高斯消元法讲解
高斯消元法简化线性方程组

高斯消元法简化线性方程组线性方程组是数学中常见的问题,其解决方法多种多样。
其中,高斯消元法是一种常用且有效的方法,可以用于简化线性方程组的求解过程。
本文将介绍什么是高斯消元法,以及如何应用它来解决线性方程组。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种通过行变换将线性方程组转化为更简单形式的方法。
假设有一个线性方程组,包括n个未知数和n个方程:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn通过一系列的行变换,可以将线性方程组转化为上三角矩阵或者简化行阶梯形矩阵的形式。
二、高斯消元法的步骤1. 首先,将方程组表示为增广矩阵的形式,即将系数矩阵和常数向量合并在一起。
得到增广矩阵[A|B],其中A为系数矩阵,B为常数向量。
2. 选取一个主元素,一般选择第一列的第一个非零元素。
在每一行中,通过行变换将主元素所在列的其他元素消为零。
这一步骤称为“消元”。
3. 重复上述步骤,将主元素向下和向右移动,直到矩阵转化为上三角形或简化行阶梯形。
4. 如果出现主元素为零的情况,则需要通过交换行来选取一个非零元素作为主元素,以确保程序正确运行。
5. 进行回代求解,从最后一行开始,依次将已知数值代入方程组中,求解出未知数的值。
三、应用实例下面以一个具体的实例来说明高斯消元法的应用:假设有以下线性方程组:x + 2y - z = 52x - y + 3z = 93x + y - 2z = 1首先,将方程组表示为增广矩阵形式:[1 2 -1 | 5][2 -1 3 | 9][3 1 -2 | 1]选取第一列的第一个非零元素1作为主元素,进行消元操作:[1 2 -1 | 5][0 -5 5 | -1][0 -5 1 | -14]选取第二列的第一个非零元素-5作为主元素,继续进行消元操作:[1 2 -1 | 5][0 1 -1 | 1/5][0 0 -4 | -13/5]此时,矩阵已经转化为上三角形的形式。
高斯消元法解线性方程组

高斯消元法解线性方程组线性方程组是数学中常见的问题,其中包含多个线性方程,求解线性方程组即为找到满足所有方程的解。
高斯消元法是一种常用的方法,可以有效地解决线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤,并通过一个具体的例子来演示其应用。
一、高斯消元法原理高斯消元法是通过一系列的行变换来将线性方程组转化为上三角形式,进而求解方程组。
具体步骤如下:1. 将线性方程组写成增广矩阵形式,其中每一行表示一个方程,最后一列为常数项。
2. 选择一个主元,通常选择第一列的第一个非零元素作为主元。
3. 将主元所在行的所有元素除以主元,使主元变为1。
4. 将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行,使得主元所在列的其他元素都变为0。
5. 重复步骤2-4,直到将矩阵转化为上三角形式。
6. 从最后一行开始,通过回代法求解每个未知数的值。
二、高斯消元法步骤示例为了更好地理解高斯消元法的步骤,下面以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设有如下线性方程组:2x + y - z = 1-3x - y + 2z = -2-2x + y + 2z = 3首先,将线性方程组写成增广矩阵形式:[ 2 1 -1 | 1 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]选择第一列的第一个非零元素2作为主元,将主元所在行的所有元素除以主元,使主元变为1,得到:[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]然后,将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行,使得主元所在列的其他元素都变为0,得到:[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 -1 1.5 | -0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]接下来,选择第二列的第二个非零元素-1作为主元,将主元所在行的所有元素除以主元,使主元变为1,得到:[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]再次进行行变换,将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行,使得主元所在列的其他元素都变为0,得到:[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 0 4.5 | 3 ]将矩阵转化为上三角形式后,从最后一行开始,通过回代法求解每个未知数的值。
数值方法高斯消元法

数值方法高斯消元法
高斯消元法(Gaussian Elimination)是指通过迭代使用矩阵运算,化为上三
角形矩阵来求解线性方程组的一种特殊数值算法。
它是数值分析中用于求解结构化和非结构化方程组的主要方法之一,属于改进的回代法,是由德国数学家高斯于
19世纪末提出的。
高斯消元法主要用于求解下列形式的方程组:Ax = b,其中A为非奇异矩阵,
x为未知向量,b为系数向量。
由此可见,该方法最重要的两个思想就是消元和迭代。
本算法的消元操作是通过矩阵的标准变换来实现的,即存在一个三角阵T,它
的下三角部分的映射是原矩阵A,其上三角部分本身恒为单位矩阵,这样一来,原
方程就被转化为一组三角方程,而且由上三角的单位矩阵可以再次得出未知向量x。
在实际应用中,高斯消元法最重要的特点就是它的计算精度高,时间效率也非
常高。
这是因为在处理大矩阵时,它不仅能够提高计算精度,而且能有效控制计算时间。
因此,高斯消元法广泛用于各种数值分析领域,如量子力学计算,复杂系统建模,模式识别,统计过程等等。
此外,高斯消元法也被广泛应用于工业领域,如航空航天,汽车制造,电力电子等。
总而言之,高斯消元法无疑是一种非常出色的线性方程组求解算法,有效地合
理地求解了大量复杂的线性数值问题,用它取代传统的回代法有效地节省了计算时间,是当今数值分析中可靠、高效斗算算法。
数学公式知识:高斯消元法解线性方程组

数学公式知识:高斯消元法解线性方程组高斯消元法是一种常用于解决线性方程组的方法,其基本思想是通过一系列的行变换,将原始的线性方程组转化为一个三角形形式的线性方程组,从而求解出方程组的解析解或数值解。
本文将介绍高斯消元法的过程、原理以及应用。
一、高斯消元法的基本过程高斯消元法的基本过程可以分为以下几步:1.构造增广矩阵:将原始的线性方程组写成增广矩阵的形式,即将系数矩阵和常数向量合并在一起。
2.基本行变换:通过一系列基本行变换(例如交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍),将增广矩阵转化为上三角矩阵。
3.回带求解:通过向上回带的方式,求解出上三角矩阵对应的线性方程组的解。
二、高斯消元法的原理在执行高斯消元法的过程中,关键是在第一步构造增广矩阵时,如何选取主元。
主元通常被选为系数矩阵中对应行的主对角线元素,其基本原理是以该元素为基础,通过一系列行变换,将其他元素全部消为0,从而得到一个上三角矩阵。
但是,在实际应用中,可能会出现主元为0或非常小的情况,导致计算误差或求解失败。
因此,在程序实现时,通常需要先通过部分选主元(例如选取绝对值最大的元素作为主元),再进行行变换,从而提高计算精度。
此外,在执行高斯消元法的过程中,需要注意一些细节问题,例如主元为0或非常小的情况、矩阵奇异性等,以避免出现计算错误或无解的情况。
三、高斯消元法的应用高斯消元法广泛应用于各种科研和工程问题中,例如线性控制、图像识别、计算机视觉等领域。
其主要应用场景包括:1.求解线性方程组:高斯消元法可以直接求解线性方程组的解析解或数值解,为工程和科研计算提供了重要的基础工具。
2.矩阵求逆:通过将方程组的系数矩阵变为单位矩阵,可以使用高斯消元法求解矩阵的逆,从而可以直接计算出矩阵的行列式、特征值等重要参数。
3.最小二乘法:在拟合曲线或曲面时,通常会将问题转化为线性方程组的形式,然后采用高斯消元法求解最小二乘问题的解。
C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组

C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组1. 前言什么是消元法?消元法是指将多个方程式组成的方程组中的若干个变量通过有限次地变换,消去方程式中的变量,通过简化方程式,从而获取结果的一种解题方法。
消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。
对方程式消元时,是基于如下的初等行变换规则:•改变方程组中方程式的顺序,或者说无论先求解方程组中哪一个方程式,不影响方程组的解。
•对一个方程式中的所有系数乘以或除以某一个非零数,不影响方程组的解。
•方程式之间可以倍乘后相加或相减,不影响解。
其中最常用的为代入消元法和加减消元法,简要介绍一下。
代入消元法如求解2x+3y=10和x+y=4; 2个方程式中的x ,y变量时。
可以把第2个方程式变换成x=4-y。
然后代入到第1个方程中,2(4-y)+3y=10。
可求解出y=2,x=2。
加减消元法还是求解如上的方程组。
可以把第2个方程式乘以2后再去减第1个方程式,或者说让第1个方程式减去第2个方程式乘以2。
2x+3y-2x-2y=10-8。
可以求解y=2。
本文主要和大家聊聊高斯消元法,高斯(Gauss)消元法也称为简单消元法,是求解一般线性方程组的经典算法。
2. 高斯消元法在理解高斯消元化之前,先理解几个基本概念:什么是增广矩阵?增广矩阵是线性代数中的概念,如下线性方程组:使用每个方程式的系数构建的矩阵,称为系数矩阵,表示为:用方程式的系数和结果构建的矩阵称为方程组的增广矩阵。
如下图所示:当方程组中的每一个方程的结果都为0时, 即b1=b2=b3=b4……bm=0,称这样的方程组为齐次线性方程组。
2.1 高斯消元法的思想高斯消元的基本思想:•对于一个有n个变量、有n个方程式的方程组。
•把方程组中除了第1个方程式外的其它方程式中的x1消去,同理,再把除了第2个方程式以下的方程组中其它方程式中的x2消去,依次类推,直到最后1个方程式中只留下xn。
高斯消元法详解

高斯消元法详解高斯消元法是一种线性代数中用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵,然后通过回带求解出未知数的值。
高斯消元法的基本步骤如下:1. 将待求解的线性方程组写成增广矩阵形式,即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取第一行第一列元素不为零的行作为主元行,通过初等行变换将该行化为主元,即使该行第一列元素为1,其余元素为0。
3. 对于每个未被选中的行,将其第一列元素通过初等行变换化为0。
具体做法是将该行乘以主元所在行第一列的相反数,并加到主元所在行上。
4. 重复步骤2和3直到所有未被选中的行都被化为0或者无法选取主元。
5. 回带求解出未知数的值。
从最后一行开始,依次代入已经求出来的未知数值并计算出当前未知数值。
需要注意的是,在进行高斯消元法时需要注意以下几点:1. 当选择主元时应尽量避免选取小数作为主元,因为小数的精度有限,可能会导致计算误差。
2. 当系数矩阵中存在多个相同的行时,需要将它们合并成一个行,以减少计算量。
3. 在进行回带求解时,应注意未知数的顺序和求解的顺序应该一致。
高斯消元法可以用于求解任意大小的线性方程组,但是当方程组的规模很大时,计算量会非常大。
此外,在某些情况下高斯消元法可能会出现无法选取主元或者主元为0的情况,此时需要采用其他方法进行求解。
总之,高斯消元法是一种简单而有效的线性方程组求解方法,在实际应用中得到了广泛的应用。
熟练掌握高斯消元法可以提高我们在科学计算和工程设计中的能力和水平。
高斯消元法线性方程组的解法

高斯消元法线性方程组的解法高斯消元法是一种常用于解决线性方程组的方法,能够有效地求解方程组的解。
它利用矩阵的初等行变换将方程组转化为简化的阶梯型矩阵,进而求得方程组的解。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤,并通过一个具体的例子来演示如何使用高斯消元法求解线性方程组。
一、高斯消元法的原理高斯消元法基于以下原理:通过矩阵的初等行变换,可以将线性方程组转化为行简化阶梯型矩阵,从而得到方程组的解。
其基本思想是通过逐行消元,将矩阵的主对角线以下的元素全部变为0,最终得到行简化阶梯型矩阵。
二、高斯消元法的步骤1. 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并为增广矩阵;2. 选择一个元素作为主元,并将该列的其他元素消为0;3. 逐行进行行交换,使主元非零;4. 重复上述步骤,直到将增广矩阵转化为行简化阶梯型矩阵。
三、高斯消元法的具体操作为了更好地理解高斯消元法,我们将通过一个具体的例子来演示其求解过程。
考虑以下线性方程组:```2x + 3y - z = 13x - 2y + 5z = -2x + y - z = 0```首先将系数矩阵和常数矩阵合并为增广矩阵:```[2 3 -1 | 1][3 -2 5 | -2][1 1 -1 | 0]```选择第一行的第一个元素2作为主元,通过初等行变换将主元所在列的其他元素消为0:```[2 3 -1 | 1][0 -13 7 | -5][0 -1 1 | -1]```接下来选择第二行的第二个元素-13作为主元,通过初等行变换继续消元:```[2 3 -1 | 1][0 1 -7/13 | 5/13][0 0 -6/13 | -8/13]```最后一次消元选择第三行的第三个元素-6/13作为主元:```[2 3 -1 | 1][0 1 -7/13 | 5/13][0 0 1 | 4/3]```现在我们得到了行简化阶梯型矩阵,接下来可以使用回代法求解方程组。
从最后一行开始,依次代入上一行的解,最终求得方程组的解为:```x = 5/6y = 3/2z = 4/3```四、总结高斯消元法是一种常用的线性方程组解法,通过矩阵的初等行变换将方程组转化为行简化阶梯型矩阵,进而求得方程组的解。
高斯消元法(完整)

高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型,这些模型中方程和未知量个数常常有多个,而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢?如果有解,解是否唯一?若解不唯一,解的结构如何呢?这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3.1) 其中系数a ij ,常数b j 都是已知数,x i 是未知量(也称为未知数)。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时,称方程组(3.1)为非齐次线性方程组;当b 1=b 2= … =b m = 0时,即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3.2) 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组(k 1, k 2, …, k n ),如果将它们依次代入方程组(3.1)中的x 1, x 2, …, x n 后,(3.1)中的每个方程都变成恒等式,则称这个有序数组(k 1, k 2, …, k n )为方程组(3.1)的一个解。
显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组(0, 0, …, 0)是齐次线性方程组(3.2)的一个解,称之为齐次线性方程组(3.2)的零解,而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时,称之为非零解。
(利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此,我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
)非齐次线性方程组(3.1)的矩阵表示形式为:AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211,X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21,B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组(3.1)的系数矩阵,X 为未知矩阵,B 为常数矩阵。
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#include "Stdio.h"#include "Conio.h"/*L是矩阵的行减1,从程序上看是最外层循环的次数N 对应矩阵的行数,M对应矩阵的列数可以通过改变L、N、M来控制矩的阶数 */#define L 3#define N 4#define M 5void gauss(double a[N][M],double x[N]){int i,j,l,n,m,k=0;double temp[N];/*第一个do-while是将增广矩阵消成上三角形式*/do{n=0;for(l=k;l<L;l++)temp[n++]=a[l+1][k]/a[k][k];for(m=0,i=k;i<N;i++,m++)for(j=k;j<M;j++)a[i+1][j]-=temp[m]*a[k][j];k++;}while(k<N) ;/*第二个do-while是将矩阵消成对角形式,并且重新给k赋值*/ k=L-1;do{n=0;for(l=k;l>=0;l--)temp[n++]=a[k-l][k+1]/a[k+1][k+1];for(m=0,i=k;i>=0;i--,m++)for(j=k;j<M;j++)a[k-i][j]-=temp[m]*a[k+1][j];k--;}while(k>=0) ;/*下一个for是解方程组*/for(i=0;i<N;i++)x[i]=a[i][N]/a[i][i];}void menu(){printf("\n _ _ _ _ _\n");printf(" 1.operation\n");printf(" 2.exit");printf("\n _ _ _ _ _\n");}main(){int i,j,choose;double a[N][M]={0},answer[N];clrscr();while(1){leep:menu();scanf("%d",&choose);switch(choose){case 1:printf("!!The size of Maxrix is %d * %d,each line enter %d element:\n ",N,M,M); for(i=0;i<N;i++){printf("Enter the Matrix's %d line:\n",i);for(j=0;j<N+1;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);}printf("\nthe corss matrix is:\n_ _ _ _ _\n");gauss(a,answer);for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<M;j++)printf("%-2lf ",a[i][j]);putchar('\n');}printf("_ _ _ _ _\nthe solve is:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("x%d=%lf\n",i+1,answer[i]);case 2:exit(0);default:printf("input error:\n");goto leep;}}getch();}/*试验:西安交通大学出版社出版的《计算方法》书上28页的例2.1:1 2 3 -4 -2_ -3 -4 -12 13 5A= 2 10 0 -3 104 14 9 -13 7试验结果:x1=1,x2=2,x3=3,x4=4 */#include "Stdio.h"#include "Conio.h"/*L是矩阵的行减1,从程序上看是最外层循环的次数N 对应矩阵的行数,M对应矩阵的列数可以通过改变L、N、M来控制矩的阶数 */#define L 3#define N 4#define M 5void gauss(double a[N][M],double x[N]){int i,j,l,n,m,k=0;double temp[N];/*第一个do-while是将增广矩阵消成上三角形式*/do{n=0;for(l=k;l<L;l++)temp[n++]=a[l+1][k]/a[k][k];for(m=0,i=k;i<N;i++,m++)for(j=k;j<M;j++)a[i+1][j]-=temp[m]*a[k][j];k++;}while(k<N) ;/*第二个do-while是将矩阵消成对角形式,并且重新给k赋值*/ k=L-1;do{n=0;for(l=k;l>=0;l--)temp[n++]=a[k-l][k+1]/a[k+1][k+1];for(m=0,i=k;i>=0;i--,m++)for(j=k;j<M;j++)a[k-i][j]-=temp[m]*a[k+1][j];k--;}while(k>=0) ;/*下一个for是解方程组*/for(i=0;i<N;i++)x[i]=a[i][N]/a[i][i];}void menu(){printf("\n _ _ _ _ _\n");printf(" 1.operation\n");printf(" 2.exit");printf("\n _ _ _ _ _\n");}main(){int i,j,choose;double a[N][M]={0},answer[N];clrscr();while(1){leep:menu();scanf("%d",&choose);switch(choose){case 1:printf("!!The size of Maxrix is %d * %d,each line enter %d element:\n ",N,M,M); for(i=0;i<N;i++){printf("Enter the Matrix's %d line:\n",i);for(j=0;j<N+1;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);}printf("\nthe corss matrix is:\n_ _ _ _ _\n");gauss(a,answer);for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<M;j++)printf("%-2lf ",a[i][j]);putchar('\n');}printf("_ _ _ _ _\nthe solve is:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("x%d=%lf\n",i+1,answer[i]);break;case 2:exit(0);break;default:printf("input error:\n");goto leep;}}getch();}/*试验:西安交通大学出版社出版的《计算方法》书上28页的例2.1:1 2 3 -4 -2_ -3 -4 -12 13 5A= 2 10 0 -3 104 14 9 -13 7试验结果:x1=1,x2=2,x3=3,x4=4 */程序实现:int n = 3;double[] x = new double[n];double[,] lines = { {2,1,-1,8},{-3,-1,2,-11},{-2,1,2,-3}};public static void Gauss(int n, double[,] a, double[] x){double d;Console.WriteLine("高斯消去法解方程组的中间过程");Console.WriteLine("============================");Console.WriteLine("中间过程");Console.WriteLine("增广矩阵:");printArray(n, a); Console.WriteLine();// 消元for(int k = 0; k < n; k++){Console.WriteLine("第{0}步", k + 1);Console.WriteLine("初始矩阵:");printArray(n, a); Console.WriteLine();selectMainElement(n, k, a); // 选择主元素Console.WriteLine("选择主元素后的矩阵:");printArray(n, a); Console.WriteLine();// for (int j = k; j <= n; j++ ) a[k, j] = a[k, j] / a[k, k];// 若将下面两个语句改为本语句,则程序会出错,因为经过第1次循环// 后a[k,k]=1,a[k,k]的值发生了变化,所以在下面的语句中先用d// 将a[k,k]的值保存下来d = a[k, k];for (int j = k; j <= n; j++ ) a[k, j] = a[k, j] / d;Console.WriteLine("将第{0}行中a[{0},{0}]化为1后的矩阵:", k + 1);printArray(n, a); Console.WriteLine();// Guass消去法与Jordan消去法的主要区别就是在这一步,Gauss消去法是从k+1 // 到n循环,而Jordan消去法是从1到n循环,中间跳过第k行for(int i = k + 1; i < n; i++){d = a[i, k];// 这里使用变量d将a[i,k]的值保存下来的原理与上面注释中说明的一样for (int j = k; j <= n; j++) a[i, j] = a[i, j] - d * a[k, j];} Console.WriteLine("消元后的矩阵:");printArray(n, a); Console.WriteLine();} // 回代x[n - 1] = a[n - 1, n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--){x[i] = a[i, n];for (int j = i + 1; j < n; j++) x[i] = x[i] - a[i, j] * x[j];}} // 选择主元素public static void selectMainElement(int n, int k, double[,] a){ // 寻找第k列的主元素以及它所在的行号double t, mainElement;// mainElement用于保存主元素的值int l;// 用于保存主元素所在的行号// 从第k行到第n行寻找第k列的主元素,记下主元素mainElement和所在的行号l mainElement = Math.Abs(a[k, k]); // 注意别忘了取绝对值l = k;for(int i = k + 1; i < n; i++){if (mainElement < Math.Abs(a[i, k])){mainElement = Math.Abs(a[i, k]);l = i;// 记下主元素所在的行号}}// l是主元素所在的行。