运筹学 ( 对偶问题及性质)
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《运筹学》线性规划的对偶问题
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
运筹学(对偶问题)
x x 300 2 x x 400 x 250 x ,x 0
1 2 1 2 2 1 2
(原问题）
分析问题： 1、每种资源出售时的利润不能低于自己生产时的可 获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
设y1 , y2 , y3分别为三种资源收费单价，所以 有下式： y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1 , y2 , y3 0
1 2 1 2 3 1 2 3
（对偶问题）
模型对比：
数学模型： max Z 50 x 100 x
1 2
min W 300 y 400 y 250 y
1 2 1 2
3
x x 300 2 x x 400 x 250 x ,x 0
1 2 1 2 2 1 2
练习： 1. min Z 2 x1 2 x 2 4 x 3
2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0 2 .min Z 3 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 0 x 2 3 x 3 4 x 4 5 2 x1 3 x 2 7 x 3 4 x4 2 x 0，x 0, x 、x 无约束 2 3 4 1
矩阵形式： P maxZ CX AX b X0
D min W Yb YA C Y0
例一、 max Z 10 x1 18 x 2
P
5 x1 2 x 2 170 2 x1 3 x 2 100 x1 5 x 2 150 x1 , x 2 0
运筹学对偶问题和性质
❖ 目旳函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题旳对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
2y1y1 22y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题旳最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
作业:第88-89页: 3.3(1),(2) 3.8
思索题：3.2 3.4
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
性质6 (互补松弛性)：在线性规划问题旳最优解中，假如相 应某一约束条件旳对偶变量值为非零，则该约束条件取严格 等式；反之假如约束条件取严格不等式，则其相应旳对偶变 量一定为零. 即Y*XS=0，YSX*=0
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
1/4
y3 j 1/2
15/2 15/2
0 0
1 0
1/2 7/2
-3/2 3/2
运筹学第3章 对偶问题
y1 + 2 y2 + 4 y3 = 3 2 y1 + y2 + 3 y3 = 2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
运筹学2对偶问题
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 11 of 19
在例2.1中，原问题的最优解X＝（24.24，0，46.96） 对偶问题的最优解Y＝（10.6，0.91，0，0） 最优值z=w=5712.12
分析：
1. y1=10.6说明在现有的资源限量的条件下，增加 一个单位第一种资源可以给企业带来10.6元的利润； 如果要出售该资源，其价格至少在成本价上加10.6元。
1
1
3
5 x
x
2
2
8 10
x 1 0 , x 2 0
【解】这是一个对称形式的线性规划，它的对偶问题求最
小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5 y1 7 y2 y3 4 y1 2 y2 3y3 3 yi 0, i 1,2,3
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 16 of 19
若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再 写对偶问题。也可直接按表2－1中的对应关系写出非对称 形式的对偶问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系：
及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上
花费最少的数学模型。
含量 食物
营养成分
一
二
三 四 五 六 需要量
A
13 25 14 40 8 11 ≥80
B
24
9
30 25 12 15 ≥150
运筹学 线性规划 对偶问题
●对偶(min型)变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的 对偶(min型 变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的 松弛变量 绝对值 ●对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的 对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的 对应变量 检验数的绝对值 ●由于原问题和对偶问题是相互对偶的,因此对偶问题的 由于原问题和对偶问题是相互对偶的, 检验数与原问题的解也有类似上述关系. 检验数与原问题的解也有类似上述关系. ●更一般地讲,不管原问题是否标准,在最优解的单纯型 更一般地讲,不管原问题是否标准, 都有原问题虚变量 松弛或剩余) 虚变量( 表中,都有原问题虚变量(松弛或剩余) 的检验数对应其 对偶问题实变量 对偶变量)的最优解,原问题实变量 实变量( 对偶问题实变量 (对偶变量)的最优解,原问题实变量(决 策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量 策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量 (松弛或剩余变 的最优解.因此, 量)的最优解.因此,原问题或对偶问题只需求解其中之 一就可以了. 一就可以了.
n
* j
,
∑b y
i =1 n i j =1 m
m
* i
≤ ∑ bi yi
i =1
m
∑ c j x j = ∑ bi yi ,
∴
∑cjxj ≤
* *
∑ bi yi
i =1 m i =1
m
*
∑c x = ∑c x
j =1 j j j =1 j
j
=
∑b y
i =1 i
* i
= ∑ bi yi
3.强对偶性(对偶定理) 强对偶性(对偶定理) 强对偶性 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解, 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优 且它们的最优解的目标函数值相等. 解,且它们的最优解的目标函数值相等. 证:第一步,证明都有最优解.原问题和对偶问题都有可 第一步,证明都有最优解. 行解,由弱对偶定理推论1可知 原问题目标函数有上界, 可知, 行解,由弱对偶定理推论 可知,原问题目标函数有上界, 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 第二步,证明最优解的目标函数值相等.根据单纯形 第二步,证明最优解的目标函数值相等. 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解, 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解,且 二者的目标函数值相等,根据最优性定理, 二者的目标函数值相等,根据最优性定理,二者的解均为 最优解. 最优解.
n
* j
,
∑b y
i =1 n i j =1 m
m
* i
≤ ∑ bi yi
i =1
m
∑ c j x j = ∑ bi yi ,
∴
∑cjxj ≤
* *
∑ bi yi
i =1 m i =1
m
*
∑c x = ∑c x
j =1 j j j =1 j
j
=
∑b y
i =1 i
* i
= ∑ bi yi
3.强对偶性(对偶定理) 强对偶性(对偶定理) 强对偶性 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解, 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优 且它们的最优解的目标函数值相等. 解,且它们的最优解的目标函数值相等. 证:第一步,证明都有最优解.原问题和对偶问题都有可 第一步,证明都有最优解. 行解,由弱对偶定理推论1可知 原问题目标函数有上界, 可知, 行解,由弱对偶定理推论 可知,原问题目标函数有上界, 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 第二步,证明最优解的目标函数值相等.根据单纯形 第二步,证明最优解的目标函数值相等. 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解, 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解,且 二者的目标函数值相等,根据最优性定理, 二者的目标函数值相等,根据最优性定理,二者的解均为 最优解. 最优解.
2.2运筹学 对偶问题的基本性质
y1*
x
* s1
0
y2*xs2* 0
ym*
x
s
* m
0
若y
* 1
0则x
* s1
0
若x
* s1
0则y
* 1
0
对偶变量不为0 ，原问题相应 约束式是等式
原问题约束为
已知线性规划问题
不等式，相应
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
对偶变量为0
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4
(2)
2 y1 3 y2 5
(3)
y1 y2 2
(4)
3 y1 y2 3
(5)
y1 , y2 0
将
y* 1
,
y* 2
的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互
补松弛性得 x*2 x*3 x4* 0。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条
件应取等式，故有
x1* 3 x5* 4
B 1b C B B 1b
与-原原问问问题令题题的Y的的基=检C检解验B验(B差数数-1一对,故比负应较可号对-得-)偶---对- 偶问题YS的2=一CB个B-基1N解-C.N
YS1=0
原 问 题
对偶 问题
变量性质
检验数 基解
变量性质
基变量
非基变量
XB 0
-YS2 非基变量
XN
XS
CN-CBB-1N -CBB-1
机械设备
甲 1
原材料A 4
影子价格
原材料B 0
经济意义பைடு நூலகம் 在其它条件 不变的情况 下， 单位资源变 化所引起的 目标函数的 最优值的变 化。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
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产品数据表
产品
设备
产品利润
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用机时数 （时）
12
8
16 12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
❖解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机
器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如
何定价才是最佳决策？
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶性质
例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
maxz 2x1 x2
b
15/2 7/2 3/2
原问题的变量
x1
x2
0
0
1
0
0
1
0
0
原问题的松弛变量
x3
x4
1
5/4
x5 -15/2
0
1/4
-1/2
0
-1/4
3/2
0
－1/4
－1/2
对偶 问题 最优 表
对于非对称形式的规划，可以按照下面 的对应关系直接给出其对偶规划。
（1）将模型统一为“max，≤”或“min， ≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
（2）若原规划的某个约束条件为等式约束， 则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值 没有非负限制；
1.线性规划对偶问题
Chapter2 对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏性分析
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
❖ 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A， B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品 的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
（3）若原规划的某个变量的值没有非 负限制，则在对偶问题中与此变量对应的 那个约束为等式。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
条
≤
件
≥
=
n个
变
量
≥0
≤0
无约束
对偶问题（或原问题）
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
5x2 x3 15
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
x4 x5
2 5
4
xj 0
minw 15y1 24y2 5 y3
s.t
5
6y y1
2 2y
y3 2
y4 y3
y
解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
下表：
对偶性质
XB
原问 x3 题最 x1 优表 x2
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
原问题
（对偶问题）
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
-Ys2
-Y
❖ 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x1 3x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 4x
2
7x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
对偶问题 （原问题）
线性规划的对偶模型
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变
量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非
负.
❖ （1）对称形式
maxZ CX
minW Yb
AX b
(LP)
（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时 总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2 s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
XB
CB XB B-1b
I
cj-zj
0
-Ys1
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
3
x1
x2
7x3
3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题： minW 2 y1 3y2 5y3
2 y1 3y2 y3 2
53y1y1 7
y2 y2
4 y3 6 y3
3 4
y1, y2 , y3 0
(2) 非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为 非对称形式的对偶规划。
X
0
YA C
(DP)
Y0
已知 (LP)，写出 (DP)
单纯形法计算的矩阵描述(n>m)
项目
非基变量
基变量
XB
XN
Xs
0 Xs b
B
N
I
cj-zj
CB
CN
0
项目
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
❖ 若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj