对偶问题及对偶单纯形法完整
运筹学对偶问题
原问题变为
则，
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A）
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自由
2
变量
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. （A‘） 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
∴ 对偶规划问题为
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
比较
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题， 它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
（B‘）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
4_4对偶单纯形法
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
m w i1 n y 5 2y4 5 y
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
5y 2y y 1
1
2
3
y,y ,y 0 123
对偶问题的 初初始始可可行行基基
m m w w a a 1 1 x x y 1 1 5 2y 2 2 4 5 y 3 3 s.ts-.5t5yy11y1y66,221yyy,yy222y22,2 , yyy,y333y3,5yy5y440yy0552211
练习
用对偶单纯形法求解线性规划问题：
m s.t.inwx1 22x1x2 3xx2343x3 2xxi1 0x,2i31x,23 ,3 4
对 偶 问 题
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若 b ~ i0,i1,2,,m ，即表中原问题和
对偶问题均为最优解，否则换基。
换基方法：
•确定换出基变量
~
~~
br m i { ibn i bi 0}
对应变量x r 为换出基的变量
•确定换入基变量
m j ic njarjzj arj0 csa rszs
a rs 为主元素，x s 为换入基变量
24 y2 6 2
24 1 0 0 1 0 0
5 y3 1 1 5 1/ 6 2/3 1 0 1 0
0 y4 1 0 0 1/ 6 1/ 3 4 1/ 4 1/ 2 7/2
0 y5 0 1 0 0 1 0 1/ 4 3/2 3/2
使对偶问题基变量可行,
a 14 1 , 4 0 , 0
24 60 4 50 5
y 2 换入
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
8对偶LP及对偶单纯形法
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。
对偶单纯性法
0
x5
-4
-1
-4
5
2
6
0
0
b
x4
x5
1
0 -24
0
1
-8
0
0
0
θ
2
x2
0
x5
-5/-2 -2/-4
1/2
1
-7/2
0
4
0
θ
-4/(-7/2) 0
2
x2
-316x37/401/2
0
-6/-8 2
[-2] 2
-2/-2 0 1 0
0
-1/4 -1/4
1/2
(-1/2)/(1/4) -1/2 1/8
1/4
B-1 l
检验数为：
cT u ' A cT cBT
B 1 A
B-1 A l
分量：
cj
cBT
B 1
A j
B-1 A
l
j
当1 j m且j l时，B-1 A ＝0，所以检验数为零。
l
j
j l时 ，检验数为 ,大于0。
当n j m 1, 且j k时,检验数为：
0
0
6
1
-2
0 -120
0
1
4
-1/2 1
0
-32 21
最后一个单纯形表中，已得到一个可行的正则解，因 而得到问题的最优解为
X*=（0，4，1）T 最优值为z*=14 对偶单纯形法在以下情况下较为方便。
对于形如min z=CX，AX≥b，X≥0，且C≥0的线性规划 问题。因为将其改写为max (－z) =－CX，－AX+XS=－b， X≥0，则立即可以得到初始正则解；
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
[经济学]单纯形法与对偶问题
![[经济学]单纯形法与对偶问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0043005331b765ce05081479.png)
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
对偶与对偶单纯形法的应用
y1+2y2
≥50
y1 + y2+y3 ≥100
其中y1，y2，y3均≥0
其对偶问题是？
17
• Max z=50x1 +100x2 • x1 +x2 ≤300 • 2x1+x2 ≤400 • x2 ≤250 • x1，x2≥0
18
（二）若原问题为（弱对偶性定理） maxZ=CX AX ≤b X ≥0 其对偶问题为 Minw=Yb YA ≥C Y ≥0 若X为原问题任一可行解，Y为对偶问题任一 可行解，则必有CX ≤Yb
3}=-3;
确定进基变量：θ=min{δ/akj,akj<0}={-15/-5} 从而确定主元素akr，以此为中心做初等行变换。
39
对偶单纯性表2
ci
-12 -16 -15 0 0
CB B b y1 y2 y3 y4 y5
0 y4 -2 -2 -4 0 1 0
-15 y3 3/5 2/5 0 1 0 -1/5
9
记忆宝典： 1、Max——Min 2、C ——b
3、无约束等于0，个数m变n。 4、max就反正，min就正反。（约束条 件——变量）
10
示例：转化为对偶问题
mz a 3 x x 1 4 x 2 6 x 3
2 x1 3 x 2 6 x3 440 , 6 x1 4 x 2 x3 100 , 5 x1 3 x 2 x3 200 , x1 , x 2 , x3 0
δ -6 -16 0 0 -3
确定出基变量：bk=min{bi , bi<0}=min{15}=-15;
确定进基变量：θ=min{δ/akj,akj<0}={-6/-2, -16/-4}=3
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
线性规划的对偶理论(第2部分)
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
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乙产m 品in 同理w ：6y1 y18 y2 2 y23 y3 y34
把s企.t.业 y所1 有原y 2 料出让 的3 总收入：
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y3 0
w6y18y23y3
只能在满足≥所有产品的 利润的条件下,其总收入尽
可能少,才能成交.
第5页
一、对偶问题的提出
任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性 规划问题与之对应，反之亦然.
把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题， 这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。
LP1 max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6
x1
2
x2
8
x2 3
x 1 , x 2 0
第2页
一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
例例如1：、平应面如中何矩安形排的面生积产与计周划长，的关使系一天的总利润最大？
周某长企一业定生面产积甲最、大乙的两矩种形产是品正，方要形用: 面A、积B一、定C周三长种最不短同的的矩原形料是。正每方生形产1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
矩阵形式：
max z (3
4)
x1 x2
s.t. 1
1 0
1
6
2 1
x1 x2
8 3
x1 x2
0
max z=CX s.t. AX ≤b
X≥0
D m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y 3 0
其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量。
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3x3x3(x30,x30)
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 设 yj 表示第 j 种原料的收费单价
把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨甲
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
第3页
假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将厂
原问题（P）
LP2 m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 ,
y2,
y3
0
对偶问题（D）
第6页
二、原问题与对偶问题的对应关系
P max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6 y 1
x1
2
x2 x2
8 3
y2 y3
x 1 , x 2 0
X≥0
Y≥0
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
(P)
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym
s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2
(D)
……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
里的例现1有、资应源如外何售安。排决生策产者计应划怎，样使制一定天每的种总资源利的润收最费大？
标准才合理？
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
yj 表示对第 j 种资源的估价
y1
min
w 6
8
3
y2
s.t.
1
1
1 2
0 1
Байду номын сангаас
y1 y2 y3
y3
3
4
y1
y2 y3
0
min w =bTY s.t. ATY ≥CT
Y ≥ 0 第7页
(一)对称型对偶问题
均取变“≤量”均号具s，m.t有.a当xA非目zX=负≤C标bX约函束数，求且极约小束时条均件取：“s当m≥.t”.i目nA号w标TY=。函≥bTCY数T 求极大时
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
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第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
设 xj 表示第 j 种产品每天的产量
max z = 3x1 + 4x2 s.t. x1 + x2 ≤ 6
x1 + 2x2 ≤ 8 x2 ≤ 3
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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分析问题：
1、出让例每1、种资应源怎的样收制入定不收能费低标于准自才己合生理产时？的可获利润；
2、定价不能太高，要使对方能够接受。
max zc 1x 1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 a 1 3 x 3 b 1