解直角三角形应用举例2(坡度问题)
解直角三角形的应坡比与坡度2
解：过C作CFAD于F
6 E
4
i 1: 3
AB CD, BC // AD, i 1 : 3, A CF BE 6, EF BC 4, AE FD 3CF 6 3. AD AE EF FD 4 12 3. CF 1 tg , FD 3 30 .
A
D
D
B
(图1)
C B
(图2)
C
A
C (图3)
E
例二：
已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8， 求AC和AB的形、等 腰三角形、梯形等一些图 形的问题时，可以适当地 添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使 问题得以解决。设未知数得到相关的方程，是解本题的一 个关键步骤，应用了方程的思想，将几何图形的计算转化 为解代数方程。
例3：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如
下： 1.沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山 顶A的仰角为60 °，求山高AB。 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB。 A
D 30° C
x E x
F B
解直角三角形的应用仰角和俯角
3 10 3、坡比为 i=1∶3 ，坡角α的余弦值为 10
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例 如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升 高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即 坡度等于坡角的正切.
α
D
答：坡角为30 ，坝底宽AD为4 12 3米.
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形的应用——坡度问题课件
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形 函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
作业
1.书P92-93第5、8题
2.练习册67、68页
5、(1)若h=2cm，l=5cm，则i= 1:2.5 (2)若i=1:1.5，h=2m，则 l = 3m
例1. 如图，拦水坝的横断面为梯 形ABCD（图中i=1:3是指坡面的 铅直高度DE与水平宽度CE的比）， 根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝底宽BC和斜坡CD的长 （精确到0.1m）
为 30 。
练习
1.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通 过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000 米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡, 试问:它能不能通过这座小山？
B
565米
A
1000米
C
练习
2.如图,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的 水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24度,求 斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?（精 确到0.1米）
BE CF 6 i 1: 3
DF 6 3
∵梯形ABCD是等腰梯A形
B
4
C
i 1: 3
6
α
EF
D
BC EF 4, AE DF 6 3
AD AE EF DF 6 3 4 6 3 12 3 4
• （2） tan i 1 : 3
30
答：路基下底宽AD为 12 3 4 米，坡角
B
24°
解直角三角形的应用(坡度问题)
h α
L
5、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
范例
例题：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻 两树之间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾 斜角度是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距 离(精确到0.1m)。
DN 3 3
C EF MN 4 2 3
2 3 3 3
1、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h）和水平距 离（l）的比。
2、坡角：坡面与水平面的夹角。
3、坡度与坡角的关系：i h tan
l
4、坡度表示斜坡的倾斜程度。坡度越大，图坡19角.4.5就越大
，坡面就越陡. 5、应用：
（1）能将h、l、c、i各量的计算问题转化为解直角三 角形的问题，这些量中若已知两个量，可求其他量.
的面积。
A
D
i 1: 3
B
C
F
E
课堂小结：本节课你有什么收获？
（1）内容总结： 坡角和坡度的概念: 坡角与坡度之间的关系是：
i h tan
l
（2）方法归纳 在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的 三角形（直角三角形）、平行四边形（矩形），来进行 相关计算。
激流勇进者方能领略江河源头的奇观胜景 攀上山峰者才能看到那边风光的无限美好 相信同学们通过自己努力获取的知识定会 是你们人生中最宝贵的财富！
应该怎么办？
h l sin
l α
h
图(2)
探究
如图(3)，要测量山坡的高度h时，
应该怎么办？
h l sin
l1 α
解直角三角形应用—坡度坡角问题
2021/4/8
4
直逼中考：
• （2005•泰州）一人乘雪橇沿坡比1： 3 的
斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t （秒）间的关系为s=10t+2t2，若滑到坡底 的时间为4秒，则此人下降的高度为（ B ） • A、72米 B、36米 • C、1 8 3 米 D、36 3 米
2021/4/8
5
直逼中考：
• （2012•包头）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD， 坝顶宽AD=5米，斜坡AB的坡度i=1：3（指坡面的铅直 高度AE与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i=1：1.5， 已知该拦水坝的高为6米． （1）求斜坡AB的长； （2）求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
tan32°≈0.6249．
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8
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/8
9
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3
直逼中考：
• （2010•宿迁）小明沿着坡度为1：2的山坡向上走 了1000m，则他升高了（ ）米。
• （2009•兰州）如图，在平地上种植树木时，要 求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在 坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那 么相邻两树间的坡面距离为（ A ）
解直角三角形应用
——坡角坡度问题
2021/4/8
1
直逼中考：
（2012•广安）如图，某水库堤坝横 断面迎水坡AB的坡比是1：3 ，堤 坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长 度是1（00米 ）
2021/4/8
2
直逼中考：
• （2012•咸宁）如图，某公园入口处原有三 级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台 阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜 坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是 ( )cm.
解直角三角形的典型例题
一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。
人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
解直角三角形(坡度和坡角)讲义
解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。
3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。
变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。
3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。
那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。
上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。
以B是坐标原点。
在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。
B是坐标原点。
正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。
我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。
师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。
平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。
如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。
2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。
出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。
解直角三角形的应用——坡度问题.2_解直角三角形(坡度问题)
h i tan l
的关系
h i l h 水库 α
显然，坡度越大，坡角
就越大，坡面就越陡.
l
h α
L
45 度。 1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______
1: 3 。 2、斜坡的坡角是300 ，则坡比是 _______
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______
C
i 1: 3
α D
A
E
F
BC EF 4, AE DF 6 3 AD AE EF DF 6 3 4 6 3 12 3 4
• （2） tan i 1 : 3
30
答：路基下底宽AD为 12 3 4 米，坡角 为 30 。
结束寄语
业精于勤而荒于嬉
B
C
(
24°
5.5 A
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的 高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l
中考语录
•中考是一场跳高比赛，取 胜关键在于你起跳时对大 地用力多少!
28.2解直角三角形的应用
——坡度问题
1.坡度与坡角
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度 l的比叫做坡度
h 坡度一般用i来表示，即 i ,一般写成 l
i=1:m,如i=1:5 （或坡比）
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角 2.坡度与坡角
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练习4.(2008 山东 聊城)如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种 植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间 5 2.236 的坡面距离约为（ ） A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
练习5：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°. 问题如下：（1）沿着水平地面向前300m到 达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 °， 求山高AB.（2）沿着坡角为30 °的斜坡前 进300m到达D点，在D点测得山顶A的仰角 为60 ° ，求山高AB.
A
2
D
B
E
F
C
3
例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图， 水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡 度I’=1∶2.5，求斜坡 坝底宽AD和斜坡AB的 长．
练习1：
如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为6m， 坝高23m，斜坡AB的坡度ί=1: ，斜边 3 CD的 坡度为ί’=1:1， 求斜坡AB的长，坡角α 和坝0 。 则坡度i＝_______,坡角α＝______ 3
你会算吗？
1、坡角α=45°坡比i= 2、坡比为 1: 3 ,坡角α=
1∶ 1 30°
3 10 10
3 ，坡角α的余弦值为 3、坡比为 i=1∶
例1 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，
斜坡AB的坡度为1： 3 ，坡面AB的水平 宽度为 3 米，基面AD宽2米， 求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.
A
3x
45° 60° C
300m
D
x
B
课堂小结:
1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念 的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应， 只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化 为数学问题． 2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形， 或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题． 3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单， 且不易出错． 4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目 中要求的精确度确定答案以及注明单位．
B C
i 1: 3
A α E F
i' 1 : 1
D
练习 2: 修建一条铁路要经过一座高山， 需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量， 西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点 C 的俯角为 60°， AC 的长为 60m ，如图所 示，试求隧道BC的长. A
i = 5：3
B
C
练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面 (等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖 去的土方数．
解直角三角形应用
---坡度问题
新概念：坡度、坡比
如图：坡面的垂直高度h和
B h A α L
水平宽度L的比叫坡度
h i 用字母表示为 ， L
（或叫坡比） 则tanα =
坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）
h i L
练习：
3 （1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=_____;
（2）已知一段坡面上，铅直高度为