《两点分布与超几何分布》导学案(1)
学案1：4.2.3 二项分布与超几何分布（一）
4.2.3二项分布与超几何分布（一）1．n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是的，此时这n 次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．思考：独立重复试验必须具备哪些条件？2．二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝，k＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示．注意到上述X n1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．()(2)两点分布是特殊的二项分布．()(3)二项分布可以看作是有放回抽样．()(4)n 次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同． ( )2．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.283．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. ——合作探究·释疑难——类型1 独立重复试验的概率【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．规律方法独立重复试验概率求法的三个步骤类型2 二项分布【例2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．规律方法1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． [跟进训练]1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用 [探究问题]1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【例3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．规律方法对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.[跟进训练]2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．——课堂小结·提素养——必备素养1．独立重复试验的基本特征(1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义学以致用1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49 B.29 C.427D.2272．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( ) A.C 23⎝⎛⎭⎫142×34 B.C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×143．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是12，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．4．设X ～B (4，p )，且P (X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．5．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两位小数)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．参考答案新知初探1．相互独立思考：[提示] (1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响；(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．2．C k n p k qn －kX ～B (n ，p )初试身手1．【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】A【解析】∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝8)＝C 810×0.88×0.22，故选A.3．【答案】38【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由n 次独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.4．【答案】①②【解析】①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．——合作探究·释疑难——类型1 独立重复试验的概率【例1】 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验． 故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则 P (A 2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫1－34＝38. 由于甲、乙射击相互独立，故 P (A 2B 2)＝49×38＝16.【例2】 解：(1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23·13，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为[跟进训练]1．解：(1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A ∩B ”，且事件A ，B 相互独立． ∴P (A ∩B ＋A ∩B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k⎝⎛⎭⎫1－124－k＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用[探究问题]1．[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布． 2．[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布． 【例3】 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥， 又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡ 23×13×12＋13×23×⎦⎤12＋13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243.[跟进训练]2．解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为⎝⎛⎭⎫123＝18， 所以单个坑不需要补种的概率为1－18＝78.设需要补种的坑数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫180×⎝⎛⎭⎫783＝343512，P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫181×⎝⎛⎭⎫782＝147512， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫182×⎝⎛⎭⎫781＝21512， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫183×⎝⎛⎭⎫780＝1512， 所以需要补种坑数的分布列为学以致用1．【答案】A【解析】记“恰有1次获得通过”为事件A ， 则P (A )＝C 13⎝⎛⎭⎫13·⎝⎛⎭⎫1－132＝49.故选A. 2．【答案】C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝⎛⎭⎫142×34. 3．【答案】1516【解析】所有同学都不通过的概率为⎝⎛⎭⎫1－124， 故至少有一位同学通过的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－124＝1516. 4．【答案】13或23【解析】P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232，解得p ＝13或p ＝23.5．解：(1)记“预报1次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.。
2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【导学案】
2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【课程标准】1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.【必备知识精归纳】一、二项分布1.伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X 表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= p k(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)当n=1时,随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= - -,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.三、正态分布1.定义-( - ) ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,若随机变量X的概率分布密度函数为f(x则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【基础小题固根基】教材改编易错易混1,2,43,51.(教材变式)已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)等于()A.1.8B.6C.2.1D.4.2【解析】选D.因为X服从二项分布X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.2.(教材变式)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=2)=.【解析】由题意得P(X=2)=C32C72C104=310.答案:3103.(对二项分布意义不理解致误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.63= 0.648.4.(教材提升)某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100<X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有人.【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(110,102),所以该正态曲线关于X=110对称,因为P(100<X≤110)=0.34.所以P(X>120)=P(X≤100)=12×(1-0.34×2)=0.16.所以该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50=8.答案:85.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从20道备选题中一次性随机抽取5道题,并独立完成所抽取的5道题,乙能正确完成每道题的概率为45,且每道题完成与否互不影响,记乙能正确完成的题数为Y,则Y的数学期望为.【解析】由题意知Y~B5,45,所以E(Y)=5×45=4.答案:4二项分布[典例1](1)出租车司机从饭店到火车站途中经过6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.则这位司机在途中遇到红灯数X 的均值为,方差为.【解析】X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,这位司机经过一个交通岗就是一次试验,有遇到红灯和未遇到红灯两个结果,X=k(k∈N,k≤6)的事件相当于6次独立重复经过一个交通岗的试验,恰有k次遇到红灯的事件,于是得随机变量X~B6,13,所以E(X)=6×13=2,D(X)=6×13×1-13=43.答案:243(2)(2022·福州模拟)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能拿奖的概率都是23,那么在本次运动会上:①求该运动员至少能拿2项奖的概率;②若该运动员能拿奖的项目数为X,求X的分布列及均值.【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能拿奖”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设该运动员能拿奖的项目数为随机变量ξ,“该运动员至少能拿2项奖”为事件A,则有P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C3223213+C33233=2027;②由①可知,X~B3,23,则P(X =0)=C301-233=127,P(X=1)=C31·23·1-232=29,P(X=2)=C32·232·1-23=49,P(X=3)=C33·233=827,所以X的分布列为X0123P1272949827所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.(或E(X)=3×23=2)【方法提炼】1.求n重伯努利试验概率的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.2.求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.【对点训练】张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),L1路线有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L2路线有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;(3)若张先生想在上班的途中,“平均遇到红灯次数最少”,则张先生应从上述两条路线中选择哪条上班路线,并说明理由.【解析】(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则P(A)=C30×123+C31×12×122=12.所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意,知X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=1-34×1-35=110,P(X=1)=34×1-35+1-34×35=920,P(X=2)=34×35=920.随机变量X的分布列为X012P110920920E(X)=110×0+920×1+920×2=2720.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,即Y~B3,12,所以E(Y)=3×12=32.因为E(X)<E(Y),所以张先生应选择L2路线上班.【加练备选】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列与数学期望.【解析】(1)设落在区间[75,85]内的频率为x,则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1,解得x=0.05.所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3.由(1)得,落在区间[45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30×0.60×0.43=0.064,P(X=1)=C31×0.61×0.42=0.288,P(X=2)=C32×0.62×0.41=0.432,P(X=3)=C33×0.63×0.40=0.216.所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216所以X的数学期望为E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)=np=3×0.6=1.8).超几何分布[典例2](1)某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语.现选派3人到法国的学校交流访问,则恰有2人会法语的概率为;既会法语又会英语的人数X的均值为.【解析】设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”,则P(A)=C52C21C73=47.方法一:依题意知X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=435,P(X=1)=C42C31C73=1835,P(X=2)=C41C32C73=1235,P(X=3)=C33C73=135,所以X的分布列为X0123P43518351235135所以E(X)=0×435+1×18+2×1235+3×135=97.方法二:E(X)=3×37=97.答案:4797(2)从某校高三年级中随机抽取100名学生,对其视力情况进行统计(两眼视力不同,取较低者统计),得到如图所示的频率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为110.①求a,b的值;②若高校B专业的报考资格为任何一眼裸眼视力不低于5.0,已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层随机抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学,4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列.【解析】①由频率分布直方图的性质,得×0.2=110,( +0.75+1.75+ +0.75+0.25)×0.2=1,解得b=0.5,a=1.②在[4.9,5.1)中,共有15人,其中5人裸眼视力不低于5.0,在这15人中,抽取3人,在[5.1,5.3)中,共有5人,抽取1人,随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,P(ξ=1)=C103C50C153=2491,P(ξ=2)=C102C51C153=4591,P(ξ=3)=C101C52C153=2091,P(ξ=4)=C100C53C153=291,所以ξ的分布列如下ξ1234P249145912091291【方法提炼】超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X 的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.【对点训练】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图,求上述抽取的40件产品中质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为质量超过505克的产品数量,求X 的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X 的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.P(X=0)=C120C282C402=63130,P(X=1)=C121C281C402=2865,P(X=2)=C122C280C402=11130,所以X的分布列为X012P63130286511130所以X的均值为E(X)=0×63130+1×2865+2×11130=35;(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的产品数量Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,310,P(Y=k)=C2 ×1-3102-k×310k,所以P(Y=0)=C20×7102=49100,P(Y=1)=C21×310×710=2150,P(Y=2)=C22×3102=9100.所以Y的分布列为Y012P4910021509100正态分布角度1正态分布的性质[典例3](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且-( -10)28(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是()f(xA.10与8B.10与2C.8与10D.2与10【解析】选B.因为f(xe-( -10)28,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.-( - )22 2(x∈R,i=1,2,3)的图象(2)(2023·深圳模拟)已知三个正态密度函数φi(x如图所示,则()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),亦可知σ1=σ2<σ3.(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确,不符合题意;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确,不符合题意;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确,不符合题意;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D 错误,符合题意.【方法提炼】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.角度2正态分布的概率计算[典例4](1)(2023·运城模拟)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)=1-0.62=0.2.(2)(2022·安阳模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比约为()(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.997)A.0.3%B.0.23%C.1.5%D.0.15%【解析】选D.依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在[μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比约为1-99.7%2=0.15%.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【方法提炼】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态密度曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);②P(X<x0)=1-P(X≥x0);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).角度3正态分布的综合应用[典例5](1)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩x近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)【解析】因为数学成绩x服从正态分布N(100,17.52),则P(100-17.5≤x≤100+17.5)=P(82.5≤x≤117.5)≈0.68,所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为P(x<82.5)=1- (82.5≤ ≤117.5)2≈1-0.682=0.16.又P(100-17.5×2≤x≤100+17.5×2)=P(65≤x≤135)≈0.95,所以数学成绩特别优秀的概率为P(x>135)=1- (65≤ ≤135)2≈1-0.952=0.025.又P(x<82.5)=P(x>117.5)≈0.16,则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.025≈13.答案:0.1613(2)为了解某年龄段人群的午休睡眠时间,随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者,统计了他们的午休睡眠时间,得到如图所示的频率分布直方图.①求这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间Y服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取被调查者的平均午休睡眠时间 和方差s2,那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的人数估计有多少?③如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况,现从全市所有该年龄段的人中随机抽取5人,记午休睡眠时间不超过73.09分钟的人数为X,求E(X)(精确到0.01).附:(i)s2=212.75,212.75≈14.59.(ii)Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】①由题意知,第一组至第六组的区间中点值分别为35,45,55,65,75,85,对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.15,0.15,0.1.所以 =35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5(分钟),所以这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 =58.5分钟.②由题意得Y~N(58.5,14.592),则P(43.91≤Y≤73.09)=P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827,所以P(Y>73.09)=P(Y<43.91)≈1-0.68272= 0.15865,所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的估计有0.158 65×1000≈159(人).③在全市该年龄段人中抽取午休睡眠时间不超过73.09分钟的人的概率P≈1-0.15865=0.84135,由题意得X~B(5,0.84135),所以E(X)=5×0.84135≈4.21.【方法提炼】解决正态分布问题有三个关键点(1)对称轴x=μ.(2)标准差σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.提醒只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【对点训练】1.(2023·常州模拟)若随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)等于()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【解析】选A.由题意,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2.2.在某校高三年级的高考全真模拟考试中,所有学生考试成绩的取值X(单位:分)是服从正态分布N(502,144)的随机变量,模拟“重点控制线”为490分(490分及490分以上都是重点),若随机抽取该校一名高三考生,则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为()(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827B.0.65865C.0.84135D.0.34135【解析】选C.X~N(502,144),则σ=12,因为P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(X≥490)≈1-0.15865=0.84135.3.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,2 ,为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(μ-2σ,μ+2σ)⊂(-0.5,0.5),又μ=0,σ所以0.所以n≥32.答案:32【加练备选】1.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题:甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2);乙:P(ξ>a)=0.5;丙:P(ξ≤a)=0.5;丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选D .由于乙、丙的真假性相同,所以乙、丙都是真命题,故a =μ;根据正态密度曲线的对称性可知,甲:P (ξ<μ-1)>P (ξ>μ+2)为真命题;P (μ<ξ<μ+1)>P (μ+1<ξ<μ+2),所以假命题是丁.2.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 =116∑ =116xi =9.97,s.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i =1,2, (16)用样本平均数 作为μ的估计值,用样本标准差s 作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ≤Z ≤μ+3σ)≈0.9973,0.997316≈0.9577,0.008≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,故X~B (16,0.0027).因此P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-0.997316≈0.0423;X 的数学期望E (X )=16×0.0027=0.0432.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由 =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02.因此μ的估计值为10.02.∑ =1162=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
超几何分布导学案
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：§2超几何分布【学习目标】1.理解超几何分布及推导过程。
2.理解并会运用超几何分布概率模型【重点、难点】理解并会运用超几何分布概率模型【使用说明与学法指导】1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；3、带※为选做题;【自主探究】超几何分布列：一般地，设有N件产品，其中M件次品。
从中任取n 件，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么p(X=k)=------------------------------------------------------------------------ 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M，n的超几何分布。
【合作探究】1、学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率．2、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．3、在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列。
【巩固提高】1、某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则概率等于6123735C C C 的是( ) ． A ．)2(=ξP B ．)3(=ξPC ．)2(≤ξPD ．)3(≤ξP2、盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，请填写以下的分布列：2 3 4 P3、从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A 的概率4、一批零件中有9个合格品与3个不合格品．从这批零件中任取一个，如果取到的是不合格品，就不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．课堂小结——————————————————————————————。
高考数学复习知识点讲解教案第65讲 二项分布与超几何分布、正态分布
正态曲线： =
1
2π
−
⋅e
− 2
22
, ∈ ，其中 ∈ ， > 0为参数，称
正态密度曲线
为正态密度函数，函数 的图象为_________________,简称正态曲线.
（2）
正态曲线的特点
=
①曲线是单峰的，它关于直线________对称.
②
=
1
曲线在________处达到峰值
3
［思路点拨］（1）由题可求出一次试验成功的概率，设试验成功的次数为，可
知服从二项分布，再利用方差的性质即可求解.
[解析] 由题意得，启动一次出现的数字为 = 1010的概率 =
设试验成功的次数为，则～
所以的方差 = 54 ×
2
27
×
25
27
2
54,
27
=
2
1
3
2
3
× =
2
.
记选出女生的人数为，则服从超几何分布，③满足题意；
盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，
则不服从超几何分布，④不满足题意.故填③.
5.已知随机变量 ∼
2
2,
0.35
, ≤ 0 = 0.15,则 2 ≤ ≤ 4 =______.
0 < < 1 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为( = ) =
−
C 1 −
_________________________，
= 0,1,2,⋯ ,,称随机变量服从二项分布,记作
∼ , .
（2）
1 −
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案【导学案】课题名称：超几何分布及二项分布学科：数学年级：高一教学时间：2课时教学目标：1.理解超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.掌握超几何分布和二项分布的计算方法。
3.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学重点：1.超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.超几何分布和二项分布的计算方法。
教学难点：1.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学准备：1.教师准备PPT。
2.学生铅笔、橡皮、作业本。
教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）1.让学生回顾前一节课的内容，回答几个问题：什么是离散型随机变量？如何计算离散型随机变量的期望？2.引入本节课的新内容，告诉学生本节课要学习和复习超几何分布和二项分布。
Step 2 课堂教学（55分钟）1.引导学生回忆超几何分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意超几何分布中的各个参数的含义和计算方法。
2.引导学生回忆二项分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意二项分布中的各个参数的含义和计算方法。
3.给学生讲解超几何分布和二项分布的计算方法，并通过例题进行演示。
帮助学生掌握计算过程和技巧。
4.给学生出几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上逐题讲解答案和解题思路。
帮助学生巩固所学知识。
Step 3 课堂小结（5分钟）1.总结本节课的重点内容，强调超几何分布和二项分布的概念和特点。
2.提醒学生进行课后复习，并解答学生的问题。
Step 4 课后作业（2分钟）1.布置适量的课后作业，巩固学生对超几何分布和二项分布的理解和掌握。
2.提醒学生及时批改作业，并预习下节课内容。
备注：以上为教学设计概要，具体教学内容及时间可根据实际情况灵活调整。
超几何分布教案
2.两点分布
3.某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数若用η表示所含次品数，η有哪些取值？
学习过程
例：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求
⑴取到的次品数X的分布列；
⑵至少取到1件次品的概率。
超几何分布的概念：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 ，k=0,1,2,…,m，即
丰润区第二中学高二年级数学人教版选修2-3导学案
课题
2.1.1超几何分布
课时
1
编制人
学习目标
掌握超几何分布的特点并会判断超几何分布，会求简单的离散型随机变量的分布列。
学习重点
超几何分布的特点
学习难点
求简单的离散型随机变量的分布列
教学方法
合作探究，自主学习
课堂类型
新授课
课堂设计
教学内容
学习点滴
复习引入
⑴求袋中原有白球的个数；
⑵求随机变量X的概率分布；
⑶求甲取到白球的概率
例3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖 游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
X
0
1
…
m
P
…
其中m=min﹛M，n﹜，且 。如果随变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。
说明：超几何分布列给出了一类用数学模型解决的问题，对该类问题直接套用公式即可，但在解决问题之前，首先确定随机变量X是否服从超几何分布。
问题1、发行某种彩票10张，其中4张有奖，某人购买此类彩票6张，求他中奖的概率。
2.1.3两点分布与超几何分布
学习目标： 1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用. 2．理解两点分布和超几何分布．
探究展示
问题 1 在掷一枚图钉的随机试验中，令 X＝ 1 针尖向上 0 针尖向下
，
如果针尖向上的概率为 0.8，试写出随机变量 X 的分布列____．
分析 由题意知：P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2.其分布列为： 一般地，如果随机变量 X 的分布列为： X P
k n C M C NkM n P(X＝k)＝ C N
，k＝
0,1,2，…，m(m＝min{M，n})，进行处理即可．
3
问题 3 袋中有 7 个球，其中有 4 个红球，3 个黑球，从袋 中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列及 P(X>2)．
4
精讲点拨
例 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个 小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小 球上的最大数字，且按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，求 (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的分布列； (3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率．
X1 0.8 P 00 0.2 1－p 1 p
则称离散型随机变量 X 服从
两点分布 ．
2
问题 2 在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，求： (1)取到次品数 X 的分布列； (2)至少取到 1 件次品的概率。
一般地，一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个)， B(N—M 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A 符合即可断定是超 几何分布．按照超几何分布的分布列
高中数学选修2-3学案：2 1 2第2课时两点分布与超几何分布
第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散型随机变量的分布列第2课时 两点分布与超几何分布[学习目标] 1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用（重点）；2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题（重点、难点）．课前⋅自主学习 研读提炼⋅思考尝试【知识提炼⋅梳理】 1. 两个特殊分布（1）两点分布：如果随机变量X 的分布列为：则称离散型随机变量X 服从 两点分布 ，称(1)p P X ==为 成功概率 ．（2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()k n kM N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中min{,}m M n =，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为 超几何分布列 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 超几何分布 .温馨提示：两点分布的随机变量X 只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布. 【思考尝试⋅夯基】1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）随机变量X 只取两个值的分布是两点分布. （ ）（2）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究.（ ） （3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布. （ ）[解析] （1）错，只有随机变量取0或1的分布才是二项分布. （2）对，根据两点分布的概念知，该说法正确.超几何分布.[答案] （1）×（2）√（3）√2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ）A .150B .125C .1825D .14 950 [解析]依题意2421001825C P C ==.[答案] C3．若随机变量X 服从两点分布，且(0)0.8P X ==，(1)0.2P X ==.令32Y X =-，则(2)P Y =-= （ ）A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1 [解析]因为32Y X =-，所以1(2)3X Y =+，当2Y =-时，0X =，所以(2)P Y =-= (0)0.8P X ==.[答案] A4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述1次试验的成功次数，则(1)P X == ( )[解析]设失败率为p ，则成功率为2p ， 由p ＋2p ＝1，得p ＝13，所以223p =.[答案]235．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )[解析] 出现次品的概率为245250454447115049245C P C ⨯=-=-=⨯. [答案]47245课堂⋅师生互动 典例解惑⋅探究突破类型1 两点分布（自主研析）【典例1】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X=⎩⎪⎨⎪⎧0 (两球全红)，1 (两球非全红)，求X 的分布列．[自主解答]因为X 服从两点分布，所以则24291(0)6C P X C ===，15(1)166P X ==-=.所以X 的分布列为【归纳升华】（1点分布，如随机变量ξ的分布列如下表它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令0(2)1(3)Y ξξ=⎧=⎨=⎩，则随机变量Y 服从两点分布，分布列为：（2）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其它一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．[变式训练]在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．[解] 随机变量η可以定义为：η＝⎩⎪⎨⎪⎧1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4. 显然η只取0，1两个值． 且31(1)62P η===，故η的分布列为类型2 超几何分布【典例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； （2）他能及格的概率．[解] （1）设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则364310()(0,1,2,3)r r C C P X r r C -===． 所以03643101(0)30C C P X C ===，12643103(1)30C C P X C ===， 21643101(2)2C C P X C ===，30643101(3)6C C P X C ===.所以X 的概率分布为【可直接运用相关公式或结论求解．（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． [变式训练] 设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[解] ξ的可能取值为0，1，2，3.这有0537510211(0)25212C C P C ξ====， 14375101055(1)25212C C P C ξ====，23375101055(2)25212C C P C ξ====，3237510211(3)25212C C P C ξ====.所以ξ的分布列为类型3 分布列的实际应用【典例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列．[解]（1）方法一 0246210121133C C P C =-=-=. 方法二 11204646210302453C C C C P C +===. 即该顾客中奖的概率为23. （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ===；11362102(10)5C C P X C ===； 232101(20)15C P X C ===；11162102(50)15C C P X C ===；11132101(60)15C C P X C ===.故X 的分布列为【归纳升华】此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．[变式训练] 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．[解] 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则2ξ=，6，10.2821028(2)45C P C ξ===，118221016(6)45C C P C ξ===，222101(10)45C P C ξ===. 故ξ的分布列为[课堂小结]1. 两点分布的几个特点：（1）两点分布的变量X 只取0和1；（2）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（3）由对立事件概率的求法可知，已知(0)P X =与(1)P X =中的一个即可求出另一个.2．解决超几何分布问题的两个关键点：（1）超几何分布是一种重要的概率分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解；（2）超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率()P X k =，从而求出X 的分布列.课后⋅演练提升A 级 基础巩固 一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为 （ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5[解析] 可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7. [答案]B2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X =⎩⎪⎨⎪⎧1 取出白球0 取出红球 D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X [解析]选项A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布. [答案]A3．设随机变量ξ的概率分布为()1cP k k ξ==+，0k =、1、2、3，则c = （ ） A ．1425 B ．1325 C ．1225 D ．1125 [解析]依题意1234c c c c +++=，所以1225c =.[答案]C4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（ ）A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品[解析]设取到一等品的件数是ξ，则0ξ=，1，2，(0)P ξ==023225110C C C =，(1)P ξ== 113225610C C C =，(2)P ξ==203225310C C C =，因为7(0)(1)10P P ξξ=+==，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”． [答案] D5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C ⋅的是 ( ) A ．(2)P ξ= B ．(2)P ξ≤ C ．(4)P ξ=D ．(4)P ξ≤[解析]因为28781015(2)C C P C ξ==，(2)(0)(1)(2)P P P P ξξξξ≠==+=+=≠28781015C C C ， 46781015(4)C CP C ξ==，(4)(2)(3)(4)(4)P P P P P ξξξξξ≤==+=+=>=，所以选项C正确. [答案]C二、填空题6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则(1)P X ==________.[解析]设不命中的概率为p ，则命中的概率为3p ，有31p p +=，即14p =.(1)P X =是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率． [答案]347．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为[解析] 0232251(0)10C C P C ξ===，322563(1)105C C P C ξ====，2032253(2)10C C P C ξ===. [答案]110 35 3108．已知离散型随机变量X 的分布列()15kP X k ==，1k =、2、3、4、5，令22Y X =-，则(0)P Y >=________.[解析]由已知Y 取值为0、2、4、6、8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415.[答案]1415三、解答题9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．[解] （1）因为摸出红球的概率为14174(1)7C P X C ===，所以X 的分布列为（2）因为23271(0)7C P X C ===，所以X 的分布列为10. 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？[解]以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即(1)P X ≤0514248248555050243245C C C C C C =+=. 答：该批产品被接收的概率是243245． B 级 能力提升1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[解析]设10件产品中有x 件次品，则1110210(10)16(1)4545x xC C x x P C ξ--====，解得2x = 或8.因为次品率不超过40%，所以2x =，所以次品率为220%10=. [答案]B2. 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[解析]将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中50N =，15M =，2n =.依题意所求概率为1211550152503(1)7C C P X C --===.[答案]3 73．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布．[解]（1）记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则311152223102()3C C C CP AC==.（2）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，211222223101(2)30C C C CPCξ+===，211242423102(3)15C C C CPCξ+===，211262623103(4)10C C C CPCξ+===，211282823108(5)15C C C CPCξ+===.所以随机变量ξ的分布列为：。
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第2课时两点分布与超几何分布
1.通过实例,理解两点分布和超几何分布两种特殊的分布列及其特点.
2.会运用两点分布和超几何分布解决简单的实际问题.
3.让学生能够在解决问题的过程中体会到“数学来源于生活,又服务于生活”,培养学生学习数学的兴趣,坚定学好数学的信心.
某同学做对一道题得1分的概率是P,做错这首题得0分的概率是1-P,那么该同学得分的随机变量服从什么样的分布列呢?
问题1:该同学生得分的随机变量服从两点分布,什么是两点分布?
若随机变量X只取两个可能值0和1,则称X服从0-1分布或两点分布,分布列为:
X10
P p1-p
并称p=P(X=1)为成功概率.
问题2:什么是超几何分布?
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件
P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.
其分布列:
X
P
01…m
…
问题3:超几何分布的应用要点
(1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布,是一种抽样.要熟记公式,正确应用公式解题.
(2)超几何分布主要运用排列组合知识来求X概率,即有条件的排列组合与无条件的排列组合的.
具体来说,其典型应用是描述产品抽样中的的分布规律和用来研究摸球游戏中的某些概率问题.
问题4:超几何分布的求解步骤是什么?
(1)辨模型:结合实际情景分析所求概率分布问题是否有明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特点的概率模型为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意求解时应理解参数M,N,n,k的含义.
(3)列分布表:把求得的概率值通过表格表示出来.
1.下列随机事件中的随机变量X的分布服从超几何分布的是().
A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数为X
B.从7男3女的10名学生干部中选出5个优秀学生干部,女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是第一次摸出黑球的次数
2.在100张奖券中,有4张有奖,从这100张奖券中任意抽取2张,则2张都中奖的概率为().
A.B.C.D.
3.某导游团有外语导游10人,其中6人会说日语,现要选出4人去完成一项任务,则选出4人中有2人会说日语的概率是.
4.在射击的随机试验中,令X=如果射中的概率为0.8,求随机变量X的分布列.
两点分布及其应用
设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于().
A.0
B.
C.
D.1
服从超几何分布的随机事件的分布列
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分布列.
超几何分布的综合应用
袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球.
(1)求得分X的概率分布列;
(2)求得分大于6分的概率.
若随机变量X的分布列如下表:
X
P
试求c的值.
9c2-c
1
3-8c
盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个新的,3个旧的(用过的球即为旧的),从盒中任取3个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,求X的分布列.
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(X>0)=.
(1)求文娱队的人数;
(2)写出X的概率分布列.
1.从装有4个红球,1个白球的袋中随机抽取2个球,则其中有一个红球的概率是().
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
2.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布,且P(X=0)=2-3P(X=1)=a,则a=.
3.从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡片中任取2张,则两数之和是奇数的概率是.
4.交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有10个同样大小的球,其中8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,所抽2球的钱数之和即是他所得奖励的钱数,求抽奖人所得钱数和的分布列.
(2014年·江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率
是.
考题变式(我来改编):
答案
第2课时两点分布与超几何分布知识体系梳理
问题2:
问题3:(1)不放回(2)可能取值的比值次品数不放回
问题4:(2)
基础学习交流
1.B理解超几何分布中参数的含义.
选项B中M=3,N=10,n=5.
2.C由题意知中奖奖券的张数服从超几何分布.
∴P(X=2)==.
3.该事随机变量服从超几何分布,用随机变量X表示该事件,则P(X)=
4.解:
=.
X P
0.8
1
0.2
重点难点探究
探究一:【解析】X的分布列为:
X P
5p
1
p
即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,成功率为p,失败率为5p,所以5p+p=1,得p=.所以失败率为,即P(X=0)=.
【答案】C
【小结】两点分布中只含有成功和失败两种情况,它们的概率和为1.
探究二:【解析】由题意可知X可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)= P(X=2)==,P(X=1)=
=,P(X=3)=
=,
=.
故X的分布列为:
X0123
P
【小结】求出分布列后,还要用分布列的两个性质进行检验.求随机变量的分布列,基础是概率的计算,关键是找准随机变量的可能取值.
探究三:【解析】(1)从袋中随机摸4个球的情况为:1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红四种情况,分别得分为5分,6分,7分,8分,故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X=5)= P(X=6)= P(X=7)= P(X=8)==, =, =, =.
故所求分布列为:
X5678
P
(2)根据随机变量X的分布列,可以得到得分大于6的概率为:P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.
【小结】本题在确定随机变量X的可能取值时,采用了先考虑取出红球的个数,再转化为得分,避免了直接考虑得分,分情况讨论比较复杂的问题.
思维拓展应用
应用一:由随机变量分布列的性质可知
解得c=.
应用二:X的所有可能取值为3,4,5,6.
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
所以X的分布列为:
X3456
P
应用三:设在文娱队中既会唱歌又会跳舞的有x人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是(7-2x)人.
(1)∵P(X>0)=P(X≥1)=1-P(X=0)=,
∴P(X=0)=,即=,∴x=2,
故文娱队共有5人.
(2)X的概率分布列为:
X
P
012
基础智能检测
1.D由题意知:=0.4.
2.∵P(X=0)=a,∴P(X=1)=1-a,
∴2-3(1-a)=a,∴a=.
3.要使得两数之和为奇数,则必取一个奇数一个偶数,这9张卡片中有5张卡片是奇数,有4张卡片是偶数,故P==.
4.解:抽两次可能出现的情况为两张一元,一张一元和一张5元,两张5元,设抽奖人所得钱数和为X,
则P(X=2)==,P(X=6)==,P(X=10)=
X
P 全新视角拓展
该随机变量服从超几何分布,故P==.=,故X分布列为: 2610。