运筹学 对偶原理
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
（3）复杂模型的对偶：可分步骤求对偶；或 依据表2.2求对偶
max Z 2x1 3x2 5x3 x4
( y3 , y4 , y5 )(x1 , x2 , x3 )T 0
( y1 , y2 )(x4 , x5 )T 0 将Y*带入由方程可知，y3＝y5＝0，y4＝1。
∵y2=-2≠0 ∴x5＝0
又∵y4=1≠0 ∴x2＝0
将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：
x1 x1
x3 x3
4 6
解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为
推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若原问题可行但目标函 数无界，则对偶问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的 无界性。
对偶性质
性质3 最优性定理：如果 X 0是原问题的可行 解，Y 0是其对偶问题的可行解，则
CX 0 Y 0b
充分不要条件是，X 0 与 Y 0是原问题和对偶
的最优解。
数列于下表 ：
设备 产品
产品数据表
ABC
产品利润
D
（元／件）
甲
2140 2
乙
2204 3
设备可利用机 时数（时）
12
8
16 12
线性规划的对偶模型
•解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为： max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容： 线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
• 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设
备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机
时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时
3 4
y1, y2 , y3 0
• 例 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
y1, y2 , y3 , y4 0
对偶问题
（原问题）
• (1)对称形式
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负;
目标函数求极小值时，所有约束条件为≥
号，变量非负.
LP : maxZ CX DP : min W Y T b
AXX0b已知P，写出D
A T Y CT
Y0
(2) 一般非对称型对偶问题
y2 1
4
y1 , y2 0
标准化
min w 10 y1 16 y2
y1 2 y2 y3 3
2 y1 2 y1 y2
y2 y5
y4 1
4
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
• 设对偶问题最优解为Y*＝(y1，y2),由互补松 弛性定理可知，X*和 Y*满足：
•（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利 润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。 由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
•（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原 则下，尽量降低机时总收费，以便争取 更多用户。
• 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、 y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
x1 , x2 0
反过来问：若另有企业看好该厂的发展前景，
决定收购该厂，那么４种机器的机时如何定
价才是最佳决策？
线性规划原问题模型
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
线性规划的对偶模型
•在市场竞争的时代，厂长的最佳决策 应符合两条：
• 1. 影子价格的数学分析：
maxZ CX
minW Yb
AX b
P
X
0
YA C D Y 0
由对偶问题得基本性质可得：
n
m
z c j x j bi yi
j1
i1
对偶问题的经济解释－影子价格
•2. 影子价格的经济意义
•1）影子价格是一种边际价格
• 在其它条件不变的情况下，单位资源数量 的变化所引起的目标函数最优值的变化。即
Y＊=(1,1)，最优值w=26。
• 例2.5 已知线性规划
min z 2x1 x2 2x3
x1 x1
x2 x2
x3＝4 x3 6
x1
0,
x2
0,
x
无
3
约束
的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。
解: 对偶问题是
max w 4 y1 6 y2
y1 y2 2
若给出的线性规划不是对称形式，可 以先化成对称形式再写对偶问题。
• 例 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 7x3 4x2 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
Y≥0
对偶性质
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0 分别是问题(LP)和(DP)的可行解，则必有
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i 1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。
结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
• 3）影子价格在资源利用中的应用
• 根据对偶理论的互补松弛性定理:
• Y*Xs=0 , YsX*=0 • 表明生产过程中如果某种资源bi未得到充
maxZ 2x1 3x2 4x3
2x 3x2 5x3 2
3
x1
x2
7x3
3
x1 4x2 6x3
5
x1 , x2 , x3 0
目标函数变为求极小值，得到对偶模型
minW 2 y1 3y2 5y3
2 y1 3y2 y3 2
5y31y1
7
y2 y2
4y3 6y3
X＊=(-5,0,-1)，最优值z=-12
• 原问题与对偶问题解的对应关系小结
对应关系
对偶 问题
最优 解
无界 解
无可 行解
原问题 最优 无界
解解
(Y,Y) ——
(N,N)
无可 行解
——
—— —— (Y,Y)
——
(Y,Y)
无法 判断
对偶问题的经济解释－影子价格
定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常 数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标 函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等 于D问题中对偶变量yi*。
• 性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者 都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题 和 D问题 的可行 解，则它们分别是最优解的充要条件是：
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
对偶问题模型
min 12y1 8y2 16y3 12y4
22yy11
y2 4y3 0y4 2y2 0y3 4y4
2 3
y1, y2 , y3 , y4 0
2 y1 7 y2
y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 max
目标函数 min
约
m个
束
≤
条 件
≥
=
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
≥
束
≤
条 件
=
对偶性质
例 分别求解下列互为对偶关系的线性规划问题
• 例2.4 已知线性规划
max z 3x1 4 x2 x3
2xx1 122xx2
x3 2x
10 3 16
x
j
0,
j
1,2,3
的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。
解：写出原问题的对偶问题，即
min w 10 y1 16 y2
y1 2 y2 3
合集下载
第二章 运筹学对偶理论
22
3．最优性。 若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0 b 则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则 CX0 CX* Y* b Y0 b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
20
（1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函 数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。 （2）如原问题有可行解且目标函数值无界（具有无界解）， 则其对偶问题无可行解，反之对偶问题有可行解且目标函 数值无界，则其原问题无可行解。 证：有性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可能存在 Y0，使得 C X0 Y0 b 。 本性质的逆不成立。当对偶问题无可行解时，其原问题或 具有无界解或无可行解，反之亦然。
min =15y1+24y2+5y3 0y1+ 6y2+ y3≥ 2 S.t. 5y1+ 2y2+ y3≥ 1 y1，y2，y3≥0
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/4，y3=1/2，W* =8.5 • 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题 实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原 问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。 • 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。
∴ Y*是对偶问题的最优解。
24
• 5.互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，如果对应 某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严 格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的 对偶变量一定为零。即 • 若yi*＞0，则有 n * ai j x j bi ,
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学对偶问题
（B）
minW 20y1 10 y2 5y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
比较
（A）
（B）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
运筹学之对偶问题
Max s .t
W Yb - YA C Y 0
定理2 弱对偶定理 ˆ 和Y ˆ 分别为原问题 P 及其对偶问题 D 的任意可行解， 若X 则有 ˆ Y ˆb CX 成立。
推论1：若原问题 P 和对偶问题 D 都有可行解，则必都有 最优解。 推论2：若原问题 P 有可行解，但无有限最 优解，则对偶 问题 D 无可行解。
s .t
s .t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
第四章 线性规划的对偶理论
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 影子价格 对偶单纯形法
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y 2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格
运筹学课件2.2 对偶理论
原问题的标准型和典则型 max z cx 0 xs Ax xs b x 0, xs 0
max z cB B b (c N cB B N ) xN 1 ( c B B ) x s 1 1 1 xB B b B Nx N B xs x B , x N , xs 0
用例1.1的最优解解释
CB
30 50
cj xB
50
30
0
0
x2
b x1
1350
x2
1 0 0
x3
1 -1/2 -5
x4
-2 3/2 -15
j
20 x1 15
0 1 0
y1=5, y2=15是对偶问题的最优解，此时原、对偶问 题都可行。
习题
习题2.8，P.89。
原问题与对偶问题的对应关系
问题与解的 状态
对偶问题
有最优解 无界 不可能 不可能 无可行解 不可能
原 问 题
有最优解 一定 无界 不可能
无可行解 不可能
不一定/肯 定 肯定/不 可能 一定
对偶问题的典则型
原问题为 对偶问题是
max z CX AX b X 0
minw yb yA变量
ys1 0 ，得基本解
1 1
Y (cB B ,0, cB B N cN )
目标函数
w cB B b
1
若对偶问题的基本解可行，则
c N cB B N ( N ) 0 1 cB B ( s ) 0
1
说明对偶问题解可行是原问题可行解最优的条 件。 1 同样可以看出原问题基本解可行： B b 0 是对偶问题最优解的条件。因此原问题与对偶 问题同时可行，目标函数值相等，同时得最优 解。
对偶定理运筹学
对偶定理是运筹学中最基本的概念之一，它在线性规划中起着非常重要的作用。
在线性规划问题中，存在原始问题和对偶问题两种形式，它们之间通过对偶定理建立了密切的联系。
对偶定理的核心思想是将原始线性规划问题转化为对偶问题，并且通过对偶问题来分析原始问题，从而得到有关原始问题的有效信息。
具体来说，对偶定理可以帮助我们在求解原始问题时，通过求解对偶问题来获得额外的信息和优化结果。
在运筹学中，对偶定理的应用主要体现在以下几个方面：
1. 最优性分析：对偶定理可以帮助我们分析原始问题的最优解以及对应的对偶问题，从而验证原始问题的最优性和对偶问题的最优性，并且可以相互印证，增强了问题解的可靠性。
2. 敏感度分析：对偶定理也可以用于进行敏感度分析，通过对对偶问题的解进行改变，可以评估原始问题解对参数变化的敏感程度，从而指导决策者进行风险评估和决策制定。
3. 经济学解释：对偶问题的解可以提供经济学上的解释和意义，比如对偶问题中的对偶变量可以表示资源的单位价值，对偶问题的约束条件可以反映出资源的受限性，这些信息可以为管理决策提供重要参
考。
总之，对偶定理在运筹学中具有重要的作用，通过对原始问题和对偶问题的分析，可以为决策者提供更全面的信息，帮助其做出更加合理的决策。
因此，对偶定理是线性规划理论中不可或缺的重要内容。
第3章 对偶原理
运筹学第3 运筹学第3章
对偶原理
本章知识内容
线性规划的对偶关系 线性规划的对偶性质 对偶关系的经济解释 对偶单纯形法 交替单纯形法
3.1 线性规划的对偶关系
3.1.1 对偶问题 引例： 引例：胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种。现已 知生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工 时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大？
min ω = 3 x1 + 2 x2 − x3
max z = 2 y1 + 5 y2 + y3
2 x1 + x2 + 3 x3 ≥ 2 2 y1 + 3 y2 + y3 ≥ 3 3 x − 5 x y − 5y + y = 2 ≤5 1 1 2 2 3 s.t. ⇒ s.t. + y3 ≤ −1 x1 + x2 + x3 = 1 3 y1 x1 ≤ 0, x3 ≥ 0 y1 ≥ 0, y2 ≤ 0
其对偶问题的最优解为： 对偶问题的最优解为： 的最优解为
4 , 3 z* = 5 Y = 5 5
*
试用对偶性质求出原问题的最优解。 原问题的最优解 试用对偶性质求出原问题的最优解。
解：先写出其对偶问题
max z = 4 y1 + 3 y 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 5 ≤ 2 ≤ 3 (1) (2) (3) (4) (5)
1 Y = 0, ,1 2
最优值都是42， 最优值都是42，即： 42
对偶原理
本章知识内容
线性规划的对偶关系 线性规划的对偶性质 对偶关系的经济解释 对偶单纯形法 交替单纯形法
3.1 线性规划的对偶关系
3.1.1 对偶问题 引例： 引例：胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种。现已 知生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工 时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大？
min ω = 3 x1 + 2 x2 − x3
max z = 2 y1 + 5 y2 + y3
2 x1 + x2 + 3 x3 ≥ 2 2 y1 + 3 y2 + y3 ≥ 3 3 x − 5 x y − 5y + y = 2 ≤5 1 1 2 2 3 s.t. ⇒ s.t. + y3 ≤ −1 x1 + x2 + x3 = 1 3 y1 x1 ≤ 0, x3 ≥ 0 y1 ≥ 0, y2 ≤ 0
其对偶问题的最优解为： 对偶问题的最优解为： 的最优解为
4 , 3 z* = 5 Y = 5 5
*
试用对偶性质求出原问题的最优解。 原问题的最优解 试用对偶性质求出原问题的最优解。
解：先写出其对偶问题
max z = 4 y1 + 3 y 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 5 ≤ 2 ≤ 3 (1) (2) (3) (4) (5)
1 Y = 0, ,1 2
最优值都是42， 最优值都是42，即： 42