第四章 静电场中的导体
静电场中的导体
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
4静电场中的导体
3) 推论：处于静电平衡的导体是等势体 导体表面是等势面 导 体 是 等 势 体
en
E dl
E
+
+ + +
E dl 0
导体内部电势相等
dl
+
+
et
U AB E dl 0
AB
A
B
注意 当电势不同的导体相互接触或用另一导体（例如导 线）连接时，导体间将出现电势差，引起电荷宏观 的定向运动，使电荷重新分布而改变原有的电势差， 直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平 衡状态为止。
各个分区的电场分布（电场方向以向右为正）：
1 2 3 4 在Ⅰ区：E 2 0 2 0 2 0 2 0 1 Q 方向向左 0 2 0 S
Eint 0
◆ 导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。
E S 表面
证明(1)：如果导体内部有一点场强不为零，该点的 自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不 是静电平衡了。 证明(2)：若导体表面紧邻处的场强不垂直于导体表 面，则场强将有沿表面的切向分量 Et，使自由电子 沿表面运动，整个导体仍无法维持静电平衡。
const .
E dS
S
q
i
i
0
E dl 0
L
3. 电荷守恒定律
讨论题：
1. 将一个带电+q、半径为 RB 的大导体球 B 移近一 个半径为 RA 而不带电的小导体球 A，试判断下列说 法是否正确。 +q B (1) B 球电势高于A球。 (2) 以无限远为电势零点，A球的电势 A 0 。 (3) 在距 B 球球心的距离为r ( r >> RB ) 处的一点P， q /(40。 r2) 该点处的场强等于 (4) 在 B 球表面附近任一点的场强等于 B / 0 ，
静电场中的导体和电解质
Q + + + + ++ + + + + E= 0 S+ + + + + + + + ++
Q q + + + +++ + +-q + + - E= 0 S + 结论: 电荷分布在导体外表面, 导体 + q + + 内部和内表面没净电荷. + - - + + + + ++ 腔内有电荷q: E 0 q 0
i
结论: 电荷分布在导体内外两个表面,内表面感应电荷为-q. 外表面感应电荷为Q+q.
NIZQ
第 5页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
结论: 在静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的 表面,导体内部没有净电荷. • 静电屏蔽 一个接地的空腔导体可以隔离内 外电场的影响. 1. 空腔导体, 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用. 2. 空腔导体,腔内存在电荷 接地的空腔导 体可以屏蔽内、 外电场的影响.
NIZQ
第 3页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
• 静电平衡时导体中的电场特性
E内 0
场强:
ΔVab
b
a
E dl 0
• 导体内部场强处处为零 E内 0 • 表面场强垂直于导体表面 E表面 // dS
• 导体为一等势体 V 常量 • 导体表面是一个等势面
S
0 E P dS qi
电磁学第四章恒定电流和电路
电磁学第四章恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。
从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。
若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以本章主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念。
§ 4.1恒定电流一、电流、电流强度、电流密度导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止。
若能使内部场强不为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生。
1、电流（1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）本章只讨论：导体内部的电流。
（2）载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子，它们是形成电流的内在因素。
不同性质的导体有不同的载流子：金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等。
（3）电流的方向正电荷运动的方向为电流的方向。
结论:A :导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处；B :导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。
2、电流强度描述，电流的大小（1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。
（这里的截面可以推广到任意曲面）Aq表示为：I 二lim t >0-△t（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量。
A qI就某S面：1=三：平均地反映了S面的电流特征。
3、电流密度J（1）定义：导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：(2) J与I有不同：I是一个标量，描写导体中的一个面;J是矢量点函数，描写导体中的一个点。
(3) J与I的普遍关系只反映了J与I的特殊关系（要求面元与J垂直），下面推dS_导J与I的一般关系nJ在导体中某点处取一任意面元dS （dS与J并非垂直），面元dS的法线方向n?与该点的J夹角为二，则dS在与J垂直的平面上的投影为：dS〕二dScos^而dl 二JdS = JdScos^ （标量）二J r?d^ = J dS（二矢量点乘仍为标量）所以通过导体中任意曲面S的电流强度I与J的关系为：I 二J dSS此式说明：一曲面上的I是J对该曲面的通量（J通量）。
静电场中的导体和电介质
-
目录
静电场中的导体 和电介质
0
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体和电介质
静电场是指在没有电流流动的情况下，电荷分布所产生的电场。在静电场中，导体和电介质 是两种不同的物质，它们的特性和作用也不同，本文将探讨导体和电介质在静电场中的性质 和应用 首先，我们需要了解导体和电介质的基本概念。导体是一种具有良好导电性能的物质，常见 的导体包括金属等。导体内的自由电子可以在外加电场的作用下移动，形成电流。而电介质 则是一种不良导电的物质，它的电导率远远低于导体。电介质在外加电场下无法形成连续的 电流，而是通过极化现象来响应电场的作用 在静电场中，导体和电介质的行为有很大的不同。对于导体来说，其特点是在静电平衡状态 下，内部电场为零。这是因为导体内的自由电子能够自由移动，它们会在外加电场的作用下 重新分布，直到达到平衡状态。这种现象被称为电荷运动的屏蔽效应。导体的另一个重要性 质是表面上的电荷分布是均匀的，这也是导体可以用来储存电荷的
与导体不同，电介质在静电场中的响应更加复杂。当外加电场作用于电介质时，电介 质分子会发生极化现象，即分子内部正、负电荷的分离。这种分离会导致电介质内部 产生电位移场，从而相应地改变电场分布。电介质的极化程度可以用极化强度来衡量 ，极化强度与外加电场的强度成正比。除了极化现象，电介质还可能发生击穿现象， 即在电场强度过高时，电介质内部的绝缘失效，导致电流的突然增加
0
静电场中的导体和电介质
导体在静电场中的一个重要应用 是电路中的导线。电路中的导线 由导体制成，它们能够有效地传 导电流。在电力系统中，导体连 接电源和电器设备，将电能传输 到目标地点。此外，在电子设备 制造中，导体用于制作电路板， 连接不同的电子元件，实现电信 号的传输和处理
大学物理-静电场中的导体
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
静电场中的导体
分布在导体的表面上。
4、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导 体表面在该处的面电荷密度 的关系
E 0
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1、 实心导体
+
+ + + +
E 0
+
S
+ + +
+
q E dS 0
S
0
q 0
结论： 导体内部无电荷，电荷只能分布
q
+
q
+
+
q
+
实验验证
外表面所带感应电荷全部入地
总结： 空腔导体（无论接地与否）将使腔内不
受外场影响。
接地空腔导体将使外部空间不受腔内电
场的影响。
四 有导体存在时场强和电势的计算
电荷守恒定律 电荷分布
静电平衡条件
E U
例1、有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳 中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的 正电荷。问：（1）两球电荷分布。（2）球心的电势。 （3）球壳电势。 + + + 解：(1)、电荷+q分布在内球表面。 + - + 球壳内表面带电-q。
S A+ +
A
+
+
B+ B +
+ +
+
b、空腔内有带电体
E dS 0
S1
q
i
0
电荷分布在表面上
思考： 内表面上有电荷吗？
E dS 0 qi 0
大学物理电磁学典型习题
部分习题解答第一章 静止电荷的电场1、10 解：（一定要有必要的文字说明）在圆环上与角度θ相应的点的附近取一长度dl ，其上电量 dq =λdl =0λsinθdl ，该电荷在O 点产生的场强的大小为==204RdqdE πε2004sin R dl πεθλθπελsin 400R =θd dE 的方向与θ有关，图中与电荷 dq 对O 点的径矢方向相反。
其沿两坐标轴方向的分量分别为 θθθπελθd RdE dE x cos sin 4cos 00-=-=θθπελθd RdE dE y 200sin 4sin -=-=整个圆环上电荷在圆心处产生的场强的两个分量分别为==⎰x x dE E R004πελ-⎰=πθθθ200cos sin d==⎰Y y dE E R004πελ-⎰-=πελθθ200024sin Rd 所以圆心处场强为 E = E y j = R004ελ-j 1、11 解：先将带电系统看成一个完整的均匀带电圆环计算场强，然后扣除空隙处电荷产生的场强；空隙的宽度与圆半径相比很小，可以把空隙处的电荷看成点电荷。
空隙宽度m d 2102-⨯=，圆半径m r 5.0=，塑料杆长m d r l 12.32=-=π 杆上线电荷密度m C lq/1019-⨯==λ 一个均匀带电圆环，由于电荷分布关于圆心对称，环上对称的二电荷元在圆心处产生的场强互相抵消，因而整个圆环在圆心处的场强E 1= 0 空隙处点电荷设为q /，则q / =d λ，他在圆心处产生的场强m V rdr q E /72.0442020/2===πελπε 方向由空隙指向圆心。
空隙处的电荷实际上不存在，因此圆心处场强等于均匀带电圆环在该点产生的场强与空隙处电荷在该点产生的场强之差，故m V E E E /72.021-=-= 负号表示场强方向从圆心指向空隙。
1、12 解：设想半圆形线CAD 与半圆形线ABC 构成一个圆形如图，且圆上线电荷密度均为λ。
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+q -q q+Q
外壳不接地
讨论：导体空腔虽然能使它包围的空间不受外部电荷产生的 电场的影响，但无法阻止空腔内部电荷对外部电场的 影响。
外壳接地
若将空腔导体接地，使外表面不再带电，外部便无电场， 从而可保护腔外空间不受腔内带电体的影响。 总之，接地的导体空腔可以有效地消除内、外电荷产生的 电场的相互影响, 实现静电屏蔽。金属壳是极好的导体空腔。
的表面，导体B有两个表面, 在两表面上电荷均匀分布。
q
A
Q B
在两表面间做一高斯面可知：
QB内 q
由电荷守恒
QB外 Q q
q
A
-q
B
Q+q
2) A的电势UA
q
方法一：场强积分
A
U A
E dl3
E
dl
E dl
R1
② 在球状导体的情况下 *接地点的电势=无穷远处的电势=0 与地相连的表面带电量发生变化，但一般有电荷。
§4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律
处于静电平衡状态的导体，其电荷分布有以下特点：
⑴ 导体所带电荷只能分布在导体表面, 导体内部(包括内表 面)净电荷处处为零.
证明:
对导体 体内任意闭合曲面S，
由于导体表面必为等势面，所以有导体时，导体外的场强 分布必受导体表面形状的控制和调整。静电透镜就是根据这 种基本原理设计的。
静电透镜电场等势面分布示意图
导体接地
取得与无限远相同的电势 （通常取为零）
无限远 （等势区）
q1 q2
① 在无限大导体平板的情况下 大地（等势体） 接地点的电势等于零 与地相连的平板在外场中某一表面可不带电荷 （面电荷密度等于零）。
2. 导体壳：外可不为零，但内 和 E内必为零。
理由：
内 = 0
E内 = 0
S内
外 在导体中包围空腔选取
高斯面S ， 则：
S
E导内 d s 0
S
内
ds
0，若内
0，则内必有正负
S内
E线从正电荷到负电荷 与导体静电平衡矛盾
只能内 =0，且腔内无E线 只能 E内 = 0。
说明：设细导线连接两球体, 整体可看成孤立体, 且两球保
持等势体; 细导线很长, 忽略两球之间的静电感应, 两球可近似
看成孤立导体
A球
UA
1
4 0
Q R
B球
UB
1
4 0
q r
U A UB
q B
r
R r r R
QA R
结论：对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于导体自身的形状
表面突出尖锐部分曲率大, 电荷密度大; 表面比较平坦部分曲率小, 电荷密度小; 表面凹进部分曲率为负, 电荷密度最小。
注意：导体表面电荷的面密度不仅与该处的曲率半径有 关，还与周围的带电体有关，关系复杂。
尖端放电(电晕现象):
对于具有尖端的带电导体, 在尖端处的场强特别 强。空气中残留的离子在强电场作用下将剧烈运动, 并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的 离子，使其电离。电离的粒子与尖端上的电荷中和， 即形成所谓的尖端放电，同时形成可看得见的光晕， 称做电晕。尖端放电的典型应用就是避雷针。
△§4.4 有导体存在时静电场的分析与计算
△§4.1 导体的静电平衡条件
（electrostatic equilibrium of conductor）
静电感应
在外电场作用下, 自由电子做宏观的定向移 动, 电荷在导体上重新分布, 使导体带电。
静电平衡状态
在平衡状态下，导体内部和表面都没有电荷 的宏观移动。
（2）导体和电介质对电场的影响。
研究方法： 由于电场与物质之间相互影响、相互制约，故
只能根据静电场遵守的普遍规律（如高斯定理、环 路定理）去研究电场与电荷之间关系，并联系物质 本身的电性质，来同时确定物质上的电荷分布与电 场的空间分布。
本章目录
△§4.1 导体的静电平衡条件 §4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律 §4.3 静电屏蔽
F2
1
40
q2q
a b2
e12
于是得出，金属球上的电荷作用在 q2 上的力为
F2
F21
F2
q2
40
q1 a2
a
q
b2
e12
作业：4.2，4.3，4.5，4.6
第四章结束
附：有导体存在时静电场的分析与计算
例1 一半径为 R1的带电球体A，总电量q1 ，在它 外面有一个同心的带电球壳B，其内外半径分别为 R1 和R2 ，总电量Q。 试求:
由高斯定理
s
E
dS
1
0
v
dV
而静电平衡条件
E内 0
0
S P
dV
导体
⑵ 导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外紧相邻的电场
强度大小成正比，且 0E
证明: 如图，取与表面平行的导体内外附近两个小面元 S 为
底面，侧面垂直表面的小圆柱面。由高斯定理
4 0 R3
q A
-q B Q+q
3) 将B接地, A分布q, B内表面分布q, 外表 面为零;
4) 将B地线拆掉后, 将A接地, 此时A上电荷 为 q, B内表面q , 外表面为－q+ q.
根据电势叠加:
q
q q q 应该
U A 4 0R1 4 0R2 4 0R3 0
量分别为 q1 和 q2 ，它们都均匀分布在各自内腔表面上。 故 q1 作用在 q2 上的力为
F21
1
40
q2
q1 a2
e12
1
40
q1q2 a2
e12
式中 e12是从 q1 指向 q2的单位矢量
q2 由于是均匀分布在球 面上，故它作用在 q2 的力为零。
U' dq' 0
q' 4 0 R 而q在O处的电势为
q'
q'
OR
U q
4 0d
U0
U
U'
q
4 0d
导体球接地：设球上的净电荷为q1
U0
q
4 0d
q1
4 0R
0
解得
q1
R d
q
q1
OR
d
q
d
q
例题4 一个金属球内有两个球形空腔，两空腔中心相 距为a，它们的连线通过球心；在两腔中心各有一个点
B的电势UB:
方法一：场强积分
UB
E dl
B
R3
E
dl
E dl
R2
R3
(Q q)dr Q q
R3 4 0r 2 4 0 R3
方法二：电势叠加法
UB
q
4 0 R3
q
4 0 R3
4 0 R3
在导体内
E内 E0 E
其中： E是感应电荷q 产生的场。
静电平衡时的特点
场强特点： E内 0
电势特点:
E表面 表面
① 导体是等势体(静电平衡条件的另一种表述); ② 导体表面是等势面.
静电平衡条件是由导体的电结构特征和静电平衡的要求决 定的, 与导体的形状, 大小无关。
3. 导体壳内有电荷：外可不为0，但必有内 0，
且 q内表
d s q
S内
外 理由：
内 0
q E内 0
在导体中包围空腔做高斯
q内表 =-q
面S ，则：
S
1
S
E导内 d
s
0
(q
q内 表 )
0
q内表 q
§4.3 静电屏蔽
静电屏蔽（electrostatic shielding） 由于静电平衡时，导体内场强处处为零，电场线
OR
解：建立如图所示的坐标系
设导体球表面感应出电荷q’
球心O处场强为零，是
d
±q’ 的 电 场 和 q 的 电 场
叠加的结果
x q
E'
E
即
[
E0 q
4 0d
E
2 (i
)]
E
4
0 q
0d
2
i
因为所有感应电荷在O处的电势为
电荷，电量分别为 q1, q2 。球外有一电荷量为q的点电 荷，处在 q2 到 q1 的延长线上，到 q1的距离为b。已知
金属球上所有电荷量的代数和为零。试求金属球上的
电荷作用在 q2 的力。
q2
q1
a
q b
解：金属球上的电荷包括金属球外表面上的电荷和两腔内表
面上的电荷。根据对称性和高斯定理，两腔内表面上的电荷
空气中的直流高压放电图片：
Z形通道 被迫冲 向云层
俘获闪电： 激光束引起空气电离，使闪电改道