八年级上册因式分解经典题型与典型例题解析,初中数学因式分解题目及答案
八年级数学上册因式分解练习题及答案
八年级数学上册因式分解练习题及答案八年级数学上册因式分解练习题及答案学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。
为了帮助大家在考前对知识点有更深的掌握，今天店铺为大家整理了因式分解练习题及答案，希望对大家有所帮助。
一、选择1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是()A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+13.多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是()A.3x2yB.3xy2C.3x2y2D.3x3y34.多项式x3+x2提取公因式后剩下的因式是()A.x+1B.x2C.xD.x2+15.下列变形错误的是()A.-x-y=-(x+y)B.(a-b)(b-c)=-(b-a)(b-c)C.–x-y+z=-(x+y+z)D.(a-b)2=(b-a)26.下列各式中能用平方差公式因式分解的是()A.–x2y2B.x2+y2C.-x2+y2D.x-y7.下列分解因式错误的是()A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A.x2-xyB.x2+xyC.x2-y2D.x2+y2二、填空9.a2b+ab2-ab=ab(__________).10.-7ab+14a2-49ab2=-7a(________).11.3(y-x)2+2(x-y)=___________12.x(a-1)(a-2)-y(1-a)(2-a)=____________.13.-a2+b2=(a+b)(______)14.1-a4=___________15.992-1012=________16.x2+x+____=(______)217.若a+b=1,x-y=2,则a2+2ab+b2-x+y=____。
人教版八年级上册《因式分解》例题与讲解
14.3 因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b23．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】 把下列多项式分解因式：(1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2；(3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2.5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】 把下列多项式分解因式：(1) x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9；(3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy .6. 十字相乘法如果多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，也不能分组分解时，可采用此法。
最新初中数学因式分解经典测试题含答案解析(2)
最新初中数学因式分解经典测试题含答案解析(2)一、选择题1．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．8x 2 y 3＝2x 2⋅4 y 3B ．（ x +1）（ x ﹣1）＝x 2﹣1C ．3x ﹣3y ﹣1＝3（ x ﹣y ）﹣1D ．x 2﹣8x +16＝（ x ﹣4）2【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.【详解】①是单项式的变形，不是因式分解；②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D 正确；故选D ．【点睛】本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．3．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A ．8a 2b=2a ·4abB ．-ab 3-2ab 2-ab=-ab (b 2+2b )C ．4x 2+8x-4=4x 12-x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．4．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．12xy 2＝3xy •4yB ．（x +1）（x ﹣3）＝x 2﹣2x ﹣3C ．x 2﹣4x +1＝x （x ﹣4）+1D ．x 3﹣x ＝x （x +1）（x ﹣1）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ）A ．21a -B ．221a a ++C ．2a a +D ．22a a +-【答案】D【解析】【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【详解】解：21(1)(1)a a a -=+-Q ， ()2221=1a a a +++2(1)a a a a +=+，22(2)(1)a a a a +-=+-， ∴结果中不含有因式1a +的是选项D ；故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．7．下列因式分解结果正确的是( )．A ．10a 3+5a 2=5a(2a 2+a)B ．4x 2-9=(4x+3)(4x-3)C ．a 2-2a-1=(a-1)2D ．x 2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A 可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A 作出判断；而B 符合平方差公式的结构特点，因此可对B 作出判断；C 不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D 可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A 、原式=5a 2(2a+1)，故A 不符合题意；B 、原式=(2x+3)(2x-3)，故B 不符合题意；C 、a 2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C 不符合题意；D 、原式=(x-6)(x+1)，故D 符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．8．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（a +3）（a -3）=a 2-9B ．x 2+x -5=（x -2）（x +3）+1C ．a 2b +ab 2=ab （a +b ）D ．x 2+1=x （x +1x ）【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、因式中含有分式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．9．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+- 【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
八年级上册因式分解100题及答案
八年级上册因式分解100题及答案一、提取公因式(1)(21)(43)(21)(61)(21)(73)+-+++-++--m n m n m n(2)23323+-686x y x z x y(3)(51)(41)(52)(51)+-++-+x x x x(4)24+b abc217(5)(65)(83)(65)(42)+-++-a b a b(6)(75)(34)(63)(75)+-+++m n n m(7)32-a x ax y2515(8)(94)(21)(94)(33)+--+++x x x x(9)(2)(94)(2)(93)x y x y ++++-(10)34233151525xy x z xy z --(11)323342184527x y z x y z x yz --(12)(43)(43)(43)(74)m x m x +--++(13)(81)(92)(81)(81)x y x y +-++++(14)221220xy x +(15)(31)(3)(54)(31)a b b a ------(16)(34)(65)(34)(75)m x m x --++-+(17)423721a x ax y-(18)42+xy z4518(19)(21)(1)(94)(21)+-+-++m n n m (20)342224+-x y x y z xy404016二、公式法(21)2x-2564(22)22-m n784784(23)2-+x x7291512784(24)22++m mn n121286169(25)2x-6254(26)216920864x x ++(27)2576841x -(28)2278428025x xy y ++(29)224841188729a ab b ++(30)264144x -三、分组分解法(31)22277330x z xy yz zx+-+-(32)72649080ax ay bx by+++(33)221220810a c ab bc ca-++-(34)22x z xy yz zx-+++48316610 (35)56483530-+-+xy x y(36)20100420xy x y--++(37)410820+++ab a b(38)22-+--x y xy yz zx92744 (39)22--+-4542193630a b ab bc ca(40)2149614--+xy x y(41)73146-+-ab a b(42)22++++54491054236a b ab bc ca(43)222141926a b ab bc ca++++(44)224533576a c ab bc ca----(45)22375510a c ab bc ca+--+(46)525840ax ay bx by--+(47)227522028x y xy yz zx--++(48)2292744a b ab bc ca-+--(49)224510431527x y xy yz zx+--+(50)261442ax ay bx by--+四、拆添项(51)4224496281a a b b ++(52)22364960569a b a b --++(53)42243614849m m n n -+(54)42246414425x x y y -+(55)422442149x x y y -+(56)22362243m n m n -+--(57)224925615a b a b ----(58)2281491621480m n m n --++(59)224916565633a b a b -++-(60)4224x x y y++9525五、十字相乘法(61)22-++-x xy y x y4073303542 (62)222++-+-x y z xy yz xz40208572636 (63)22m mn n m n++++-14311526174 (64)222++-+-a b c ab bc ac30282591516 (65)222x y z xy yz xz+-+++42124461317 (66)22m mn n m n+++--145728251525 (67)22++++182931421x xy y x y(68)222x y z xy yz xz--+++821624522 (69)22--++251015159m mn n m n (70)228213836+-+-x xy x y(71)22+---+151********x xy y x y (72)222+-+++21128331022a b c ab bc ac(73)222--++-x y z xy yz xz46652023(74)222a b c ab bc ac+--++46225112 (75)222x y z xy yz xz--+-+ 211224364410 (76)222+++++20725334045x y z xy yz xz(77)23442-+--x xy x y(78)2++++a ab a b56782530 (79)22-+-++m mn n m n5127364836 (80)22---++x xy y x y43925六、双十字相乘法(81)2-++-a ab a b2432212 (82)22m mn n m n+--+-35271855130 (83)22x xy y x y-++-+ 12144402525 (84)22-----72525225024x xy y x y(85)2229712622533x y z xy yz xz-----(86)218366547x xy x y ++++(87)22248152544x y z xy yz xz+--+-(88)222124152163x y z xy yz xz---+-(89)22224430351433x y z xy yz xz+----(90)2220114462024m mn n m n +---+七、因式定理(91)32694x x x +--(92)32314163x x x +++(93)325243112x x x -+-(94)322361x x x +-+(95)3223318x x x ---(96)32635489x x x -++(97)323768x x x -+-(98)3210176x x x +-+(99)32322x x x --+(100)324151415x x x -+-八年级上册因式分解100题答案一、提取公因式(1)(21)(51)m n +--(2)2332(343)x y xz y +-(3)(51)(1)x x +-(4)47(3)b b ac +(5)(65)(125)a b +-(6)(75)(91)m n +-(7)25(53)ax a xy -(8)(94)(2)x x ++(9)(2)(181)x y ++(10)332335(335)x y x z y z --(11)329(253)x yz y y xz --(12)(43)(37)m x -++(13)(81)(3)x y -+-(14)24(35)x y x +(15)(31)(61)a b ---(16)(34)(10)m x -+(17)237(3)ax a xy -(18)429(52)xy z +(19)(21)(103)m n -++(20)222228(552)xy x y xz y +-二、公式法(21)(58)(58)x x +-(22)(2828)(2828)m n m n +-(23)2(2728)x -(24)2(1113)m n +(25)(252)(252)x x +-(26)2(138)x +(27)(2429)(2429)x x +-(28)2(285)x y +(29)2(2227)a b +(30)(812)(812)x x +-三、分组分解法(31)(97)(3)x y z x z ---(32)2(45)(98)a b x y ++(33)(45)(324)a c a b c ++-(34)(62)(83)x y z x z +-+(35)(85)(76)x y -+-(36)4(51)(5)x y --+(37)2(2)(25)a b ++(38)(924)()x y z x y --+(39)(976)(56)a b c a b+--(40)(72)(37)x y--(41)(2)(73)a b+-(42)(67)(976)a b a b c+++(43)(3)(742)a b a b c+++(44)(5)(973)a c ab c+--(45)()(357)a c ab c+-+(46)(58)(5)a b x y--(47)(4)(75)x y z x y-++(48)(924)()a b c a b--+(49)(523)(95)x y z x y-+-(50)2(7)(3)a b x y--四、拆添项(51)2222(789)(789)a ab b a ab b++-+(52)(679)(671)a b a b+---(53)2222(687)(687)m mn n m mn n+---(54)2222(885)(885)x xy y x xy y+---(55)2222(277)(277)x xy y x xy y++-+ (56)(63)(61)m n m n++--(57)(73)(75)a b a b++--(58)(9710)(978)m n m n+---(59)(743)(7411)a b a b+--+(60)2222(355)(355)x xy y x xy y++-+五、十字相乘法(61)(56)(857)x y x y--+(62)(542)(854)x y z x y z----(63)(234)(751)m n m n+++-(64)(672)(54)a b c a b c----(65)(64)(734)x y z x y z+-++ (66)(745)(275)m n m n+-++ (67)(97)(23)x y x y+++(68)(236)(47)x y z x y z-++-(69)(553)(53)m n m n-++(70)(436)(71)x y x+-+(71)(525)(342)x y x y--+-(72)(334)(742)a b c a b c+++-(73)(26)(43)x y z x y z+--+(74)(42)(6)a b c a b c---+(75)(726)(364)x y z x y z--++ (76)(575)(45)x y z x y z++++ (77)(342)(1)x y x--+(78)(86)(75)a b a+++(79)(6)(576)m n m n----(80)(1)(435)x y x y--+-六、双十字相乘法(81)(32)(86)a a b--+ (82)(565)(736)m n m n+--+ (83)(645)(25)x y x y-+-+ (84)(954)(856)x y x y++--(85)(93)(74)x y z x y z++--(86)(247)(91)x y x+++ (87)(63)(852)x y z x y z-+--(88)(425)(323)x y z x y z+--+ (89)(85)(346)x y z x y z-+--(90)(544)(46)m n m n+---七、因式定理(91)(1)(34)(21)x x x+-+ (92)2(3)(351)x x x+++ (93)(1)(54)(3)x x x---(94)2(1)(251)x x x-+-(95)2(3)(236)x x x-++ (96)2(3)(61)x x-+(97)2(2)(34)x x x--+ (98)(1)(52)(23)x x x--+ (99)2(1)(42)x x x+-+ (100)2(3)(435)x x x--+。
(专题精选)初中数学因式分解经典测试题及答案解析
（专题精选）初中数学因式分解经典测试题及答案解析一、选择题1．下列变形，属于因式分解的有（ ）①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解；③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法；④x 2+x =x (x +1))，是因式分解．故选B ．2．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2【答案】B【解析】试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误；B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确；C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．将3a b ab -进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；4．多项式22ab bc a c -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a c a b c -++B ．()()a c a b c -+-C ．()()a c a b c ++-D ．()()a c a b c +-+【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：22))))))=((((((+)+(ab bc a c b a c a c a c a c b a c a c a b c -+--++-=-+=-+； 故选：A.【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.5．计算201200(2)(2)-+-的结果是（ ）A ．2002-B ．2002C ．1D ．2-【答案】A【解析】【分析】直接提取公因式进而计算得出答案．【详解】（-2）201+（-2）200=（-2）200×（-2+1）=-2200．故选：A ．【点睛】此题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．6．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+-【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
初中数学因式分解经典测试题含答案解析
初中数学因式分解经典测试题含答案解析一、选择题1．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2bB ．221(a b)(a b)1-=-+++a bC ．2224(2)x x x -+=-D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+ 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.【详解】解：由因式分解的定义可知：A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误；B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误；C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误；D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解；故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.2．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( )A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)D ．x 2＋1＝x 1()x x+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确；D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．3．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．4．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )A ．(m －n )(m ＋n )B ．(－x －y )(－x －y )C ．(x 4－y 4)(x 4＋y 4)D ．(a 3－b 3)(b 3＋a 3)【答案】B【解析】A.(m －n)(m ＋n)，能用平方差公式计算；B.(－x －y)(－x －y)，不能用平方差公式计算；C.(x 4－y 4)(x 4＋y 4)，能用平方差公式计算；D. (a 3－b 3)(b 3＋a 3)，能用平方差公式计算.故选B.5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2a 2﹣2a+1=2a （a ﹣1）+1B ．（x+y ）（x ﹣y ）=x 2﹣y 2C ．x 2﹣6x+5=（x ﹣5）（x ﹣1）D ．x 2+y 2=（x ﹣y ）2+2x【答案】C【解析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A 、2a 2-2a+1=2a （a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、（x+y ）（x-y ）=x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C 、x 2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D 、x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选C ．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．6．已知2021201920102010201020092011x -=⨯⨯，那么x 的值为（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021．【答案】B【解析】【分析】将2021201920102010-进行因式分解为2019201020092011⨯⨯，因为左右两边相等，故可以求出x 得值．【详解】解：2021201920102010- ()()()2019220192019220192019=201020102010=20102010120102010120101201020092011⨯-⨯-=⨯-⨯+=⨯⨯∴2019201020092011201020092011x ⨯⨯=⨯⨯∴x=2019故选：B ．【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．7．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．A ．()x a b ax bx -=-B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【答案】C【解析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【详解】解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误；B 、右边不是积的形式，故选项错误；C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确；D 、等式不成立，故选项错误．故选：C ．【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．8．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.9．若a b c 、、为ABC ∆三边，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均有可能 【答案】D【解析】【分析】把已知等式左边分解得到()()()2220a b a b c a b ⎡⎤+--+=⎣⎦，-a b =0或()222c a b -+=0，即a=b 或222c a b =+，然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法【详解】因为a b c 、、为ABC ∆三边，222244a c b c a b -=-所以()()()2220a b a b c a b ⎡⎤+--+=⎣⎦ 所以-a b =0或()222c a b -+=0，即a=b 或222c a b =+所以ABC ∆的形状是等腰三角形、等腰三角形、等腰直角三角形故选：D【点睛】本题考查因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．10．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）2 【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B12．已知a ，b ，c 满足3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）． A ．0 B ．3 C ．6 D ．9【解析】【分析】将等式变形可得2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．【详解】解：∵2224a b c ++=∴2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b∵3a b c ++= ∴222222222+++++---a b b c c a c a b=222444222---++---c a b c a b=()()()()()()222222222-+-+-+++---c c a a b b c ab=222+++++c a b=()6+++c a b=6＋3=9故选D ．【点睛】 此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．13．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+-【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
部编数学八年级上册专题09因式分解之八大题型(解析版)含答案
专题09因式分解之八大题型判断是否是因式分解【变式训练】1．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）下列变形是因式分解的是（ ）已知因式分解的结果求参数【变式训练】已知二次三项式22x x k +-有一个因式是6x -，求另一个因式以及k 的值．【答案】8x +，48k =【分析】设另一根因式为x n +，可得()()()222666x x k x x n x n x n +-=-+=+--，再建立方程组626n n k-=ìí-=-î，再解方程组即可得到答案．【详解】解：∵二次三项式22x x k +-有一个因式是6x -，∴设另一根因式为x n +，∴()()()222666x x k x x n x n x n +-=-+=+--，∴626n n k -=ìí-=-î，解得：848n k =ìí=î，∴另一根因式为：8x +．【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．公因式例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）单项式33a b 与239a b 的公因式是（ ）A ．23a bB ．333a bC ．abD ．339a b 【答案】A【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【详解】解：单项式33a b 与单项式239a b 的公因式是23a b ．故选：A ．【点睛】此题考查公因式，掌握由几个单项式的各系数最大公约数与各相同字母最小次幂的乘积，组成的式子叫这几个单项式的公因式是解决此题的关键．【变式训练】【变式训练】综合提公因式法和公式法分解因式（2）()()22a x y b y x -+-()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+．【变式训练】1．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：(1)228m -；(2)()()244x y x y +-++．【答案】(1)()()222m m +-(2)()22x y +-【分析】（1）先提取公因式2，再用平方差公式进行因式分解即可；（2）将x y +看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()()()224222m m m =-=+-；（2）解：原式()()22222x y x y =+-´++()22x y =+-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()222a b a ab b ±=±+．2．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）分解因式：(1)2273x -+；(2)22344xy x y y --；(3)()()2221619y y ---+.【答案】(1)()()333x x +-(2)()22y x y --(3)()()2222+-y y【分析】（1）利用提公因式法及平方差公式，即可分解因式；（2）利用提公因式法及完全平方公式，即可分解因式；（3）利用完全平方公式及平方差公式，即可分解因式．【详解】（1）解：2273x -+2327x =-()239x =-()()333x x =+-（2）解：22344xy x y y --()2244y x xy y =--+()22y x y =--（3）解：()()2221619y y ---+()()2221619y y =---+()2213y éù=--ëû()224y =-()()222y y =+-éùëû()()2222y y =+-【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．十字相乘法分解因式例题：（2023下·四川达州·八年级校考期末）将多项式234--x x 分解因式后正确的是（ ）A ．()()223x x x+--B ．()34x x --C ．()()14x x -+D ．()()14x x +-【答案】D【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：()()23414.x x x x --=+-故选：D ．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【变式训练】【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．分组分解法分解因式例题：（2023下·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）23355x xy x y +-- （2）2244a b a b-+-【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）23355x xy x y+--分析：甲发现该多项式前两项有公因式3x ，后两项有公因式5-，分别把它们提出来，剩下的是相同因式()x y +，可以继续用提公因式法分解．解：()22335533(55)3()5()()(35)x xy x y x xy x y x x y x y x y x +--=+-+=+-+=+-另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y ，第一项和第三项含有公因式x ，把y ，x 提出来，剩下的是相同因式(35)x -，可以继续用提公因式法分解．解：()22335535(35)(35)(35)(35)()x xy x y x x xy y x x y x x x y +--=-+-=-+-=-+探究2：分解因式：（2）2266a b a b-+-分析：甲发现先将22a b -看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：()222266(66)()()6()()(6)a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+-=-+-=+-+-=-++【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：3244x x x +--；（2）分解因式：22229y yz z x ++-；【拓展提升】：（3）分解因式：2815m m -+．【答案】（1）()()()122x x x ++-；（2）()()33y z x y z x +++-；（3）()()53m m --．【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式()1x +后再利用平方差公式继续分解；（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；（3）把15分解成161-，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．【详解】解：（1）3244x x x +--()()3241x x x =+-+()()2141x x x =+-+()()214x x =+-()()()122x x x =++-；（2）22229y yz z x ++-()22229y yz z x =++-()()223y z x =+-()()33y z x y z x =+++-；（3）2815m m -+()28161m m =-+-()241m =--()()4141m m =-+--()()53m m =--．【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．【变式训练】1．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式22424x y x y -++．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：22424x y x y-++()()22424x y x y =--- 分成两组()()()2222x y x y x y =+--- 分别分解()()222x y x y =-+- 提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？①22x y x y -++=______．②22222a a b ab b +--+=______．(3)利用分组分解法进行因式分解：22441x x y +-+．【答案】(1)①②③(2)①()()22x y x y -++，②()()22222a b a ab b -+-+；(3)()()2121x y x y ++-+【分析】(1)根据阅读材料解答即可；(2)运用分组分解法直接作答即可；(3)运用分组分解法直接作答即可．【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解；故正确的序号是①②③，故答案为：①②③；（2）解：①()()2222x y x y x y x y -++=-++，②()()2222222222a a b ab b a b a ab b +--+=-+-+，故答案为：①()()22x y x y -++，②()()22222a b a ab b -+-+；（3）解：22441x x y +-+()22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =++-+【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．因式分解的应用例题：（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）已知a ，b ，c 是三角形的三边，且满足()2222333a b c a b c ++=++则ABC V 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】将()2222333a b c a b c ++=++进行变形得2222222220a b c ab ac bc ++---=，根据完全平方公式得222()()()0a b b c a c -+-+-=，即可得a b c ==，即可得．【详解】解：()2222333a b c a b c ++=++，222222222333a b c ab ac bc a b c +++++=++，2222222220a b c ab ac bc ++---=，222()()()0a b b c a c -+-+-=，0a b -=，0b c -=，0a c -=，a b =，b c =，a c =，∴a b c ==，∴三角形ABC 为等边三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是掌握因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定．【变式训练】(2)14【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得,,a b c 的值，即可求解．【详解】（1）①()()()222222961961313131x x y x x y x y x y x y +-+=++-=+-=+++-；②()()()()()2226869131313124x x x x x x x x x -+=-+-=--=-+--=--（2）a ，b ，c 为ABC V 的三条边，22254610340a b c ab b c --++-=+，∴2222446910250a b ab b b c c +-+-++-+=，∴()()()2222350a b b c -++-=-，∴20a b -=，30b -=，50c -=，∴6a =，3b =，5c =，∴ABC V 的周长为63514++=．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）在多项式323124a b a bc -中，各项的公因式是（ ）A ．34a bcB ．34a bC ．24abD ．224a b 【答案】B【分析】根据多项式的公因式来进行求解即可．【详解】解： ()323312443a b a bc a b b c =--Q ，34a b \是多项式323124a b a bc -中各项的公因式．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式的公因式，理解多项式的公因式是解答关键．2．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()ma mb m a b -=-C ．()22444x x x ++=+D ．()2211x x -=-【答案】B【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．【详解】A 、()ax ay a x y +=+，因式分解错误，该选项不符合题意；B 、因式分解正确，该选项符合题意；C 、()22442x x x ++=+，因式分解错误，该选项不符合题意；D 、()()2111x x x -=-+，因式分解错误，该选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查因式分解，牢记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解）和方法（提公因式法和公式法）是解题的关键．3．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如果()()21052x kx x x ++=--，则k 应为（ ）A ．3-B ．3C ．7D ．7-【答案】D 【分析】先利用整式乘法化简等式的左边代数式，再根据对应系数相等求解k 值即可．【详解】解：∵()()22525210710x x x x x x x --=--+=-+，∴2210710x kx x x ++=-+，∴7k =-，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解和整式乘法是互为逆运算是解答的关键．4．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式22x M x ++能运用平方差公式进行分解因式，整式M 可以是（ ）A ．1B ．1-C ．24x -+D ．24x --【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A .()22211x x x ++=+是完全平方公式因式分解，不合题意；B .221x x +-不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C .222424x x x x x -++=+，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D . ()()22242422x x x x x x --+=-=+-，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．5．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）已知ABC V 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足22a ac b bc -=-，则ABC V 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】D 【分析】依据题意，由22a ac b bc -=-得220a b ac bc --+=，从而()()0a b a b c -+-=，由两边之和大于第三边可得a b c +>，即0a b c +->，进而0a b -=，故可得解．【详解】解：由题意，∵22a ac b bc -=-，∴220a b ac bc --+=．∴()()0a b a b c -+-=．又∵a b c +>，即0a b c +->，∴0a b -=，即a b =．∴ABC V 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能理解．二、填空题【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．三、解答题11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分解因式：(1)32231212a a b ab -+-；(2)229()()m n m n +--．【答案】(1)23(2)a a b --(2)()()422m n m n ++【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．【详解】（1）原式()22344a a ab b =--+23(2)a a b =--；（2）()2原式()()()()33m n m n m n m n =++-+--éùéùëûëû()()422m n m n =++．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2023下·四川达州·八年级校考期末）因式分解：(1)()()42a x y b y x ---；(2)22168x xy y -+；【答案】(1)()()22x y a b -+(2)2(4)x y -【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；（2）利用完全平方公式进行分解，即可解答．【详解】（1）解：()()42a x y b y x ---【答案】(1)(3)(3)+++-a b a b (2)ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）运用完全平方公式分解222a ab b ++，再运用平方差公式进行分解即可；（2）运用乘法公式进行分组分解法分解因式即可．【详解】（1）解：2229a ab b ++-2()9a b =+-(3)(3)a b a b =+++-．（2）解：20a ab ac bc -+-=，因式分解为：()2()0a ab ac bc -+-=，()()0a a b c a b -+-=，()()0a b a c -+=，0a b \-=，即a b =，∴ABC V 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查因式分解的知识，掌握乘法公式的运用，因式分解的方法是解题的关键．15．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：3222x x x +--可以因式分解为()()()112x x x -++，当29x =时，128x -=，130x +=，231x +=，此时可以得到数字密码283031．任务：(1)根据上述方法，当15x =，5y =时，对于多项式32x xy -分解因式后可以形成哪些数字密码？(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x ，y ，求出一个由多项式33x y xy +分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015(2)24121（或12124）【分析】（1）先将32x xy -进行因式分解，再根据题意代入15x =，5y =计算，即可求解；（2）根据勾股定理和三角形周长公式得2213121x y x y +=ìí+=î，解得24xy =，再将多项式33x y xy +分解因式后，代入24xy =，22121x y +=进行计算即可求解．【详解】（1）解：()()32x xy x x y x y -=-+，当15x =，5y =时，10x y -=，20x y +=，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015．（2）由题意得：2213121x y x y +=ìí+=î，解得24xy =，而()3322x y xy xy x y +=+，所以可得数字密码为24121（或12124）．【点睛】本题考查因式分解和因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法以及题目中数字密码的计算方法．16．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A ，B ，C 三种纸片：A 种是边长为m 的正方形，B 种是边长为n 的正方形，C 种是宽为m ，长为n 的长方形．用A 种纸片1张，B 种纸片1张，C 种纸片2张可以拼出（不重不漏）如图2所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法()()222m n m n m mn n ++=++，反过来也可以解释多项式222m mn n ++，因式分解的结果为2222()m mn n m n ++=+，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：(1)若多项式2223m n mn ++表示分别由1，2，3张A ，B ，C 三种纸片拼出如图3所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式2232m mn n ++进行因式分解；(2)我们可以借助图3再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的结果为______．【答案】(1)长是2m n +，宽是m n +，因式分解结果是()()2m n m n ++(2)22372m mn n ++，()()23m n m n ++【分析】（1）根据A ，B ，C 三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；（2）根据长方形由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是2m n +，宽是m n +，2232(2)()m mn n m n m n \++=++；（2）根据长方形刚好由3张A 种纸片，2张B 种纸片，7张C 种纸片拼成，则这个长方形的面积可以表示为多项式22372m mn n ++，22372(2)(3)m mn n m n m n \++=++，故答案为：22372m mn n ++，(2)(3)m n m n ++．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．。
初二因式分解经典题35题
初二因式分解经典题35题一、提取公因式法相关（10题）1. 分解因式：6ab + 3ac- 你看这里面每一项都有个3a呢。
就像大家都有个共同的小秘密一样。
那我们就把3a提出来呀，提出来之后就变成3a(2b + c)啦。
2. 分解因式：15x^2y−5xy^2- 哟，这里面5xy是公共的部分哦。
把5xy提出来，就剩下5xy(3x - y)啦，是不是很简单呢？3. 分解因式：4m^3n - 16m^2n^2+8mn^3- 仔细瞧瞧，8mn是都能提出来的。
提出来后就变成8mn(m^2 - 2mn + n^2)啦。
4. 分解因式：−3x^2y+6xy^2−9xy- 这里面−3xy是公因式哦。
把它提出来，就得到−3xy(x - 2y+3)啦。
5. 分解因式：2a(x - y)-3b(x - y)- 看呀，(x - y)是公共的部分呢。
提出来就变成(x - y)(2a - 3b)啦。
6. 分解因式：a(x - y)^2 - b(y - x)^2- 注意哦，(y - x)^2=(x - y)^2。
那这里面(x - y)^2是公因式，提出来就得到(x - y)^2(a - b)啦。
7. 分解因式：x(x - y)+y(y - x)- 先把y(y - x)变成-y(x - y)，这样公因式就是(x - y)啦，提出来就是(x - y)(x - y)=(x - y)^2。
8. 分解因式：3a(a - b)+b(b - a)- 把b(b - a)变成-b(a - b)，公因式(a - b)提出来，就得到(a - b)(3a - b)啦。
9. 分解因式：2x(x + y)-3(x + y)^2- 公因式是(x + y)，提出来就变成(x + y)[2x-3(x + y)]=(x + y)(2x - 3x - 3y)=(x + y)(-x - 3y)=-(x + y)(x + 3y)。
10. 分解因式：5(x - y)^3+10(y - x)^2- 把(y - x)^2变成(x - y)^2，公因式5(x - y)^2提出来，得到5(x - y)^2[(x -y)+2]=5(x - y)^2(x - y + 2)。
完整版八年级因式分解难题附答案及解析
2017年05月21日数学(因式分解难题)2一•填空题(共10小题)1 .已知x+y=10, xy=16,则x2y+xy2的值为_____ .2•两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2 (x-2) (x- 4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：_ .3 .若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是_____ .4 .分解因式：4貳-4x- 3= ___ .5. _______________________________________ 利用因式分解计算：2022+202X 196+982= _______________________ .6. __________________________________________________________A ABC三边a, b, c满足a2+b2+c?=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是_____ .7 .计算：12- 22+32- 42+52- 62+…-1002+1012= __ .8. 定义运算b= (1-a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★ (- 2) =3②a^ b=b^ a③若a+b=0,则(a^ a) + (b^ b) =2ab④若a^ b=0,则a=1 或b=0.其中正确结论的序号是____ (填上你认为正确的所有结论的序号).9. _______________________________________________ 如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= _________ .10. 若多项式x2-6x- b可化为(x+a) 2- 1,则b的值是________ .二.解答题(共20小题)11 .已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.12 .因式分解：4x2y - 4xy+y .13 .因式分解(1)a3- ab2(2)(x-y) 2+4xy.14 •先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求m 和n 的值.解：T m2+2mn+2n2- 6n+9=0••• m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/•( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0•m+n=0, n —3=0•m= —3, n=3问题：(1 )若X2+2『-2xy+4y+4=0,求X y的值.(2)已知△ ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足a2+b2- 6a- 6b+18+|3 -c| =0,请问△ ABC是怎样形状的三角形？15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为和谐数”如4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42，因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)______________________________________ 介于1到200之间的所有和谐数”之和为_________________________________ .16. 如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.:<②1° b®1 1 1 1 ■ ■ 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 i 1 i iiaHI郅(1) 如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们 拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将 多项式a 2+3ab+2b 2分解因式.(2) 已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为34, 求长方形②的面积.(3) 现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接) ，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17. (1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片 拼成一个新的长方形，如图2.① 用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积; ② 由此，你可以得出的一个等式为： __________ (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示.① 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；② 请你用拼图等方法推出2a 2+5ab+2b 2因式分解的结果，画出你的拼图.□•口" Mi□■oHl18 .已知a+b=1，ab=- 1，设S1 =a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，S n=a n+b n(1) 计算s ；(2) 请阅读下面计算S3的过程:a i-b'二乍"十F +(站g-hp 十&召一盘为=(护+扩＜0+(扩+a③-府白+应为=(白’ +盼"+(/ 4扌0-4地+曲二S+如+巧一□糾»因为a+b=1, ab=- 1,所以S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2)—ab (a+b) =1 x S2 -( - 1) =S2+1= __你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3 )试写出S n-2, S n-1, S n三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6.19. (1)利用因式分解简算:9.82+0.4X 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1) 2-( 1 - a)20. 阅读材料：若m2-2mn+2n2- 8n+16=0,求m、n 的值.解：T m2- 2mn+2n2- 8n +16=0,二(m2- 2mn+n2) + (n2- 8n+16) =0■'■( m - n) 2+ (n- 4) 2=0,A( m - n) 2=0, (n- 4) 2=0,二n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求x-y 的值.(2)已知△ ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足石+b2-6a- 8b+25=0, 求厶ABC的最大边c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,则 a - b+c= __ .21. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m 的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2- 4x+m= (x+3) (x+n)，则x2- 4x+m=W+(n+3) x+3nn+3= —4m=3n 解得：n= - 7, m= —21•另一个因式为(x—7), m的值为-21 .问题：(1)若二次三项式x2- 5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a= ______ ;(2)若二次三项式2x2+bx - 5可分解为(2x- 1) (x+5),则b= ______ ;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及k的值.22 •分解因式:(1)2x2- x;(2)16x2- 1;(3)6xy2- 9x2y - y3;(4)4+12 (x- y) +9 (x-y) 2.23. 已知a, b, c是三角形的三边，且满足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),试确定三角形的形状.24. 分解因式(1)2(- 4x2y2+2y4(2)2a3- 4a2b+2ab2.25. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)图②中的阴影部分的面积为—;(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n) 2、(m - n) 2、mn之间的等量关系是___ .(3)______________________________ 若x+y=7, xy=10,则(x —y) 2= .(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了___ .(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+ n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.w②26. 已知a、b、c满足a—b=8, ab+c2+16=0,求2a+b+c 的值.27 .已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.28. (x2—4x) 2— 2 (x2—4x)—15.29. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2 =(1+x) [ 1 +x+x (x+1)]=(1+x) 2(1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是—，共应用了—次.(2)_________________________________________________________ 若分解1+x+x (x+1 ) +x (x+1 ) 2+-+x (x+1 ) 2004,则需应用上述方法________ 次，结果是___ .(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n(n 为正整数).30. 对于多项式x3—5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3—5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x- 2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式（X- a））,于是我们可以把多项式写成：x3- 5X2+X+10=（x- 2）（x2+mx+n），（1 ）求式子中m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x - 10 的因式．2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析一•填空题(共10小题)1. ( 2016秋？望谟县期末)已知x+y=10, xy=16,则x2y+xy2的值为160 .【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解：••• x+y=10, xy=16,••• x2y+xy2=xy (x+y) =10X 16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2. (2016秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2 (x-2) (x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2 (x -3)2.【分析】根据多项式的乘法将 2 (x- 1) (x-9)展开得到二次项、常数项；将2 (x-2) (x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】解：：2 (x- 1) (x-9) =2乂 - 20x+18;2 (x- 2) (x-4) =2^- 12x+16;•原多项式为2x2- 12x+18 .2/- 12x+18=2 (x2- 6x+9) =2 (x-3) 2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键. 二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确.3. (2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值是土 4 .【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a- b) 2+4ab、(a- b) 2= (a+b) 2- 4ab 计算即可.【解答】解：••• x2+mx+4= (x± 2) 2,即x2+mx+4=W 土4x+4,••• m= ± 4.故答案为：土4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.4. (2015 秋？利川市期末)分解因式：4/- 4x- 3= (2x- 3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (a^0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a i, a2的积a i?a2，把常数项c分解成两个因数c i, C2 的积c i?C2,并使a i C2+a2C i正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a i x+c i) (a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2- 4x- 3= (2x- 3) (2x+i).故答案为：(2x- 3) (2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5 . (20i5春？东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202X i96+982= 90000 .【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.第9页(共3i页)【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98) 2=300 =90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.6. (2015秋？浮梁县校级期末)△ ABC三边a, b, c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则厶ABC的形状是等边三角形 .【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2,再化简得(a- b) 2+ (a -c) 2+ (b - c) 2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即a2- 2ab+b2+a2- 2ac+c2+b2- 2bc+c2=0,即(a - b) 2+ (a- c) 2+ (b - c) 2=0,解得：a=b=c,所以，△ ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c,由三边相等判定厶ABC是等边三角形.7. (2015 秋？鄂托克旗校级期末)计算：12- 22+32- 42+52- 62+…-1002+1012= 5151 .【分析】通过观察，原式变为1+ (32- 22) + (52- 42) + (1012- 1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12- 22+32- 42+52- 62+…-1002+1012=1+ (32- 22) + (52- 42) + ( 1012- 1002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) +••+ (101+100)=(1+101)X 101-2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8. (2015秋？乐至县期末)定义运算a^b= (1 - a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★ (- 2) =3②a^ b=b^ a③若a+b=0,则(a^ a) + (b^ b) =2ab④若a^ b=0,则a=1 或b=0.其中正确结论的序号是③④(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：①2 ★ (-2) = (1 - 2)X(- 2) =2,本选项错误；②a^b= (1 - a) b, b^a= (1 - b) a,故a^b不一定等于b^a,本选项错误；③若a+b=0，贝U( a^a) + (b★ b) = (1 - a) a+ (1 - b) b=a- a2+b- b2=- a2 -b2= - 2a2=2ab,本选项正确；④若a^ b=0,即(1 - a) b=0,则a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有③④.故答案为③④.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.9. （2015 春？张掖校级期末）如果1 +a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0 .【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：I 1+a+a2+a3=0,二a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8,=a (1 +a+a2+a3) +a5(1 +a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10. (2015春？昆山市期末)若多项式X2-6x-b可化为(x+a) 2- 1,贝U b的值是 -8 .【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】解：T x2- 6x- b= (x- 3) 2- 9- b= (x+a) 2- 1,二a=- 3,- 9- b= - 1,解得：a=- 3, b= - 8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共20小题)11. 已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7) 2-(n -3) 2,看因式中有没有20即可.【解答】解：(n +7) 2-(n-3) 2= (n +7+n-3) (n +7- n+3) =20 (n+2), •••(n +7) 2-(n- 3) 2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2- b2= (a+b) (a- b).12. (2016秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：4x2y- 4xy+y=y( 4x2- 4x+1 )=y(2x- 1) 2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解, 一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止.13. (2015秋?成都校级期末)因式分解( 1 ) a3- ab2(2)(x- y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；( 2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a (a2- b2) =a (a+b) (a- b)；( 2)原式=x2- 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=( x+y) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用, 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.14. (2015 春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求m 和n 的值.解：T m2+2mn+2n2- 6n+9=0••• m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/•( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0m+n=0, n —3=0m= —3, n=3问题：(1)若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求X 的值.(2)已知△ ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足孑+b2-6a—6b+18+|3 —c| =0,请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把x2+2y2—2xy+4y+4=0,配方得到(x —y) 2+ (y+2) 2=0, 再根据非负数的性质得到x=y= —2,代入求得数值即可；(2)先把a^b2- 6a—6b+18+|3 —c| =0,配方得到(a—3) 2+ (b —3) 2+| 3 —c| =0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1 )••• x2+2y2 —2xy+4y+4=0•x2+y2—2xy+y2+4y+4=0,•( x —y) 2+ (y+2) 2=0•x=y=- 2(2a2+b2—6a —6b+18+| 3 —c| =0,•a2- 6a+9+b2—6b+9+| 3 —c| =0,••( a —3) 2+ (b —3) 2+| 3 —c| =0•a=b=c=3•三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题.15. (2015秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为和谐数”如4=22- 02, 12=军-22, 20=62- 42,因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有和谐数”之和为2500 .【分析】(1)利用36=1俨-82; 2016=5052 - 5032说明36是和谐数” 2016 不是和谐数”(2)设两个连续偶数为2n, 2n+2(n为自然数),则和谐数”(2n +2) 2- (2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4(2n+1),然后利用整除性可说明和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有和谐数”中，最小的为：22- 02=4,最大的为：502- 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.【解答】解：(1) 36是和谐数” 2016不是和谐数”理由如下：36=10^- 82; 2016=5052- 5032;(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (n为自然数)，•••(2k+2) 2-(2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2- 2k)=(4k+2)x 2=4 (2k+1),••• 4 (2k+1)能被4整除，•••和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有和谐数”之和，S= (22- 02) + (42- 22) + (62- 42) +••+ (502- 482) =50^=2500.第16页（共31页） 故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形, 从而达到使计算简化.16. （2015春?兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a 的小正方形①、长 为b 宽为a 的长方形②以及边长为b 的大正方形③的纸片.圍1 圉2（1） 如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们 拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将 多项式a 2+3ab+2b 2分解因式.（2） 已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为34, 求长方形②的面积.（3） 现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ，求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画 出图形，利用图形分解因式即可；（2） 由长方形②的周长为34,得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正 方形③的面积之和为a 2+b 2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab 的值，从 而可求得长方形②的面积；（3） 设正方形的边长为（na+mb ），其中（n 、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各8张，n2<8, m2<8, 2mn w 8 （n、m为正整数）从而可知n W2, m<2,从而可得出答案.••• a2+3ab+2b2= （a+2b）（a+b）;（2 长方形②的周长为34,•a+b=17.•••小正方形①与大正方形③的面积之和为169,•a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289,•2ab=289 - 169,•ab=60.•长方形②的面积为60.（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）•正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.•••现有三种纸片各8张，•n2<8, m2<8, 2mn<8 （n、m 为正整数）•n<2, m<2.•共有以下四种情况；① n=1, m=1，正方形的边长为a+b;第17页（共31页）②n=1, m=2，正方形的边长为a+2b;③n=2, m=1，正方形的边长为2a+b;④n=2, m=2，正方形的边长为2a+2b.【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式.17. (2014秋？莱城区校级期中)(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = (a+1) 2(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.【分析】(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式;(2)要能根据等式画出合适的拼图.【解答】解：(1 ［①长方形的面积=a2+2a+1;长方形的面积=(a+1) 2；②a2+2a+ 仁(a+1) 2;(2)①如图，可推导出(a+b) 2=a2+2ab+b2;②2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b).* ■■ +一b【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.18. (2013秋？海淀区校级期末)已知a+b=1, ab=- 1,设s i=a+b, S2=a2+b2,S3=a3+b3,…，S n=aT l+b n(1 )计算S2 ；(2 )请阅读下面计算S3的过程：a i-b'二才十扩 +(扩占-盘:®=(用+ 沖+& +涉-吨+Q因为a+b=1, ab=- 1,所以S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2)- ab (a+b) =1 x S2-( - 1) =s?+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3)试写出S n-2 , S n-1 , S n三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6.【分析】(1) (2)利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b, ab的值，即可推出结论；(3)根据(1)所推出的结论，即可推出S h-2+s n-1=Si；(4)根据(3)的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3.【解答】解：(1) S2=a2+b2= (a+b) 2- 2ab=3;(2) '■'( a?+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab (a+b),••• 3x 仁a3+b3- 1,a3+b3=4,即卩S3=4；T S4= (a2+b2) 2- 2 (ab) 2=7,. S4=7;( 3)T S2=3，S3=4，S4=7，. S2+S3=S4，. S n-2+S n-1=S n;( 3)T S n-2+S n-1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，. S5=4+7=11，. S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3, S3=4, S4=7，分析归纳出规律：S-2+S-i=S n.19．( 2013 春?重庆校级期末) ( 1 )利用因式分解简算：9.82 +0.4 x 9.8+0.04 ( 2 )分解因式：4a( a- 1 )2-( 1 - a)【分析】( 1 )利用完全平方公式因式分解计算即可;( 2 )先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：(1 )原式=9.82+2x 0.2x 9.8+0.22=( 9.8+0.2)2=100;(2) 4a (a- 1) 2-(1 - a)=(a - 1) (4a2- 4a+1)=(a- 1) (2a- 1) 2.【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键.20.(2013春？惠山区校级期末)阅读材料：若m2-2mn+2n2- 8n+16=0,求仆n的值.解：T m2- 2mn+2n2- 8n +16=0,二(m2- 2mn+n2) + (n2- 8n+16) =0 •••(m - n) 2+ (n- 4) 2=0,A( m - n) 2=0, (n- 4) 2=0,二n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求x-y 的值.(2)已知△ ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足£+b2-6a- 8b+25=0, 求厶ABC的最大边c的值.(3)已知a- b=4, ab+c2- 6c+13=0,则a-b+c= 7 .【分析】(1 )将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值;(2)将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；(3)由a- b=4,得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a 的值，即可求出a- b+c的值.【解答】解：(1 )••• x2+2xy+2y2+2y+ 仁0• ( x2+2xy+y2) + (y2+2y+1) =0第24页(共31页)•••( x+y) 2+ (y+1) 2=0••• x+y=0 y+1=0解得x=1, y=- 1•x-y=2；(2 a2+b2- 6a- 8b+25=0•( a2- 6a+9) +( b2- 8b+16) =0•( a- 3) 2+( b- 4) 2=0•a- 3=0，b- 4=0解得a=3，b=4•••三角形两边之和〉第三边•c v a+b, c v 3+4•c v 7,又c是正整数，• c 最大为6；(3a- b=4, 即卩a=b+4,代入得：(b+4) b+c2- 6c+13=0,整理得：( b2+4b+4) +( c2- 6c+9) =( b+2) 2+( c- 3) 2=0,•b+2=0，且c-3=0,即b=- 2, c=3, a=2,则a- b+c=2-(- 2) +3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用, 以及非负数的性质, 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21 ．( 2012 秋?温岭市校级期末)仔细阅读下面例题,解答问题：例题：已知二次三项式x2- 4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为(x+n),得x2- 4x+m= (x+3) (x+n),则x2- 4x+m=W+ (n+3)x+3nn+3= —4m=3n 解得：n= - 7, m= - 21•另一个因式为(x-7), m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2- 5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a= - 3 ;(2)若二次三项式2x2+bx - 5可分解为(2x- 1) (x+5),贝U b= 9 ;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及k的值.【分析】(1)将(x-2) (x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；(2) (2x- 1) (x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x- k= (2x- 3) (x+n) =2x2+ (2n-3)x- 3n,可知2n-3=5，k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.【解答】解：(1 )•••( x- 2) (x+a) =x2+ (a - 2) x- 2a=«- 5x+6，• a - 2=- 5，解得：a=- 3;(2)v( 2x- 1) (x+5) =2«+9x-5=2x2+bx- 5，•b=9;(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x- k= (2x- 3) (x+n) =2x2+ (2n-3)x- 3n，则2n - 3=5，k=3n，第26页(共31页)解得：n=4，k=12，故另一个因式为( x+4)，k 的值为12．故答案为：(1)- 3; (2分)(2) 9; (2分)(3)另一个因式是x+4, k=12 (6 分)．【点评】本题考查因式分解的意义,解题关键是对题中所给解题思路的理解, 同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形, 即互逆运算, 二者是一个式子的不同表现形式．22．(2012 春?郯城县期末)分解因式：( 1 ) 2x2- x;(2) 16x2- 1;( 3) 6xy2- 9x2y- y3;( 4) 4+12( x- y) +9( x- y) 2．【分析】(1)直接提取公因式x即可；(2)利用平方差公式进行因式分解;(3)先提取公因式-y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；(4)把( x- y )看作整体,利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：( 1 ) 2x2- x=x( 2x- 1 )；(2) 16x2- 1= (4x+1) (4x- 1)；( 3) 6xy2- 9x2y- y3,=- y( 9x2- 6xy+y2),=- y( 3x- y) 2；( 4) 4+12( x- y) +9( x- y) 2,=[2+3 (x-y) ]2,=(3x- 3y+2) 2.【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在(3),提取公因式-y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解.23. ( 2012 春?碑林区校级期末) 已知a，b，c 是三角形的三边，且满足( a+b+c)2=3( a2+b2+c2)，试确定三角形的形状.【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【解答】解：•••( a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, =3a2+3b2+3c2,a2+b2- 2ab+b2+c2- 2bc+a2+c2- 2ac=0，即( a- b) 2+( b- c) 2+( c- a) 2=0，••• a - b=0, b - c=0, c- a=0,二a=b=c,故厶ABC为等边三角形.【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.24. (2011秋?北辰区校级期末)分解因式( 1) 2x4- 4x2y2+2y4( 2) 2a3- 4a2b+2ab2.【分析】( 1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.第28页(共31页)【解答】解：( 1) 2x4- 4x2y2+2y4=2 (x4- 2x2y2+y4)=2 (x2- y2) 2=2 (x+y) 2(x- y) 2;(2) 2a3- 4a F b+2ab2=2a (a2- 2ab+b2)=2a (a - b) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底.25. (2011秋?苏州期末)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)图②中的阴影部分的面积为(m-n) 2;(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n) 2、(m - n) 2、mn之间的等量关系是(m+n) 2-( m- n) 2=4mn .(3)若x+y=7，xy=10,则(x- y) 2= 9 .(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了 (m+n) (2m+ n) =2m2+3mn+n2.(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.(2) 掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.(3) 此题可参照第(2)题.(4) 可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.(5) 可参照第(4)题画图.【解答】解：(1)阴影部分的边长为(m - n ),阴影部分的面积为(m - n ) 2；(2) (m+n ) 2-(m - n ) 2=4mn ；(3) (x-y ) 2= (x+y ) 2 - 4xy=72 - 40=9;(4) (m+n ) (2m+n ) =2m 2+3mn+n 2；(5) 答案不唯一：例如：【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示, 用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形.冊【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.②26. (2009秋？海淀区期末)已知a b、c满足a- b=8, ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值.【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口 .由a-b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;此时可发现圧+8匕+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可.【解答】解：因为a-b=8,所以a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0,所以（b+8）b+c2+16=0. （2 分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2>0, c2> 0,则b=- 4，c=0．（ 4 分）所以a=4，（ 5 分）所以2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007,由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3X 3X 223,可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方体体积abc 了.【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,第28页（共31页）a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）- 1=2006,（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007,（1+b）（c+1+a+ac）=2007,（1+b）（c+1）（a+1）=2007,2007只能分解为3X 3X 223•••( a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为3、3、223•••a、b、c也只能分别为2、2、222•••长方体的体积abc=888.【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式.28. (2007 秋？普陀区校级期末)(x2-4x) 2- 2 (x2- 4x)- 15.【分析】把(x2- 4x)看作一个整体，先把-15写成3X( -5),利用十字相乘法分解因式，再把3写成(-1)X( - 3), - 5写成1X( -5),分别利用十字相乘法分解因式即可.【解答】解：(x2- 4x) 2- 2 (x2-4x)- 15，=(x2- 4x+3) (x2- 4x- 5)，=(x- 1) (x- 3) (x+1) (x- 5).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底.29. (2007春?镇海区期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2=(1+x) [ 1 +x+x (x+1)]=(1+x) 2(1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.(2)若分解 1 +x+x(x+1 ) +x(x+1 ) 2+- +x (x+1) 2004，则需应用上述方法2004 次，结果是(1 +x) 2005.(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n(n 为正整数).【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系. 【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.(2)需应用上述方法2004次，结果是(1+x) 2005.(3 )解：原式=(1+x) [ 1 +x+x (x+1) ]+x ( x+1) 3+^+x ( x+1) n，=(1+x) 2(1+x) +x (x+1) 3+-+x (x+1) n，=(1+x) 3+x (x+1 ) 3+・・+x (x+1) n，=(x+1) n+x (x+1) n，=(x+1) n+1.【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广.30. (2007春?射洪县校级期末)对于多项式x3-5x2+x+10，如果我们把x=2 代入此多项式，发现多项式x3- 5X2+X+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x -2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a)), 于是我们可以把多项式写成：x3- 5X2+X+10= (x- 2) (x2+mx+n),(1 )求式子中m、n的值；(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x -10的因式.【分析】(1)根据(x- 2) (x2+mx+ n) =x3+ (m - 2) x2+ (n- 2m) x- 2n,得出有关m, n的方程组求出即可；（2）由把x=- 1代入x3-2x2- 13x- 10,得其值为0,则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案.【解答】解：（1）方法一：因（x- 2）（x2+mx+n）=x3+（m - 2）x2+ （n-2m）x- 2n,=x3- 5/+X+10, （2 分）[-2n=10解得：m=- 3, n=-5 （5 分），方法二：在等式x3- 5x2+x+10= （x- 2）（x2+mx+ n）中，分别令x=0, x=1,即可求出：m=-3, n=- 5 （注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=- 1 代入x3- 2x2- 13x- 10,得其值为0, 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=- 3, b=- 10, （8分）所以x3- 2x2- 13x- 10= （x+1）（x2- 3x- 10）, （9 分）=（x+1）（x+2）（x- 5） . （10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法.第31页（共31页）。
数学八年级上：因式分解练习题和答案解析
一、单项选择题1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，而且a+bc+b+ca=24，那么如此的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、任何一个正整数n都能够进行如此的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），若是p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，咱们就称p×q是n的最正确分解，并规定：F（n）=．例如18能够分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出以下关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）假设n是一个完全平方数，那么F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，假设=，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形4、关于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（）整除．A．9 B．2 C．11 D．n+95、已知a-b=1，那么a2-b2-2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．06、若是x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）A．6 B．8 C．-6 D．-87、若是x2+3x-3=0，那么代数式x3+3x2-3x+3的值为（）A．0 B．-3 C．3 D．8、设x2-x+7=0，那么x4+7x2+49=（）A．7 B．C．-D．0二、填空题9、设，那么代数式3a3+12a2-6a-12的值为10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），那么m-n= ．11、若ab=3，a+b=4，那么a2b+ab2= ．12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，那么= ．13、已知a+b=3，ab=-1，那么a2b+ab2= ．14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2020的值是．15、甲、乙两农户各有两块地，如下图，今年，这两个农户决定一起投资弄饲养业，为此，他们预备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原先4块地的总面积相等，互换以后的土地应该是米．三、解答题16、咱们学过因式分解的概念，在计算多项式的进程中，若是能适本地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．咱们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，若是把质因数依照从小到大的顺序排在一路，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方式是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．例：试求19乘以125的值．解：∵125=1000÷8∴19×125=19000÷8=7答：由上知，19×125=7．请依照例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余117、按下面规那么扩充新数：已有a和b两个数，可按规那么c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规那么又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规那么操作三次取得扩充的最大新数；②可否通过上述规那么扩充取得新数5183并说明理由1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，而且a+bc+b+ca=24，那么如此的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个C【解答】分析：先将a+bc+b+ca=24 能够化为（a+b）（c+1）=24，然后依照24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是不是符合题意即可得出答案．解答：解：a+bc+b+ca=24 能够化为（a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整数，而且其中两个数相等，令a+b=A，c+1=C 则A，C为大于2的正整数，那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，①、A=2，C=12时，c=11，a+b=2，无法取得知足等腰三角形的整数解；②、A=3，C=8时，c=7，a+b=3，无法取得知足等腰三角形的整数解；③、A=4，C=6时，c=5，a+b=4，无法取得知足等腰三角形的整数解；④、A=6，C=4时，c=3，a+b=6，能够取得a=b=c=3，能够组成等腰三角形；⑤、A=8，C=3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，能够组成等腰三角形，a=b=4是两个腰；⑥、A=12，C=2时，可得a=b=6，c=1，能够组成等腰三角形，a=b=6是两个腰．∴一共有3个如此的三角形．应选C．题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一样，在解答此题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键2、2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出以下关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）假设n是一个完全平方数，那么F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4B【解答】分析：把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是不是与所给结果相同．解答：解：∵2=1×2，∴F（2）=是正确的；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，那么F（n）=1，故（4）是正确的．∴正确的有（1），（4）．应选B．点评：此题考查题目信息获取能力，解决此题的关键是明白得此题的概念：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．3、△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，假设=，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D【解答】分析：别离从当AD=BD时，可得△ABC是等腰三角形；当AC2=AD•AB，BC2=BD•AB时，△ABC 是直角三角形．解答：解：①若AD=BD，∵=，∴AC=BC，现在CD是高，符合题意，即△ABC是等腰三角形；②∵=，∴==，∴当AC2=AD•AB，BC2=BD•AB时成立，即，∵∠A是公共角，∴△ABC∽△ACD，∴∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC是直角三角形；∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．应选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的判定．此题难度适中，注意把握数形结合思想与分类讨论思想的应用．4、关于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（）整除．A．9 B．2 C．11 D．n+9A【解答】分析：将多项式利用平方差公式分解因式，由n为整数，取得2n+13为整数，可得出多项式能被9整除．解答：解：多项式（n+11）2-（n+2）2=[（n+11）+（n+2）][（n+11）-（n+2）]=9（2n+13），∵n为整数，∴2n+13为整数，那么多项式（n+11）2-（n+2）2都能被9整除．应选A点评：此题考查了因式分解的应用，熟练把握平方差公式是解此题的关键．5、已知a-b=1，那么a2-b2-2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0C【解答】分析：先将原式化简，然后将a-b=1整体代入求解．解答：解：∵a-b=1，∴a2-b2-2b=（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1．应选C．点评：此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用．6、若是x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）A．6 B．8 C．-6 D．-8C【解答】分析：由x2+x-1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．解答：解：由x2+x-1=0得x2+x=1，∴x3+2x2-7=x3+x2+x2-7，=x（x2+x）+x2-7，=x+x2-7，=1-7，=-6．应选C．点评：此题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，第一应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．7、若是x2+3x-3=0，那么代数式x3+3x2-3x+3的值为（）A．0 B．-3 C．3 D．C【解答】分析：先对所求代数式的前三项提取公因式x，再利用整体代入来求值．解答：解：当x2+3x-3=0时，x3+3x2-3x+3，=x（x2+3x-3）+3，=3．应选C．点评：此题考查提公因式法分解因式，关键是提取公因式后显现已知条件的形式，然后利用整体代入求解．8、设x2-x+7=0，那么x4+7x2+49=（）A．7 B．C．-D．0D【解答】分析：第一将x4+7x2+49变形，可得x2（x2+7）+49；然后将x2-x+7=0变形，可得：x2= x-7，x2+7=x，整体代入即可取得7x2-7，提取公因式7，即可求得．解答：解：∵x4+7x2+49=x2（x2+7）+49又∵x2-x+7=0，∴x2=x-7，∴，把x2=x-7和代入x2（x2+7）+49得：=（-7）+49，=7x2-7，=7（x2-x+7），=7×0，=0．应选D．点评：此题要紧考查了因式分解的应用．注意整体思想的应用9、设，那么代数式3a3+12a2-6a-12的值为24【解答】分析：将所求式子提取3后，拆项变形，别离取得a+1的因式，将已知等式变形取得a+1=，把a与a+1的值代入计算，即可求出值．解答：解：∵a=-1，即a+1=，∴3a3+12a2-6a-12=3（a3+4a2-2a-4）=3（a3+a2+3a2+3a-5a-5+1）=3[a2（a+1）+3a（a+1）-5（a+1）+1]=3×[（-1）2×+3（-1）×-5+1]=3（8-14+21-3-5+1）=3×8=24．故答案为：24点评：此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解此题的关键．10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），那么m-n= ．答案是-1．【解答】分析：将x=m代入原方程，列出关于m的一元二次方程m2-nm+m=0，然后通过因式分解法解该方程求得m-n的值即可．解答：解：∵关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），∴x=m知足关于x的方程x2-nx+m=0，∴m2-nm+m=0，即m（m-n+1）=0，∴m=0（舍去），或m-n+1=0，∴m-n=-1；故答案是：-1．点评：此题考查了一元二次方程的解的概念、因式分解的应用．解答该题时，通过提取公因式m将方程m2-nm+m=0的左侧转化为两式之积的形式，从而求得m-n的值．11、若ab=3，a+b=4，那么a2b+ab2= ．【答案】12．【解答】分析：此题只需先对a2b+ab2进行因式分解得ab（a+b），再将ab和a+b的值代入即可取得结果．解答：解：∵ab=3，a+b=4，∴a2b+ab2=ab（a+b）=3×4=12．故答案为：12．点评：此题考查了因式分解的应用，关键是提取公因式，比较简单．12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，那么= ．答案为-32．【解答】分析：依照1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简以后取得：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，那么1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1），∵a2+2a-1=0，∴-（a2+2a-1）=0，与题设矛盾∴a-b2+2≠0，∴a+b2=0，即b2=-a，∴==-=-（）5=-25=-32．故答案为-32．解法二：∵a2+2a-1=0，∴a≠0，∴两边都除以-a2，得--1=0又∵1-ab2≠0，∴b2≠罢了知b4-2b2-1=0，∴和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不等实根∴+b2=2，×b2==-1，∴（ab2+b2-3a+1）÷a=b2+-3+=（b2+）+-3=2-1-3=-2，∴原式=（-2）5=-32．点评：此题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用13、已知a+b=3，ab=-1，那么a2b+ab2= ．【答案】-3【解答】分析：将所求式子提取公因式ab，分解因式后，将a+b及ab的值代入即可求出值．解答：解：∵a+b=3，ab=-1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=-1×3=-3．故答案为：-3点评：此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，将所求式子分解因式是此题的冲破点．14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2020的值是{@answer}．【答案】-2020．【解答】分析：依照已知求出m2+m=1，把所求的代数式化成含有m2+m的形式，代入求出即可．解答：解：∵m2+m-1=0，∴m2+m=1．∴m3+2m2-2020=m（m2+m）+m2-2020=m•1+m2-2020=m+m2-2020=1-2020=-2020．故答案为：-2020．点评：此题考查了分解因式的应用，关键是如何把已知条件代入所求的代数式，思路是：求出m2+m的值，把m2+m看成一个整体进行代入．15、甲、乙两农户各有两块地，如下图，今年，这两个农户决定一起投资弄饲养业，为此，他们预备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原先4块地的总面积相等，互换以后的土地应该是{@answer}米．【答案】（a+c）米．【解答】分析：第一计算原先4块地的总面积，再进一步因式分解，显现a+b的形式．解答：解：原先四块地的总面积是a2+bc+ac+ab=a（a+c）+b（a+c）=（a+c）（a+b），那么互换以后的土地长是（a+c）米．故答案为：（a+c）米．点评：此题要能够熟练运用分组分解法进行因式分解．16、咱们学过因式分解的概念，在计算多项式的进程中，若是能适本地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．咱们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，若是把质因数依照从小到大的顺序排在一路，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方式是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．例：试求19乘以125的值．解：∵125=1000÷8∴19×125=19000÷8=7答：由上知，19×125=7．请依照例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1．【答案】N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519．【解答】分析：那个数加1能够被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出10、9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍数减一即可．解答：解：设那个实数是N．依照题意，可知，那个自然数加1就能够够被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，则N确实是10，9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍数减去1，故N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519．点评：此题考查带余数的除法，难度较大，关键是把握解答此题的解答步骤．17、按下面规那么扩充新数：已有a和b两个数，可按规那么c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规那么又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规那么操作三次取得扩充的最大新数；②可否通过上述规那么扩充取得新数5183并说明理由．【答案】5183能够通过上述规那么扩充取得．【解答】分析：①将2与3别离代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；②找到规律：设扩充后的新数为x，那么总能够表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可适当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．解答：解：①∵a=2，b=3，c1=ab+a+b=6+2+3=11，∴取3和11，∴c2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；②5183能够扩充取得．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）-1=（a+1）2（b+1），即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，那么总能够表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183能够通过上述规那么扩充取得．点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，那么总能够表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．。