专题【三角函数】11

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2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换（1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图）题型二：由图象选表达式题型三：表达式含参数的图象问题题型四：函数图象应用题题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立，且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误，故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解．【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ，故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】由311log 0x y --=，得31log 1x y=-，所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--，化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的，即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误；由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ．故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项．【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ；对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确．故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误；对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<；显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能；故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能；故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示；若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<，当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=；当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >，此时选项B 符合题意；当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点，不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足；当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足，所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确；当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ，故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确故选A ．【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根，则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点，所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；（2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________．【答案】3 【解析】【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标，由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点．故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。

高考数学2022题型通关21讲第11讲三角函数中的范围最值问题(含答案)

高考数学题型通关：第12讲三角函数中的范围、最值问题【方法总结】以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．并保持纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x 1)h(x 2)=-4,其中x 1,x 2∈[-π,π],则|x 1-x 2|【解析】解法一由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x 1)h(x 2)=-4,所以{h(x 1)=2,h(x 2)=-2或{h(x 1)=-2,h(x 2)=2.当{h(x 1)=2,h(x 2)=-2时,2x 1+π3=2k 1π+π2(k 1∈Z),即x 1=k 1π+π12(k 1∈Z),2x 2+π3=2k 2π-π2(k 2∈Z),即x 2=k 2π-5π12(k 2∈Z),因为x 1,x 2∈[-π,π],所以x 1=-11π12或x 1=π12,x 2=-5π12或x 2=7π12,所以当x 1=-11π12,x 2=7π12时,|x 1-x 2|取得最大值,最大值是3π2.同理,当{h(x 1)=-2,h(x 2)=2时,|x 1-x 2|的最大值也是3π2.故选D. 解法二由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x 1)h(x 2)=-4,所以{h(x 1)=2,h(x 2)=-2或{h(x 1)=-2,h(x 2)=2.因为函数h(x)的最小正周期T=π,当x ∈[-π,π]时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x 1-x 2|的最大值为32T=32π.故选D.【解析】f(x)=asin ωx+cos(ωx-π6)=asin ωx+cos ωxcos π6+sin ωxsin π6=(12+a)sin ωx+√32cos ωx=(12+a)2+(√32)2·sin(ωx+φ),其中tan φ=√3212+a .对于任意的x 1,x 2∈R,都有f(x 1)+f(x 2)-2√3≤0,即f(x 1)+f(x 2)≤2√3,当且仅当f(x 1)=f(x 2)=f(x)max 时取等号,故2(12+a)2+(√32)2=2√3,解得a=1或a=-2(舍去),故f(x)=32sin ωx+√32cos ωx=√3sin(ωx+π6).因为0≤x ≤π,所以π6≤ωx+π6≤ωπ+π6.又f(x)在[0,π]上的值域为[√32,√3],所以π2≤ωπ+π6≤5π6,解得13≤ω≤23,选B.【解析】将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度,可得函数y=sin[2(x+a)-π3]=sin[2x+(2a-π3)]的图象,所以y=sin[2x+(2a-π3)]的图象与g(x)=cos 2x 的图象重合.因为g(x)=cos 2x=sin(2x+π2),所以2a-π3=2k π+π2,k ∈Z,即a=k π+5π12,k ∈Z,当k=0时,可得a min =5π12,故选B.【解析】解法一由题图知, f(-4π9)=0,∴-4π9ω+π6=π2+k π(k ∈Z),解得ω=-3+9k 4(k ∈Z).设f(x)的最小正周期为T,易知T<2π<2T,∴2π|ω|<2π<4π|ω|,∴1<|ω|<2,由ω=-3+9k 4(k ∈Z)知当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=32,∴T=2πω=4π3.故选C.解法二由题图知,f(-4π9)=0且f(-π)<0,f(0)>0,∴-4π9ω+π6=-π2(ω>0),解得ω=32,∴f(x)的最小正周期T=2πω=4π3.故选C.6.[2020全国卷Ⅲ,16,5分][理]关于函数f(x)=sin x+1sinx 有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y 轴对称; ②f(x)的图象关于原点对称; ③f(x)的图象关于直线x=π2对称; ④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .【解析】由题意知f(x)的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},且关于原点对称.又f(-x)=sin(-x)+1sin (−x)=-(sin x+1sinx )=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以①为假命题,②为真命题.因为f(π2-x)=sin(π2-x)+1sin (π2-x)=cosx+1cosx ,f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin (π2+x)=cos x+1cosx ,所以f(π2+x)=f(π2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=π2对称,③为真命题.当sin x<0时,f(x)<0,所以④为假命题.【解析】由于对任意的实数x 都有f(x)≤f(π4)成立,故当x=π4时,函数f(x)有最大值,故f(π4)=1,∴πω4−π6=2k π(k ∈Z),∴ω=8k+23(k ∈Z),又ω>0,∴ωmin =23.【解析】f(x)=sin 2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cos x-√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cosx ∈[0,1],因此当cos x=√32时,f(x)max =1.(2)[2018全国卷Ⅰ,16,5分][理]已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】因为f(x)=2sin x+sin 2x,所以f '(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2=4(cos x-12)·(cos x+1).由f '(x)>0得12<cos x<1,即2k π-π3<x<2k π+π3,k ∈Z,由f '(x)<0得-1<cosx<12,即2k π-5π3<x<2k π-π3,k ∈Z,所以当x=2k π-π3,k ∈Z 时,f(x)取得最小值,且f(x)min =f(2k π-π3)=2sin(2k π-π3)+sin 2(2k π-π3)=-3√32.【解析】f(x)=12(1-cos ωx)+12sin ωx-12=12sin ωx-12cos ωx=√22sin(ωx-π4).解法一因为x ∈(π,2π),所以ωx-π4∈(ωπ-π4,2ωπ-π4).因为f(x)在(π,2π)内无零点,故T 2≥π,即0<ω≤1,且{kπ≤ωπ−π4,2ωπ−π4≤kπ+π(k ∈Z).当k=-1时,解得ω∈(0,18];当k=0时,解得ω∈[14,58],当k ≤-1或k ≥1时,不满足题意,故ω∈(0,18]∪[14,58].故选D.解法二当ω=12时, f(x)=√22sin(12x-π4),x ∈(π,2π)时,f(x)∈(12,√22],无零点,排除A,B;当ω=316时,f(x)=√22sin(316x-π4),x ∈(π,2π)时,当x=43π时,f(x)=0,所以f(x)有零点,排除C.选D.【解析】当0≤x ≤2π3时,π3≤ωx+π3≤2πω3+π3.若f(x)在[0,2π3]上恰有两个零点,则2π≤2πω3+π3<3π,解得52≤ω<4.【解析】由题意知,函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的最小正周期为T=2πω=π,解得ω=2.所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.由题意,f(x)>1对任意的x ∈(-π12,π3)恒成立,即当x ∈(-π12,π3)时,sin(2x+φ)>0恒成立.令t=2x+φ,因为x ∈(-π12,π3),所以t ∈(φ-π6,φ+2π3).故要使sin t>0恒成立,只需{φ-π6≥2kπ,φ+2π3≤2kπ+π(k ∈Z),解得2k π+π6≤φ≤2k π+π3(k ∈Z).显然,当k=0时,π6≤φ≤π3,故选D.【解析】 y ＝1－cos 2x ＋acos x ＋8a －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12. ∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.①若a2>1，即a>2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a2<0，即a<0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．综上可得，a ＝32.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．【解析】在△ABC 中，因为3acos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin Acos C ＋sin(A ＋C)＝0， 3sin Acos C ＋sin Acos C ＋cos Asin C ＝0，所以4sin Acos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A. 因为tan A>0，所以tan B ＝－tan(A ＋C)＝－tan A ＋tan C1－tan Atan C＝tan A ＋tan C tan Atan C －1＝－3tan A －4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34，当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34.【解析】 f(x)＝cos x 向右平移3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3的图象，再将各点横坐标变为原来的1ω(ω>0)得g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，ωπ2－2π3，又此时g(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴0≤ωπ2－2π3≤2π3，∴43≤ω≤83.【解析】方法一将f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，该图象关于y 轴对称，即g(x)为偶函数，因此π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小正值为3π8. 方法二将f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，令2x －2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8＋φ(k ∈Z )，此即为g(x)的对称轴方程，又g(x)的图象关于y 轴对称，所以有k π2＋π8＋φ＝0，k ∈Z ，于是φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.【方法总结】(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．【解析】函数f(x)的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝π，则ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.【解析】 f(x)＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，由－2＋2k π≤x ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2－φ＋2k π≤x ≤π2－φ＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－φ，π2－φ，所以αmax＝π2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin 2φ＝2sin φcos φsin 2φ＋cos 2φ＝2tan φtan 2φ＋1＝45.【解析】由题意得T ＝ω≤5，∴ω≥10π，∵ω>0，∴ω≥10π.【解析】令ωx ＋3＝k π，k ∈Z ，得x ＝3k π－π3ω，k ∈Z ，∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为5π3ω，8π3ω，∴⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω≤2π3，8π3ω>2π3，解得52≤ω<4，令－π2＋2k π≤ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－5π6ω＋2k πω≤x ≤π6ω＋2k πω，k ∈Z ，令k ＝0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6ω，π6ω上单调递增，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π24⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6ω，π6ω， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－5π6ω≤－π4，π6ω≥π24，ω>0⇒0<ω≤103，综上得ω的取值范围是52≤ω≤103.【解析】.(1)f(x)=cos ωx(sin ωx+√3cos ωx)=12sin 2ωx+√32(1+cos 2ωx)=sin(2ωx+π3)+√32.由-1≤sin(2ωx+π3)≤1,得f(x)的值域是[√32-1,√32+1]. (2)∵0≤x ≤π,ω>0,∴π3≤2ωx+π3≤2ωπ+π3,由正弦函数的图象可知,要使f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解,必须2π≤2ωπ+π3<3π,解得56≤ω<43.6.. 如图4-3-4,点A,点B 分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初位置B 0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t 时刻,点A,点B 的纵坐标分别为y 1,y 2.(1)求t=π4时,A,B 两点间的距离;(2)若y=y 1+y 2,求y 关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t ∈(0,π2]时,y 的取值范围.【答案】(1)连接OA,OB,AB,当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,所以在△AOB 中,∠AOB=2π3.又OA=1,OB=2,所以AB 2=12+22-2×1×2cos 2π3=7,所以A,B 两点间的距离为√7.(2)依题意,y 1=sin(2t+π3),y 2=-2sin 2t,所以y=sin(2t+π3)-2sin 2t=√32cos 2t-32sin 2t=√3cos(2t+π3), 即函数关系式为y=√3cos(2t+π3)(t>0), 当t ∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],所以cos(2t+π3)∈[-1,12),故当t ∈(0,π2]时,y ∈[-√3,√32).。

高考数学 11 三角函数概念、基本关系式和诱导公式理

专题11 三角函数概念、基本关系式和诱导公式一、考纲要求:1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．二、概念掌握及解题上的注意点： 1.终边在某直线上角的求法四步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线． (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角．(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合． (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)终边位置的步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围． (2)再写出kα或αk的范围．(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．3．注意角度与弧度不能混用．4．终边落在x 轴上角的集合{}x|x ＝kπ，k∈Z .终边落在y 轴上角的集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝kπ＋π2，k∈Z. 终边落在坐标轴上的角的集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝kπ2，k∈Z.5.同角三角函数关系式及变形公式的应用方法1）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用\f(sin α cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.2）应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用＝1±2sin αcos α，可以知一求二.3）注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.6.利用诱导公式的方法与步骤(1)方法：利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．(2)步骤：三、高考考题题例分析：例1. (2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 －θ－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 －θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝35.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ－43.例2. （2018全国卷II ）已知sin α+cos β=l ，cos α+sin β=0，则sin （α+β）= ．例3.（2018全国卷Ⅲ）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣解析：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．例4（2018江苏卷）.已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．解析：（1）由，解得，∴cos2α=；例5（2018浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．解析：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；三角函数概念概念、基本关系式和诱导公式练习题一、选择题1．与角9π4的终边相同的角可表示为( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C 解析：94π＝94×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴与角94π的终边相同的角可表示为k ·360°－315°，k ∈Z .2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1C 解析：由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 3．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＜0，tan α＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，故选B.4．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π65．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0.则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]A 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.6．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )A ．223B ．－223C ．－429D.429B 解析：由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin2α＝－223，故选B.7．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D.π3D 解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.8．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( )A ．45 B ．－45C ．2D ．－12B 解析：由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin2α＋cos2α＝－2tan αtan2α＋1＝－45，故选B.9.cos 350°－2sin 160°sin－190°＝( )A．－ 3 B．－32C．32D． 310．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin⎝⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcosθ2－sinθ2的值是( )A．1 B．－1C．±1D．0B解析：∵sin⎝⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cosθ2＝13.∵θ为第二象限角，∴θ2在第一象限，且cosθ2＜sinθ2，∴1－sin θcosθ2－sinθ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cosθ2－sinθ2cosθ2－sinθ2＝－1.11．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosθ2＝－cosθ2，则θ2是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角12．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A ．43或34 B ．－34或－43C ．34或－43D ．－43或不存在D 解析：[由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cosα＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D. 二、填空题13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α＝________.15解析：角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，∴r ＝5，∴cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45，则cos α－sin α＝－35＋45＝15.14．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为________.(－1，3) 解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 的坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．15．已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－9π2＝________. 223 解析：∵π2＜α＜π，∴cos α＜0. ∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos α，∴sin α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin2α＝223.16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44.5 解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 三、解答题17．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值.18．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，所以△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.所以弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3219．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－si n 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 20．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.21．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2 sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2 sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号． 22．已知f (α)＝错误!.(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.。

三角函数的诱导公式 (11)

cos2π－αcos3π＋α 化简： . cos－π＋αcos3π－αcos－α－π
cos α－cos α 1 解析：原式＝＝cos α. －cos α－cos α－cos α
跟踪训练
π 11π cos 2＋α cos 2 －α 3．化简： . 9π sin－α－πsin 2 －α
10π 2．cos － 3 的值等于( B ) 1 A.2 1 B．－2 3 C. 2 3 D．－ 2
4π 练习 2：sin ＝________. 3 2π 练习 3：tan－ 3 ＝________. π 1 练习 4：若 cos α＝，则 sin2－α＝________. 3 π 1 练习 5：若 cos α＝，则 sin 2＋α＝________. 3
公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________； π π 公式五：sin 2－α ＝______，cos 2－α ＝______； π π ＋ α 公式六：sin 2 ＝______，cos 2＋α ＝______.
函数名改变，符号看象限
思考应用 2．你能应用诱导公式求证下列各式吗？
3π－α (1)sin 2 ＝－cos α； 3π (2)cos 2 －α ＝－sin α ，
你能把诱导公式概括为一个公式吗？
3π π 解析： sin 2 －α ＝sin π＋ 2－α π ＝－sin 2－α＝－cos α， 3π π cos 2 －α ＝cos π＋ 2－α＝－sin α
思考应用 1．你能说出五组诱导公式各自的作用吗？解析：公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．

高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案

1。

1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。

我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。

旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。

显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。

学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。

3。

在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。

显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。

若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。

三角函数诱导公式---11

学科教师辅导讲义
教学主任签字：
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.
把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦y=sinx 的图象.
）余弦函数y=cosx 的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？
根据诱导公式cos sin()x x π
=+
,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移
π
单位即得余弦函数y=cosx。

高考数学重难点解析三角函数的图像及性质

三角函数的图像与性质【考纲说明】1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函数性质2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图：五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。

11-专题训练：同角三角函数的基本关系式

1csc αsec αcot αtan αcos αsin α11-专题训练：同角三角函数的基本关系式一、基础知识：同角三角函数的基本关系公式:αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα1.“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=+αα2tan 2cos2sinααα=2.上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立3.由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)二、讲解范例：例1化简： 440sin 12-解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+=0cos <∴αα是第三象限角， αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=∴原式（注意象限、符号）例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边， ∴原等式成立证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝x x x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+ x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边证法3：∵0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos sin 1sin 1cos 2222=⋅--=⋅---=+--xx xx x x x x x x x x ， ∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴xx x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，∴x x x x cos sin 1sin 1cos +=-． ,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法 ∴左边=右边 ∴原等式成立．证法6：∵)sin 1)(sin 1(x x +-＝x 2sin 1-＝x 2cos ＝x x cos cos •∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-．证法7：∵1cos sin 22=+αα， ∴x 2cos =x 2sin 1-.cos sin 1sin 1cos )sin 1)(sin 1(cos cos xxx x x x x x +=-∴+-=⋅∴，例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，，求的值。

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专题限时集训(五)[第5讲三角恒等变换与三角函数]1．sin15°＋cos165°的值为( )A.22 B ．－22 C.62 D ．－622．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.453．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．94．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位后的图象如图5－1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )图5－1A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π31．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3的值是( )A ．2－ 3B ．－2－ 3C ．2＋ 3D ．－2＋ 3 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图5－2所示，则ω，φ的值分别为( )图5－2A.12，π3 B ．2，π3 C.12，π6 D ．2，π63．设函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2x －π3，若对于∀x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.124．将函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )的图象向左平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π8，0对称 D ．关于直线x ＝π8对称5．若f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋b sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4(ab ≠0)是偶函数，则实数a ，b 满足的关系是____________．6．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值________．7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图5－3所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π8－1，当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．图5－38．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3的值；(2)求函数f (x )的单调区间及其图象的对称轴方程．专题限时集训(五)【基础演练】1．B 【解析】方法1：sin 15°＋cos 165°＝sin 15°－cos 15°＝2()sin 15°cos 45°－cos 15°sin 45°＝2sin (－30°)＝－22.方法2：显然sin 15°－cos 15°<0，(sin 15°－cos 15°)2＝1－sin 30°＝12，故sin 15°－cos 15°＝－22. 2．B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a ≠0)，则r 2＝|OP|2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 3．C 【解析】方法1：将y ＝f(x)的图象向右平移π3后得到的函数是y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3ω，因为该函数的图象与原图象重合，所以－π3ω＝2k π(k ∈Z )，得ω＝－6k ，k ∈Z ，ω的最小值等于6. 方法2：π3是函数f (x )的最小正周期2πω的整数倍，即2πωk ＝π3(k∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，又ω>0，所以ω的最小值等于6.4．C 【解析】平移后不改变函数的周期，即不改变ω的值，根据图中数据可以列出关于ω的方程．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的函数解析式为y ＝sin ωx ＋π6，由图象知ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫7π12＋π6＝3π2，所以ω＝2，所以平移后的图象所对应函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. 【提升训练】1．B 【解析】由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3. 2．B 【解析】最小正周期2πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝π，解得ω＝2，令2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋φ＝0，得φ＝π3.3．B 【解析】对于∀x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)等价于函数f (x 1)是函数f (x )的最小值、f (x 2)是函数f (x )的最大值．函数f (x )的最小正周期为4，故|x 1－x 2|≥12T ＝2.4．A 【解析】 y ＝－cos2x ，故平移后得g (x )＝－cos2x ＋π4＝sin2x ，这个函数是奇函数，故其图象关于原点对称．5．a ＋b ＝0 【解析】 f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋b sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝a 22sin x＋22cos x ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22sin x －22cos x ＝22[(a ＋b )sin x ＋(a －b )cos x ]，因为f (x )是偶函数，所以对任意x ，f (－x )＝f (x )，即22[(a ＋b )sin(－x )＋(a －b )cos(－x )]＝22[(a ＋b )sin x ＋(a －b )cos x ]，即(a ＋b )sin x ＝0对任意x 恒成立，即a ＋b ＝0.6.36565 【解析】根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45×513＝－5665.所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965.因为π2<α<3π4，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝36565.7．【解答】 (1)由图象知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－π4＝π，则ω＝2πT ＝2.由f (0)＝－1得sin φ＝－1，即φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，∴g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π8－1 ＝22(－cos x )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝22cos x ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22cos x ＋sin x －1＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1 ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1， ∴g (x )的值域为[－1，2]．8．【分析】 (1)利用降幂、辅助角公式先化为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6＋12，再求解．(2)结合正弦函数的单调区间、对称轴方程求解．【解答】 (1)f (x )＝12(1＋cos2ωx )＋32sin2ωx＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－12.(2)分别由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2≤2x＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．所以，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k2π＋π6(k ∈Z )．。