数列不等式的证明方法

数列不等式的证明方法
数列不等式的证明方法

求证:当

时:

数列不等式证明的几种方法

数列和不等式都是高中数学重要内容,这两个重点知识的联袂、交汇融合,更能 考查学生对知识的综合理解与运用的能力。 这类交汇题充分体现了 “以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍 数列不等式证明的几种方法,供复习参考。

、巧妙构造,利用数列的单调性

例1.对任意自然数n ,求证:(3X1垢)?…("右八乔

2n.十 2

■+ 2

加4

- 1 十2

所以耳“ f ,即&〕为单调递增数列

--^>1

所以

' ,即

点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题, 均可

构造数列,通过数列的单调性解决。 二、放缩自然,顺理成章

例2.已知函数f (对=护7”,数列区)為九)的首项衍°】,以后每项按如下方 式取定:曲线厂

f ⑻在点血(仏小处的切线与经过(0,0)和(轧F (xJ )两点 的直线平行。

证明: “W 』T )需朋詈?

2□十2

l )(Zn +

弓)

构造数列

(1)為J+% =了召『+2盘曲;

(2)

证明:(1)因为3) = 3宀血,所以曲线沪聴)在(3』(如))处的切线斜率为召J +刼讪。

又因为过点(0, 0)和’…7 ■'两点的斜率为';'_ ,所以结论成立。

(2)因为函数唸)=,斗耳当Q耐单调递増则有衬斗弧=轧J + %】三

% J斗刼站广(%+1沱+ (和1)

?

鱼g丄

所以召'厶+1,即耳二,因此

靭衍^-1 2

因此,

2

所以 点评:本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题,在证 明过程中多次运用放缩,放缩自然,推理逻辑严密,顺理成章,巧妙灵活。 三、导数引入,更显神威

1丄亠…丄如①昱

例3.求证:2 3 4 n

2

a

1 h 1

n+1

n ,且当仃12时,沈_i ?S 仏氐■如+丄

证明:令

,所以

lnn = ln —

11

。要证明原不等式,只须证

1

1 ---- ;

n n 1 x+ 1 1

1

X+ 1 K

-1

所以

W 占弓而芦詬訂

隘-畧厂诚叶1)-

二:-.,

所以 h (t )>xi )=o ,即

所咖耳

同理可证

丄讪江L 丄艮卩丄皿皿』 所以■ -1

: -

|| 1丄丄…亠山丄―

n-l ,得 2 3 4 n

2 3 4 n + 1

点评:导数进入中学数学新教材,为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思 路和广阔的空间,其解题方法新颖独特,尤其是对数、指数次幕形式出现的一类 问题,更显导数在解题中的工具性和独特的神威。 四、裂项求和,简捷明了

,证明

號十1

1

In ------ > -

x : S 所以 所以 h(t)在(g

上为增函数

。对上式中的n 分别取1,2,3,…,

例4. 设二是数列-

的前n 项和,且

(1) 求数列迢J 的首项匀,及通项-;

(2)

解: (1)首项哲=2代=軒_严? = 1,&3…)

(过程略)。

得-*— 扣叫|寻7)(~)

而达到证题目的,整个证题过程简捷明了 五、独辟蹊径,灵活变通

独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法, 活变通,独自开辟新思路、新方法。

例5.已知函数n = R 伐7。设数列{3JSS 足引+"伽) 足足|\ H V3 LS H = bj +b a + -+

V UG M')

(i )求证:九'埠

(2)求证:11

3

点评:本题通过对

T ■

乳的变形,利用裂项求和法化为“连续相差 形式,从

(2)证明:将

4

2 4-咖V 訊

而是善于灵 3 3

(后M7■ 2爲绰屮■,削

证明:(1证法1:由 2 (J3十D

令屁I)%,则只须证C^2;易知6?2,只须证九"』。

由分析法:C祸WOQ】严叽机£0(* + L) | %】-妁

莎十丽血刖音皿叫"冃占刃―即

因为3讥]+」—謂2)a iL-l 斗]a n-l 卜1

所以耳》1 0% + 1匕2 ,得证

■饨言〉■ 5十?

证法2:由于心)"得f㈤的两个不动点为土霭。又2 " %",所

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且現+1 + ^ =电斗+ J5

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所以

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由上可求得〔,

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因此只需证〔1十巧尸71_占尸尸,

即证:|汽“1■: :j ' :|

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(2)由(1)知,'严】

所以

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