高等数学第五版第一章ppt1(7)
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高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
2
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
机动
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.1 函数
= . 它在工程技术上经常用到.
对数函数 = ( > 0, ≠ 1)的定义域为(0, +∞)，值域为(−∞, +∞).
⑸ 三角函数
函数 = , = , = , = , = , = 依次叫做
正切函数 = 在区间
− ,
2 2
上的反函数称为反正切函数，记作 = .
余切函数 = 在区间 0, 上的反函数称为反余切函数，记作 = .
2．复合函数
函数 = ( 1 + 2 )是基本初等函数吗？
定义
设函数 = (), = (), ∈ . 存在的某个非空子集1 ，对于每
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
例如，函数 = () = 0, ∈ 就是一个既是奇函数又是偶函数的函数；
= 2 和 = 都是偶函数； = 3 和 = 都是奇函数； = 既
不是奇函数也不是偶函数.
2．函数的周期性
定义4
2 )是复合函数.
根据定义我们知道Y = [()]是由函数 = ()与 = ()复合而成，
那[()]和 是否相同？
显然是不相同的，例如() = 与() = 2 复合，如若将()看成外
值，记作|=0 = (0 ). 当取遍定义域内的所有值，对应的函数值
的集合 = {| = (), ∈ }称为函数 = ()的值域.
函数 = ()中的符号“”表示与之间的对应法则，它也可以
用其它字母表示，如 = (), = ℎ(), = (), = ()等.
2
5
有意义，必有5 2 + 2 ≠ 0，解得 ≠ 0且 ≠ − .
对数函数 = ( > 0, ≠ 1)的定义域为(0, +∞)，值域为(−∞, +∞).
⑸ 三角函数
函数 = , = , = , = , = , = 依次叫做
正切函数 = 在区间
− ,
2 2
上的反函数称为反正切函数，记作 = .
余切函数 = 在区间 0, 上的反函数称为反余切函数，记作 = .
2．复合函数
函数 = ( 1 + 2 )是基本初等函数吗？
定义
设函数 = (), = (), ∈ . 存在的某个非空子集1 ，对于每
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
例如，函数 = () = 0, ∈ 就是一个既是奇函数又是偶函数的函数；
= 2 和 = 都是偶函数； = 3 和 = 都是奇函数； = 既
不是奇函数也不是偶函数.
2．函数的周期性
定义4
2 )是复合函数.
根据定义我们知道Y = [()]是由函数 = ()与 = ()复合而成，
那[()]和 是否相同？
显然是不相同的，例如() = 与() = 2 复合，如若将()看成外
值，记作|=0 = (0 ). 当取遍定义域内的所有值，对应的函数值
的集合 = {| = (), ∈ }称为函数 = ()的值域.
函数 = ()中的符号“”表示与之间的对应法则，它也可以
用其它字母表示，如 = (), = ℎ(), = (), = ()等.
2
5
有意义，必有5 2 + 2 ≠ 0，解得 ≠ 0且 ≠ − .
《高等数学》 课件 高等数学第一章
2 函数的极限
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高等数学-第1章课件
x x0
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点
第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
(2) 函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
(3) f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。
(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、关于复合函数要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。
例如，和的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。
《高等数学第一章》PPT课件
思考题解答
f ( x)在x0 连续，
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
且 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f
2(
x)
lim
x x0
f
(
x
)
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
2、指出 y x 2 x 在 x 0 是第________类间 x ( x 2 1)
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f ( x)
的连续性，并画出函数
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例4
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
高等数学-高教版第五版-侯风波 第1章
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应法则 给定自变量的一个值后，通过对应法则得到唯一的函数值。
例3 下面各组对应法则是否相同？为什么？
(1)
f:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
g:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
(2)
φ:
x y
1 1
2 1
3 1
4 1
ψ:
x y
4 1
一、基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax
(a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数
y =log a x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
三角函数 y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x
而成的，其定义域为［-1，1］，它是 u 1 x2 的定义域的一
部分. （3） y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的．
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u,
⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此， 往往把 x = (y )改写成 y = ( x )，称为y = f (x) 的矫形反
函数，记作 y f 1(x) .称函数 y f (x) 的反函数 x ( y) 为
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
则若有函数()在0 的某邻域内恒有
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
高等数学第一章PPT
几何表示
O
a
a
a
x
25
U ( a , ) 有时简记为 U (a ).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U (a , ), 即
U(a，） { x 0 x a }.
xa 开区间 ( a , a ) 称为a的 左 邻域, 开区间 ( a , a ) 称为a的 右 邻域 .
31
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域,
或f 的 像集, 记作 R f 或f ( X ), 即
R f f ( X ) f ( x ) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x ) sin x , 正弦函数
2
6
对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上: “” 数集内排除0的集. “ ” 数集内排除0与负数的集. 全体非负整数即自然数的集合 N, 即
N {0, 1, 2,, n,}; 全体正整数的集合为 N+ {1, 2,, n,};
注
7
全体整数的集合记作
Z {, n,, 2, 1 , 0, 1, 2,, n,}; 全体有理数的集合 记作Q, 即
、 . Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定 ”. “ ” 表示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到 ”, ” 符号 “ 表示 “蕴含 ”,或 “推 ”. 出”. “ ” 表示 “等价 ”,或 “充分必 符号
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 列举法有很大的局限性.
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第七节 无穷小的比较
无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小的比较
一、无穷小的比较
如,当x 0时, x, x 2 ,sin x, x2 sin 1 是无穷小.
x
lim x2 0,
x2 0比3x 0要快得多;
观 x0 3x
察 各 极 限
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
例 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解
lim x0
tan
x sin
xx ?3
x
Clim(C( tan0x)
x0 x
1 cos x2
x)
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
6
无穷小的比较
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
x
解错 当x 0时, tan x ~ x,sin x ~ x,
原式
lim
x0
x x (2 x )3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式
lim
x0
1 x3 2 (2x)3
1. 16
2
13
无穷小的比较
~ o( )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x
5.
x0
3 o( x)
3
x
14
无穷小的比较
ln(1 x) ~ x, sin x ~ x, tan x ~ x,
1. 求 lim ln 1 x 2sin x
x0
tan x
解 lim ln 1 x 2sin x
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
5
无穷小的比较
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
例 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan 3 x4
x
tan 4 lim(
x0 x
x )3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
与它的高阶无穷小o( )之和,仍与原无穷小 等价, o( ) ~ .
例如,当x 0时,
x 2x2 x3 ~ x, x x ~ x ,
sin x x2 ~ x.
8
无穷小的比较
例 当x 0时, sin x ~ x, 所以 当x 0时有 sin x x o( x), tan x ~ x, 所以当x 0时有
例 求 lim tan5x cos x 1
x0
sin 3 x
tan x ~ x, sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 2
解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
解 当x 0时,
( 1 x x2 1) ~ 1 ( x x2 ) ~ 1 x,
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
)
lim
lim
lim
lim A(或).
10
无穷小的比较
等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之 比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限 代替.给 0 型未定式的极限运算带来方便.
0
例 求 lim tan2x . x0 sin5x
解 当x 0时, tan2x ~ 2x, sin5x ~ 5x, 原式 lim 2x 2 . x0 5x 5
tan x x o( x),
arcsin x ~ x,所以 当x 0时有
arcsin x x o( x),
1 cos x ~ 1 x2 , 所以 当x 0时有
2
1 cos x 1 x2 o( x2 ).
2
9
无穷小的比较
定理2(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
x0
tan x
lim ln 1 x lim 2sin x x0 tan x x0 tan x
1 lim ln(1 x) 2 lim sin x 5
2 x0 tan x
x0 tan x 2
15
无穷小的比较
2. 求 lim x0
x 0,
1 x x2 1 x3 sin2x .
1 x 1~ 1 x 2
11
无穷小的比较
例 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan2x ~ 2x.
2
原式
lim
x0
(2x)2 1 x2
8.
2
注
加、减项的无穷小不要用等价无
穷小代换.
12
无穷小的比较
例
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
(3) 如果lim C(C 0),就说与是同阶无穷小;
特别,当C 1时,则称与是等价无穷小,
记作 ~ .
infinitesimal equivalenec
3
无穷小的比较
(4)
如
果lim
k
C (C
0, k
0),
就说是关于 的 k 阶无穷小.
如
n
时,
1 n2
是
1 n
的高阶无穷小,
lim
lim
1
lim
1 0,
因此 o( ), 即 o( ).
设 o( ), 则
lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
因此 ~ .
7
无穷小的比较
~ o( )
此定理说明:两个等价无穷小的差,比它们中 的任何一个都是高阶无穷小; 或者说,一个无穷小
x0 x
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在. 不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
2
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
(2) 如果lim , 就说是比低阶的无穷小;
1 n2
o
1 ; n
x 时, 1 是 100的同阶无穷小.
xx
因为
lim
x0
1
cos x 22
x
1, 2
所以当x 0时, 1 cos x是x的 二阶无穷小.
4
无穷小的比较
常用等价无穷小 当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小的比较
一、无穷小的比较
如,当x 0时, x, x 2 ,sin x, x2 sin 1 是无穷小.
x
lim x2 0,
x2 0比3x 0要快得多;
观 x0 3x
察 各 极 限
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
例 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解
lim x0
tan
x sin
xx ?3
x
Clim(C( tan0x)
x0 x
1 cos x2
x)
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
6
无穷小的比较
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
x
解错 当x 0时, tan x ~ x,sin x ~ x,
原式
lim
x0
x x (2 x )3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式
lim
x0
1 x3 2 (2x)3
1. 16
2
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无穷小的比较
~ o( )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x
5.
x0
3 o( x)
3
x
14
无穷小的比较
ln(1 x) ~ x, sin x ~ x, tan x ~ x,
1. 求 lim ln 1 x 2sin x
x0
tan x
解 lim ln 1 x 2sin x
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
5
无穷小的比较
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
例 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan 3 x4
x
tan 4 lim(
x0 x
x )3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
与它的高阶无穷小o( )之和,仍与原无穷小 等价, o( ) ~ .
例如,当x 0时,
x 2x2 x3 ~ x, x x ~ x ,
sin x x2 ~ x.
8
无穷小的比较
例 当x 0时, sin x ~ x, 所以 当x 0时有 sin x x o( x), tan x ~ x, 所以当x 0时有
例 求 lim tan5x cos x 1
x0
sin 3 x
tan x ~ x, sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 2
解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
解 当x 0时,
( 1 x x2 1) ~ 1 ( x x2 ) ~ 1 x,
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
)
lim
lim
lim
lim A(或).
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无穷小的比较
等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之 比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限 代替.给 0 型未定式的极限运算带来方便.
0
例 求 lim tan2x . x0 sin5x
解 当x 0时, tan2x ~ 2x, sin5x ~ 5x, 原式 lim 2x 2 . x0 5x 5
tan x x o( x),
arcsin x ~ x,所以 当x 0时有
arcsin x x o( x),
1 cos x ~ 1 x2 , 所以 当x 0时有
2
1 cos x 1 x2 o( x2 ).
2
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无穷小的比较
定理2(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
x0
tan x
lim ln 1 x lim 2sin x x0 tan x x0 tan x
1 lim ln(1 x) 2 lim sin x 5
2 x0 tan x
x0 tan x 2
15
无穷小的比较
2. 求 lim x0
x 0,
1 x x2 1 x3 sin2x .
1 x 1~ 1 x 2
11
无穷小的比较
例 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan2x ~ 2x.
2
原式
lim
x0
(2x)2 1 x2
8.
2
注
加、减项的无穷小不要用等价无
穷小代换.
12
无穷小的比较
例
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
(3) 如果lim C(C 0),就说与是同阶无穷小;
特别,当C 1时,则称与是等价无穷小,
记作 ~ .
infinitesimal equivalenec
3
无穷小的比较
(4)
如
果lim
k
C (C
0, k
0),
就说是关于 的 k 阶无穷小.
如
n
时,
1 n2
是
1 n
的高阶无穷小,
lim
lim
1
lim
1 0,
因此 o( ), 即 o( ).
设 o( ), 则
lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
因此 ~ .
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无穷小的比较
~ o( )
此定理说明:两个等价无穷小的差,比它们中 的任何一个都是高阶无穷小; 或者说,一个无穷小
x0 x
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在. 不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
2
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
(2) 如果lim , 就说是比低阶的无穷小;
1 n2
o
1 ; n
x 时, 1 是 100的同阶无穷小.
xx
因为
lim
x0
1
cos x 22
x
1, 2
所以当x 0时, 1 cos x是x的 二阶无穷小.
4
无穷小的比较
常用等价无穷小 当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,