对偶原理、镜像原理(中文)
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对偶原理对偶原理
例2 i1 R1
+
us1
il1
–
R3 R2 il2
+
is1
rm i1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
网孔方程：
节点方程：
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 -(R2- rm) il1 +(R2+R3) il2 =0
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1 -(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
I=0 节点法 并联
网孔 节点
对偶状态 开路
Y 短路
对偶元件 对偶结论
R
G
L
C
开路电流为零，短路电压为零；
理想电压源不能短路，
理想电流源不能开路；
戴维南定理，诺顿定理；
三、求对偶电路的方法（打点法） 例3
i1 R1
+ us1
–
R3 R2
+
rm i1
is1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
4.6 对偶原理
一、网络对偶的概念 1. 平面网络；
2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；
3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素
称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。
例1
R1
R2
G1
+
us
il –
un
G2
is
网孔电流方程： (R1 + R2)il = us
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
第三章 对偶原理
第三章 对偶原理
第一节 线性规划的对偶关系
一,对偶问题的提出 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 桌子售价50 50元 椅子售价30 30元 桌子售价50元/个,椅子售价30元/个,生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种. 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种.现已 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 该厂每个月可用木工工时为120小时, 120小时 该厂每个月可用木工工时为120小时,油漆工工 时为50小时. 50小时 时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大? 的销售收入最大?
原 问 题
有最优解 无界解 无可行解
max z = 3x1 + 5 x2 + x3 =8 x1 2 x2 + x4 = 12 s.t. 3x1 + 4 x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
cj→
CB 2 5 3
3 b 4 6 4 x1 0 0 1 0
另一方面该企业家付出的租金也不能太低,否则 胜利家具厂的决策者觉得无利可图而不会将资源租给 他,还不如自己进行生产.因此该企业家付出的租金 应不低于利用两种资源进行生产得到的利润,也即:
4 y 1 + 2 y 2 ≥ 50 3 y 1 + y 2 ≥ 30 y ,y ≥ 0 1 2
这样就得到了另外一个LP模型(2)
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此
Z* = C B-1= Y* B b ) Z* ( Y*b) = yi* 或 b = bi i
第一节 线性规划的对偶关系
一,对偶问题的提出 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 桌子售价50 50元 椅子售价30 30元 桌子售价50元/个,椅子售价30元/个,生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种. 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种.现已 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 该厂每个月可用木工工时为120小时, 120小时 该厂每个月可用木工工时为120小时,油漆工工 时为50小时. 50小时 时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大? 的销售收入最大?
原 问 题
有最优解 无界解 无可行解
max z = 3x1 + 5 x2 + x3 =8 x1 2 x2 + x4 = 12 s.t. 3x1 + 4 x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
cj→
CB 2 5 3
3 b 4 6 4 x1 0 0 1 0
另一方面该企业家付出的租金也不能太低,否则 胜利家具厂的决策者觉得无利可图而不会将资源租给 他,还不如自己进行生产.因此该企业家付出的租金 应不低于利用两种资源进行生产得到的利润,也即:
4 y 1 + 2 y 2 ≥ 50 3 y 1 + y 2 ≥ 30 y ,y ≥ 0 1 2
这样就得到了另外一个LP模型(2)
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此
Z* = C B-1= Y* B b ) Z* ( Y*b) = yi* 或 b = bi i
电流元辐射、天线的方向性、对称天线辐射(中文)
r 的区域称为近区；r 的区域称为远区 近。区中的电磁场称为近区场，远区中的电磁场 称为远区场。
在电磁场中，物体的几何尺寸无关紧要， 重 要的是物体的波长尺寸，即以波长度量的尺寸 。
对于近区场。因 r ， kr ， 2则π 低r 次 1项 忽略 1k， r 且令 ，那么 e jkr 1
可以
远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由 于交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而 辐射部分的场强振幅与距离 r 成反比，因此，远区 中交换部分所占的比重很小，近区中辐射部分可以 忽略。
E
近区场
远区场
O
r
为了计算辐射功率 Pr ，可将远区中的复能 流密度矢量的实部沿半径为 r 的球面进行积分即,
E H
Z。
② 电场与磁场同相，复能流密度仅有实部，
能量不断向外辐射，所以远区场又称为辐射场。
H
j
I
l sin 2r
e jkr
E
j
ZI l sin 2r
e jkr
③ 远区场强振幅与距离 r 一次方成反比，这种衰 减不是介质的损耗引起的，而是球面波的自然扩散。
④ 远区场强振幅还与观察点所处的方位有关，这
H
k2I l sin j
4π kr
1 ejkr k2r2
H Hr 0
由E
j
A
A
j
，或者 H j
E
，
根据磁场强度算出电场强度为
Er
j
k 3I l cos 2π
j
k
2
r
2
1 k 3r 3
e jkr
E j
k3I l sin 4π
1 kr
j k2r2
对偶原理
证明：对于问题（P）的任意一个可行解X ，必有
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
对偶原理的基本内容
对偶原理的基本内容
对偶原理是数学和逻辑学中的一种基本原理，指出在某些情况下，一个问题的解和另一个相关问题的解之间存在着对应关系。
简单来说，对偶原理认为两个问题可以互相转化，一个问题的解可以通过转化得到另一个问题的解。
对偶原理的基本内容如下：
1. 表示性对偶：对于任意给定的命题，如果将其语句中的"是"与"不是"交换，将"或"与"与"交换，将"存在"与"全称"交换，则得到的命题与原命题具有相同的真值。
这表明这两个命题互为对偶，即具有相同的含义。
2. 集合论中的对偶：在集合论中，对偶原理指出，对于任意一个集合运算，如果将交换律、结合律和分配律中的交换符号与并符号交换，并且将空集与全集交换，则所得到的运算定义与原定义等价。
3. 线性规划中的对偶：线性规划中的对偶原理指出，给定一个原始线性规划问题，可以通过构建对偶问题，从原问题的角度找到一种更
好的解决方法。
对偶问题的解反映了原始问题的优化信息。
对偶原理在数学、逻辑学、计算机科学等领域中具有广泛的应用，在问题求解、证明推理、优化计算等方面发挥了重要作用。
它使我们能够从不同角度思考问题，发现问题的潜在联系和解决方式。
电流元辐射、天线的方向性、对称天线辐射(中文)
除了上述线极化特性外，其余四种特性是一切尺 寸有限的天线远区场的共性，即一切有限尺寸的天线 ，其远区场为 TEM 波，是一种辐射场，其场强振幅不 仅与距离成反比，同时也与方向有关。
天线的极化特性和天线的类型有关。
接收天线的极化特性必须与被接收的电磁波的 极化特性一致，称为极化匹配。
远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由 于交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而 辐射部分的场强振幅与距离 r 成反比，因此，远区 中交换部分所占的比重很小，近区中辐射部分可以 忽略。
内壁电流
1. 电流元辐射
一段载有均匀同相的时变电流的 导线称为电流元，而且 d << l ， l I l << ， l << r 。
d
均匀同相电流是指导线上各
点电流的振幅相等，且相位相同。
z
,
P(x, y,
r z)
Il O
y
x
电流元周围介质是无限 大的均匀线性且各向同性的理 想介质。
E k 2 E jJ H k2H J
近。区中的电磁场称为近区场，远区中的电磁场 称为远区场。
在电磁场中，物体的几何尺寸无关紧要，重 要的是物体的波长尺寸，即以波长度量的尺寸。
对于近区场。因 r 忽略 k1，r 且令 ，那么
，
e jkr
kr， 2则π 低r 次 1项
1
可以
H
I l sin 4πr 2
Er
j
I l cos 2π r3
第十章 电磁辐射及原理
主要内容 电流元辐射、天线方向性、线天线、 面天线、天线 阵、对偶原理、镜像原理、互易原理、惠更斯原理
1. 电流元辐射 2. 天线方向性 3. 对称天线辐射 4. 天线阵辐射 5. 电流环辐射
《管理运筹学》02-5对偶原理
THANKS
感谢观看
《管理运筹学》025对偶原理
目录
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论的应用 • 对偶理论的局限性 • 对偶理论的展望
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
对于原问题中的目标函数和约束条件，将它们进行适当 的变换，得到与原问题等价的新问题。
对偶问题的特点
对偶问题的目标函数和约束条件与原问题相反，但最优 解相同。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、对偶法等求解方法 求解。
原问题与对偶问题
原问题是给定的线性规划问题，对偶问题是通过 引入新的变量和约束条件，将原问题的约束条件 转化为等价的不等式约束条件，同时目标函数也 相应地转化为对偶问题的目标函数。
对偶问题与原问题之间的关系是：当原问题的最 优解存在时，对偶问题的最优解也一定存在，并 且它们的目标函数值相等。
对偶定理
01
对偶定理是线性规划中的一个基本定理，它表明原问题和对偶问题的最优解是 等价的。
02
对偶定理的证明基于互补松弛定理和最优解的性质。
03
对偶定理的应用包括在求解线性规划问题时，通过求解对偶问题来获得原问题 的最优解，以及在确定原问题和对偶问题的解是否为最优解时，使用对偶定理 进行验证。
03
生产、管理、运输等领域的问题。
实际问题验证
02
通过对偶理论的应用，可以验证实际问题的解决方案是否可行，
并优化解决方案。
实际应用拓展
03
通过对偶理论的深入研究，可以拓展其在实际问题中的应用范
围，提高解决问题的效率和质量。
05
对偶理论的展望
对偶理论的未来发展方向
深化理论体系
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的麦克斯韦方程修改为
�
� l E � dl Im
jB � dS
S
S
前B述�边dS界条m件也必须加以修正 , 但仅涉及电场
强度的切向分量和磁场强度的法向分量， 即
en E2 E1 J mS
en B2 B1 mS
式中JmS (r) 为表面磁流密度；mS(r) 为表面磁荷密度 ；en
由媒质①指2向1,, 媒21 et质e②n E，2Jtm如S E下1t 图BB所12nn 示。
解 对于无限大的理想导电平面，垂直电流元
的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为 2l 的电流元产生的辐射场，即
E
j
Z0 I lsin r
e jkr
可见，场强振幅提高一倍。
接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率 时仅需沿上半球面进行积分， 即
Pr
2π
d
π
2 Sr 2 sin
d
160π2 I 2
设时变电流元 Il 位于无限大的理想导电平 面附近，且垂直于该平面，如下图所示。
Il
,
Il
, ,
I'l'
引入的镜像源必须保持原有的边界条件。
正弦时变电流与时变电荷的关系为 I 。j时q 变电
流元的电荷积累在电流元的两端，上端电荷
端电q 荷I ，如下左图q 所 示I。
j
j
，下
镜像电流元为 I l ，且令I I ，l l
电磁场方程如下：
He J j Ee Ee j He
Be 0
De
H m j Em
Em J m j H m Bm m
Dm 0
He Jm Em Jm j H m Bm m
Dm 0
理想导电平面附近磁流元的镜像关系恰好与 电 流元情况完全相反，如下图所示。
？
？
电
磁
镜像法的求流元解可归结流元为二元天线阵的求解。
对于实际地面，也可应用镜像原理。但是，由
于地面为非理想导电体，严格分析表明，只有当 天线的架空高度以及观察点离开地面的高度远大 于波长时，且仅对于远区场的计算才可应用。
为
H
j
I l sin 2r
e jkr
E
ZI l sin j 2r
e jkr
那么， z 方向磁流元 Ilm 产生的远区场应为
Em
j
Im l sin e jkr 2r
H m
j
Im l sin 2rZ
e jkr
z 电流元
,
r Il
x
H E
z 磁流元
,
r
y
Im l
x
z 电流环
,
E H
y
r
IS
x
E
H y
引入磁荷 m 及磁流 Im 后，两个积分形式
场具有 TEM 波性质，反射系数 R 可以近似看成是
平面波在平面边界上的反射系数。 实际地面对天
线的影响归结为一个非均匀二元天线阵。
例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为 l 、电流为 I 的电流元的辐射场强、辐射功率及辐射 电阻。地面当作无限大的理想导电平面。
Il
E
Il
E
Il
A Il e jkr0
4 π r0
Φ
q
4πr
e jkr
Φ
q
4πr
e jkr
类似可以求得镜像电流元 Il产生的电场为
E E0 E E jA Φ Φ
式中
A
I l
4 πr0
e jkr0
,
Φ
q
4π r
e jkr ,
q
4π r
e jkr
q Il
r0 r
对于边界平面上任一点
-q
r E
E0 E0 E
上半空间任一点场强可以认为是直接波 E1 与
来自地面反射波 E2 之合成，且认为 E1 与 E2 的 方
向一致。因此，合成场为直接波与反射波的标量和
，即 直接波
E1
r1
E E1 E2
反射波
E2
地
e jkr1
e jkr2
E0 r1 RE0 r2
r2
面
式中， R 为地面反射系数。
由于地面处于天线的远区范围，天线的远区
比较上述两组方程，获得以下对应关系：
He Em Ee H m
这个对应关系称为对偶原理。
J J m
m
若已求出电荷及电流产生的电磁场，只要将其
式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，
获得的表示式即是具有相同分布特性的磁荷与磁
流产生的电磁场。
已知 z 方向电流元 Il 的远区场公式
q Il
。
-q
E
q Il
r0 r
-q
r E
E0 E0 E
q'
I-'ql''
r
r0 r
E E+
这些电荷及电流分别在边界上产生的电场强度，
如上右图所示。
由于引入镜像源以后，整个空间变为均匀无
限大的空间，因此可以通过矢量位 A 及标量位
计算场强。
电流元 Il 产生的电场强度为
式中 E E 0 E E j A Φ Φ
l
2
0
0
对应的辐射电阻为
Rr
160π 2
l 2
可见，辐射电阻也提高一倍。
中波广播电台使用的悬挂式垂直导线或自立式铁 塔，可以看成是一种垂直接地天线。
6. 对偶原理 电荷与电流是产生电磁场的惟一源。自然界中 至今尚未发现任何磁荷与磁流存在。但是对于某些 电磁场问题，引入假想的磁荷与磁流是有益的。
引入磁荷与磁流后，麦克斯韦方程修改为
H r J r jDr EErrJm jrBjrBr BBrr0m r Dr r
式中， J m(r) 为磁流密度； m(r) 为磁荷密度。
磁荷守恒定律为 Jm r jm r
现将电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷
及电流产生的电场 Ee (及r) 磁场 H；e (r另) 一部分是由磁
荷及磁流产生的电场 及E磁m场(r) ， Hm (r) 即
E(r) Ee (r) Em (r) H (r) He (r) H m (r)
由于麦克斯韦方程是线性的，它们分别满足的
r0 r0 r r r r
r
q' I'l'
r0 r
E E+
已设I ，I故 q。 q
又 l， 水l 平分量相互抵消，合成电
-q'
场 的(E方向E垂) 直于边界平面，满足
原有的边界条件。
由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同 ，这种镜像电流元称为正像。
类似可以证明位于无限大理想导电平面附近的水 平电流元的镜像电流元为负像。
已知磁导率的理想导磁体，其内部不可
能存在任何电磁场，但其表面可以存在假想的表面 磁荷与磁流。
那么，理想导磁体的边界条件为
en H 0 en E JmS
en B mS
en D 0
H E
理想导磁体
E
H
理想导电体
7. 镜像原理 静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电 磁场的边值问题，但也仅能用于某些特殊的波 源和边界。
�
� l E � dl Im
jB � dS
S
S
前B述�边dS界条m件也必须加以修正 , 但仅涉及电场
强度的切向分量和磁场强度的法向分量， 即
en E2 E1 J mS
en B2 B1 mS
式中JmS (r) 为表面磁流密度；mS(r) 为表面磁荷密度 ；en
由媒质①指2向1,, 媒21 et质e②n E，2Jtm如S E下1t 图BB所12nn 示。
解 对于无限大的理想导电平面，垂直电流元
的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为 2l 的电流元产生的辐射场，即
E
j
Z0 I lsin r
e jkr
可见，场强振幅提高一倍。
接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率 时仅需沿上半球面进行积分， 即
Pr
2π
d
π
2 Sr 2 sin
d
160π2 I 2
设时变电流元 Il 位于无限大的理想导电平 面附近，且垂直于该平面，如下图所示。
Il
,
Il
, ,
I'l'
引入的镜像源必须保持原有的边界条件。
正弦时变电流与时变电荷的关系为 I 。j时q 变电
流元的电荷积累在电流元的两端，上端电荷
端电q 荷I ，如下左图q 所 示I。
j
j
，下
镜像电流元为 I l ，且令I I ，l l
电磁场方程如下：
He J j Ee Ee j He
Be 0
De
H m j Em
Em J m j H m Bm m
Dm 0
He Jm Em Jm j H m Bm m
Dm 0
理想导电平面附近磁流元的镜像关系恰好与 电 流元情况完全相反，如下图所示。
？
？
电
磁
镜像法的求流元解可归结流元为二元天线阵的求解。
对于实际地面，也可应用镜像原理。但是，由
于地面为非理想导电体，严格分析表明，只有当 天线的架空高度以及观察点离开地面的高度远大 于波长时，且仅对于远区场的计算才可应用。
为
H
j
I l sin 2r
e jkr
E
ZI l sin j 2r
e jkr
那么， z 方向磁流元 Ilm 产生的远区场应为
Em
j
Im l sin e jkr 2r
H m
j
Im l sin 2rZ
e jkr
z 电流元
,
r Il
x
H E
z 磁流元
,
r
y
Im l
x
z 电流环
,
E H
y
r
IS
x
E
H y
引入磁荷 m 及磁流 Im 后，两个积分形式
场具有 TEM 波性质，反射系数 R 可以近似看成是
平面波在平面边界上的反射系数。 实际地面对天
线的影响归结为一个非均匀二元天线阵。
例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为 l 、电流为 I 的电流元的辐射场强、辐射功率及辐射 电阻。地面当作无限大的理想导电平面。
Il
E
Il
E
Il
A Il e jkr0
4 π r0
Φ
q
4πr
e jkr
Φ
q
4πr
e jkr
类似可以求得镜像电流元 Il产生的电场为
E E0 E E jA Φ Φ
式中
A
I l
4 πr0
e jkr0
,
Φ
q
4π r
e jkr ,
q
4π r
e jkr
q Il
r0 r
对于边界平面上任一点
-q
r E
E0 E0 E
上半空间任一点场强可以认为是直接波 E1 与
来自地面反射波 E2 之合成，且认为 E1 与 E2 的 方
向一致。因此，合成场为直接波与反射波的标量和
，即 直接波
E1
r1
E E1 E2
反射波
E2
地
e jkr1
e jkr2
E0 r1 RE0 r2
r2
面
式中， R 为地面反射系数。
由于地面处于天线的远区范围，天线的远区
比较上述两组方程，获得以下对应关系：
He Em Ee H m
这个对应关系称为对偶原理。
J J m
m
若已求出电荷及电流产生的电磁场，只要将其
式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，
获得的表示式即是具有相同分布特性的磁荷与磁
流产生的电磁场。
已知 z 方向电流元 Il 的远区场公式
q Il
。
-q
E
q Il
r0 r
-q
r E
E0 E0 E
q'
I-'ql''
r
r0 r
E E+
这些电荷及电流分别在边界上产生的电场强度，
如上右图所示。
由于引入镜像源以后，整个空间变为均匀无
限大的空间，因此可以通过矢量位 A 及标量位
计算场强。
电流元 Il 产生的电场强度为
式中 E E 0 E E j A Φ Φ
l
2
0
0
对应的辐射电阻为
Rr
160π 2
l 2
可见，辐射电阻也提高一倍。
中波广播电台使用的悬挂式垂直导线或自立式铁 塔，可以看成是一种垂直接地天线。
6. 对偶原理 电荷与电流是产生电磁场的惟一源。自然界中 至今尚未发现任何磁荷与磁流存在。但是对于某些 电磁场问题，引入假想的磁荷与磁流是有益的。
引入磁荷与磁流后，麦克斯韦方程修改为
H r J r jDr EErrJm jrBjrBr BBrr0m r Dr r
式中， J m(r) 为磁流密度； m(r) 为磁荷密度。
磁荷守恒定律为 Jm r jm r
现将电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷
及电流产生的电场 Ee (及r) 磁场 H；e (r另) 一部分是由磁
荷及磁流产生的电场 及E磁m场(r) ， Hm (r) 即
E(r) Ee (r) Em (r) H (r) He (r) H m (r)
由于麦克斯韦方程是线性的，它们分别满足的
r0 r0 r r r r
r
q' I'l'
r0 r
E E+
已设I ，I故 q。 q
又 l， 水l 平分量相互抵消，合成电
-q'
场 的(E方向E垂) 直于边界平面，满足
原有的边界条件。
由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同 ，这种镜像电流元称为正像。
类似可以证明位于无限大理想导电平面附近的水 平电流元的镜像电流元为负像。
已知磁导率的理想导磁体，其内部不可
能存在任何电磁场，但其表面可以存在假想的表面 磁荷与磁流。
那么，理想导磁体的边界条件为
en H 0 en E JmS
en B mS
en D 0
H E
理想导磁体
E
H
理想导电体
7. 镜像原理 静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电 磁场的边值问题，但也仅能用于某些特殊的波 源和边界。