3.6对偶单纯形法
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对偶单纯形法
y4 y5 cj
－2 －1 0
15 24 5 y1 y2 y3 0 ［－6］ ［－ ］ －1 －2 －1 －5 15 0 －5 15 －5/4 15/2 15/2 24 1 0 0 1 0 0 5 1/6 [-2/3] 1 0 1 0
0 y4 1 0 0 －1/6 －1/3 4
0 y5 0 1 0 0 1 0
C-CBB-1A≥0
对于标准线性规划问题：
min f = CX
max z = bY
s.t. AT Y ≥ C
AX = b s.t. X ≥ 0
最优基B
可行基B 对偶可行基B 单纯形法 保持可行性 对偶单纯形法 保持对偶可行性
可行基B
对偶可行基B
可行基B
对偶可行基B
对于标准线性规划问题：
min f = CX AX = b s.t. X ≥ 0
•
下面通过例题说明对偶单纯形法的步骤：
例3 用对偶单纯形法求解线性规划问题： min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3
6 y2 + y3 ≥ 2 y1 + 2 y2 + y3 ≥ 1 ：先将问题改写为：
' min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3 min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3 + 0 y4 + 0 y5
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利 用对偶理论求解原问题的解的方法。 对于标准线性规划问题：
min f = CX AX = b s.t. X ≥ 0
max z = bY T s.t. A Y ≥ C
运筹学对偶单纯形法
解: 先将这问题转化（此时b可以是负的）,以便 得到对偶问题的初始可行基
max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 -x1 - 2x2 - x3 + x4 = -3 -2x1 + x2 - 3x3 + x5 = -4 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
建立这个问题的初始单纯形表
cj→
-2 -3 -4 0 0
?
(2) 先确定换出变量：若 min{(B-1b)i|(B-1b)i <0} = (B-1b)l
对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取 负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）
(3) 确定换入变量： 检查xl所在行的各系数alj(j = 1,2,…,n)。 若所有的 alj0,则无可行解，停止计算。
§6 对偶单纯形法
在 原 来 的 单 纯 形 表 中 进 行 迭 代 时 ， 前 提 要 求 右 端 项 b≥ 0(基可行解)，迭代过程中在b列中得到的是原问题的基可行解， 在检验数行得到的是对偶问题的基解。当检验数行也是对偶 问题的基可行解时，原问题与对偶问题都得到最优解。
对偶单纯形法原理：根据对偶问题的对称性，保持对偶问 题的解是基可行解，即cj-CBB-1Pj ≤ 0，同时取消对解答列元 素非负的限制，在原问题非可行解的基础上, 通过逐步迭代达 到基可行解，这样就得到了最优解。
1、对应基变量x1，x2，… ，xm的检验数是
σ i = ci – zi = ci - CB B-1Pi = 0，i = 1 ,2 , … ,m
2、对应非基变量xm+1，… ，xn的检验数是
σ j = cj – zj = cj - CB B-1Pj 0，j = m+1 , … ,n
max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 -x1 - 2x2 - x3 + x4 = -3 -2x1 + x2 - 3x3 + x5 = -4 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
建立这个问题的初始单纯形表
cj→
-2 -3 -4 0 0
?
(2) 先确定换出变量：若 min{(B-1b)i|(B-1b)i <0} = (B-1b)l
对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取 负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）
(3) 确定换入变量： 检查xl所在行的各系数alj(j = 1,2,…,n)。 若所有的 alj0,则无可行解，停止计算。
§6 对偶单纯形法
在 原 来 的 单 纯 形 表 中 进 行 迭 代 时 ， 前 提 要 求 右 端 项 b≥ 0(基可行解)，迭代过程中在b列中得到的是原问题的基可行解， 在检验数行得到的是对偶问题的基解。当检验数行也是对偶 问题的基可行解时，原问题与对偶问题都得到最优解。
对偶单纯形法原理：根据对偶问题的对称性，保持对偶问 题的解是基可行解，即cj-CBB-1Pj ≤ 0，同时取消对解答列元 素非负的限制，在原问题非可行解的基础上, 通过逐步迭代达 到基可行解，这样就得到了最优解。
1、对应基变量x1，x2，… ，xm的检验数是
σ i = ci – zi = ci - CB B-1Pi = 0，i = 1 ,2 , … ,m
2、对应非基变量xm+1，… ，xn的检验数是
σ j = cj – zj = cj - CB B-1Pj 0，j = m+1 , … ,n
对偶单纯形法
y1, y2 0
Min w 2 y1 3y2
解:
先将原问题化为下列形式
s.t.
2 y1 y1
y1 y2 y3 4 3y2 y4 6 y2 y5 3
y1, y2 , y3, y4 , y5 0
对偶单纯形法举例(例2-2) 则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下
5
-w 8 -15 0 -1 -4 0
对偶单纯形法举例(例1-4)
T(B2) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 1/3 0 1 1/6 -1/6 0
Y -1/3 -5 0
5
-w 8 -15 0
-2/3 -1/3 1 -1 -4 0
T(B3)
Y2 1/4 -5/4 1 Y3 1/2 15/2 0 -w 17/2 -15/2 0
5
w 0 -2 -3 0 0 0
Y3 -2 -5/3 0 Y2 2 1/3 1 Y5 -1 -2/3 0
1 -1/3 -1/3 0 -1/3 -1/3 0 -1/3 2/3
w 6 -1 0 0 -1 -1
对偶单纯形法举例(例3-1)
例3：用对偶单纯形法解下列线性规划
Min w x1 x2
3x1 x2 x3 1
s.t.
x1 x2 2x1 2x2
x4 2 x5 4
x j 0 j 1,2,3,4,5
解: 取B1=(P3，P4，P5)=I
为对偶可行基
因此其对应的单纯形表如下
对偶单纯形法举例(例3-2)
T(B1)
x1 x2 x3 x4
x5
x3 -1 3 -1 1 0 0
x4 -2 -1 1 0 1
对偶单纯形法
min f c j x j
j1 n
c
j
0
n i 1, 2, , m a ij x j bi j1 x 0, j 1, 2, , n j
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等 式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正 的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯 形表进行求解，非常方便。
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1.建立初始单纯形表,检查b列中的各分量，若都为非 负，且检验数均非正,则已得到最优解，若b列中至 少有一个负分量，检验数非正,则转2； 2.确定换出变量
min
(bi 0)
确定对应的基变量xi为出基变量,转3 3.在单纯形表中检查xi所在行的各系数，若所有 aij≥0，则原问题无可行解,停止;否则,若有aij<0 则选 =min{j/aij┃ aij<0}=k/aik 那么xk为进基变量,转4； 4.以aik为主元，进行迭代运算，得到新的单纯形表； 5.重复上述步骤，直到求得最优解。
（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生 的影响。根据推论“设x0和y0分别为原规划（P） 和对偶规划（D）的可行解，当cx0=y0b时，x0、 y0 分别是两个问题的最优解”可知，在最优解 的情况下，有关系
Z w b y b2 y bm y
* * * 1 1 * 2
* m
因此，可以将z*看作是bi,i=1,2，… ,m的函数， 对bi求偏导数可得到
影子价格y2 0的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 B 1 时，最大利润将不变化 .
影子价格y3 50的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 C 1 时，最大利润将增加 个单位. 50
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定 y1, y2 , y3 , 为
j1 n
c
j
0
n i 1, 2, , m a ij x j bi j1 x 0, j 1, 2, , n j
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等 式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正 的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯 形表进行求解，非常方便。
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1.建立初始单纯形表,检查b列中的各分量，若都为非 负，且检验数均非正,则已得到最优解，若b列中至 少有一个负分量，检验数非正,则转2； 2.确定换出变量
min
(bi 0)
确定对应的基变量xi为出基变量,转3 3.在单纯形表中检查xi所在行的各系数，若所有 aij≥0，则原问题无可行解,停止;否则,若有aij<0 则选 =min{j/aij┃ aij<0}=k/aik 那么xk为进基变量,转4； 4.以aik为主元，进行迭代运算，得到新的单纯形表； 5.重复上述步骤，直到求得最优解。
（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生 的影响。根据推论“设x0和y0分别为原规划（P） 和对偶规划（D）的可行解，当cx0=y0b时，x0、 y0 分别是两个问题的最优解”可知，在最优解 的情况下，有关系
Z w b y b2 y bm y
* * * 1 1 * 2
* m
因此，可以将z*看作是bi,i=1,2，… ,m的函数， 对bi求偏导数可得到
影子价格y2 0的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 B 1 时，最大利润将不变化 .
影子价格y3 50的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 C 1 时，最大利润将增加 个单位. 50
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定 y1, y2 , y3 , 为
对偶单纯形法
§6 对偶单纯形法在介绍对偶单纯形法之前，让我们先利用对偶理论来重温一下单纯形法的基本思想，以便给单纯形法一种新的解释。
考虑线性规划（LP ）和其对偶规划（DP ）：x c T min b w T max(LP) s.t ⎩⎨⎧≥=0x b Ax (DP) s.t TT c A w ≤我们已经知道，（LP ）的单纯形表为基变量 x 1 x 2 ┄ x nx B B -1 A B -1bf c B T B -1 A – c T c B T B –1b定理1 设(LP)的任一基本解为x 0，它对应于基B ，并作(w 0 )T = c B T B –1。
若x 0 和w 0 分别是(LP)和（DP ）的可行解，则x 0 和w 0 也分别是(LP)和（DP ）的最优解。
证明 因w 0 是（DP ）的可行解，即 (w 0 )T A ≤ c T从而有 c B T B –1A - c T ≤ 0 此式说明，x 0是对应于基B 的基本可行解，且所有的检验数λj ≤ 0故x 0是（LP ）的最优解。
此外，还有(w 0 )T b = c B T B –1 b = c B T x B 0 = c x 0从而由线性规划的对偶定理知，w 0 也是（DP ）的最优解。
证毕。
由以上证明过程可看到：x 0（（LP ）的任一基本解）的检验数全部非正与(w 0 )T = c B T B –1是对偶问题（DP ）的可行解等价。
据此我们可对单纯形法作如下解释：从一个基本解x 0出发迭代到另一个基本解，在迭代过程中始终保持解的可行性（基本可行解），同时使它所对应的对偶规划的解w 0（满足（w 0 ）T = c B T B –1 ）的不可行性逐步消失（即检验数逐步变为非正）；直到w 0是（DP ）的可行解，x 0就是（LP ）的最优解。
因（LP ）和（DP ）互为对偶问题，故基于对称的想法，我们也可以把迭代过程建立在满足对偶问题（DP ）的可行解上，即在迭代过程中保持对应的对偶问题的解w 0的可行性（从而x 0的检验数全部非正），逐步消除原问题（LP ）的基本解x 0的不可行性（即使x 0非负），最后达到双方同时为可行解，x 0和w 0也就同时为最优解了。
对偶单纯形法
3x2 2x2
x4 x5
x7 3
6
用单纯形 法求解
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
对偶单纯形法的优点：
1、不需要人工变量；
2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数；
3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应
X（0）为基本可行 解的X（条0）件为？最优解的 条件？
B-1b≥0 C CBB1 A 0
原问题最优解条件
令Y=CBB-1，代入原问题最优解条件，→YA≥C
min Yb
YA C Y无符号限制
取基本解X1 B1b,0
保证对偶问题的可行性，逐
步改进原问题的可行性，求
x1 x3 2
s.t
x2
2x3
5
x1，x2，x3 0
若取初始基B1 P4，P5
则关于B1的标准型为
max Z 4x1 3x2 8x3
不s可.t 行 x1x2
x3 2x3
x4
2 x5 5
x1，x2，x3 , x4 , x5 0
且由对偶理论知，Y0 CB B 1为（D）的最优解
对偶单纯形法步骤：
1. 列出初始单纯形表，检查b 列的数字若都为非负， 则已得到最优解，停止计算，若b列的数字中至少 有一个负分量，转第二步。
2. 确定出基变量
按 min B1b i B1b i 0 B1b l ,对应的基变量法： 求max Z x6 Mx9
2x2 x3 x4 x5
x9 1
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
对偶单纯形法
ˆi 0，则 ˆ j bi 如果y aij x
j 1 n
ˆ j bi，则 y ˆi 0 如果 aij x
j 1
n
例2 给定线性规划问题 min 2 x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 x1 , x2 , x3 0
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力;
目标
•价格应该是非负的
A 工 时 材 料 单件利润
1
B
1
C
1
拥有量 3
1
2
4
3
7
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
max W b1 y1 b2 y2
bm ym
a11 a21 am1 y1 c1 am 2 y2 c2 a12 a22 s.t. a a2 n amn ym cn 1n y1 , y2 , , ym 0
问题的导出
A B
1
4
C
1
7
拥有量
工 时 材 料 单件利润
1
1
3
9
2
3
3
max Z 2 x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
A
工 时 材 料 单件利润
j 1 n
ˆ j bi，则 y ˆi 0 如果 aij x
j 1
n
例2 给定线性规划问题 min 2 x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 x1 , x2 , x3 0
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力;
目标
•价格应该是非负的
A 工 时 材 料 单件利润
1
B
1
C
1
拥有量 3
1
2
4
3
7
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
max W b1 y1 b2 y2
bm ym
a11 a21 am1 y1 c1 am 2 y2 c2 a12 a22 s.t. a a2 n amn ym cn 1n y1 , y2 , , ym 0
问题的导出
A B
1
4
C
1
7
拥有量
工 时 材 料 单件利润
1
1
3
9
2
3
3
max Z 2 x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
A
工 时 材 料 单件利润
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max z 2 x1 3 x2 4 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 x4 1 2 x1 x2 3 x3 x5 4 x 0( j 1, 2 , 3 , 4 , 5 ) j
§3.6 对偶单纯形法
基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。
§3.6 对偶单纯形法
• 利用对偶单纯形法求解以下线性规划问题：
Page 21
max z x1 3 x2 2 x1 x2 x3 3 4 3 x1 2 x2 s.t . 1 x1 2 x2 x1 , x2 , x3 0
cj zj c k zk min alj 0 j a alk lj
§3.6 对偶单纯形法
Page 12
按θ规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保持 得到的对偶问题解仍为可行解。 Step4 以αlk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得 到新的计算表。 重复步骤Step1-4。
x5
0 0 1 0
j
cj-zj
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
此时所有的 B-1b均≥0 ， 且所有的cjzj均≤0，此 时已得到最 优解为：
X*=(3/2,0,0, 1/2,1/2)T Z*=-3/2
j
0 -1 0
Page 7
对偶单纯形法原理
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它
是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的。
注意：对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，而不
是去求对偶问题的单纯形法。
§3.6 对偶单纯形法
Page 8
对偶单纯形法的思路： 以保持对偶问题可行为条件，即不论进行何种基
变换，必须保持所有的检验数非正，同时取消原问题必
§3.6 对偶单纯形法
Page 19
(3)当变量多于约束条件的LP问题用对偶单纯形法计算可以
减少计算工作量，因此对变量较少而约束条件很多的LP问题，
可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。 (4)单纯形法的最小比值是min bi aik 0 i aik 其目的是保证下一个原问题的基本解可行。
Page 15
解:（1）将模型化为下列形式，因为对偶问题可行，即全部 检验数≤0（求max问题）。
max Z 9 x1 12 x2 15 x3 10 2 x1 2 x2 x3 x4 2 x 3 x x x5 12 1 2 3 x6 14 x1 x2 5 x3 x1 , , x6 0
§3.6 对偶单纯形法
cj XB x4 x5 x6 -9 x1 -2 -2 -1 -9 -12 x2 -2 -3 -1 -12 -15 x3 -1 -1 -5 -15 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0
Page 16
CB 0 0 0
b -10 -12 -14
22
CB XB b x3 -3 0 0 x4 -4 0 x5 -1 cj-zj
0 -1 0
x1
x2
-1 -2 -2 -3 3/2 1/3 2/3 -4/3 -7/3 -1/2 ½ -3/2 -5/2
x3
1 0 0 0 1 0 0 0 -3/2 -1/2 -1/2 -1/2
x4
0 1 0 0 -2/3 -1/3 -1/3 -1/3 1/2 1 0 0 0
应注意的问题：
Page 18
(1)单纯形法换基顺序：先确定进基变量后确定出基变量； 对偶单纯形法换基顺序：先确定出基变量后确定进基变量。 (2) 初始解可以是非可行解，但初始表中一定要满足对 偶问题可行 ( 即检验数都为负数 ) ， 就可以进行基变换，不 需要加入人工变量，因此对偶单纯形法可以简化计算。
对偶 问题 最优 表
XB
y2 y3
j
b
1/4 1/2
对偶问题的变量 y1 -4/5 15/2 15/2 y2 1 0 0 y3 0 1 0
§3.6 对偶单纯形法
Page 5
由原问题和对偶问题的解之间关系：b列元素是原问题的 基可行解，而检验数行是对偶问题的基解。单纯形法迭代到 对偶问题的解也是可行解（检验数非正）时，则对偶理论知 原问题和对偶问题此时都达到最优解。 单纯形法的求解过程是：在保持原问题可行(b列数字保 持≥０）的前提下，通过逐步迭代实现对偶问题可行（检验 数行≤０）。
-9/7 23/7 15/7
Page 17
-9 x1
-9/14 9/14 1/14 -3/14
-12 x2 0 1 0 0 0 1
-15 x3 0 0 1 0 0 0
0 x4 1 0 -5/14 1/14
0 x6
-1/14 1/14 -3/14
60/3 10/1 20/1
须可行（常数列的非负限制）的要求，通过基变换使原 问题在非可行解的基础上逐步转换成基本可行解，一旦
原问题的基本解可行，则该基本可行解也就是最优解。
§3.6 对偶单纯形法
找出一个DP的可行基
Page 9
LP是否可行 （XB ≥0） 循 环 否
是
最优解
结束
保持DP为可行解情况下转移到LP 的另一个基本解
§3.6 对偶单纯形法
Page 10
单纯形法和对偶单纯形法的思路不同：
单纯形法
在保持原问题可行解的前提下，通过基变换使对偶问题在非可 行解的基础上向可行解的方向迭代。
对偶单纯形法
在保持对偶问题可行解的前提下，通过基变换使原问题在非可 行解基础上向可行解的方向迭代。 单纯形法 保持 最优准则 B-1b ≥0 cj-zj≤0 对偶单纯形法 c j- z j≤ 0 B-1b ≥0
§3.6 对偶单纯形法
例3.8 用对偶单纯形法求解： min w 2 x1 3 x2 4 x3
Page 13
x1 2 x2 x3 1 2 x1 x2 3 x3 4 x 0( j 1, 2 , 3 ) j
解:（1）将模型化为下列形式，因为对偶问题可行，即全部 检验数≤0（求max问题）。
解法
cj
-1 -3 0 0 0
max z x1 3 x2 0 x4 0 x5 2 x1 x2 x3 Page 3 3 x1 2 x2 x4 4 s.t. x1 2 x2 x5 1 0, ( j 1,2,3,4,5) x j
-45/14 -33/14
2 2
1 0
1 -1
1/9
0
-2/9
-7/3
-15
x3
2
0 0
0 0
1 0
1/9
-1/3
0 -3
原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），Z* =72
其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），W*= 72
§3.6 对偶单纯形法
b -1 -4
-2/-2 -4/-3
最优解：x1* = 2，x2* = 0，x3* = 0，x4* = 1，x5* = 0 目标值：w* = -z* = 4
§3.6 对偶单纯形法
例3.9 用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12x 2 15x 3 2 x1 2 x 2 x 3 10 2 x1 3 x 2 x 3 12 x1 x 2 5 x 3 14 x j 0( j 1.2.3)
§3.6 对偶单纯形法
3.6.2 对偶单纯形法的计算步骤
Page 11
Step1 列出初始单纯形表。 若b列的数都非负，检验数都非正，则已得最优解，停止 计算。若b列的数至少有一个负分量，检验数保持非正，则 转入下一步。 Step2 确定换出变量。按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0}＝(B-1b)l对应 的基变量xl为换出变量。 Step3 确定换入变量。检查xl所在行的系数。 若所有系数都非负，则无可行解，停止计算。 若存在某个系数小于零, 计算
cj XB x4 x5 x4 x1 -2 x1 -1 -2 -2 0 -2 1 2 0 1 0 -3 x2 -2 1 -3 -5/2 -1/2 -4 -4 x3 -1 -3 -4 1/2 3/2 -1 0 x4 1 0 0 1 0 0 0 x5 0 1 0 -1/2 -1/2 -1
Page 14
CB 0 0
cj-zj
x4 x1 x5
½ 3/2 1/2 -3/2
0 1 0 0
小结
学习要点：
Page 23
1.对偶单纯形法
The end,thank you!
Page 3
§3.6 对偶单纯形法
§3.6 对偶单纯形法
原问 题最 优表
Page 4
XB x3
b 15/2
原问题的变量
x1 0 x2 0
原问题的松弛变量
x3 1 x4 5/4 x5 -15/2
x1 x2
7/2 3/2
j
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1/4 -1/4
-1/2 3/2
－1/4 －1/2 对偶问题的剩余变量 y4 -1/4 1/2 7/2 y5 1/4 -3/2 3/2
-9/-1 -12/-1 -15/-5
0 0 -15
x4 x5 x3
-36/5 -9/5 -9/5 -46/5 -9/5 -14/5 14/5 1/5 1/5 -6 -9
§3.6 对偶单纯形法
基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。
§3.6 对偶单纯形法
• 利用对偶单纯形法求解以下线性规划问题：
Page 21
max z x1 3 x2 2 x1 x2 x3 3 4 3 x1 2 x2 s.t . 1 x1 2 x2 x1 , x2 , x3 0
cj zj c k zk min alj 0 j a alk lj
§3.6 对偶单纯形法
Page 12
按θ规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保持 得到的对偶问题解仍为可行解。 Step4 以αlk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得 到新的计算表。 重复步骤Step1-4。
x5
0 0 1 0
j
cj-zj
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
此时所有的 B-1b均≥0 ， 且所有的cjzj均≤0，此 时已得到最 优解为：
X*=(3/2,0,0, 1/2,1/2)T Z*=-3/2
j
0 -1 0
Page 7
对偶单纯形法原理
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它
是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的。
注意：对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，而不
是去求对偶问题的单纯形法。
§3.6 对偶单纯形法
Page 8
对偶单纯形法的思路： 以保持对偶问题可行为条件，即不论进行何种基
变换，必须保持所有的检验数非正，同时取消原问题必
§3.6 对偶单纯形法
Page 19
(3)当变量多于约束条件的LP问题用对偶单纯形法计算可以
减少计算工作量，因此对变量较少而约束条件很多的LP问题，
可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。 (4)单纯形法的最小比值是min bi aik 0 i aik 其目的是保证下一个原问题的基本解可行。
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解:（1）将模型化为下列形式，因为对偶问题可行，即全部 检验数≤0（求max问题）。
max Z 9 x1 12 x2 15 x3 10 2 x1 2 x2 x3 x4 2 x 3 x x x5 12 1 2 3 x6 14 x1 x2 5 x3 x1 , , x6 0
§3.6 对偶单纯形法
cj XB x4 x5 x6 -9 x1 -2 -2 -1 -9 -12 x2 -2 -3 -1 -12 -15 x3 -1 -1 -5 -15 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0
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CB 0 0 0
b -10 -12 -14
22
CB XB b x3 -3 0 0 x4 -4 0 x5 -1 cj-zj
0 -1 0
x1
x2
-1 -2 -2 -3 3/2 1/3 2/3 -4/3 -7/3 -1/2 ½ -3/2 -5/2
x3
1 0 0 0 1 0 0 0 -3/2 -1/2 -1/2 -1/2
x4
0 1 0 0 -2/3 -1/3 -1/3 -1/3 1/2 1 0 0 0
应注意的问题：
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(1)单纯形法换基顺序：先确定进基变量后确定出基变量； 对偶单纯形法换基顺序：先确定出基变量后确定进基变量。 (2) 初始解可以是非可行解，但初始表中一定要满足对 偶问题可行 ( 即检验数都为负数 ) ， 就可以进行基变换，不 需要加入人工变量，因此对偶单纯形法可以简化计算。
对偶 问题 最优 表
XB
y2 y3
j
b
1/4 1/2
对偶问题的变量 y1 -4/5 15/2 15/2 y2 1 0 0 y3 0 1 0
§3.6 对偶单纯形法
Page 5
由原问题和对偶问题的解之间关系：b列元素是原问题的 基可行解，而检验数行是对偶问题的基解。单纯形法迭代到 对偶问题的解也是可行解（检验数非正）时，则对偶理论知 原问题和对偶问题此时都达到最优解。 单纯形法的求解过程是：在保持原问题可行(b列数字保 持≥０）的前提下，通过逐步迭代实现对偶问题可行（检验 数行≤０）。
-9/7 23/7 15/7
Page 17
-9 x1
-9/14 9/14 1/14 -3/14
-12 x2 0 1 0 0 0 1
-15 x3 0 0 1 0 0 0
0 x4 1 0 -5/14 1/14
0 x6
-1/14 1/14 -3/14
60/3 10/1 20/1
须可行（常数列的非负限制）的要求，通过基变换使原 问题在非可行解的基础上逐步转换成基本可行解，一旦
原问题的基本解可行，则该基本可行解也就是最优解。
§3.6 对偶单纯形法
找出一个DP的可行基
Page 9
LP是否可行 （XB ≥0） 循 环 否
是
最优解
结束
保持DP为可行解情况下转移到LP 的另一个基本解
§3.6 对偶单纯形法
Page 10
单纯形法和对偶单纯形法的思路不同：
单纯形法
在保持原问题可行解的前提下，通过基变换使对偶问题在非可 行解的基础上向可行解的方向迭代。
对偶单纯形法
在保持对偶问题可行解的前提下，通过基变换使原问题在非可 行解基础上向可行解的方向迭代。 单纯形法 保持 最优准则 B-1b ≥0 cj-zj≤0 对偶单纯形法 c j- z j≤ 0 B-1b ≥0
§3.6 对偶单纯形法
例3.8 用对偶单纯形法求解： min w 2 x1 3 x2 4 x3
Page 13
x1 2 x2 x3 1 2 x1 x2 3 x3 4 x 0( j 1, 2 , 3 ) j
解:（1）将模型化为下列形式，因为对偶问题可行，即全部 检验数≤0（求max问题）。
解法
cj
-1 -3 0 0 0
max z x1 3 x2 0 x4 0 x5 2 x1 x2 x3 Page 3 3 x1 2 x2 x4 4 s.t. x1 2 x2 x5 1 0, ( j 1,2,3,4,5) x j
-45/14 -33/14
2 2
1 0
1 -1
1/9
0
-2/9
-7/3
-15
x3
2
0 0
0 0
1 0
1/9
-1/3
0 -3
原问题的最优解为：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），Z* =72
其对偶问题的最优解为：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），W*= 72
§3.6 对偶单纯形法
b -1 -4
-2/-2 -4/-3
最优解：x1* = 2，x2* = 0，x3* = 0，x4* = 1，x5* = 0 目标值：w* = -z* = 4
§3.6 对偶单纯形法
例3.9 用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12x 2 15x 3 2 x1 2 x 2 x 3 10 2 x1 3 x 2 x 3 12 x1 x 2 5 x 3 14 x j 0( j 1.2.3)
§3.6 对偶单纯形法
3.6.2 对偶单纯形法的计算步骤
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Step1 列出初始单纯形表。 若b列的数都非负，检验数都非正，则已得最优解，停止 计算。若b列的数至少有一个负分量，检验数保持非正，则 转入下一步。 Step2 确定换出变量。按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0}＝(B-1b)l对应 的基变量xl为换出变量。 Step3 确定换入变量。检查xl所在行的系数。 若所有系数都非负，则无可行解，停止计算。 若存在某个系数小于零, 计算
cj XB x4 x5 x4 x1 -2 x1 -1 -2 -2 0 -2 1 2 0 1 0 -3 x2 -2 1 -3 -5/2 -1/2 -4 -4 x3 -1 -3 -4 1/2 3/2 -1 0 x4 1 0 0 1 0 0 0 x5 0 1 0 -1/2 -1/2 -1
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CB 0 0
cj-zj
x4 x1 x5
½ 3/2 1/2 -3/2
0 1 0 0
小结
学习要点：
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1.对偶单纯形法
The end,thank you!
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§3.6 对偶单纯形法
§3.6 对偶单纯形法
原问 题最 优表
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XB x3
b 15/2
原问题的变量
x1 0 x2 0
原问题的松弛变量
x3 1 x4 5/4 x5 -15/2
x1 x2
7/2 3/2
j
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1/4 -1/4
-1/2 3/2
－1/4 －1/2 对偶问题的剩余变量 y4 -1/4 1/2 7/2 y5 1/4 -3/2 3/2
-9/-1 -12/-1 -15/-5
0 0 -15
x4 x5 x3
-36/5 -9/5 -9/5 -46/5 -9/5 -14/5 14/5 1/5 1/5 -6 -9