间接测量值的误差估算
物理实验 误差分析与数据处理讲解
目录实验误差分析与数据处理 (2)1 测量与误差 (2)2 误差的处理 (6)3 不确定度与测量结果的表示 (10)4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13)5 有效数字及其运算规则 (15)6 实验数据的处理方法 (17)习题 (25)实验误差分析与数据处理1 测量与误差1.1 测量及测量的分类物理实验是以测量为基础的。
在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。
所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．。
选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。
一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。
在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。
如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。
为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。
1．直接测量与间接测量测量可分为两类。
一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。
它无须进行任何函数关系的辅助运算。
如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。
另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。
如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224Tl g π=，求得重力加速度g 。
物理量的测量中，绝大部分是间接测量。
但直接测量是一切测量的基础。
不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。
如何运用直接测量量与间接测量量数据处理方法评定测量不确定度
如何运用直接测量量与间接测量量数据处理方法评定测量不确定度[摘要]在实验中测量结果会产生误差，也就会导致不确定度的出现，下面就对直接测量与间接测量数据评定测量不确定度的方式进行分析，说明直接测量与间接测量数据利用合理的处理步骤与方法，并以此获得最佳的估算值，以此提高实验得出结果的质量，从而保证不确定度对其影响最小。
【关键词】测量误差；直接测量；间接测量；数据处理引言在测量中一个变量的改变会影响其他变量，此时的两个变量不一定会形成一个函数关系，此时两个变量之间就存在一种相关度。
按照相关技术规范不同的测量过程其变量间的相关度也存在差异，即相关系数不同。
其表现的就是两个测量变量之间的依赖程度，其计算的方式是利用变量协方差除以各自方差乘积的平方根。
正是因为这样的因素，才会导致在测量中产生不确定度，究其产生的本质因素有：在测量中采用相同的社交，但是在多次测量中会产生读写的误差，在输入量之间就会出现较大的相关性；利用一种实体标准物为标准完成测量，如测量不同对象采用的同一块砝码、标准电阻等标准物，这些标准物所显示的值会导致检测输入量出现相关度；最后是在测量中引入同一个参考数据，如物理常量的引入，即圆周率、重力加速度等，或者某个分子量都会是结果产生相关度，因此在测量中如何处理不确定度就成为了提高测量精度的重要课题。
下面就利用直接测量与间接测量的数据来对其进行评价。
一、测量中不确定度的评价方式在试验中因为数据会产生两种，一种为直接测量数据，另一种则是间接测量，这样不确定度的评定方法也就分为直接与间接两种，测量不确定度的时可以按照以下方式进行：1、直接测量确定在测量中产生的误差有随机和系统两种，在直接进行测量的过程中会伴随有直接测量的随机与系统误差的因素，其主要出现在测量的不同步骤中，即某些操作容易产生直接误差某些则容易导致系统误差。
对残存的误差可以按照不同的不确定标准进行划分，如按照A类和B类对其进行划分，A类是代表随机误差评定结果，而B类则是代表系统误差的评定结果。
直接测量和间接测量随机误差的估算
1．直接测量中随机误差的估算
(1)多次测量的算术平均值
n个测量值为x1，x2，…，xn，
1
lj = →
=1
( → ∞)
1
lj = →
( → ∞)
=1
算术平均值代替真值，一般误差的计算都用残差
（2）算术平均值的标准误差：
lj =
=
ሜ
=
=
ሜ
2
lj
ሜ
2
+
2
2 2
lj
ሜ
+来自22 2lj
ሜ
+⋯
测量结果的表示
= ሜ ± ሜ
单位
ሜ
ቐ
=
× 100%
ሜ
计算顺序：加减运算为主，先算标准误差，再
算相对误差；以乘除或乘方运算为主，先算相
对误差，再算绝对误差
lj
(4)测量结果的表示: ቐ
(100%)
=
lj
真值 x落在 ± lj 范围内的概率为68.3%
2．间接测量——标准误差的传递与合成
设间接测量N=f（x，y，z…），直接测量
量的标准误差为σx、σy、σz …, 则：
测量值：
ሜ = (,lj ,lj lj ⋅⋅⋅⋅)
=
1
( − )
lj 2
( − 1)
=1
算数平均值与真值的误差落在[-lj ,lj ]范围
内的概率为68.3%（通常 ≤ ≤ ）。
（3）单次测量结果标准差的估算：
Δ
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
误差及误差分析-数据的误差处理
注：在处理测量数据时常用物. 理量的平均值代替其真值。
2、误差
(1)概念：测量值与真值之差定义为误差，
记为 ，即 i i xi x0
(2)表示方法：绝对误差= 测量值 —真值
相对误差=
×绝1对00误 ％差
真值
(3)分类：系统误差和随机误差
.
系统误差 概念：在相同的条件下，多次测量同一物理量
时，若误差的大小及符号都保持不变或按一定 规律变化，这种误差称为系统误差。 特征：系统误差表现出恒偏大、恒偏小或周期 性的特点。增加测量次数系统误差不能减少。 来源：仪器、理论、观测等 处理方法：修正已定系统误差；
真值：被测量物理量所具有的、客观的、真实的 数值，记为 x 。0
测量值：通过测量所获得的被测物理量的值，记
为x。
平均值（最佳估计值）：在相同条件下，对某物
理量进行n次测量，x1, x2, ,这xnn个测量结果称为一 个测量列，取这n次独立测量值的算术平均值，记
为 。即 x
x
1 n
n i 1
xi
uc(y)yurel(y)
5.计算扩展不确定度 U(y)2uc(y)
6.写出测量结果表达式 yyU(y)单 位
或 yyU(y)单 位
.
【例题】用单摆测重力加速度的公式
g42LT2
现用最小读数为1/100s的电子秒表测量周期 T 五 次，其周期的测量值为2.001，2.004，1.997， 1.998，2.000（单位：s）；用Ⅱ级钢卷尺测摆长 L一次，L = 100.00 cm 。试求重力加速度g及合 成不确定度 uc (g )，并写出结果表达式。
如果已知被测量的测量值 x分i 散区间的半宽为a， 且落在 ( 至x a ) 区间( x的 概a ) 率为100%，通过
1-5测量结果的不确定度估算.
1.5 测量结果的不确定度估算1.5.1 不确定度的概念一般来说，真值是无法测得的，因此误差也就无法得到。
我们只能通过一定的方法对测量误差进行估计，这就需要引入不确定度的概念。
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是对被测量的真值所处的量值范围的评定。
我们在表示完整的测量结果时，除给出被测量x 0的量值（一般用被测量的算术平均值来表示），还要同时标出测量的总不确定度∆，写成 0x x ±∆= (P ρ=)（1-11） 式中P 为置信概率，式（1-11）的含义是：区间(0x -∆,0x +∆)内包含被测量x 的真值的可能性是P 。
为了直观地评定测量结果，也常采用相对不确定度的概念。
用U r 表示相对不确定度，则有r 0100%U x ∆=⨯（1-12） 根据估计方法的不同，总不确定度可分为两类分量，一类是可以通过多次重复测量用统计学方法估算出的A 类分量∆A ，另一类是用非统计方法估算出的B 类分量∆B 。
将两类分量按方和根的方法合成，就得到测量结果的总不确定度：Δ（1-13）1.5.2 A 类不确定度分量的估算A 类不确定度分量是指可以用统计学方法估算的分量，一般指随机误差。
具体估算的方法如下：根据误差理论，当重复测量次数足够多时，可求得置信概率为0.95的A 类不确定度分量A 1.96x s ∆= （1-14）式中x s 是算术平均值的标准偏差。
但当重复测量次数较少时，随机误差不再符合正态分布。
这样，需对式（1-14）做一个修正。
即A x tS ∆=（1-15）式中t 是由测量次数决定的修正系数，它的取值与测量次数和置信概率有关。
置信概率为0.95时，t 与不同测量次数n 之间的关系如表1-1所示。
表1-1 t 与不同测量次数n 的对应关系根据重复测量的次数，从表1-1中查出相应的t 值，就可得到修正后的置信概率为0.95的A 类不确定度分量∆A 。
1.5.3 B类不确定度分量的估算1．仪器误差测量仪器和量具本身总是存在一定误差，我们习惯上称之为仪器误差，用符号∆仪表示。
不确定度与测量结果不确定的表达(最新整理)
1.2 不确定度与测量结果不确定的表达由于误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性。
为了加强国际间的交流与合作，1996年，中国计量科学研究院在国际权威文件《测量不确定度表达指南》的基础上，制定了我国的《测量不确定度规范》。
从此，物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。
下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。
1.2.1 不确定度的概念不确定度是评价测量质量的一个新概念，是表达测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个量值范围内的一个评定。
不确定度反映了可能存在的误差分布范围，是误差的数字指标。
不确定度愈小，测量结果可信赖程度愈高；不确定度愈大，测量结果可信赖程度愈低。
在实验和测量工作中，不确定度是作为估计而言的，因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。
用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。
1.2.2 测量结果的表示和合成不确定度在做物理实验时，要求表示出测量的最终结果。
在这个结果中既要包含待测量的近似真实值，又要包含测量结果的不确定度σ，还要反映出物理量的单位。
因此，要写x 成物理含意深刻的标准表达形式，即（单位） （1—σ±=x x 4）式中x 为待测量；是测量的近似真实值,σ是合成不确定度，一般保留一位有效数字,x 若首数是1或2时可取2位。
这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、合成不确定度和单位。
在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值作为近似真实值；若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次x 测量值就为被测量的近似真实值。
如果要求对被测量进行一定系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值或一x 次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。
误差的计算
误差的计算一、单次直接测量误差的计算 在实际工作中，我们有时不可能进行重复的测量，或者在测量精度要求不高的情况下只进行一次的测量，称之为单次直接测量。
在物理实验中，特别是在电学实验中，经常采取单次测量。
因此，如何估计单次测量的误差，是物理实验中的一重要问题。
单次直接测量的测得值就作为其最佳值，其测量误差可以用仪器本身的误差（仪器误差）来计算。
仪器误差是指仪器在规定的作用条件下，正确地使用仪器时，可能产生的最大误差，用Δ仪表示。
对仪器误差的估计，我们可分以下几种情况进行讨论：1、有刻度的仪器仪表 如果未标出精度等级或精密度，取其最小分度值的一半作为测量仪器误差 Δ仪。
2、标有精度的仪器仪表对于标有精度的仪器，可以取精度的1/2作为测量仪器误差Δ仪。
3、标有精度等级的仪器仪表可按仪器的标牌上（或说明书中）注明的精度等级及相关公式计算误差。
4、停表和数字显示的仪器仪表 取末位的1为测量人仪器误差。
仪器误差遵从均匀分布规律，即在误差范围（-Δ仪，+Δ仪）内，各种误差出现的概率都相等。
面在这个误差范围以外，误差不可能出现。
其分布曲线如图所示，这与正态分布是不同。
根据均匀分布理论，仪器的标准误差和仪器误差有如下关系：（6）因此，单次测量的标准绝对误差为：（7） 二、多次直接测量误差的计算在条件许可的情况下，我们总是采用多次测量，求其算术平均值作为最佳值。
设对一个物理量x 进行了n 次等精度测量，测量值为x 1，x 2 ，…，x i ，…，x n 。
则其算术平均值为：（8）其绝对误差为：（9）若测量列中n 次测量结果是唯一值，或测量列算术平均的标准误差，相对于仪器的标准误差非常小，则多次直接测量取，即多次直接测量的误差可以用下式表示：（10）3仪仪∆=σ3仪仪单∆==σσ∑==ni ix n x 11)1()(12--=∑=-n n x xni ixσ⎩⎨⎧<>=)()(仪仪仪σσσσσσσx x x图2-3均匀分布曲线三、间接测量误差计算 在大量的物理实验中，大多数物理量不是直接测得的，而是由直接测量量通过一定的函数关系计算得出的，这就是所谓的间接测量。
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间接测量值的误差估算
设N 为间接测得量，而A 、B 、C ……为直接测的量，
A A A ∆±=，B
B B ∆±=，C
C C
∆±=。
它们之间满足一定的关系，即
....)
,,(C B A f N =
那么我们如何求得
???,?,?,±===∆=N E N N N
1、 加减法运算中的误差 规律：先算绝对误差
如果....C B A N ±±=则绝对误差.......
C B A N
∆+∆+∆=∆
近似真值为....C B A N ±±= 相对误差为N
N E N ∆=
N
N N ∆±=
2、 乘除法运算中的误差 规律：先算相对误差
如果C B A N C B A N /....⨯=⨯⨯=或
则相对误差...........+∆+
∆+
∆=
+++=C
C B
B A
A
E E E E C B A N
近似真值为..../....C B A N C B A N ⨯=⨯⨯=或 绝对误差为N
E N N ⋅=∆
N
N N ∆±=
测量一段金属管外径，内径，高
1、
h d d V ⨯-⨯
=
)
(4
2
221'
π
C B A N ⨯⨯=
乘除发运算中的误差先算相对误差 即'
V N =
C B A N E E E E ++=
C
C B
B A A ∆+∆+∆=（书上第9页）
则h d d
v E E E E E ++=-)
(4
2
221
)(π例题中为
h
h d d
d d ∆+
--∆+
=)
()(022
21
2
22
1（例题中第一式）
2、
令2
22
1
d d N -=
则按照B A N -=的情况，加减法运算中的误差先算绝对误差
B A
N
∆+
∆=
∆（书上第8页）
即
)()
()
(2
22
12
22
1d d d d ∆+
∆=
-∆（例题中第二式）
3、
令112
1
d d d N ⨯==
则按照B A N ⨯=的形式应该为乘除法运算中的误差先算相对误差 即B A N E E E +=
1
12
211111d d E E E E d d d d d ∆==+=⨯
因为例题中是求)(21d ∆的结果，所以按照
N N N E ∆=⋅
112
11111()()()()d d d d d d d E ⨯∆=∆⨯=⨯⋅
111111111
2()2()2d d d d E d d d d d ∆=⨯⋅=⨯⋅
=∆（例题中第三式）
因为h d d V ⨯
-⨯
=
)
(4
2
221'
π
是乘法的形式，所以要先求相对误差v E ，我们在求出
相对误差后再求绝对误差v E V V ⨯=∆'
（例题中最后一式）。