一元一次不等式及解集概论
“一元一次不等式知识点
“一元一次不等式知识点王竞进小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每本笔记本2元，她买了4本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？怎么解答这类问题呢？在这个问题中，隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似，不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其他相关数学知识的工具.学习时，应关注以下几个方面：一、正确理解基本概念1.不等式解与不等式解集的概念能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一个数都是不等式的一个解.例1下列说法中正确的是（）.A.x=2是不等式x+2>3的解B.x=2是不等式x+2>3的唯一解C.x=2不是不等式x+2>3的解D.x=2是不等式x+2>3的解集【解答】A.【点评】弄清不等式的解及解集的区别，是解本题的关键.不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立；不等式中的未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立.2.一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来，如果（a-1）x+3>0是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-1≠0，即a≠1.3.一元一次不等式组的概念小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系：长方形的相片框架的长总大于宽，其面积不小于500，因而可以得到两个不等式：x<25、25x≥500，再联立这两个不等式，记作x<25，25x≥500，从而组成一个关于x的不等式组.像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念，可以知道组成一个不等式组的条件有（1）含有同一个未知数，（2）几个不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式组，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式组.4.不等式组的解集概念我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集，那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3，x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1，则其解集为x<1；x>3，x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3，则其解集为x>3；x<3，x>1中两个不等式解集的公共部分为1x>3，x<1中两个不等式解集的公共部分不存在，则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律：同大取大，同小取小；大小小大取中间，大大小小便无解.二、了解不等式解集的表示方法1.用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如：不等式x+3>-1的解集为x>-4；不等式2x+1<3的解集为x<1.2.用数轴来表示用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时，必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边，大于a则在数轴上表示a的点的右边，且表示a的点处是一个空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时，则表示a的点处应该是一个实心.例3在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x<3；（2）x≥3.【解答】（1）在数轴上表示x<3为：；（2）在数轴上表示x≥3为：.【点评】在数轴上表示不等式时，首先在数轴上找到表示不等号右边数的点，再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.三、理解不等式的性质，掌握一元一次不等式的解法不等式的性质有两个.不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中特别要注意的是：在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.和一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式的基本步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.逐步将不等式转化为x>a（x≥a）或xx>四、掌握解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤大致为：先分别求得不等式组中各个不等式的解集，再求出这几个不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集.如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集为x>1，再把它们在如图所示的数轴上表示出来，因此，这个不等式组的解集为1五、正确理解题意，找出不等关系，列出一元一次不等式，解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题类似，在解答具有不等关系的实际问题时，往往先列出不等关系，再用含有未知数的代数式分别表示相关数量，再根据不等关系列出一元一次不等式，进而解出不等式，写出答案.例4某单位共有36位工作人员，为改善办公设备，提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑.现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算，共需资金145000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11840元；购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12040元.（1）购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元？（2）问该单位最多能购买A型电脑多少台？【分析】本题中第（2）题，隐含着一个不等量关系：购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此，可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.【解答】（1）设A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意，列方程组，得：x+2y=11840，2x+y=12040.解得：x=4080，y=3880.答：购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4080元和3880元.（2）设该单位能购买A型电脑a台，根据题意，得：4080x+3880（36-a）≤145000，解得a≤26.6.所以该单位最多能购买A型电脑26台.【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体，考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意，找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隐含着不等关系，需要建立不等式进行解答.。
第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的一般形式是 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
一元一次不等式的标准形式
总结词
一元一次不等式的标准形式是指将不 等式中的常数项移到右边，使左边只 包含未知数和其系数。
详细描述
一元一次不等式的标准形式是 ax > d、 ax < d 或 ax ≥ d，其中 a、d 是常数， a ≠ 0。
配问题等。
与一次函数的联系
01
02
03
定义
一次函数是形如y=kx+b 的函数，其中k、b为常数 且k≠0，x为自变量。
解法
在求解一次函数的值时， 常常需要利用一元一次不 等式的性质来求解，如求 解函数的定义域等。
应用
在实际问题中，一次函数 和一元一次不等式都可用 于解决实际问题，如最优 化问题、决策问题等。
02 将数轴上方的部分作为解集。
同样地，对于一元一次不等式 x 4 < 0，其解集可以通过区间表示 法表示为 (-∞, 4)，也可以通过数 轴表示法在数轴上标出临界点4， 并将数轴下方的部分作为解集。
04 一元一次不等式在实际问 题中的应用
最大值最小值问题
总结词
一元一次不等式在解决最大值和最小值问题中具有广泛应用。
05 一元一次不等式与其他数 学知识的联系
与一元一次方程的联系
定义
一元一次不等式和一元一次方程 都是只含有一个未知数，并且未
知数的次数为1的代数式。
解法
一元一次不等式和一元一次方程的 解法有许多相似之处，如去分母、 去括号、移项、合并同类项等。
应用
一元一次不等式组及其解集
一、本节的重点:理解一元一次不等式组及其解集的意义，二、难点是：如何找一元一次不等式组的解集，三、学习本节时应注意以下两点：①两个一元一次不等式合在一起组成一个不等式组，要理解其解集是什么，即一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集；②二元一次方程组的解通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴得出。
一定要注意：如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解；探究问题现有长度为3cm和10cm的两条线段，则第三条线段x需取多长可以围成三角形x>10-3x<10+3探究问题现有长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm的五条线段，从中选出三条线段并且三条线段中必须有3cm和10cm的两条线段，请大家思考共有多少情况？哪些情况三条线段可以围成三角形？重要概念1．定义：类似于方程组，把两个（或多个）不等式合起来，组成一个一元一次方程组记作：①②由不等式①解得x<13由不等式②解得x>7从图可以看出解集是7<x<13。
例1.利用数轴判断下列不等式组是否有解集？如有，请写出。
不等式组的解集为ｘ<1都小取较小例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为ｘ>3都大取较大例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为1<ｘ<3小大大小中间找例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为空集即：不等式组无解大大小小无解了比一比：看谁反应快运用规律求下列不等式组的解集：1.都大取较大，2.都小取较小；3.小大大小中间找，4.大大小小无解了。
x>2x>-2x<3x<-43<x<7-1<x<4无解-2≤ｘ<1x≤-2x<-2设a＜b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？用数轴试一试Ｘ＞b X＜ａ无解ａ＜X＜ｂ大小小大中间找大大小小无解了两小取小两大取大规律(口诀)探究活动：解不等式①得：ｘ>2解不等式②得：ｘ≧3在数轴上表示不等式①、②的解集：例1.解不等式组：解：所以不等式组的解集为：ｘ<-1因此，原不等式组无解。
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。
在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。
下面是一些常见的不等式的解集知识点总结：一、一元一次不等式形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。
2. 根据 a 的正负情况讨论解集：- 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a；- 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a；- 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a；- 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。
二、二次函数不等式形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。
2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况：- 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂；- 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁；- 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集；- 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集；- 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表示了不等式的解的范围。
本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并通过示例来说明解集的求解方法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
我们的目标是找到x的取值范围，使得不等式成立。
解一元一次不等式的基本步骤如下：步骤一：将不等式转化为等价的形式。
对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。
对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。
步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。
将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，右侧为0。
步骤三：确定不等式的解集。
考虑a的正负情况，进行讨论。
接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集求解方法。
示例一：解不等式 2x - 1 > 5步骤一：保持原有形式。
2x - 1 > 5步骤二：化简为标准形式。
2x - 1 - 5 > 02x - 6 > 0步骤三：确定解集。
当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。
示例二：解不等式 -3x + 4 ≤ 10步骤一：将不等式翻转。
-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10步骤二：化简为标准形式。
3x - 4 + 10 ≥ 03x + 6 ≥ 0步骤三：确定解集。
当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。
通过以上两个示例，我们可以看到一元一次不等式的解集求解过程。
根据具体的不等式形式，我们可以灵活运用求解方法来得出正确的解集。
在实际问题中，一元一次不等式的解集常常用来表示一些约束条件或范围，例如线性规划、经济学模型等。
通过解集的求解，我们可以得出对应问题的有价值的数值范围。
总结起来，一元一次不等式的解集求解是数学中的基础技能之一。
一元一次不等式概念
一元一次不等式的基本性质
1 加减法性质
对不等式的两边同时加减一个数，不等式的 关系不改变。
2 乘除法性质
对不等式的两边同时乘除一个正数，不等式 的关系不改变；对不等式的两边同时乘除一 个负数，不等式的关系改变。
3 倒置性质
如果改变不等式两边的位置，不等式的关系 将相反。
4 传递性质
如果 a > b 且 b > c，则 a > c。
一元一次不等式的绝对值不等式
定义
绝对值不等式是一种特殊的一 元一次不等式，其中包含一个 未知数的绝对值表达式。
Байду номын сангаас解法
通过分情况讨论和绝对值的性 质，我们可以求解绝对值不等 式并得到其解集。
示例
例如，|2x + 3| < 7 是一个绝对 值不等式。
一元一次不等式在生活中的应用
1 经济学
不等式可以用来描述资源分配、生产优化和供求平衡等经济学问题。
一元一次不等式的图形表示
数轴
数轴可以帮助我们直观地表示一 元一次不等式中未知数的取值区 间。
阴影区域
阴影区域表示满足一元一次不等 式的所有解的范围。
开圈与实心圈
不等式中使用的开圈和实心圈表 示边界是否包含在解集里。
一元一次不等式的解集概念
一元一次不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。解集可能是一个区 间、一个点或者空集。
一元一次不等式的等效变形
1
消去常数项
通过加减法，将常数项移到不等式的右边，变成0。
2
移项
通过加减法，将未知数的系数移到不等式的右边，变成0。
3
合并同类项
将不等式中同类项的系数相加合并。
一元一次不等式的加减法
一元一次不等式的特点-概述说明以及解释
一元一次不等式的特点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对一元一次不等式的特点进行简要介绍和概括。
下面是可能的概述内容：概述:一元一次不等式是数学中的基础概念之一，它描述了未知数在数轴上的取值范围。
不同于一元一次方程，不等式可以有无数个解，从而具有独特的特点和性质。
本文将重点探讨一元一次不等式的特点及其在数学和实际问题中的应用。
一元一次不等式的特点主要体现在以下几个方面：首先，一元一次不等式的解集通常是由一个区间或数轴上的一段区间表示。
这意味着我们可以通过图形表示法直观地看出解集的位置和范围，更方便地理解问题。
其次，一元一次不等式的解集可以用不等式符号表示。
这些符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等，用于表示不同类型的不等式。
不等式符号的选择取决于问题本身的条件和要求。
此外，一元一次不等式的解集可以用数集符号表示。
数集符号包括开区间、闭区间、半开半闭区间等，用于更精确地描述解集在数轴上的位置和范围。
数集符号的选择取决于不等式中的不等号类型和边界条件。
最后，一元一次不等式的解集可以通过代数方法求解。
我们可以利用不等式的性质和规律，运用加减乘除、移项合并等运算规则，将不等式转化为等价的形式，从而找到解集的具体表达式。
通过对一元一次不等式的特点的分析和理解，我们可以更好地应用它们解决数学问题，如解决问题的范围限制、找到满足特定条件的解等。
另外，在实际问题中，一元一次不等式也有着广泛的应用，如经济学中的供需关系、物理学中的速度限制等。
因此，深入了解和掌握一元一次不等式的特点对于建立数学思维和解决实际问题都具有重要意义。
这篇文章将通过分析一元一次不等式的特点，并进一步探讨其在数学研究和实际应用中的意义和未来研究方向，旨在帮助读者更全面地理解一元一次不等式并应用于实践。
文章结构部分的内容可以包含以下几个方面：1.2 文章结构：本文按照以下结构进行组织和呈现：引言：首先介绍一元一次不等式的概念和基本定义，并说明其在数学中的重要性和应用领域。
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1.我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 2.我们把使不等式成立的未知数的取值范围叫做 不等式的解的集合（简称解集）
知识点
用数轴表示不等式的 解集
一元一次不等式的解集一般来说有以下四种情况：
(a表示一个具体的数)
（1） x > a
0a
(2) x< a
(3）x ≥ a
0a
.
0a
(4) x ≤ a
第一关
2020/11/11
儿童火车票身高新标准
问题:
全 单位"米 价 票
半 价 票
五一节快到了，小强准备和父母 坐火车去峨嵋山旅游。若小强身 高为X米，那么：
（1）根据儿童火车票身高新标准
①：当X满足 X＜1.1 时，他可免票。
②：当X满足 X＞1.5 时，他该买全票。
（2）已知他家到峨嵋山的距离为120千米，
2020/11/11
道们在
什数
么道学
。什天
么地
————
，里
而，
毕 达 哥
是重 我要 们的
拉 怎不
斯 么是
知我
第五关
2020/11/11
3、如图，天平右盘每个砝码的重量都是1g，则
图中显示出的药品A重量的范围是（C ）
A
A、大于1g
B、小于3g
A
C、大于1g且小于3g
D、大于1g或小于3g
2020/11/11
不等式的解
一元一次 不等式
2020/11/11
不等式的解集
不等式
用数轴表示不 等式的解集
深入实际,爱心大行动
某班同学经调查发现，1个易拉罐可卖0.1元，1名山区贫困 生一年生活费用是500元。该班同学今年计划资助两名山区 贫困生一年生活费用，他们已集资了450元，不足部分准备 靠回收易拉罐所得。那么他们一年至少要回收多少个易拉罐？
2020/11/11
用不等式表示： (1) x是正数 (2)x是负数 (3)x与5的和小于7
x＞0 x＜ 0 x+5＜7
(4)x的4倍不大于8 (5)x与y的差大于1
4x ≤ 8 x-y＞1
(6) π大于3
π＞3
只含有一个未知数，并且未知数的最 归纳： 高次数为1次的不等式，叫做一元一次
不等式。
思考：为什么x-y＞1和π＞3不是一元一次不 等式呢？
分析：设一年至少要回收x个易拉罐。
因为一个可以卖0.1元，所以x个可以卖 0.1x 元。 资助二名同学共需资金 1000元 ，已经集资了 450元， 还需集资 550 元。
由题可知，回收易拉罐卖的钱不能少于还需集资的钱，
所以可列不等式
0.1x≥550
。
猜想不等式的解集是
x≥5500
。
2020/11/11
2020/11/11
第二关
2020/11/11
实践出真知 ☞
对于一元一次不等式2x>10请同学们认真填写下表：
x
2x 2x与10的大小关系
2x>10成立吗？
2
4
4
6
5
10
6
12
7
14
8
16
2X<10 2X<10
2X=10 2X>10
2X>10 2X>10
不成立 不成立
不成立
成立 成立 成立
2020/11/11
免
他们上午8：00从家出发，火车速度X千米/
票
小时保持不变。
①若该车计划在上午10点准时到达，可列式
子 2X＝120
。
②若该车计划在上午10点以前到达，可列式
子 2X＞120
。
2020/11/11
观察：X＜1.1 X＞1.5
2X＝120
归纳：
2X＞120
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
表示不等式的符号有：＜、＞、≤、≥、≠
2020/11/11
.
0a
第三关
2020/11/11
小菜一碟
1.当x取下列数值时，哪些是不等式 x+3＞6解？
-2.5, 0, 1, 3, 3.√5, 4,√ 4.5√, 7√
2.由1题观察发现不等式x+3＞6解集是 X＞3
.
3.直接想出下列不等式的解集：
(1) 2x ＞ 120
(2)a-2 <0
x ＞ 60
a ＜2
2020/11/11
第四关
2020/11/11
心动 不如行动
1.用不等式表示图中所示的解集．
①
②
0
2
x
0
2
x
X ＜2
X≥2
③ 0
④
2
x
0
2
x
X≤2
X＞2
2020/11/11
我是最棒的!
2.不等式x<5有多少个解？有多少个正整数解？ 有无数个解。
正整数解有4个。1、 2、 3、 4