运筹学PPT对偶理论( Duality Theory )
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运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
对偶理论PPT课件
x3
0
0
0
1
1/3
x2＋(1/2)x4 ＝6
x2
0
0
1
0
1/2
3x12－0对16(1/3/应/32)3x对4＋偶(1/3问)x5 题＝2的一x个1 基本0.运解筹学y》1Ⅰ＝1 史慧0萍,y2＝0 5/2,y03＝0 -1/3
右边
x5
1
36
-1/3 2
0
6
1/3
2
最终表 20
对偶变量的经济意义和影子价格
第二章 对偶理论
2.1对偶问题 2.2灵敏度分析 2.3对偶单纯形法
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
1
2.1对偶理论
一、对偶问题的提出 二、原问题和对偶问题的变换规则 三、对偶问题的性质
2016/3/23
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
2
一、对偶问题的提出
解：Ⅱ设的x数1为量每。周线生性产规产划品模Ⅰ型的为数量；x2为每周生产产品
3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问 题)无可行解(逆命题不成立)。
4) 可行解是最优解的性质（最优性） 设X是原问题的可行解， Y是对偶问题的可行解。当CTX＝bTY时，则X、Y皆为最优 解。
2016/3/23
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
12
5)强对偶性 （对偶定理） 原规划有最优解，则对偶规划 也有最优解，且它们的最优解的最优值相同。 可以证明，(P)和(D)的解一般说来共有下述三种情况：
x1
0
1
0
对偶问题是寻找最优价格使总成本最低从数学模型的形式上看它们也是关联的其一般形式是原问题p对偶问题dmax2016323原问题与对偶问题的标准形式比较2016323原问题与对偶问题的标准形式的比较原关系min2016323二线性规划的原问题和对偶问题的变换规则原问题或对偶问题对偶问题或原问题目标函数max无约束约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
运筹学--线性规划的对偶理论
对偶单纯形法求解思路
对偶单纯形法
20
对偶单纯形法
21
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是所有线性规划问题的通用 解法，它只能从检验数已经符合最优化条件的 基本解开始求解。
22
对偶单纯形法
1- 约束条件为“≥”
初始解可以是非可行解。当检验数都为负数时，就 可以进行基变换，不需要加入人工变量。
2- 变量多于约束条件
对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单 纯形法计算可以减少计算工作量。 变量少，约束条件很多的线性规划问题，可以将其 变换为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
23
对偶单纯形法示例1
24
对偶单纯形法示例1
25
对偶单纯形法示例1
26
灵敏度分析
线性规划问题的最优解，是在设定问题模型中 的������������������、������������、������������都为已知常数的前提下求解得到 的。 对于许多实际问题，这些系数都是采用经验法 或统计、预测方法得到的估计值。
这里需注意区分xi是最优表中的基变量还是非 基变量：
如果xi为非基变量，如产品C的原材料消耗系数pi发 生变化时，判断和求解的方法与前一种情况相同， 即检查xi的检验数是否满足最优条件；
59
灵敏度分析示例1
如果xi是基变量（例如产品A或产品B的资源消耗系 数p1或p2发生变化），那么p������的变化将引起基矩阵B 的变化。B的变化将影响单纯形法迭代过程中几乎 所有的计算项目，问题只能重新迭代。
32
灵敏度分析示例1
33
4运筹学第二章线性规划的对偶理论-PPT精选文档44页
证：设原问题为： max z=CX；AX≤b；X≥0 则 对偶问题为：min ω=Yb；YA≥C；Y ≥0
因X(0)是原问题的可行解，所以AX(0)≤b
又因Y(0)是对偶问题的可行解，所以Y(0)A≥C
Y (0) A X(0) ≤ Y (0) b
Y (0) A X(0) ≥ CX (0)
因此， CX(0) ≤Y(0) A X(0) ≤ Y(0) b 结论成立。
20
军事运筹学
6﹒互补松弛性：若X(0)是原问题的可行解， Y(0)是对偶 问题的可行解，则YξX(0)=0和Y(0)Xξ=0 当且仅当X(0)， Y(0)是最优解。
证： 设原问题和对偶问题的标准型是
max z=CX AX+xξ=b X≥0，Xξ ≥0
min ω =Yb YA－Yξ=C Y≥0，Yξ ≥0
6
军事运筹学
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
X≥0
Y≥0
我们把（5.2）式的问题称为（5.1）式问题的对偶线 性规划问题。
7
军事运筹学
运筹学之对偶理论
1.如果原问题是对目标函数CX求最大(小)值, 2.对偶问题就是对目标函数Yb求最小(大)值. 二,
对偶问题的一般规则
1.将原问题的不等式约束统一成 ≤ 的形式,对目标函数求最大值; 2.将原问题的不等式约束统一成 ≥ 的形式,对目标函数求最小值; 三, .原问题的每一个行约束(指除非负性条件外的线性等式或不等式约束) 对应对偶问题的一个变量. 1.若该行约束是不等式,则限制Yi ≥ 0 2.若该行约束是等式,则Yi 无符号限制. 四,原问题的每一个变量x j的相应的系数向量Pj = (a1 j , a 2 j , a mj )对应对偶问题 的一个行约束. 1.如果 原问题不等式 约束统一成 ≤ 的形式,且 该x j 有非负限制,则对应行约束为∑ aij y i ≥ c j ;
),对偶问题的形式 (一),对偶问题的形式 对称型对偶问题: 1,对称型对偶问题:已知 P,写出 D. , .
矩阵形式: 矩阵形式: P maxZ = CX AX ≤ b X≥0
D min W = Yb YA ≥ C Y≥0
例一, 例一,写出线性规划问题的对偶问题 max Z = 2 x 1 3 x 2 + 4 x 3
项目 A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题 约束的系数矩阵
对偶问题 约束的系数矩阵的 转置
约束条件的右端项向量 目标函数的价值系 数系数向量 目标函数的价值系数系 约束条件的右端项 数向量 向量
max z = CX
AX ≤ b
minω = Y ′b A′ Y ≥ C ′
X ≥0
Y ≥0
二,线性规划的对偶理论
模型对比: 模型对比:
max Z = 10 x
1
+ 18 x
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令x2=-x2’ x3=x3’-x3’’ max z=c1x1-c2x2’ +c3x3’ -c3x3’’
s.t. a11x1-a12x2’ +a13x3’- a13x3’’ ≤b1 a21x1-a22x2’ +a23x3’ – a23x3’’ ≤b2 -a21x1+a22x2’ -a23x3’ + a23x3’’ ≤-b2 -a31x1+a32x2’ -a33x3’ + a33x3’’ ≤-b3 x1 x2’ x3’ x3’’ ≥0
原问题与对偶问题对比表
甲（x1） 乙（x2）
A（y1） 2 2
12
B（y2） 1 2
8
C（y3） 4 0
16
D（y4） 0 4
12
2 3 minω max z
线性规划的对偶模型
Page 7
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
Y ≥0
对偶性质
Page 17
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0和Y 0 分别是问题(P)和
(D)的可行解，则必有
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。
性质5 互补松弛性：Xˆ 、Yˆ 为原问题、对偶问题最优解，若
对应某行约束条件的对偶变量≠0，则该约束条件取严格等式； 若约束条件取严格不等式，则对应的对偶变量＝0。
对偶性质
性质5的应用：
Page 20
利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组， 方程组的解即为最优解。
对偶性质
Page 21
管理工程系核心课程
运筹学
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Chapter2 对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 参数线性规划
线性规划的对偶模型
Page 3
1. 对偶问题的现实来源
价才是最佳决策？
线性规划的对偶模型
Page 5
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： （1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型 产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收 费，以便争取更多用户。 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线 性规划数学模型为：
y1 2 y2 3
2 y1 2 y1 y2
y2
1
4
y1 , y2 0
标准化
min w 10 y1 16 y2
y1 2 y2 y3 3
2y1y1y22
y2
y5
y4 1
4
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
2 y1 3 y2 y3 2
3 y1 y2 4 y3 3
5 y1
7 y2
6 y3
4
y1 , y2 , y3 0
Page 10
原问题－对偶问题关系
Page 11
例： max z=c1x1+c2x2+c3x3 s.t. a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3＝b2 a31x1+a32x2+a33x3≥b3 x1≥0，x2≤0，x3无约束
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
Hale Waihona Puke 0线性规划的对偶模型
Page 6
把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发 现一个有趣的现象。
线性规划的对偶模型
Page 4
解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器
用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 4 x2
7x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
Page 9
线性规划的对偶模型
对偶问题： minW 2 y1 3 y2 5 y3
Y0
已知P，写出D
线性规划的对偶模型
例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2x1 3 x2 4 x3 2 x1 3x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x1 , x2 , x3 0
x1
0,
x2
0,
x
无
3
约
束
的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。
解: 对偶问题是
max w 4 y1 6 y2
y1 y2 2
y1 y1
y2 1 y2＝2
y1无约，y2 0
标准化
max w 4 y1 6 y2
y1 y2 y3 2
令y2=y2’-y2’’ y3=-y3’
min ω＝b1y1+b2y2+b3y3 s.t. a11y1+a21y2+a31y3 ≥c1
a-a1122yy11+-aa222y22y-2a+32ay32≥y-3c2≤c2
a13y1+a23y2+ a33y3 ≥ c3
a-a1133yy11+-aa232y32y-2a+33ya33≥3y-3c3= c3
对偶问题 min ω＝b1y1+b2y2’-b2y2’’-b3y3’
s.t. a11y1+a21y2’–a21y2’’- a31y3’ ≥c1 -a12y1-a22y2’+a22y2’’+ a32y3 ’≥-c2 a13y1+a23y2’–a23y2’’- a33y3’ ≥ c3 -a13y1-a23y2’+a23y2’’+a33y3 ’≥ -c3 yj≥0，j＝1…3
Page 12
max z=c1x1-c2x2’ +c3x3’ -c3x3’’ s.t. a11x1-a12x2’ +a13x3’- a13x3’’ ≤b1
a21x1-a22x2’ +a23x3’ – a23x3’’ ≤b2 -a21x1+a22x2’ -a23x3’ + a23x3’’ ≤-b2 -a31x1+a32x2’ -a33x3’ + a33x3’’ ≤-b3 x1 x2’ x3’ x3’’ ≥0
对偶性质
Page 22
设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知， X＊和 Y＊满足：
Ys X 0 YXs 0
即： ( y3 , y4 , y5 )( x1 , x2 , x3 )T 0 ( y1 , y2 )(x4 , x5 )T 0
因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛 变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 偶问题的无界性。
对偶性质
Page 18
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如 P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数 值无界。
性质3 最优性定理：如果X 0是原问题的可行解，Y 0是其对偶
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
原问题
（对偶问题）
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
2y1y122y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
对偶性质
Page 23
例2.5 已知线性规划
min z 2 x1 x2 2 x3
x1 x1
x2 x2
x3＝4 x3 6
s.t. a11x1-a12x2’ +a13x3’- a13x3’’ ≤b1 a21x1-a22x2’ +a23x3’ – a23x3’’ ≤b2 -a21x1+a22x2’ -a23x3’ + a23x3’’ ≤-b2 -a31x1+a32x2’ -a33x3’ + a33x3’’ ≤-b3 x1 x2’ x3’ x3’’ ≥0
原问题与对偶问题对比表
甲（x1） 乙（x2）
A（y1） 2 2
12
B（y2） 1 2
8
C（y3） 4 0
16
D（y4） 0 4
12
2 3 minω max z
线性规划的对偶模型
Page 7
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
Y ≥0
对偶性质
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性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0和Y 0 分别是问题(P)和
(D)的可行解，则必有
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。
性质5 互补松弛性：Xˆ 、Yˆ 为原问题、对偶问题最优解，若
对应某行约束条件的对偶变量≠0，则该约束条件取严格等式； 若约束条件取严格不等式，则对应的对偶变量＝0。
对偶性质
性质5的应用：
Page 20
利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组， 方程组的解即为最优解。
对偶性质
Page 21
管理工程系核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter2 对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 参数线性规划
线性规划的对偶模型
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1. 对偶问题的现实来源
价才是最佳决策？
线性规划的对偶模型
Page 5
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条： （1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型 产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。 （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收 费，以便争取更多用户。 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线 性规划数学模型为：
y1 2 y2 3
2 y1 2 y1 y2
y2
1
4
y1 , y2 0
标准化
min w 10 y1 16 y2
y1 2 y2 y3 3
2y1y1y22
y2
y5
y4 1
4
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
2 y1 3 y2 y3 2
3 y1 y2 4 y3 3
5 y1
7 y2
6 y3
4
y1 , y2 , y3 0
Page 10
原问题－对偶问题关系
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例： max z=c1x1+c2x2+c3x3 s.t. a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3＝b2 a31x1+a32x2+a33x3≥b3 x1≥0，x2≤0，x3无约束
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
Hale Waihona Puke 0线性规划的对偶模型
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把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发 现一个有趣的现象。
线性规划的对偶模型
Page 4
解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器
用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 4 x2
7x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
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线性规划的对偶模型
对偶问题： minW 2 y1 3 y2 5 y3
Y0
已知P，写出D
线性规划的对偶模型
例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2x1 3 x2 4 x3 2 x1 3x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x1 , x2 , x3 0
x1
0,
x2
0,
x
无
3
约
束
的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。
解: 对偶问题是
max w 4 y1 6 y2
y1 y2 2
y1 y1
y2 1 y2＝2
y1无约，y2 0
标准化
max w 4 y1 6 y2
y1 y2 y3 2
令y2=y2’-y2’’ y3=-y3’
min ω＝b1y1+b2y2+b3y3 s.t. a11y1+a21y2+a31y3 ≥c1
a-a1122yy11+-aa222y22y-2a+32ay32≥y-3c2≤c2
a13y1+a23y2+ a33y3 ≥ c3
a-a1133yy11+-aa232y32y-2a+33ya33≥3y-3c3= c3
对偶问题 min ω＝b1y1+b2y2’-b2y2’’-b3y3’
s.t. a11y1+a21y2’–a21y2’’- a31y3’ ≥c1 -a12y1-a22y2’+a22y2’’+ a32y3 ’≥-c2 a13y1+a23y2’–a23y2’’- a33y3’ ≥ c3 -a13y1-a23y2’+a23y2’’+a33y3 ’≥ -c3 yj≥0，j＝1…3
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max z=c1x1-c2x2’ +c3x3’ -c3x3’’ s.t. a11x1-a12x2’ +a13x3’- a13x3’’ ≤b1
a21x1-a22x2’ +a23x3’ – a23x3’’ ≤b2 -a21x1+a22x2’ -a23x3’ + a23x3’’ ≤-b2 -a31x1+a32x2’ -a33x3’ + a33x3’’ ≤-b3 x1 x2’ x3’ x3’’ ≥0
对偶性质
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设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知， X＊和 Y＊满足：
Ys X 0 YXs 0
即： ( y3 , y4 , y5 )( x1 , x2 , x3 )T 0 ( y1 , y2 )(x4 , x5 )T 0
因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛 变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 偶问题的无界性。
对偶性质
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推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如 P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数 值无界。
性质3 最优性定理：如果X 0是原问题的可行解，Y 0是其对偶
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
原问题
（对偶问题）
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
2y1y122y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
对偶性质
Page 23
例2.5 已知线性规划
min z 2 x1 x2 2 x3
x1 x1
x2 x2
x3＝4 x3 6