最小二乘法与高斯消元法
综述高斯的重要数学贡献
高斯的重要数学贡献约翰·弗里德里希·卡尔·高斯（Johann Friedrich Carl Gauss）是一位德国数学家和天文学家，他的贡献对数学界的发展产生了深远的影响。
以下是他的一些重要贡献：1. 高斯分布：高斯在概率论和统计学领域做出了巨大贡献，他提出了著名的高斯分布（也称为正态分布）。
高斯分布是一种连续型概率分布，它在自然和社会科学中具有广泛的应用，如测量误差、人口密度、身高等。
高斯分布的提出极大地推动了概率论和统计学的发展。
2. 最小二乘法：高斯在数学分析中提出了最小二乘法，这是一种求解线性方程组的最优方法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化误差平方和来求解未知参数。
这一方法在天文学、地理学、物理学等领域得到了广泛应用，为科学研究提供了有力的数学工具。
3. 高斯消元法：高斯在矩阵理论中提出了高斯消元法，这是一种求解线性方程组的有效方法。
高斯消元法通过行变换将线性方程组转化为简化形式，从而方便地求解未知数。
这一方法在计算机科学、工程学等领域具有重要应用价值。
4. 磁学理论：高斯在磁学领域做出了重要贡献，他提出了著名的高斯定律，描述了磁场与电流之间的关系。
高斯定律是电磁学的基础之一，对电磁场的研究具有重要意义。
5. 数学符号：高斯在数学符号方面也有重要贡献。
他发明了表示正整数的符号“+”，以及表示虚数单位的符号“i”。
这些符号的引入极大地简化了数学表达，为数学研究提供了便利。
6. 数论：高斯在数论领域也有重要贡献，他证明了费马大定理的一个特殊情况，即当n为偶数时，费马大定理成立。
此外，他还研究了二次剩余问题，提出了高斯同余定理。
7. 地球磁场研究：高斯对地球磁场的研究也有重要贡献。
他利用天文观测数据，成功地解释了地球磁场的起源和变化规律，为地球磁场研究奠定了基础。
总之，高斯的数学贡献涉及多个领域，他的研究成果对后世产生了深远的影响。
他的许多成果至今仍被广泛应用于科学研究和工程技术中，展示了他在数学领域的卓越才能。
矩阵的求解方法和技巧
矩阵的求解方法和技巧矩阵的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到矩阵的性质、运算和解析方法等多个方面。
下面将介绍一些矩阵求解的常用方法和技巧。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，适用于任意大小的方阵。
该方法的基本思想是通过矩阵的初等行变换，将方程组化为行最简的形式，从而求解出未知数的值。
具体操作步骤如下：1) 将方程组转化为增广矩阵形式；2) 选择一个主元（通常选择第一列的第一个非零元素）；3) 将该主元所在的行除以主元得到1；4) 用主元所在行乘以矩阵的某一行，再与原行相减，使得该行的主元所在列的其他元素都为0；5) 选择下一个主元，重复步骤3和4，直至将方程组化为行最简的形式（即上三角形矩阵）；6) 回代求解每个未知数的值。
2. 克拉默法则：克拉默法则适用于求解n元线性方程组（n个方程、n 个未知数），它是一种基于行列式的方法。
具体操作步骤如下：1) 将方程组转化为增广矩阵形式；2) 求出系数矩阵的行列式D；3) 分别将方程组的等号右边替换为未知数列矩阵，并求出每个矩阵列的行列式Dj；4) 利用克拉默法则的公式，未知数xi的值等于Dj除以D的商。
克拉默法则的优点是理论简单，适用于少数方程未知数的求解，但对于大规模的方程组来说，计算量较大。
3. LU分解法：LU分解是将矩阵按照一定的规则分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解法适用于求解一大类线性方程组，对于已经进行了LU分解的矩阵，可以节省计算量，提高计算效率。
具体操作步骤如下：1) 对矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；2) 利用前代法（也称为Ly=b法）求解方程Ly=b，求出向量y；3) 利用回代法（也称为Ux=y法）求解方程Ux=y，求出向量x。
4. 矩阵的逆：矩阵的逆是指如果一个方阵存在逆矩阵，那么它和它的逆矩阵相乘得到一个单位矩阵。
矩阵的逆可以用来求解线性方程组的解。
具体操作步骤如下：1) 对矩阵A进行LU分解；2) 利用前代法求解方程Ly=b，求出向量y；3) 利用回代法求解方程Ux=y，求出向量x；4) 得到矩阵的逆矩阵A^-1。
十大数学算法
十大数学算法数学算法是应用数学的重要组成部分，它们是解决数学问题的有效工具。
在计算机科学中，数学算法被广泛应用于图像处理、数据分析、机器学习等领域。
下面将介绍十大经典数学算法，它们涵盖了数值计算、图论、概率统计等多个数学领域的核心算法。
一、牛顿法牛顿法是一种用于求解方程的迭代数值方法。
它通过不断逼近函数的根，实现方程的求解。
牛顿法的核心思想是利用函数的局部线性近似来逼近根的位置，通过迭代求解函数的根。
牛顿法在优化问题中有广泛应用，如求解最优化问题和非线性方程组。
二、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的经典方法。
通过不断进行行变换，将线性方程组转化为上三角矩阵，进而直接求解出线性方程组的解。
高斯消元法在线性代数和计算机图形学中有广泛的应用。
三、快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的离散傅里叶变换计算方法。
它通过分治法将离散傅里叶变换的计算复杂度降低到O(n log n)的时间复杂度。
FFT在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
四、Prim算法Prim算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法。
通过不断选取与当前最小生成树连接的最小权重边，逐步构建最小生成树。
Prim算法在图论和网络优化中有重要应用。
五、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径问题的贪心算法。
通过使用优先队列来存储节点，不断选择当前最短路径长度的节点，逐步求解最短路径。
Dijkstra算法在路由器和网络优化中有广泛应用。
六、最小二乘法最小二乘法是一种用于求解参数估计问题的优化方法。
通过最小化观测值与估计值之间的差异平方和，得到参数的最优估计。
最小二乘法在回归分析和数据拟合中广泛应用。
七、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样和统计模拟，来解决复杂问题的数值方法。
它通过随机抽样来估计问题的概率或者数值解，适用于各种复杂的概率和统计计算问题。
八、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，主要用于求解无约束最优化问题。
数学公式知识：高斯消元法解线性方程组
数学公式知识：高斯消元法解线性方程组高斯消元法是一种常用于解决线性方程组的方法，其基本思想是通过一系列的行变换，将原始的线性方程组转化为一个三角形形式的线性方程组，从而求解出方程组的解析解或数值解。
本文将介绍高斯消元法的过程、原理以及应用。
一、高斯消元法的基本过程高斯消元法的基本过程可以分为以下几步：1.构造增广矩阵：将原始的线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并在一起。
2.基本行变换：通过一系列基本行变换（例如交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍），将增广矩阵转化为上三角矩阵。
3.回带求解：通过向上回带的方式，求解出上三角矩阵对应的线性方程组的解。
二、高斯消元法的原理在执行高斯消元法的过程中，关键是在第一步构造增广矩阵时，如何选取主元。
主元通常被选为系数矩阵中对应行的主对角线元素，其基本原理是以该元素为基础，通过一系列行变换，将其他元素全部消为0，从而得到一个上三角矩阵。
但是，在实际应用中，可能会出现主元为0或非常小的情况，导致计算误差或求解失败。
因此，在程序实现时，通常需要先通过部分选主元（例如选取绝对值最大的元素作为主元），再进行行变换，从而提高计算精度。
此外，在执行高斯消元法的过程中，需要注意一些细节问题，例如主元为0或非常小的情况、矩阵奇异性等，以避免出现计算错误或无解的情况。
三、高斯消元法的应用高斯消元法广泛应用于各种科研和工程问题中，例如线性控制、图像识别、计算机视觉等领域。
其主要应用场景包括：1.求解线性方程组：高斯消元法可以直接求解线性方程组的解析解或数值解，为工程和科研计算提供了重要的基础工具。
2.矩阵求逆：通过将方程组的系数矩阵变为单位矩阵，可以使用高斯消元法求解矩阵的逆，从而可以直接计算出矩阵的行列式、特征值等重要参数。
3.最小二乘法：在拟合曲线或曲面时，通常会将问题转化为线性方程组的形式，然后采用高斯消元法求解最小二乘问题的解。
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
c语言矩阵除法
c语言矩阵除法矩阵除法是矩阵运算中的一种重要操作，其可以用于求解线性方程组、最小二乘法等问题。
在C语言中，我们可以使用一些库函数或自己编写函数来实现矩阵除法操作。
一、矩阵除法的定义矩阵除法是指找到矩阵X，使得AX=B成立。
其中，A 为系数矩阵，B是一个列向量。
矩阵X也是一个列向量。
如果方程组无解，则称A是奇异的。
如果存在多个解，则称A 是非奇异的。
矩阵除法就是在找到非奇异系数矩阵A的情况下，求解线性方程组的过程。
二、矩阵除法的方法1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
其具体步骤是先将系数矩阵A化为阶梯形矩阵U，再通过回带法求解。
这种方法实现简单，但当A的阶数较大时，计算量较大。
2. 矩阵逆元法矩阵逆元法是指通过求解系数矩阵的逆矩阵，再将方程组转化为X=A-1B的形式来解方程。
这种方法在计算机实现时效率较高，但是需要保证系数矩阵的可逆性，并且当A 的阶数较大时，计算量也较大。
3. LU分解法LU分解法是将系数矩阵A拆分为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
这种方法适用于需要反复求解线性方程组的情况，因为一旦A被拆分为L和U，多次求解方程组时只需解两个三角矩阵即可，降低了计算量。
三、C语言矩阵除法的实现在C语言中，我们可以使用一些库函数或自己编写函数来实现矩阵除法操作。
下面分别介绍几种实现方法。
1. GSL库函数GSL是GNU科学库，它提供了一系列的数学函数和数据结构，包括线性代数、多项式运算、微分方程求解等。
GSL提供了一个gsl_linalg库，其中包含了一系列的求解线性方程组的函数。
其中，gsl_linalg_solve函数可以用来求解Ax=b的方程组，实现如下：int gsl_linalg_solve (const gsl_matrix * LU, const gsl_permutation * p, const gsl_vector * b, gsl_vector * x)其中，LU是通过LU分解法得到的L和U的乘积，p是LU分解法过程中得到的置换矩阵，b是列向量B，x是矩阵除法结果X。
高斯消元法在解线性方程组中的应用
高斯消元法在解线性方程组中的应用高斯消元法是一种非常实用的算法，能够对线性方程组进行求解。
因此，它在数学、物理、化学、工程学等领域都得到了广泛
的应用。
高斯消元法是将线性方程组的系数矩阵转化为所要求的矩阵，
使用一些简单的变换来达到简化方程组的目的。
具体来说，首先
可以通过交换两个方程或多个方程来使系数矩阵的主对角线上的
元素变为非零元。
然后，通过将系数矩阵的某一行乘以一个非零
常数或将某一行加上或减去另一行来使主对角线以下的元素为0。
最终，得到一个上三角矩阵，可以通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优缺点：
优点：高斯消元法计算简单，求解速度较快，可在一定范围内
获得较高的精度。
缺点：高斯消元法在某些情况下可能会产生有限或无限多的解，这可能是由于线性方程组中的约束条件不充分或矛盾导致的。
此外，随着线性方程组大小的增加，高斯消元法求解的复杂性会显
著增加。
在大型的稀疏线性方程组中，高斯消元法往往不是最好的选择。
高斯消元法的应用场景：
高斯消元法可以用于求解各种问题，如求解矩阵方程、求解线性方程组变型、线性回归、最小二乘法等。
这些问题的求解都可以转化为求解线性方程组的问题，因此高斯消元法是解决这些问题的关键算法。
总之，高斯消元法是一种重要的数学工具，在各个领域都能够得到广泛的应用。
无论是通过纸笔计算还是计算机程序实现，高斯消元法都应该是每个使用线性代数的科学家和工程师的基本工具之一。
线性代数中高斯消元法的应用
线性代数中高斯消元法的应用线性代数是数学学科中的重要分支，它研究的是向量空间及其线性变换性质。
高斯消元法是线性代数中的一种常见的解线性方程组的方法，应用广泛。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是用于解决线性方程组的方法，通过变换系数矩阵和常数向量，将其化为简化的上三角矩阵或阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
其基本思想是将未知量逐步解出，并代回到其他方程中，最终得到全体未知量的解。
具体来说，高斯消元法首先需要将系数矩阵和常数向量按照矩阵乘法法则组成增广矩阵，然后通过行变换将矩阵的首列化为1，并将其余元素化为0。
接下来，将第二行变为第一行的相反数倍加上第二行，并重复之前的操作，直到增广矩阵变为一个上三角矩阵或者阶梯形矩阵。
这时，从最后一行开始逐个解出未知量，再将其代入到其他方程中，最终得到所有未知量的解。
二、高斯消元法的应用高斯消元法在科学工程中有广泛的应用，例如在电路分析、统计学、计算机图像处理等领域都有经典的应用。
1. 电路分析在电路分析中，高斯消元法可以用来解决线性电路中的电压和电流问题。
如图所示，设电路有n个节点，使用基尔霍夫电流定律可以得到n个线性方程式，将其转化为矩阵形式后，可以使用高斯消元法求解。
2. 统计学在统计学中，高斯消元法通常用于最小二乘法的求解。
最小二乘法是用来描述数据点之间的函数关系的一种方法。
例如，假设我们有一堆数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中y是我们要预测的值，x是我们要输入的值。
求解最小二乘法就是要找到一个函数y=f(x)，使得所有的数据点都离这个函数最近，也就是残差平方和最小。
通过高斯消元法，可以求出最小二乘法的解析解。
3. 计算机图像处理计算机图像处理中也有很多应用可以使用高斯消元法来解决，例如，图像去除噪声问题。
在图像中，噪声的存在会严重干扰到像素的值，通过高斯消元法可以找到一组联立方程来以最小误差的方式去除噪声，并还原原始图像。
三、高斯消元法的优缺点高斯消元法是解决线性方程组最广泛的方法之一，但是它也存在一些缺点。
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在许多实际问题中，变量之间的关系不一定能用多项式很好的拟 合。如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和 经验来确定拟合曲线的形式，另一方面要根据数据点的图形性状及特 点来选择适当的曲线拟合这些数据。
例 2.14 已知函数y=f(x)的数据如表2-8。试选择适当的数学模型进行拟合。
表2-8 i 9 x 0 1 1 2 2 3 3 4 4 6 5 8 6 10 7 12 8 14
m n I 2 i [ yi ak k ( xi )] j ( xi ) 0, j 0,1,, n. a j i 0 k 0
按内积的定义，上式可写为
a
k 0
n
k
( k , j ) ( y , j ), j 0,1,, n.
（2.5.3）
2.5.1 最小二乘拟合
a min xi ,
0i m
b max xi
0i m
{ k ( x)}m0 ， 在连续函数空间C[a,b]中选定n+1个线性无关的基函数 k { 并记由它们生成的子空间 span 0 ( x),1 ( x), n ( x)} 。如果 n * 存在 * ( x ) ak * ( x ) , 使得
* 这样，求极小值问题（2.5.1）的解 ( x ) ,就是求多元二次函数
* * * I (a0 , a1 ,an ) 的极小点 (a0 , a1 ,an ),使得
* * * I (a0 , a1 ,an )
a0 ,a1 ,a n R
min I (a0 , a1 ,an ).
由求多元函数极值的必要条件有
[ y
i 0 i
n
k 0
i
( x )] m i n i [ yi ( x )]2
* 2
n
( x )
i 0
(2.5.1)
* m 则称 ( x )为离散数据{ xi , yi }i 0在子空间 中带权 {i }m 0 的最小二乘拟合。 i
函数 ( x )在离散点处的值为
a1n
( a22 ) n ( a33) n
(3 ann)
b1 ( 2) b2 b3(3) ( 3) bn
运算量： (n-2)*(1+n-1)=(n-2)n
类似的做下去，我们有：
( aikk ) 第k步：第k行 第i行, i k 1,, n (k ) akk
(2)从数据的图形看，可以选用指数函数进行拟合。设 ( x ) e ， 其中 0, 0。这是一个非线性模型， 不能直接用上面讨论的方法求解。 对于一般的非线性最小二乘问题.，用常规方法求解的难度较大。这里的非 线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求 解。
e A 11.3411 。于是，所求的拟合函数为
* ( x) 11.3411 1.0579 x , e
平方误差为 合效果较好。
2 2
。它比方法（1）的 0.1109
2 2
小得多，拟 3.9486
步骤如下： 第一步消元:假设 a11
(1)
0 ,作初等行变换运算
ai1 第1行 第i行, i 2,, n a11
b1 ( 2) b2 ( 2) bn
运算量： (n-1)*(1+n)
2 ai(2 ) 第二步： 2行 第 第i行, i 3,, n ( 2) a22 a11 a12 a13 b1 a11 a12 a1n (2 (2 0 a22 ) a23 ) ( 2) ( 2) ( 2) 0 (3 0 a22 a2 n b2 0 a33) ( 2) ( 2) ( 2) 0 a ann bn ( n2 0 0 an3) 3
x
对说函数 ( x ) e x的两边取之然对数，得 ln ( x) ln x 。 若令 t 1 x , z ln ( x ), A ln ，则有z=A+βt。这是一个线性模型。 将本题离散数据作相应的转换，见表2-9。
表2-9
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
例 2.13 用多项式拟合表2-7中的离散数据。
表2-7
i xi yi
0 0.00 0.10
1 0.25 0.35
2 0.50 0.81
3 0.75 1.09
4 1.00 1.96
解 作数据点的图形如图2-2，从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这 2 时n=2，子空间 的基函数 0 ( x) 1,1 ( x) x,2 ( x) x 。数据中没有给 出权数，不妨都取为1，即 i 1, i 0,1,,4 。
* , * , * 解此方程组得 a0 0.1214 a1 0.5726 a2 1.2114。从而，拟合多项式为
* ( x ) 0.1214x 0.5726x 1.2114x 2 ,
其平方误差
2 2
* 0.0337 。拟合曲线 ( x ) 的图形见图2-2。
(n ann )
b1 ( 2) b2 ( 3) b3 (n) bn
(4.1.4) 这就完成了消元过程。
ti 1.0000 0.5000 0.33333 0.2500 0.1667 0.1250 0.1000 0.0833 0.0714 0.0625 zi 1.3863 1.8575 2.0807 2.1736 2.2544 2.2885 2.3351 2.3437 2.3542 2.3681
1 ( x) x。易得发方程
n
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f ( x ) 和 g( x ) 的内 积 ( f , g ) 0 ，则称两者正交。若多项式组 k ( x) 在离散意义 下的内积满足
k 0
2.5
离散数据的曲线拟合
m 对于已知的m+1的离散数据 {xi , yi }i 0和权数 {i }im 0 ，记
对表2-9种的数据，作线性拟合，这时n=1，子空间Φ的基函数为0 ( x) 1,
2.6923 A 21.4362 10 2.6923 1.49302 4.9586 .
解得A=2.4284,β=-1.0579,从而
2.4 正交多项式和最佳平方逼近
正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式 的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下 节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项 式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中 也有不少应用。
2.4.1 离散点集上的正交多项式
运算量： (n－k)*(1＋n－k＋1)=(n－k)(n－k＋2) n－1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：
a11 0 0 0
a12 a
( 2) 22
a13 a a
( 2) 23 ( 3) 33
a1n
( 2) 2n ( 3) 3n
a
0 0
a
0
设有点集 xi ，函数
m i 0
f ( x ) 和 g ( x ) 在离散意义下的内积定义为
( f , g)
w
i 0
m
i
f ( x i ) g( x i )
(2.4.1)
f ( x ) 的2范数定义为
其中
w 0为给定的权数。在离散意义下，函数
i
f
2
( f , f )
(2.4.2)
( xi ) ak k ( x ), i 0,1,, m .
k 0 n
因此，（2.5.1）右边的和式是参数 a0 , a1 ,an 的函数，记作
I (a0 , a1 , an )
i [ yi ak k ( xi )]2 .
i 0 k 0
m
n
（2.5.2）
i
16 4.00 yi 10.61
6.41
8.01
8.79
9.53
9.86
10.33 10.42 10.53
解 (1)观察数据点的图形(见图2-3),选择二次多项式作为拟合模型。 取所有权数为1，按（2.5.3）有
76 826 a0 88.49 10 826 10396 a1 757.59 . 76 826 10396 140434 a 8530 01 . 2 * ， * ， * 解得 a0 4.1490 a1 1.1436 a2 0.048320 ，从而拟合函数为
y
1.96
*
*
o*
按（2.5.3）有
*
1 x
图2-2
2.5 1.875 a0 4.31 5 1.875 1.5625 a1 3.27 2.5 1.875 1.5625 1.3828 a 2.7975 2
这方程称为法方程(或正规方程)。这里，y( xi ) yi , i 0,1,n. 由于 0 , 0 ,, n , 线性无关，故（2.5.3）的系数矩阵非奇异，方程 * 组（2.5.3）存在唯一的解 ak ak , k 0,1,, n, 从而得
( x)
*
n
k 0
* ( x) 4.1490 1.1436x 0.048320 2 x
平方差 2 3.9486 , ( x ) 的图形见图2-3。有平方误差和 ( x ) 的 图形可见，拟合的效果不佳。因此，不宜直接选用多项式作拟合。