运筹学大作业 哈工大
哈工大有限元大作业
作业一一．计算程序和结果展示1.程序clearsyms a b c x E lD=E*pi*(b*x+c)^4/64;B(:,:,1)=[-6/l^2+12*x/l^3 4/l-6*x/l^2];B(:,:,2)=[6/l^2-12*x/l^3 ,2/l-6*x/l^2];n=0;for i=1:2for j=1:2n=n+1;f=B(:,:,i)*D*transpose(B(:,:,j));k(:,:,n)=int(f,x,0,l);endendk11=k(:,:,1);k12=k(:,:,2);k21=k(:,:,3);k22=k(:,:,4);K=[k11 k12;k21 k22];K=simple(K);2.结果（1）bx+cK =[ (3*pi*E*(11*b^4*l^4 + 49*b^3*c*l^3 + 84*b^2*c^2*l^2 + 70*b*c^3*l +35*c^4))/(560*l^3), -(pi*E*(19*b^4*l^4 + 84*b^3*c*l^3 + 147*b^2*c^2*l^2 + 140*b*c^3*l + 105*c^4))/(1120*l^2), -(3*pi*E*(11*b^4*l^4 + 49*b^3*c*l^3 + 84*b^2*c^2*l^2 + 70*b*c^3*l + 35*c^4))/(560*l^3), -(pi*E*(47*b^4*l^4 + 210*b^3*c*l^3 + 357*b^2*c^2*l^2 + 280*b*c^3*l + 105*c^4))/(1120*l^2)][ -(pi*E*(19*b^4*l^4 + 84*b^3*c*l^3 + 147*b^2*c^2*l^2 + 140*b*c^3*l +105*c^4))/(1120*l^2), (pi*E*(3*b^4*l^4 + 14*b^3*c*l^3 + 28*b^2*c^2*l^2 +35*b*c^3*l + 35*c^4))/(560*l), (pi*E*(19*b^4*l^4 + 84*b^3*c*l^3 + 147*b^2*c^2*l^2 +140*b*c^3*l + 105*c^4))/(1120*l^2), (pi*E*(13*b^4*l^4 + 56*b^3*c*l^3 +91*b^2*c^2*l^2 + 70*b*c^3*l + 35*c^4))/(1120*l)][ -(3*pi*E*(11*b^4*l^4 + 49*b^3*c*l^3 + 84*b^2*c^2*l^2 + 70*b*c^3*l +35*c^4))/(560*l^3), (pi*E*(19*b^4*l^4 + 84*b^3*c*l^3 + 147*b^2*c^2*l^2 + 140*b*c^3*l +105*c^4))/(1120*l^2), (3*pi*E*(11*b^4*l^4 + 49*b^3*c*l^3 + 84*b^2*c^2*l^2 +70*b*c^3*l + 35*c^4))/(560*l^3), (pi*E*(47*b^4*l^4 + 210*b^3*c*l^3 + 357*b^2*c^2*l^2 + 280*b*c^3*l + 105*c^4))/(1120*l^2)][ -(pi*E*(47*b^4*l^4 + 210*b^3*c*l^3 + 357*b^2*c^2*l^2 + 280*b*c^3*l +105*c^4))/(1120*l^2), (pi*E*(13*b^4*l^4 + 56*b^3*c*l^3 + 91*b^2*c^2*l^2 +70*b*c^3*l + 35*c^4))/(1120*l), (pi*E*(47*b^4*l^4 + 210*b^3*c*l^3 + 357*b^2*c^2*l^2 +280*b*c^3*l + 105*c^4))/(1120*l^2), (pi*E*(17*b^4*l^4 + 77*b^3*c*l^3 +133*b^2*c^2*l^2 + 105*b*c^3*l + 35*c^4))/(560*l)]（2）ax^2+bx+c（将程序中D的直径换成“ax^2+bx+c”）K =[ (pi*E*(518*a^4*l^8+2233*a^3*b*l^7+2420*a^3*c*l^6+3630*a^2*b^2*l^6+7920*a^2*b*c*l^5 + 4356*a^2*c^2*l^4 +2640*a*b^3*l^5+8712*a*b^2*c*l^4+9702*a*b*c^2*l^3+3696*a*c^3*l^2 + 726*b^4*l^4 + 3234*b^3*c*l^3 + 5544*b^2*c^2*l^2 + 4620*b*c^3*l +2310*c^4))/(12320*l^3), -(pi*E*(938*a^4*l^8+4004*a^3*b*l^7+4290*a^3*c*l^6+6435*a^2*b^2*l^6+13860*a^2*b*c*l^ 5+7524*a^2*c^2*l^4+4620*a*b^3*l^5+15048*a*b^2*c*l^4+16632*a*b*c^2*l^3+6468*a*c^3*l ^2 +1254*b^4*l^4+5544*b^3*c*l^3+9702*b^2*c^2*l^2+9240*b*c^3*l+6930*c^4))/(73920*l^2), -(pi*E*(518*a^4*l^8 + 2233*a^3*b*l^7 + 2420*a^3*c*l^6 + 3630*a^2*b^2*l^6 +7920*a^2*b*c*l^5 + 4356*a^2*c^2*l^4 + 2640*a*b^3*l^5 + 8712*a*b^2*c*l^4 +9702*a*b*c^2*l^3 + 3696*a*c^3*l^2 + 726*b^4*l^4 + 3234*b^3*c*l^3 + 5544*b^2*c^2*l^2 + 4620*b*c^3*l + 2310*c^4))/(12320*l^3), -(pi*E*(2170*a^4*l^8 + 9394*a^3*b*l^7 +10230*a^3*c*l^6 + 15345*a^2*b^2*l^6 + 33660*a^2*b*c*l^5 + 18612*a^2*c^2*l^4 +11220*a*b^3*l^5 + 37224*a*b^2*c*l^4 + 41580*a*b*c^2*l^3 + 15708*a*c^3*l^2 +3102*b^4*l^4 + 13860*b^3*c*l^3 + 23562*b^2*c^2*l^2 + 18480*b*c^3*l +6930*c^4))/(73920*l^2)][ -(pi*E*(938*a^4*l^8 + 4004*a^3*b*l^7 + 4290*a^3*c*l^6 + 6435*a^2*b^2*l^6 + 13860*a^2*b*c*l^5 + 7524*a^2*c^2*l^4 + 4620*a*b^3*l^5 + 15048*a*b^2*c*l^4 +16632*a*b*c^2*l^3 + 6468*a*c^3*l^2 + 1254*b^4*l^4 + 5544*b^3*c*l^3 + 9702*b^2*c^2*l^2 + 9240*b*c^3*l + 6930*c^4))/(73920*l^2), (pi*E*(434*a^4*l^8 + 1848*a^3*b*l^7 + 1980*a^3*c*l^6 + 2970*a^2*b^2*l^6 + 6435*a^2*b*c*l^5 + 3564*a^2*c^2*l^4 +2145*a*b^3*l^5 + 7128*a*b^2*c*l^4 + 8316*a*b*c^2*l^3 + 3696*a*c^3*l^2 + 594*b^4*l^4 + 2772*b^3*c*l^3 + 5544*b^2*c^2*l^2 + 6930*b*c^3*l + 6930*c^4))/(110880*l),(pi*E*(938*a^4*l^8 + 4004*a^3*b*l^7 + 4290*a^3*c*l^6 + 6435*a^2*b^2*l^6 +13860*a^2*b*c*l^5 + 7524*a^2*c^2*l^4 + 4620*a*b^3*l^5 + 15048*a*b^2*c*l^4 +16632*a*b*c^2*l^3 + 6468*a*c^3*l^2 + 1254*b^4*l^4 + 5544*b^3*c*l^3 + 9702*b^2*c^2*l^2 + 9240*b*c^3*l + 6930*c^4))/(73920*l^2), (pi*E*(1946*a^4*l^8 + 8316*a^3*b*l^7 +8910*a^3*c*l^6 + 13365*a^2*b^2*l^6 + 28710*a^2*b*c*l^5 + 15444*a^2*c^2*l^4 +9570*a*b^3*l^5 + 30888*a*b^2*c*l^4 + 33264*a*b*c^2*l^3 + 12012*a*c^3*l^2 +2574*b^4*l^4 + 11088*b^3*c*l^3 + 18018*b^2*c^2*l^2 + 13860*b*c^3*l +6930*c^4))/(221760*l)][ -(pi*E*(518*a^4*l^8 + 2233*a^3*b*l^7 + 2420*a^3*c*l^6 +3630*a^2*b^2*l^6 + 7920*a^2*b*c*l^5 + 4356*a^2*c^2*l^4 + 2640*a*b^3*l^5 +8712*a*b^2*c*l^4 + 9702*a*b*c^2*l^3 + 3696*a*c^3*l^2 + 726*b^4*l^4 + 3234*b^3*c*l^3 +5544*b^2*c^2*l^2 + 4620*b*c^3*l + 2310*c^4))/(12320*l^3), (pi*E*(938*a^4*l^8 + 4004*a^3*b*l^7 + 4290*a^3*c*l^6 + 6435*a^2*b^2*l^6 + 13860*a^2*b*c*l^5 +7524*a^2*c^2*l^4 + 4620*a*b^3*l^5 + 15048*a*b^2*c*l^4 + 16632*a*b*c^2*l^3 +6468*a*c^3*l^2 + 1254*b^4*l^4 + 5544*b^3*c*l^3 + 9702*b^2*c^2*l^2 + 9240*b*c^3*l + 6930*c^4))/(73920*l^2), (pi*E*(518*a^4*l^8 + 2233*a^3*b*l^7 +2420*a^3*c*l^6 + 3630*a^2*b^2*l^6 + 7920*a^2*b*c*l^5 + 4356*a^2*c^2*l^4 +2640*a*b^3*l^5 + 8712*a*b^2*c*l^4 + 9702*a*b*c^2*l^3 + 3696*a*c^3*l^2 + 726*b^4*l^4 + 3234*b^3*c*l^3 + 5544*b^2*c^2*l^2 + 4620*b*c^3*l + 2310*c^4))/(12320*l^3),(pi*E*(2170*a^4*l^8 + 9394*a^3*b*l^7 + 10230*a^3*c*l^6 + 15345*a^2*b^2*l^6 +33660*a^2*b*c*l^5 + 18612*a^2*c^2*l^4 + 11220*a*b^3*l^5 + 37224*a*b^2*c*l^4 +41580*a*b*c^2*l^3 + 15708*a*c^3*l^2 + 3102*b^4*l^4 + 13860*b^3*c*l^3 +23562*b^2*c^2*l^2 + 18480*b*c^3*l + 6930*c^4))/(73920*l^2)][ -(pi*E*(2170*a^4*l^8 + 9394*a^3*b*l^7 + 10230*a^3*c*l^6 + 15345*a^2*b^2*l^6 +33660*a^2*b*c*l^5 + 18612*a^2*c^2*l^4 + 11220*a*b^3*l^5 + 37224*a*b^2*c*l^4 +41580*a*b*c^2*l^3 + 15708*a*c^3*l^2 + 3102*b^4*l^4 + 13860*b^3*c*l^3 +23562*b^2*c^2*l^2 + 18480*b*c^3*l + 6930*c^4))/(73920*l^2), (pi*E*(1946*a^4*l^8 +8316*a^3*b*l^7 + 8910*a^3*c*l^6 + 13365*a^2*b^2*l^6 + 28710*a^2*b*c*l^5 +15444*a^2*c^2*l^4 + 9570*a*b^3*l^5 + 30888*a*b^2*c*l^4 + 33264*a*b*c^2*l^3 +12012*a*c^3*l^2 + 2574*b^4*l^4 + 11088*b^3*c*l^3 + 18018*b^2*c^2*l^2 + 13860*b*c^3*l + 6930*c^4))/(221760*l), (pi*E*(2170*a^4*l^8 + 9394*a^3*b*l^7 + 10230*a^3*c*l^6 +15345*a^2*b^2*l^6 + 33660*a^2*b*c*l^5 + 18612*a^2*c^2*l^4 + 11220*a*b^3*l^5 +37224*a*b^2*c*l^4 + 41580*a*b*c^2*l^3 + 15708*a*c^3*l^2 + 3102*b^4*l^4 +13860*b^3*c*l^3 + 23562*b^2*c^2*l^2 + 18480*b*c^3*l + 6930*c^4))/(73920*l^2),(pi*E*(2282*a^4*l^8 + 9933*a^3*b*l^7 + 10890*a^3*c*l^6 + 16335*a^2*b^2*l^6 +36135*a^2*b*c*l^5 + 20196*a^2*c^2*l^4 + 12045*a*b^3*l^5 + 40392*a*b^2*c*l^4 +45738*a*b*c^2*l^3 + 17556*a*c^3*l^2 + 3366*b^4*l^4 + 15246*b^3*c*l^3 +26334*b^2*c^2*l^2 + 20790*b*c^3*l + 6930*c^4))/(110880*l)]（3）b=0（等截面梁)K =[ (3*pi*E*c^4)/(16*l^3),-(3*pi*E*c^4)/(32*l^2),-(3*pi*E*c^4)/(16*l^3),-(3*pi*E*c^4)/(32*l^2)] [ -(3*pi*E*c^4)/(32*l^2), (pi*E*c^4)/(16*l), (3*pi*E*c^4)/(32*l^2), (pi*E*c^4)/(32*l)][ -(3*pi*E*c^4)/(16*l^3), (3*pi*E*c^4)/(32*l^2), (3*pi*E*c^4)/(16*l^3),(3*pi*E*c^4)/(32*l^2)] [ -(3*pi*E*c^4)/(32*l^2), (pi*E*c^4)/(32*l), (3*pi*E*c^4)/(32*l^2), (pi*E*c^4)/(16*l)]总结：将结果（3）与教材等截面梁刚度矩阵比较，发现表达式一样，侧面证明了程序的正确性。
哈工大运筹学实验报告实验三.doc
实验三一、实验目的：1)进一步熟悉 Excel 规划求解工具，掌握 Excel 求解 0-1 整数规划问题；2)进一步熟悉 Matlab 软件，掌握 Matlab 求解 0-1 整数规划问题；3)用 Excel 和 Matlab 求解公司选址 0-1 规划问题。
二、实验器材1)PC机： 20 台。
2)Microsoft Excel 软件（具备规划求解工具模块）： 20 用户。
3)Matlab 软件（具备优化工具箱）：20 用户。
三、实验原理：公司选址属于 0-1 整数规划问题，通过对问题建立数学模型，根据 Excel 自身特点把数学模型在电子表格中进行清晰的描述，再利用规划求解工具设定相应的约束条件，最终完成对问题的寻优过程，具体可参见；在 Matlab 中，根据 Matlab提供的 0-1 整数规划求解函数，将数学模型转换成 0-1 整数规划求解函数可传递的数值参数，最终实现对问题的寻优求解过程，具体可参见中 bintprog 函数描述和示例。
四、实验内容和步骤：用 Excel 和 Matlab 完成下列公司选址问题。
某销售公司打算通过在武汉或长春设立分公司（也许在两个城市都设分公司）增加市场份额，管理层同时也计划在新设分公司的城市最多建一个配送中心，当然也可以不建配送中心。
经过计算，每种选择对公司收益的净现值列于下表的第四列、第五列中记录了每种选择所需的费用，总的预算费用不得超过20 万元。
决策编号问题决策变量净现值（万元）所需资金（万元）1 是否在长春设分公司x1 18 122 是否在武汉设分公司x2 10 63 是否在长春建配送中心x3 12 104 是否在武汉建配送中心x 4 8 4问：如何决策才能使总的净现值最大建立模型：设=0 表示不建立，=1 表示建立，i=1,2,3,4用z表示预算费用总的净现值。
则目标函数 maxz=18 +10 +12 +8先确立约束不等式：总的预算费用不得超过20 万元；设立的分公司数目大于等于 1；且建立配送中心数目一定要小于分公司数目。
运筹学 大作业
运筹学请在以下五组题目中任选一组作答，满分100分。
第一组：计算题（每小题25分，共100分）1.福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问该如何安排售货人员的休息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少，请列出此问题的数学模型。
2.A、B两人分别有10分(1角)、5分、1分的硬币各一枚，双方都不知道的情况下各出一枚，规定和为偶数，A赢得8所出硬币，和为奇数，8赢得A所出硬币，试据此列出二人零和对策模型，并说明此游戏对双方是否公平。
3、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？4、用图解法求解 max z = 6x1+4x2 s.t.第二组：计算题（每小题25分，共100分）1、用图解法求解min z =－3x1+x2 s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤≤08212523421212121x x x x x x x x ，2、用单纯形法求解 max z =70x1+30x2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+072039450555409321212121x x x x x x x x ，3、用单纯形法求解 max z =7x1+12x2 s.t.⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹1212212210870x x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩， ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸⑹、⑺⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200543604921212121x x x x x x x x ，4.某企业要用三种原材料A 、B 、C 生产出出三种不同规格的产品甲、乙、丙。
已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1和表2。
《运筹学基础及应用》胡运权主编,哈工大出版社,完整版ppt课件
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
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运筹学在工商管理中的应用
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运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面： 1. 生产计划 2. 运输问题 3. 人事管理 4. 库存管理 5. 市场营销 6. 财务和会计
基可行解
线性规划问题的数学模型
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例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
maxZ 4x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 6x2
x4 2x3
3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 1 A1 0 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
图解法
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线性规划问题的求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
运筹学大作业(选修班)
运筹学大作业（选修）
1、 用单纯形法求解线性规划问题 Max z=2x- x+ x s.t.
2、 某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需 300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺 阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需2小时，产品B每件需4小 时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需 粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加 工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700工时，粗加工设备拥有能 力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在 毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在 粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时 间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订 一个成本最低的生产计划。（建立数学模型，不求解）
3、 某企业生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，分别经过A、B、C三种设备 加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工 能力及每件产品的预期利润如下表所示：
Ⅰ ⅡⅢ
设备能力 （台时）
A
1 11
100
B
10 4 5
600
C
2 26
300
单位产品利润 （元）
10 6 4
用单纯形法求解得到最终单纯形表如下表所示。
值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划
的变化；
2. 如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、
3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产；
3. 如合同规定该企业至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变
化。
4、 某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本
运筹学课堂大作业
课堂作业报告运 筹 学报告题目：货物配送问题(图论、整数规划) 专业班级： 报告人：货物配送问题（图论、整数规划）一、 问题重述1.1 背景知识本文研究的内容是以梦想连锁是一家主营鲜猪肉的肉类食品加工与销售公 司为背景而提出的。
针对该公司的具体情况，按照问题的要求，本文进行了以下 研究。
公司在全省县级及以上城镇设立销售连锁店。
全省县级及以上城镇地理位 置及道路连接见数据文件 1：全省交通网络数据.xlsx1.2 1.2.1 问题一要解决的问题目前公司现有 2 个生产基地、23 家销售连锁店，生产基地设在 120 号和 63 号城镇，为 23 家连锁店提供鲜猪肉，连锁店的日销售量见附录 1。
若运输成本 为 0.45 元/吨公里，请你为公司设计生产与配送方案，使运输成本最低。
1.2.2 问题二公司收集了近 5 年全省各城镇的鲜猪肉月度需求数据（文件 2：各城镇月度 需求数据.txt）请你分析各城镇需求特征，并预测未来数年，何时全省鲜猪肉需 求达到峰值，达到峰值时需求达到前 5 位和后 5 位的城镇是那些？1.2.3 问题三通过广告宣传等手段，未来几年公司在全省的市场占有率可增至 3 成左右 （各城镇对公司产品每日需求预测数据见文件 3：公司未来各城镇每日需求预测 数据.txt） ，调查还发现，公司产品的需求量与销售量并不完全一致，若在当地 （同一城镇）购买，则这一部分需求量与销售量相同，若在不足 10 公里的其他 城镇的销售连锁店购买， 则这一部分需求量只能实现一半 （成为公司产品销售量， 由于距离的原因，另一半需求转向购买其他公司或个体工商户的产品） ，而在超 过 10 公里的其他城镇的销售连锁店购买，销售量只能达到需求量的三成。
于是， 公司决定在各城镇增设销售连锁店，基于现有条件、成本等的考虑，原有的 23 家销售连锁店销售能力可在现有销售量的基础上上浮 20%，增设的销售连锁店销 售能力控制在每日 20 吨至 40 吨内， 并且要求增设的销售连锁店的销售量必须达 到销售能力的下限。
运筹学大作业
运筹大作业
文件说明
rosenbrock.m：函数的matlab符号函数实现。
naive_opt.m：负梯度法
F_R.m：Fletcher-Reeves共轭梯度法
P_R.m：Polak-Ribiere共轭梯度法
B_S.m：Beale-Sorenson共轭梯度法
程序说明
四个程序遵循相同的架构。
对于符号函数，matlab有gradient函数可以求符号函数的梯度，norm函数可以求符号函数的范数。
使用sub可以将符号函数转为数值函数。
之后严格遵循算法流程代入值求解即可。
调用方法
四个程序都不带参数。
直接调用即可获得图像，返回值为double的数值解。
求解结果
负梯度法
共迭代377次，最后结果为(0.999999999906938, 0.999999999790556)（数值解）
Fletcher-Reeves共轭梯度法
（第三个点因为其log为-inf因此无法被画出）
共迭代2次，最后结果为(1.000000000000001, 1.000000000000001)
Polak-Ribiere共轭梯度法
（第三个点因为其log为-inf因此无法被画出）
共迭代2次，最后结果为(1.000000000000001, 1.000000000000001)
Beale-Sorenson共轭梯度法
（第三个点因为其log为-inf因此无法被画出）
共迭代2次，最后结果为(1.000000000000001, 1.000000000000001)。
哈工大运筹学大作业对偶单纯形法对比
运筹学课程运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析大作业哈尔滨工业大学工业工程系学生姓名:学号：指导教师：成绩：评语：运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适用条件等。
将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而说明对偶单纯形法的优点和适用范围。
关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支是其中最重要的内容之一。
这个发现指出，对于任何一个线性规划问题都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。
对偶问题与原问题的关系在众多领域都非常有用。
（一）教学目标：通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。
掌握对偶单纯形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和应用范围（二）教学内容：1）对偶单纯形法的思想来源2）对偶单纯形法原理3）对偶理论的实质4）单纯形法和对偶单纯形法的比较（三）教学进程：一、对偶单纯形法的思想来源所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家 C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。
二、对偶问题的实质下面是原问题的标准形式以及其对应的对偶问题：从而可以发现如下规律：1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。
2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。
3.原问题一个变量在所有约束方程中的系数是对偶问题一个约束方程中的所有系数。
三、对偶单纯形法原理对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题的最优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。
为了理解对偶单纯形法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几个基本原理有所了解。
1.弱对偶性如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，则恒有证明：由于对偶方程中原问题的约束条件是各行的a i j x j 之和小于等于y i 的系数b i ，而对偶问题的约束条件是各行的a i j y i 之和小于等于x j 的系数c j ，故将 和分别和 比较，可得上述结论。
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课程名称：对偶单纯形法
一、教学目标
在对偶单纯形法的学习过程中，理解和掌握对偶问题；综合运用线性规划和对偶原理知识对对偶单纯形法与单纯形法进行对比分析，了解单纯形法和对偶单纯形法的相同点和不同点，总结出各自的适用范围；掌握对偶单纯形法的求解过程；并能运用对偶单纯形法独立解决一些运筹学问题。
二、教学内容
1) 对偶单纯形法的思想来源(5min) 2) 对偶单纯形法原理(5min)
3) 总结对偶单纯形法的优点及适用情况(5min) 4) 对偶单纯形法的求解过程(10min) 5) 对偶单纯形法例题(15min)
6) 对比分析单纯形法和对偶单纯形法(10min)
三、教学进程：
1）讲述对偶单纯形法思想的来源：
1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法（Dual Simplex Method ）。
单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。
对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。
在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。
因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。
2）讲述对偶单纯形法的原理
A.对偶问题的基本性质
依照书第58页，我们先介绍一下对偶问题的六个基本性质： 性质一：弱对偶性 性质二：最优性。
如果
x j
（j=1...n)原问题的可行解，y j
是其对偶问题可
行解，且有
∑=n
j j
j
x c 1
=∑=m
i i
i
y b 1
，则x j 是原问题的最优解，y
j
是其对偶问题的最
优解。
性质三：无界性。
如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。
性质四：强对偶性。
如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解。
性质五：互补松弛型。
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
性质六：线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w.
B.对偶单纯形法（参考书p64页）
设某标准形式的线性规划问题，对偶单纯形表中必须有c j -z j ≤0（j=1...n),但b i (i=1...m)的值不一定为正，当对i=1...m ，都有b i ≥0时，表中原问题和对偶问题均为最优解，否则通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻的基解。
3）为什么要引入对偶单纯形法
从理论上说原始单纯形法可以解决一切线性规划问题，然而实际问题中，由于考虑问题的角度不同，变量设置的不同，便产生了原问题及其对偶问题，对偶问题是原问题从另外一个角度考虑的结果。
用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“≥”时，不必引入人工变量，使计算简化。
例如，有一线性规划问题： min ω =12
y 1
+16y
2
+15
y 3
约束条件 ⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≥=≥+≥+0)3,2,1(3522
423121
i y y y y y i
将问题改写为求目标函数极大化，化为标准形式有 max ω'=-12y 1
-16y 2
-15y 3
+0y 4
+0y 5
约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-=+---=+--352242531
4
21y y y y y y
若用对偶单纯形法，则直接按右边的标准型列出单纯形表求解即可，计算简单。
4)例题详解
用对偶单纯形法求解线性规划问题 min ω=15
y 1
+24y 2
+5y 3
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≥++≥+0,,1252363213213
2y y y y y y y y 先将问题改为
y y y y y 5
4
3
2
1
0052415min ++++='ω
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧=≥=-++=-+)5,4,3,2,1(01252
65321432
i y y y y y y y y i
建立初始单纯形表，表中检验行的值全部≤0，即对其对偶问题而言是一基本可
行解。
根据原问题和对偶问题之间的对称关系，这时单纯形表中原基变量列数字相当于对偶问题解的非基变量的检验数
第二步由于对偶问题的求解是使目标函数达到最小值所以最优判别准则是当所有检验数大于等于零时为最优（也即这时原问题是可行解）如果不满足这个条件，找出绝对值最大的负检验数，其对应的原问题的基变量x l即为对偶问题的换入变量。
第三步确定换出变量：
θ=min{(c j-z j)/a rj}=min{-24/-6,-5/-1}=4
作为换入变量。
因此选y
2
第四步用换入变量替换对偶问题中的换出变量得到一个新的单纯形表。
表中数字计算同用单纯形法时完全一样。
新表中对偶问题仍保持基本可行解，原问题基变量列数字相当于对偶问题的检验数。
第五步：重复第二～四步，一直到找出最优解为止。
17
此时达到最优, ω最优为
2
例题讲解结束，我们可以通过例题的详细求解过程得到对偶单纯形法的算法步
骤如下：（参考书第64页） 1、确定换出基的变量：
对小于零的b i ，令b r =min{b i }，其对应变量x r
为换出基的变量。
2、确定换入基的变量：
（1）为使迭代后的表中第r 行基变量为正值，因而只有对应a rj <0（j=m+1，……，n ）的非基变量才可以考虑作为换入基的变量； （2）为使迭代后表中对偶问题的解仍为可行解，令
θ=min{a z c rj
j j
-|a
rj
<0}=a
z
c rs
s
s -
x s
为换入基的变量。
设迭代后表中的检验数为)('-z c j j
此时一定有)('-z c j j ≤0，下面分两点说明：
a.对a rj ≥0，因（c j -z j ）≤0，故
a
z c rj
j
j -≤0,
0，因此)('-z c j j ≤0
b.0 3、用换入变量替换换出变量，得到一个新的基， 检查是否所有b i ≥0。
如果是，则找到了问题最优解，否则回到第一步重复计算。
4、原问题无可行解的情况： 对b r <0,而对所有j=1...n,有a
rj
≥0。
因为这种情况下，把表中第r 行的约束方
程列出有
x r
+a
m r 1
,+x
m 1
++...+a n
r ,x n
=b r
，因a
rj
≥0,又b r <0,故不可能存在
x
j
≥0的解，故原问题无可行解，这时对偶问题的目标函数值无界。
四、总结
1）对比分析单纯形法和对偶单纯形法
2)对偶单纯形法优缺点
对偶单纯形法的优点：
(1)运用对偶单纯形法时,初始解可以是非可行解,只要检验数全部非正数就可以进行基变换.因此不需要引进人工变量,这样可以简化计算.
(2)应用对偶问题与原问题的关系,对变量较少而约束较多的线性规划问题 ,应用对偶问题与原问题的关系,先变换成对偶问题,再用对偶单纯形法求解,可以减少计算工作量.
(3)灵敏度分析中有时需要用到对偶单纯形法,可使问题的处理简化.
2.对偶单纯形法的缺点：
对于大多数线性规划问题而言很难找到一个初始正则基, 对于大多数线性规划问题而言很难找到一个初始正则基,即很难满足使所有的检验数小于等于零(对偶可行性),因而此法很少单独使用.
五、对偶单纯形法算法流程图。