哈工大运筹学大作业-对偶单纯形法对比
对偶单纯形法详解
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
-3
-1 -4 0 1 0
-3
-1 -7 0 0 1
0
-3 -9 0 0 0
值 -3/-1 -9/-1 --- --- ---
CB
XB
-3 y1
0
y4
0
y5
-Z
比
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢观赏
MinW 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33
3 4
x1, x2, x3 0
化为标准型 →
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3 4
x1, x2, x3, x4, x5 0
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
化为
y1 y2 y3 2
标准型
→
s.t.
y1 y1
4 7
y2 y2
y4 y5
3 3
y1 0, y2 0
y1,, y5 0
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
3、计算步骤：
①建立初始单纯形表，计算检验数行。
解答列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
至少一个元素<0,转下步;
至少一个检验数>0
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
运筹学对偶单纯形法
max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 -x1 - 2x2 - x3 + x4 = -3 -2x1 + x2 - 3x3 + x5 = -4 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
建立这个问题的初始单纯形表
cj→
-2 -3 -4 0 0
?
(2) 先确定换出变量：若 min{(B-1b)i|(B-1b)i <0} = (B-1b)l
对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取 负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）
(3) 确定换入变量： 检查xl所在行的各系数alj(j = 1,2,…,n)。 若所有的 alj0,则无可行解，停止计算。
§6 对偶单纯形法
在 原 来 的 单 纯 形 表 中 进 行 迭 代 时 ， 前 提 要 求 右 端 项 b≥ 0(基可行解)，迭代过程中在b列中得到的是原问题的基可行解， 在检验数行得到的是对偶问题的基解。当检验数行也是对偶 问题的基可行解时，原问题与对偶问题都得到最优解。
对偶单纯形法原理：根据对偶问题的对称性，保持对偶问 题的解是基可行解，即cj-CBB-1Pj ≤ 0，同时取消对解答列元 素非负的限制，在原问题非可行解的基础上, 通过逐步迭代达 到基可行解，这样就得到了最优解。
1、对应基变量x1，x2，… ，xm的检验数是
σ i = ci – zi = ci - CB B-1Pi = 0，i = 1 ,2 , … ,m
2、对应非基变量xm+1，… ，xn的检验数是
σ j = cj – zj = cj - CB B-1Pj 0，j = m+1 , … ,n
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
对偶单纯形法
max W b1 y1 b2 y2
bm ym
a11 a21 am1 y1 c1 am 2 y2 c2 a12 a22 s.t. a a2 n amn ym cn 1n y1 , y2 , , ym 0
ˆ j ( j 1, 2, 如果x ˆi (i 1, 2, y
n j 1
, n)是原问题的可行解
m
, m)是其对偶问题的可行解
i 1
ˆ j bi y ˆi 且有 cjx ˆ j ( j 1, 2, 则x ˆi (i 1, 2, y , n)是原问题的最优解 , m)是其对偶问题的最优解
问题的导出
A B
1
4
C
1
7
拥有量
工 时 材 料 单件利润
1
1
3
9
2
3
3
max Z 2 x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
A
工 时 材 料 单件利润
y1≥0
y2≥0
A
工 时 材 料 单件利润
minW 3 y1 9 y2
y1 y 2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y 2 3 y1 0, y 2 0
1
B
1
C
1
拥有量
3
1
2
4
3
7
3
9
max Z 2 x1 3x2 3x3
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
运筹学之对偶单纯形法
单 纯 形 表
x1
x4 x5
检验数
-1 -1 4
x2
-1 1 1
x3
-1 4 3
x4
1 0 0
x5
0 1 0
常数列 -5
-3 0 有负分量
0
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 4.确定进基变量： min Z 4 x1 x2 3 x3 在出基变量所在的行中，找出非基变 x x x x 5 1 2 3 4 量列中的负系数，用相应的检验数分 x1 x2 4 x3 x5 3 别除以这些负系数，再取绝对值，所 得正比值中最小者相应的非基变量进 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
式，可 用两阶 段法求 解，麻 烦！
min Z 4 x1 x2 3 x3
x1 x2 x3 x4 5 x1 x2 4 x3 x5 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
注：对偶单纯形法适用于目标函数系数都 0，不等 式约束都 0 的问题。
单 纯 形 表
x1
x2 x1
检验数
1 0 1 0
x2
1 0 0
x3
5/2 1 -3/2 13/ 2
x4
-1/2 -1 -1/2 5/2
x5
常数列 1/2 0 1 5
4 -17
-1/2 3/2
( 1)
0
换基运算完成。得到新的单纯形表。
二.对偶单纯形法的迭代步骤： 例2-8 min Z x 3 x3 x 2.最优性检验： min Z4 x4 1x 2x 1 2 3 3 x1 x x x x 5 2x 3x 45 若当前常数列 0，则得到最 1 2 3 x1 x x 4 x4 x 3 优表。 x x 3 2 3 5 1 2 3 x1 , xx xx xx 0 5 0 2,, 3,, 4, x
运筹学对偶单纯形法
-4 x3
1/2 3/2
0 x4 1 0 0
0 x5
-1/2 -1/2
x4换出变量
CB 0
-2 x1 cj-zj
2
-4 8/5
-1
-1
min{σj/αlj|αlj<0}
2
x2换入变量
cj CB -3 -2 cj-zj XB x2 x1 b
2/5 11/5
-2 x1 0
-3 x2
1
当bl<0，而对所有j=1,…,n，有alj0，
则原问题无可行解。
证明：xl+al,m+1xm+1+…+al,nxn=bl
CB c1 … cl … cm 基 x1 ba x0(j=m+1, xl xm ，又 xm+1 1 因 … ,n) bl<0， lj …，0 1 <0 b 故有 x l
1
第三步 先确定换出变量 解答列（b 列）中的负元素对应的基变量出基， 相应的行为主元行。 一般选最小的负元素出基， 即若min { ( B -1 b )i| (B -1b )I < 0 } = ( B–1 b )l 则选取 x l 为换出变量.
检验第l 行中非基变量 xj 的系数 αlj , 若所有的αlj ≥ 0，则LP 问题 无可行解， （下面进行说明），此时计算结束。 否则转下步
cj
CB XB x4 x5 b -3 -4
-2 x1
-3 x2
-4 x3
0 x4
0 x5
x5换出变量
0
-1
-2 -2
2 1 2
-2
1 -3
-1
-3 -4
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
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标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
运筹学课程
运筹学对偶单纯形法与单纯形法 对比分析大作业
哈尔滨工业大学工业工程系
学 生 姓 名:
学
号：
指 导 教 师：
成
绩：
评
语：
运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析
摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适 用条件等。将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而 说明对偶单纯形法的优点和适用范围。
Min z=5x1+2x2+4x3
.
1.化为标准型
Max z’=-5x1-2x2-4x3+0x4+0x5
.
2.列出原始单纯形表
cj→
-5
-2
-4
0
0
CB 基 b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -4
-3
-1
-2
1
0
0 x5 -10
-6
[-3]
-5
0
1
cj-zj-5来自-2-40
0
3.找出最小的 bi，即 b5=-10.选择 x5 作为换出变量。
是 bi 都≥0
否 确定换出和换入的基变量： 换出最小的“右端项”bi 所对应的基变 量； 按公式θ=min｛σj/a’ij ，a’ij ≤0｝=σ s/a’ij 计算最小比值θ，所对应的基变量为 换入
计算检验数，列 出新的单纯形表
已找到最优解
结束
五、对偶单纯形法例题 下面用一个例子来说明对偶单纯形法的解题过程。
关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想
在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支 是其中最重要的内容之一。这个发现指出，对于任何一个线性规划问题 都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。对偶问题与原问题的关系 在众多领域都非常有用。
（一）教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。掌握对偶单纯 形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和 应用范围
（二）教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3）对偶理论的实质 4）单纯形法和对偶单纯形法的比较
（三）教学进程： 一、对偶单纯形法的思想来源
所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方 法是由美国数学家 C.莱姆基于 1954 年提出的，它并不是求解对偶问题解 的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。
二、对偶问题的实质
下面是原问题的标准形式以及其对应的对偶问题：
原问题
对偶问题
从而可以发现如下规律：
1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。
2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。
3.原问题一个变量在所有约束方程中的系数是对偶问题一个约束方程
中的所有系数。
三、对偶单纯形法原理
对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题
四、对偶单纯形算法流程 在上述的理论基础上，可知用单纯形法求解线性规划问题时，在得 到原问题的一个基可行解问题同时，在检验数行得到对偶问题的一个基 解。单纯形法的基本思想是保持原问题为可行解的基础上，通过迭代增 大目标函数，当其对偶问题也为可行解时，就达到了目标函数的最优 值。 而对偶单纯形法的基本思想则是保持对偶问题为可行解的前提下 （即单纯性表最后一行检验数都小于零），通过迭代减小目标函数，当 原问题也是可行解时，就得到了目标函数的最优解。 故我们可以得到对偶单纯形法求解过程如下： 1.将原问题化为标准型，找到一个检验数都小于等于零的对偶问题的 初始可行基。 2.确定换出基的变量 对于小于零的 bi，找到最小的一个 br，其对应的 xr 为换出基的变量 3.确定换入基的变量 （1）为了使迭代后表中的第 r 行基变量为正值，因而只有对应 aij 小 于零的非基变量才可以作为换入基的变量； （2）为了使迭代后表中对偶问题仍为可行解，令
由于 CX CB X B CN X N CB B1b ，而 Yb CB B1b ，从而 有 CX Yb 。根据最 优性，命题得证。
4.线性规划的问题原问题及对偶问题之间存在一对互补的基解，其中 原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问 题的变量；这些相互对应的变量如果在一个问题中是基变量，则在另一 问题中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目 标函数有 z=w。
的最优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。为了理解对
偶单纯形法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几
个基本原理有所了解。
1.弱对偶性
如果
是原问题的可行解，
是其对偶问题的
可行解，则恒有
证明：由于对偶方程中原问题的约束条件是各行的 aijxj 之和小于等
于 yi 的系数 bi，而对偶问题的约束条件是各行的 aijyi 之和小于等于 xj 的
故选择 a22 为主元素，x2 为换入变量，得到新的单纯形表：
cj→ CB 基 b
-5
-2
-4
0
0
系数 cj，故将
和
分别和
比较，可得上述结
论。
2.最优性
如果
是原问题的可行解，
是其对偶问题的
可行解，且有
则 优解。
证明：由
是原问题的最优解，
可得
是其对偶问题的最
故可知
是原问题的最优解，
是其对偶问题
的最优解。
3.强对偶性 如果原问题有最优解，那么其对偶问题也有最优解，且有
maxz=minw. 证明：设 B 为原问题式(1)的最优基，那么当基为 B 时的检验数为
称 ars 为主元素，xs 为换入基的变量。 4.用换入变量替换换出变量，得到一个新的基。再次检查是否所有的 bi 大于等于零。如果是，则找到了最优解，如果否，则再次进行变换。
对偶单纯形法的算法流程图 开始
化原问题为标准 型
找出一个对偶问题的初始可行基 B0，计算非基变量检验数（全部检 验数σj ≤0）并列出初始单纯形表
C CB B1A ，其中 CB 为由基变量的 价值系数组成的价值向量。 既然 B 为原问题式 (1 )的最优基，那么有 C CBB1A 0 。
令 Y CB B1 ，那么 有 C YA 0 YA C ，从而 Y CB B1 是对偶问题 式 (2 ) 的可行解。
这样一来 ， Y CB B1 是对偶问 题的可行 解， X B B1b 是原问 题的最优 基可行解。