-1/3）} = 3/2
6 x2 + x3 － x4
=2
st. 5x1+ 2 x2 + x3 － x5 = 1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
在标准形式里，目标函数系数满足使用对偶单纯形法的一个条件，但是，约束 条件的右端常数项非负，且没有单位矩阵。为此，把约束方程两边都乘以-1， 得
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
－6 x2 － x3 + x4 = －2
st. －5x1－ 2 x2 － x3
+ x5 =－ 1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
以此表达式列出单纯形表并求解。
表9
cj
－15 －24 － 5
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4 － 2
0
[－6] －1
1
0
0
x5 －1 －5 －2 －1
二、对偶单纯形法的计算步骤
使用对偶单纯形法必须满足两个条件： （1）单纯形表中的所有检验数必须符合最优性要求（即对偶可行）； （2）右端常数项列向量必须有负分量（如果原问题可行，则直接用单纯形法）。
对偶单纯形法计算步骤： （1）把线性规划问题化为标准形式，找出对偶问题的初始可行基，列出单纯形 表。表的格式与第一章的单纯形表完全相同。 （2）确定换出基的变量。这一点与单纯形法正好相反，那里是先确定换入变量。 因为常数项有负分量，所以令br = min{bi},第 r 行对应的基变量 xr 作为换出变量。 （3）确定换入基的变量。 这里要注意： 单纯形法确定换出变量时用的是换入变量列向量与常数项列的最小比值； 对偶单纯形法确定换入变量时则用检验数行与换出变量所在行的最小比值。 1）如果所有的arj≥0，则原问题没有可行解。停止计算。 2）如果存在arj ＜0，则计算最小比值。
当目标函数值无法改善时（因退化出现循环的情况除外），所有的检验数都≤0 （求极大时≤0 ，求极小时，检验数≥0）。“检验数 ≤0 ”意味着在获得原问题最 优解的同时，也获得了对偶问题的一个可行解。因为原问题与对偶问题的解都可 行，并且目标函数值相同，根据对偶理论，这个对偶可行解就是对偶问题的最优 解。
一、对偶单纯形法的思路
对偶单纯形法不是解对偶问题的，而是在单纯形表上进行对偶运算的方法。为 了了解对偶单纯形法的实质，我们回顾一下单纯形法。
单纯形法开始于初始基可行解。如果不满足最优性条件，则要转到能使目标函 数值得到改善的邻近顶点上。在这个转换过程中，存在两个原则，一是保持原 问题的解仍是可行的，另一个是要求目标函数值有改善。