湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)解析版
高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.已知F1（-3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足|PF1|-|PF2|=6，则P点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 一条射线3.已知复数z1＝1+2i，z2＝1-i，则（）A. B. C. D.4.已知a=0.24，b=0.32，c=0.43，则（）A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. a＜b＜c5.用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A. 15B. 16C. 17D. 186.在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=-logαx的图象可能是（）A. B. C. D.7.数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，则a6=（）A. 32B. 62C. 63D. 648.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A. 4B.C. 2D. 49.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2=交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A. B. C. D.11.已知点A（2，1），动点B（x，y）的坐标满足不等式组，设z为向量在向量方向上的投影，则z的取值范围为（）A. [，]B. [，]C. [2，18]D. [4，l8]12.设函数f（x）=，则满足2f（f（a）=f（a）的a的取值范围是（）A. （-∞，0]B. [0，2]C. [2，+∞）D. （-∞，0]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则a3与a7等差中项的值为______14.已知向量=（l，2），=（2，1），=（1，n），若（2-3）⊥，则n=______15.函数f（x）=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为______16.已知四面体中，，则四面体的体积为__________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．18.如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC=6；如图2，将图l中△DAC沿AC起，点D在丽ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D-ABC的体积为l2．（1）求证：DE⊥AC；（2）求点B到平面ACD的距离．19.如图，O为坐标原点，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|=2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN 交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．20.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图l所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月-2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1-13分别对应2018年1月至2019年1月）．（1）试估计该市市民的平均购房面积．（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110，130]的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）根据散点图选择=和=两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x，并得到一些统计量的值，如表所示：=0.9369+0.0285=0.9554+0.03061ln x （y i）2（y i）2请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年6月份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36．参考公式：相关指数R2=1-．21.已知函数f（x）=e x--1（1）若直线y=x+a为f（x）的切线，求a的值．（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，求b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ+6cosθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.设函数f（x）=|2x+a|+|x-1|-3．（1）当a=4时，求不等式，f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.【答案】D【解析】解：F1（-3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=6，因为|F1F2|=6，则点P的轨迹是一条射线．故选：D．利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】把z1=1+2i，z2=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1-i，∴=．故选：B．4.【答案】B【解析】解：∵a=0.24=0.042=0.0016，b=0.32=0.09，c=0.43=0.064，∴b＞c＞a，故选：B．利用幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论．本题主要考查幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：若个位数是0，则有C=4种，若个位数不是0，则有A=12种，则共有4+12=16种，故选：B．讨论个位数是0，不是0时，对应的个数即可．本题主要考查简单计数的应用，利用讨论个位数是否为0是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越平缓，g（x）=-log a x的图象为增函数，当1＜a时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越快，g（x）=-log a x的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．7.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，a2=2a1+l=3，a3=2a2+l=7，a4=2a3+l=15，a5=2a4+l=31，a6=2a5+l=63，故选：C．利用数列的递推关系式逐步求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．8.【答案】B【解析】解：设长方体的三条棱的长分别为：x，y，z，则，可得对角线的长为===．故选：B．首先转化为数学表达式，设出长方体的三条棱的长分别为x，y，z，根据题意列出关系式，通过配方法即可求出对角线的长．本题主要考查了长方体的特征，考查了配方法的应用，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，则恰好抽到2幅不同种类的概率为p==．故选：B．现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，由此能求出恰好抽到2幅不同种类的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），可得|AB|=|OA|=2n，即有=n，又n2=m，解得m=，n=1，则-=1，且c=2，即a2+b2=4，可得a=b=，则e==．故选：C．由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），由正三角形的性质和点满足抛物线方程，求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，运用离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及抛物线和双曲线的对称性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则=（x，y），=（2，1），则在向量方向上的投影为z=||cosθ==，设u=2x+y，得y=-2x+u，平移直线y=-2x+u，由图象知当直线y=-2x+u经过点B（0，2）时直线的截距最小，此时u=2，当直线y=-2x+u经过D时，直线y=-2x+u的截距最大，由，得，即D（6，6），此时u=12+6=18．即2≤u≤18，则≤z≤，即≤z≤，即z的取值范围是[，]，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义，结合目标函数函数的几何意义利用平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用向量投影的定义进行转化，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决本题的关键．12.【答案】D【解析】解：作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，当t＞1时，2•=t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21-t=t，即有t=1，可得a=0或a=2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，讨论t的范围，结合图象可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分类讨论思想方法和方程思想，以及化简运算能力，属于中档题．13.【答案】11【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则有a1+a9=a3+a7=1+21=22，则a3与a7等差中项为（a3+a7）=11；故答案为：11．根据题意，由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=1+21=22，进而由等差中项的定义分析可得答案．本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：；∵；∴；∴n=4．故答案为：4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出n．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算．15.【答案】（1，2）【解析】解：由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3-3（a+x）2+5（a+x）-1+（a-x）3-3（a-x）2+5（a-x）-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+（6a-6）x2，对任意x均成立，∴6a-6=0，且2a3-6a2+10a-2=2b，即a=1，b=2，即对称中心（1，2）．故答案为：（1，2）．根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．本题主要考查三次函数对称性的求解，利用对称中心的性质，建立方程是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，AC=8，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO==，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又因为OE⊥AC，所以OE===，∴四面体ABCD的体积：V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC==2×=．故答案为：．取BD中点O，AC中点E，得出BD⊥平面AOC，由四面体ABCD的体积V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC，即可求出结果．本题考查四面体体积的求法，考查四面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．∴由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD，可得：9=CD2+49-2×CD×7×，由于CD＜7，∴解得CD=5，∵cos∠CDA==-，∴∠CDB=，又∵∠DCB=，∴BC=5．…6分（2）在△CDB中，∠DCB=，∠CDB=，∴C点到AB的距离h=，BD=10，∴△ABC面积S==．…12分【解析】（1）在△ABC中，由余弦定理结合CD＜7，解得CD的值，利用余弦定理可求cos∠CDA=-，可求∠CDB=，结合∠DCB=，可求BC的值．（2）在△CDB中，由（1）可求C点到AB的距离h=，BD=10，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABC面积．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC、△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF=F，故AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，GA⊂面ABC，GC⊂面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，∵DA=DC，∴GA=GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，∵F为AC中点，∴E，F，G三点共线，由AB=2AD=2DC=6，得△ABC是等腰直角三角形，，设B到平面ADC的距离为h，则由V D-ABC=V B-ADC，得，∴点B到平面ACD的距离h===4．【解析】（1）在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，推导出AC⊥DF，AC⊥EF，从而AC⊥面DEF，由此能证明DE⊥AC．（2）推导出DG⊥GA，DG⊥GC，EG垂直平分AC，E，F，G三点共线，设B到平面ADC的距离为h，由V D-ABC=V B-ADC，能求出点B到平面ACD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可知：，又a2=b2+c2，有，故椭圆C的方程为：．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），得（4k2+3）x2+8kx-8=0，，且有x1+x2=kx1x2，，==，故==．故点T的纵坐标为3．【解析】（1）建立方程求出a．b，c的值即可；（2）通过联立方程组，建立AM、BN的方程，再次联立AM、BN的方程求出交点T的纵坐标．本题主要考查椭圆的性质与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题目．20.【答案】解：（1）=65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+115×0.15+125×0.05=96．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽亲可知：，解得x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，基本事件总数n=6，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），其中恰有一人在[120，130]的情况共有3种，∴这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率P=．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，∴模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．2019年6月份对应的x=18．∴=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306（ln2+2ln3）≈1.044万元/平方米．【解析】（1）利用频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样能求出x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，从而模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．由此能求出结果．本题考查平均数、概率的求法，考查直线回归方程的应用，考查频率分布直方图、列举法、回归直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，∴f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得x0=0，a=0．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h（0）=1-b．①令1-b≥0，即b≤1，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0在x∈[0，+∞）上恒成立，满足题意．②令1-b＜0，即b＞1时，g′（x）min=h′（0）=1-b＜0．又g′（x）在在x∈[0，+∞）上单调递增．∴存在唯一x0∈（0，+∞），使得g′（x0）=-x0-b=0．且g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=--1-bx0=--1-x0（-x0）=+-1-x0．令u（x）=e x+-1-xe x，x＞0．h′（x）=x（1-e x）＜0，∴h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0．∵x0＞0，∴h（x0）＜0，即g（x0）＜0，不符合题意．综上可得：b≤1．【解析】（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，可得f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得a．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1，可得h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h（0）=1-b．对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ=8sinθ+6cosθ，得ρ2=8ρsinθ+6ρcosθ，∴x2+y2-6x-8y=0，即（x-3）2+（y-4）2=25；（2）把代入（x-3）2+（y-4）2=25，得．∴t1t2=-20．则|PA|•|PB|=|t1t2|=20．【解析】（1）把已知方程两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数t几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=4时，f（x）≤6即为|2x+4|+|x-1|≤9，当x≥1时，2x+4+x-1≤9，解得1≤x≤2；当x≤-2时，-2x-4+1-x≤9，解得-4≤x≤-2；当-2＜x＜1时，2x+4+1-x≤9，解得-2＜x＜1，综上可得-4≤x≤2，即有f（x）≤6的解集为[-4，2]；（2）由f（x）=|2x+a|+|x-1|-3，=|x+|+|x+|+|x-1|-3≥0+|（x+）-（x-1）|-3=|1+|-3，（当且仅当x=-时取得等号），关于x的不等式f（x）≥2恒成立，可得2≤|1+|-3，即为|1+|≥5，解得a≥8或a≤-12，可得a的范围是（-∞，-12]∪[8，+∞）．【解析】（1）由绝对值不等式解法，讨论x≥1，x≤-2，-2＜x＜1，去掉绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值，再由恒成立思想，解不等式可得a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
2020届湖北省武汉市部分学校高三下学期5月模拟数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省武汉市部分学校高三下学期5月模拟数学（文）试题一、单选题1．复数z 12ii ==-（ ） A ．255i + B ．255i -+C ．1255i+ D ．1255i - 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而得出正确选项. 【详解】 z ()()()122112121255i i i i i i i ⋅+===-+--⋅+. 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.2．已知全集U =R ，集合A ={x |x 2≤4}，那么U A =ð（ ） A ．(﹣∞,﹣2) B ．(2,+∞)C ．(﹣2,2)D ．(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得U A ð. 【详解】∵全集U =R ，集合A ={x |x 2≤4}={x |﹣2≤x ≤2}， ∴U A ð={x |x <2或x >2}=(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞). 故选：D . 【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 3．已知圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣8=0的圆心在直线3x +y ﹣a =0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．3D ．﹣3【答案】A【解析】根据题意，求出圆的圆心坐标，将其代入直线的方程，解方程可得a 的值. 【详解】根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心为(﹣1，2)，若圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心在直线3x+y﹣a=0上，则有3×(﹣1)+2﹣a=0，解得：a=﹣1；故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程与直线的方程，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题. 4．若等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，a1=1，则a4=（）A．12-B．32C．12D．2【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式列方程，求得d，进而求得4a. 【详解】由题意可得：S9=S4，∴9×1+36d=4×1+6d，解得d16 =-.∴a4=1﹣311 62⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【答案】C【解析】试题分析：根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．6．已知sinα23=，α为第二象限角，则cos (2π-2α)=（ ）A ．459-B ．19-C ．19D ．459【答案】A【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解. 【详解】 ∵sinα23=，α为第二象限角， ∴cosα251sin α=-= ∴cos (2π-2α)=sin 2α=2sinαcosα=223⨯⨯(559=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 7．已知向量a r，b r满足(2)()6a b a b +⋅-=-rr rr，|b r|=2，且a r与b r的夹角为3π，则|a r|=（ ） A ．2 B ．1C 2D 3【答案】B【解析】直接根据数量积的展开式结合已知条件，即可求解结论. 【详解】因为向量a b r r ，满足(2a b +r r)•(a b -r r )=﹣6，|b r |=2，且a r 与b r 的夹角为3π，∴(2a b +r r )•(a b -r r )222a a b b =+⋅-=r r r r |a r |2+|a r |•|b r |•cos 223b π-=-r 6⇒|a r |2+|a r |﹣2=0⇒|a r|=1(负值舍) 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及模长的计算，属于基础题目.8．如果从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组三角形三条边的边长有概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．120【答案】A【解析】基本事件总数n 3510C ==，利用列举法求出这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有3个，由此能求出这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率. 【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，基本事件总数n 3510C ==，这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有： {2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，共3个， ∴这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率p 310=. 故选：A . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点，P 是C 上一点，满足|PF 1|+|PF 2|=6a ，且∠F 1PF 23π=，则C 的离心率为（ ）A B C ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义及|PF 1|+|PF 2|=6a 可得|PF 1|，|PF 2|的值，在三角形PF 1F 2中由余弦定理可得a ，c 的关系，从而求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性设P 在第一象限，因为|PF 1|+|PF 2|=6a ，由双曲线的定义可得|PF 1|=2a +|PF 2|， 所以|PF 2|=2a ，|PF 1|=4a ， 因为∠F 1PF 23π=，在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2222121212||||2PF PF F F PF PF +-=⋅，即222116442224a a c a a+-=⋅⋅，整理可得：3a 2=c 2，可得e 3=， 故选：D .【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题. 10．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】把零点个数问题化为两个函数的交点，作函数的图象求解即可. 【详解】函数f (x )=e x |lnx |﹣2的零点可以转化为：|lnx |2xe =的零点； 在坐标系中画出两个函数2ln ,x y x y e==的图象，根据图象可得有两个交点； 故原函数有两个零点. 故选：B .【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题.11．已知函数f (x )3=(ωx +φ)﹣cos (ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为2π，则f (6π)的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C 3D 2【答案】B【解析】利用辅助角公式进行化简，结合f (x )是偶函数，求出φ的值，利用f (x )的对称轴之间的距离求出函数的周期和ω，代入进行求值即可. 【详解】f (x )3=(ωx +φ)﹣cos (ωx +φ)=2sin (ωx +φ6π-)， ∵f (x )是偶函数，∴φ6π-=kπ2π+，k ∈Z ， 得φ=kπ23π+， ∵0<φ<π，∴当k =0时，φ23π=， 即f (x )=2sin (ωx 236ππ+-)=2sin (ωx 2π+)=2cosωx ， ∵y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为2π， ∴22T π=，即T =π，即2πω=π， 得ω=2， 则f (x )=2cos 2x ， 则f (6π)=2cos (26π⨯)=2cos 1232π=⨯=1， 故选：B . 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.难度不大.12．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(1,0)-∞--UB ．(0,1)(1,)⋃+∞C ．(,1)(0,1)-∞-UD ．(1,0)(1,)-??【答案】D【解析】根据所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，由导数与单调性关系可知()g x 在0x >时单调递增，由函数奇偶性的性质可知()g x 为偶函数，画出函数示意图，即可求得()0f x >成立的x 的取值范围. 【详解】令()()g x x f x =⋅， 则()()()g x x f x f x '=⋅'+， 当0x >时，()()0xf x f x '+>，则当0x >时，()()g x x f x =⋅为单调递增函数， ()f x 为奇函数，则()()g x x f x =⋅为偶函数，且由(1)0f -=，可知(1)(1)0f f =--=，所以()()110g g =-=，则()()g x x f x =⋅的函数关系示意图如下图所示：当0x <时，若()0f x >，则()0g x <，此时()1,0x ∈-； 当0x >时，若()0f x >，则()0g x >，此时()1,x ∈+∞；综上可知，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??， 故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z =x +2y 的最小值为_____【答案】52-【解析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求出z 的最小值. 【详解】作出实数x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，对应的平面区域如图：由z =x +2y 得y 1122x z =-+，平移直线y 1122x z =-+， 由图象可知当直线y 1122x z =-+经过点A (12-，﹣1)时，直线的截距最小，此时z 最小. 即z 12=-+2×(﹣1)52=-， 故答案为：52-.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键. 14．若函数f (x )=ax +lnx 在点(1,a )处的切线平行于x 轴，则f (x )的最大值为_____. 【答案】1-【解析】先利用切点处切线与x 轴平行，求出a 的值，然后利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【详解】()'1f x a x=+，∴()'1f =a +1=0，∴a =﹣1. ∴f (x )=lnx ﹣x ，(x >0) ∵()'111x fx x x-=-=， 易知，x ∈(0，1)时，()'0f x >，f (x )递增；x ∈(1，+∞)时，()'0f x <，f (x )递减.∴f (x )max =f （1）=﹣1. 故答案为：﹣1. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时，抓住切点满足的两个条件列方程是关键.属于基础题.15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ,BC =CC 1，则异面直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为_____. 【答案】0【解析】通过证明AC ⊥平面BCC 1，证得AC ⊥BC 1，再结合BC =CC 1得正方形BCC 1B 1，则BC 1⊥B 1C ，证得BC 1⊥平面ACB 1，则问题可解. 【详解】如图：因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 又AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，∴AC ⊥BC 1.又BC =CC 1，∴四边形BCC 1B 1是正方形，故BC 1⊥B 1C ，结合AC ∩B 1C =C ， 故BC 1⊥平面AB 1C ，而AB 1⊂平面AB 1C ，所以BC 1⊥AB 1. 异面直线BC 1与AB 1所成角为2π，余弦值为0. 故答案为：0.【点睛】本题考查空间角的计算问题，要注意空间线线､线面､面面之间平行关系之间､垂直关系之间､平行与垂直关系间的转化.属于中档题.16．在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，则sinC=_____.21【解析】已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值.【详解】∵AB=2，AC=3，A=60°，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×312⨯=7，∵BC>0，∴BC7∴由正弦定理AB BCsinC sinA=，可得32212sin77AB sinACBC⋅===.21.【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.三、解答题17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2.设各车主购买保险相互独立.（1）求该地1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种的概率；（2）求该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买的概率.【答案】（1）0.6.（2）0.432【解析】（1）根据和事件概率求法，求得所求概率.（2）由（1）求得1为车主甲､乙两种保险都不购买的概率，根据独立重复事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险，则P (A )=0.4，设B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，则P (B )=0.2，设事件C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种，则该地1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种的概率为：P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )=0.4+0.2=0.6.（2）设事件D 表示：该地1位车主甲､乙两种保险都不购买，则D C =，∴P (D )=1﹣P (C )=1﹣0.6=0.4，设E 表示：该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买，则该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买的概率：P (E )1230.40.6C =⨯⨯=0.432.【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =a n +1.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n nn b S =，求数列{b n }的前n 项和为T n . 【答案】（1）21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.（2）1242n n n T -+=- 【解析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式， （2）利用错位相减法即可求出数列{b n }的前n 项和为T n .【详解】（1），a 1=1，S n =a n +1=S n +1﹣S n ，∴S n +1=2S n ，∴数列{S n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n ≥2，∴a n 21122n n n -=⎧=⎨≥⎩，，， （2）n n n b S ==n •(12)n ﹣1， ∴T n =(12)0+2•(12)1+3•(12)2+…+n •(12)n ﹣1，①， 由①12⨯可得， 12T n =(12)1+2•(12)2+3•(12)3+…+n •(12)n ，②， 由①﹣②可得12T n =1+(12)1+(12)2+(12)3+…+(12)n ﹣1﹣n •(12)n 112112n -=--n •(12)n =2﹣2×(12)n ﹣n •(12)n =2﹣(n +2)•(12)n ， ∴T n =4122n n -+-. 【点睛】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题.19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD =2，DC =BC =1，AB =2，AB ∥DC ，∠BCD =90°.（1）求证：AD ⊥PB ；（2）求A 点到平面BPC 的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）5【解析】（1）利用勾股定理证得AD ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，从而由线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面PBD ，所以AD ⊥PB ；（2）证得BC ⊥PC ，求出S △BPC 和S △ABC ，再由V A ﹣BPC =V P ﹣ABC 利用等体积法即可求出点A 到平面PBC 的距离.【详解】（1）如图所示：在四边形ABCD 中，连接BD ，由DC =BC =1，AB =2，∠BCD =∠ABC 2π=， 在△ABD 中，BD =AD =AB =2，因此AD ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，又BD ∩PD =D ，∴AD ⊥平面PBD ，∴AD ⊥PB ；（2）在四棱锥P ﹣ABCD 中，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，而BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC，又PC ===，∴122BPC S BC PC =⨯⨯=V ，而S △ABC 12AB BC =⨯⨯=1， ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，由V A ﹣BPC =V P ﹣ABC 可得：1133BPC ABC S h S PD ⨯⨯=⨯⨯V V ，∴h ==， 即点A 到平面PBC【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，以及等体积法求点到平面的距离，是基础题. 20．已知函数f (x )=ae x ﹣x ，（1）求f (x )的单调区间，（2）若关于x 不等式ae x ≥x +b 对任意x ∈R 和正数b 恒成立，求b a 的最小值. 【答案】（1）答案见解析.（2）1【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出()()min ln 1ln f x f a a b =-=+≥，可得1a a b lna ≥+，设()1a h a lna=+，利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】（1）f ′(x )=ae x ﹣1，当a ≤0时，()f x ' <0，f (x )在R 上单调递减，若a >0时，令()f x '=ae x ﹣1=0，x =﹣lna ，在x >﹣lna 时，()f x ' >0，f (x )为增函数，在x <﹣lna 时，()f x ' <0，f (x )为减函数，所以，当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(,)-∞+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的单调减区间为(,ln )a -∞-，增区间为(ln ,)a -+∞.（2）f (x )=ae x ﹣x ，由题意f (x )min ≥b ，由（1）可知，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减，无最小值，不符合题意， 当a >0时，f (x )min =f (﹣lna )=1+lna ≥b ， ∴1a a b lna≥+，设h (a )1a lna=+，则()h a ' 2(1)lna lna =+， a ∈(0，1]，()h a ' <0；a ∈[1，+∞)，()h a '≥0，∴h (a )min =h （1）=1. 所以a b的最小值为1. 【点睛】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21．已知F (0,1)为平面上一点，H 为直线l ：y =﹣1上任意一点，过点H 作直线l 的垂线m ，设线段FH 的中垂线与直线m 交于点P ，记点P 的轨迹为Γ.（1）求轨迹Γ的方程；（2）过点F 作互相垂直的直线AB 与CD ，其中直线AB 与轨迹Γ交于点A ､B ，直线CD 与轨迹Γ交于点C ､D ，设点M ，N 分别是AB 和CD 的中点.①问直线MN 是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由； ②求△FMN 的面积的最小值.【答案】（1）24x y =.（2）①恒过定点，定点为(0，3)②4【解析】（1）设P 的坐标，由题意可得|PF |=|PH |，整理可得P 的轨迹方程；（2）①由题意可得直线BA ，CD 的斜率都存在，设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出AB 的中点M 的坐标，同理可得N 的坐标，进而求出直线MN 的斜率，再求直线MN 的方程，可得恒过定点；②因为直线MN 恒过定点，所以得S △FMN 12FQ =⨯⨯|x M ﹣x N |，由均值不等式可得△FMN 的面积的最小值为4.【详解】（1）设P 的坐标(x ，y )由题意可得|PF |=|PH |，=|y +1|，整理可得x 2=4y ，所以轨迹Γ的方程：x 2=4y ；（2）由题意可得直线AB ，CD 的斜率均存在，设直线AB 的方程：y =kx +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线与抛物线联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理可得：x 2﹣4kx ﹣4=0，x 1+x 2=4k ，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，所以AB 的中点M (2k ，2k 2+1)，同理可得N (222k k -+，1)， 所以直线MN 的斜率为222211122k k k k k k⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+， 所以直线MN 的方程为：y ﹣(2k 2+1)=(k 1k -)(x ﹣2k )， 整理可得y =(k 1k-)x +3，所以恒过定点Q (0，3). ①所以直线恒过定点(0，3)； ②从而可得S △FMN 12FQ =⨯⨯|x M ﹣x N |122=⨯⨯|2k 2k +|=2|k 1k +|≥4，当1k =±时取得等号.所以△FMN 的面积的最小值为4.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明，均值不等式的应用，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x =﹣2以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.（1）求C 1的极坐标方程和C 2的普通方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设C 2与C 3的交点为M ，N ，又C 1：x =﹣2与x 轴交点为H ，求△HMN 的面积.【答案】（1）C 1的极坐标方程cos 2ρθ=-，C 2的普通方程22(1)(2)1x y -+-=.（2）1【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果.【详解】（1）直线C 1：x =﹣2，转换为极坐标方程为ρcosθ=﹣2.C 2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，转换为直角坐标方程为(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=1.（2）将4πθ=代入C 2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.得到240ρ-+=，解得12ρρ==，所以12MN ρρ=-=，由于H (﹣2，0)到直线y =x ，所以S △HNM =1.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23．已知函数f (x )=|x ﹣a |﹣|x ﹣5|.（1）当a =2时，求证：﹣3≤f (x )≤3；（2）若关于x 的不等式f (x )≤x 2﹣8x +20在R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析.（2）[0,9]【解析】（1）2a =代入，利用绝对值不等式的性质可得253x x ---≤，进而得证； （2）分5a ≥及5a <两种情况讨论，每种情况下都把函数f (x )化为分段函数的形式，再根据题意转化为关于a 的不等式，每种情况解出后最后取并集即可.【详解】（1）证明：当a =2时，f (x )=|x ﹣2|﹣|x ﹣5|，∴||x ﹣2|﹣|x ﹣5||≤|x ﹣2﹣(x ﹣5)|=3，∴﹣3≤|x ﹣2|﹣|x ﹣5|≤3，即﹣3≤f (x )≤3；（2）解：f (x )=|x ﹣a |﹣|x ﹣5|，①当a ≥5时，()525555a x a f x x a x a a x -≥⎧⎪=-++<<⎨⎪-≤⎩，，，，则f (x )max =a ﹣5，且y =x 2﹣8x +20=x 2﹣8x +16+4=(x ﹣4)2+4≥4，要使f (x )≤ x 2﹣8x +20在R 恒成立，则只需4≥a ﹣5，则a ≤9，此时5≤a ≤9；②当a <5时，()552555a x f x x a a x a x a -≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤⎩，，，，需要28202545x x x a a ⎧-+≥--⎨≥-⎩恒成立， ∴()100420509a a ⎧=-++≤⎨≤⎩V ， ∴05a ≤<，综合①②可知，0≤a ≤9，即实数a 的取值范围为[0，9].【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.。
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=lnx}，B={x∈N|x≤3}，则()A. B⊆AB. A∪B={x|x>0}C. A⊆BD. A∩B={1,2，3}2.双曲线的一个焦点为(−10,0)，离心率e=53，则此双曲线的标准方程为()A. x26−y24=1 B. x236−y264=1 C. x210−y220=1 D. x264−y236=13.在复平面内，复数z的对应点为(1,−1)，则z2=()A. √2B. −√2C. 2iD. −2i4.10.同学们研究制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则同学们()A. 不能作出这样的三角形B. 能作出一个锐角三角形C. 能作出一个直角三角形D. 能作出一个钝角三角形5.哈六中消防演练期间，安排6位学生志愿者到4个安全出口提供服务，要求甲、乙两个安全出口各安排一个同学，剩下两个安全出口各安排两个同学，其中的小李同学和小王同学不在一起，不同的安排方案共有()A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种6.已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示，则函数y=g[|f(x)|]的大致图象是()A. B.C. D.7. 已知数列{a n −n}的前n 项和为S n ，且∑[n i=1a i+1+(−1)i a i ]=n 2，S 2018=1，则a 1=( )A. 32B. 12C. 52D. 28. 三棱锥又称四面体，则在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，0E ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A. 310 B. 15 C. 25 D. 1210. 设点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线，则点P 到直线l 的距离为( )A. √2128B. 12C. 2√2D. 2411. 设x ，y 满足{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2，则z =x +y 的最小值为( )A. −8B. −7C. −6D. −512. 已知函数f(x)={2x+2+a,x ≤0f(x −1)+1,x >0，若对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根，则k 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35= ______ ． 14. 若向量相互垂直，则点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值为 ．15. 函数f(x)满足：对任意的x ，均有f(x +3π2)=−1f(x)，当x ∈[−π,π]时，f(x)=xsinx ，则f(−8.5π)= ______ ． 16. 已知直线l ，m 和平面，下列命题中正确的命题的个数为 ．①若l//，，则l//m；②若l//m，，则l//；③若，则；④若，，则．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．(1)求f(x)的最大值和最小正周期T；)=3，且a=1，求△ABC面(2)在△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，已知f(A2积的最大值．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，已知PA=AD=2AB=4，Q是线段PD上一点，PC⊥AQ．(1)求证AQ⊥面PCD；(2)求PC与平面ABQ所成角的正弦值大小．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点与双曲线x 22−y22=1的焦点重合，过椭圆C 的右顶点B 任作一条直线l ，交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， (1)试求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，M ，N 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的两点．若∠MPQ =∠NPQ ，求证：直线MN 的斜率k MN 为定值．20. 某校在2015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，…，第六组[130,140]，得到如图所示的频率分布直方图． (I)求a 的值；(II)这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分(含130分)以上的人数记为X ，求X 的分布列和期望．21.已知函数f(x)=xlnx(e为无理数，e=2.718)(I)求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若k为正整数，且f(k)>(k−1)x−k对任意x>l恒成立，求k的最大值．22.解析几何之父笛卡尔是近代法国哲学家、物理学家、数学家，笛卡尔与瑞典公主克里斯汀有着一段关于“心形曲线”的凄美爱情故事…如图所示的“心形曲线”的极坐标方程是ρ=a(1−sinθ)，当a=1，记该“心形曲线”为C1．(1)圆ρ=sinθ与C1相交于异于的A，B两点，求|AB|；(2)设P，Q是“心形曲线”C1上的两点，O为极点，求△POQ面积的最大值．a n，n∈N∗23.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，S n=a n2+12(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n；(2)设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n(n≥2)，求数列{1b n≤λ(n+8)对任意的n(n≥2,n∈N∗)恒成立，求λ的取值范围．(3)在(2)的条件下，若T n−12【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=lnx}={x|x>0}，B={x∈N|x≤3}={0,1，2，3}，∴A∩B={1,2，3}．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：本题以双曲线的简单性质为载体，考查双曲线的标准方程，是中档题．先确定双曲线为焦点在x轴上的双曲线，利用待定系数法，根据双曲线的一个焦点是(−10,0)，离心率e=53，即可求得．解：由题意，可设双曲线方程为x2a2−y2b2=1．由题设可知，c=10，ca =53，∴a=6，∵b2=c2−a2∴b2=64．故双曲线方程为：x236−y264=1．故选：B．3.答案：D解析：解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．则z2=(1−i)2=−2i．故选：D．复数z 的对应点为(1,−1)，可得z =1−i.再利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：5.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组， 将6人分成1、1、2、2的四组，有C 61C 51C 42C 22A 22A 22=45种分组方法，其中小李和小王在同一组的分法有C 42C 21C 11A 22=6种，则小李同学和小王同学不在同一组的分法有45−9=39种；②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 则有39×2×2=156种不同的安排方法， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组，②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =±1时，y =0，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=−1无解，但|f(x)|=1有三个解，故函数y =g[|f(x)|]有三个零点，可排除C ；由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =0时，y =−1，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=0有两个解−2和0，故函数y =g[|f(x)|]图象与y =−1有两个交点(−2,−1)和(0,−1)，可排除A ，B ； 故选：D结合已知中函数y =f(x)，y =g(x)的图象，分析函数y =g[|f(x)|]的零点个数及与直线y =−1的交点坐标，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知函数图象分析复合函数的图象形状及关键点坐标是解答的关键．7.答案：A解析：解：依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1．当n 为奇数时，{a n+1−a n =2n −1a n+2+a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=2；当n 为偶数时，{a n+1+a n =2n −1a n+2−a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=4n ．∵S 2018=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018−(1+2+3+⋯+2018)=1，即a 1+a 2+⋯+a 2018=2018(1+2018)2+1=1009×2019+1，又a 1+a 2+⋯+a 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)=(a 1+2×504)+[1+a 1+252×(16+2016×4)]=1+2a 1+1008×2021=1009×2019+1，解得：a 1=32． 故选：A ．依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于a 1的方程，解方程即可得到答案． 本题考查数列递推关系式的运用，属于一道有难度的题．8.答案：D解析：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面，即可得出． 本题考查了对三棱锥底面的理解，属于基础题．解：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面． 因此在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有4个． 故选：D ．9.答案：A解析：解：由已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份 可得每个小扇形的面积为π16则图中共有面积为π16的扇形4个，面积为π8的扇形3个，面积为3π16的扇形2个，面积为π4的扇形1个，共10个故图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率P =310 故选A ．根据已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份，我们计算出图中所有的扇形的个数，及面积恰为π8的扇形的个数，代入古典概型概率计算公式即可得到答案．本题考查的知识点是古典概型，其中计算出满足条件的基本事件个数及基本事件的总个数是解答本题的关键．10.答案：C解析：解：点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，则点P(4,0)， ∵直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线， ∴e 2=c 2a 2=b 2a 2+1=2， 解得b a =1，∴双曲线的一条渐近线方程为y =x ， ∴点P 到直线l 的距离为d =√12+12=2√2，故选：C根据抛物线的定义可求出焦点坐标，再根据双曲线的定义求出准线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出本题考查抛物线和双曲线的简单性质以及点到直线的距离，属于基础题．11.答案：B解析：解：由约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2得如图所示的三角形区域，令x +y =z ，y =−x +z ，显然当平行直线过点B 时，z 取得最小值；由{x −y =−1x =2y +2，可得B(−3,−4)， 此时z =−7． 故选：B ．先画出约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数x +y 的最小值． 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．12.答案：C解析：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．本题综合性较强，难度较大，如果正面求解，一般无法寻找突破口．根据a 取值的任意性，利用特殊值法，结合数形结合即可得到结论．解：∵对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根， ∴不妨设a =0，则x ≤0时，f(x)=2x+2，若0<x ≤1，则−1<x −1≤0，则f(x)=f(x −1)+1=2x+1+1，若1<x ≤2，则0<x −1≤1，则f(x)=f(x −1)+1=2x +2，若2<x ≤3，则1<x −1≤2，则f(x)=f(x −1)+1=2+3，x−1+4，若3<x≤4，则2<x−1≤3，则f(x)=f(x−1)+1=2x−2…作出f(x)的图象如图：当k=1时，f(x)与y=x只有一个交点，不满足条件，当k=2时，f(x)与y=2x有四个交点，不满足条件，当k=3时，f(x)与y=3x有三个交点，满足条件，当k=4时，f(x)与y=4x只有两个交点，不满足条件，故k=3，故选C．13.答案：99解析：解：由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列∴2a25=a15+a35∵a15=33，a25=66，∴a35=2×66−33=99．故答案为：99由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列，结合已知可求本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题14.答案：解析：试题分析：由已知得：，所以点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值即为点到直线的距离：．考点：1、向量的数量积及向量的垂直关系；2、点到直线的距离．15.答案：π2解析：解：∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(−8.5π)=−1f(−7π)=f(−11π2)=−1f(−4π)=f(−52π)=−1f(−π)=f(π2)，或∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(x+3π)=f(x)，函数f(x)的周期是3π，∴f(−8.5π)=f(π2)，当x∈[−π,π]时，f(x)=xsinx，则f(−8.5π)=f(π2)=π2，故答案为：π2．根据f(x+3π2)=−1f(x)，求出f(−8.5π)=f(π2)，代入函数表达式，求出即可．本题考查了函数的周期性，考查求函数值问题，是一道基础题．16.答案：1解析：①若l//，，则l//m或者l，m异面，故错误；②若l//m，，则l//或者l在α内，故错误；③若，则或者l与α倾斜着相交，故错误；④由线面垂直的性质定理可知正确。
湖北省武汉市2024届高三下学期5月模拟训练试题数学试卷含答案
武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题数学试卷（答案在最后）武汉市教育科学研究院命制2024.5.21本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合[0,]A a =，(2,3)B =，若A B ⋂=∅，则（）A.02a <≤B.02a << C.0<<3a D.03a <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集为空集，即可求解.【详解】由于A B ⋂=∅，所以02a <≤，故选：A2.已知向量a =，(b = ，则a 在b 上的投影向量的模为（）A.B.1C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】求出a b ⋅，根据投影向量的概念求出向量a 在向量b 方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知向量a =，(b = ，则(110a b ⋅=⨯+= ，故向量a 在b 上的投影向量为()(00,02a b b b b⋅⋅=⋅= ，故向量a在向量b0=.故选：C3.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为（）A.1B.12C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.【详解】由2:4C y x =得214x y =，10,16F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知直线AB 的斜率存在，故设其方程为116y kx =+，联立116y kx =+与214x y =可得2110464x kx -=-，设()()1122,,,A x y B x y ，则1214x x k +=，故()21212111848y y k x x k +=++=+，因此2121111||8444AB y y k +≥=+=+，当且仅当0k =时取等号，故选：C4.已知一组数据1,2,3,4,x 的上四分位数是x ，则x 的取值范围为（）A.{3}B.[2,3]C.[3,4]D.{4}【答案】C 【解析】【分析】根据上四分位数的定义将条件转化为1,2,3,4,x 中第二大的数是x ，再求解.【详解】在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1,2,3,4,x 中第二大的数是x ，所以34x ≤≤.故选：C.5.若1021001210(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ ，则2a =（）A.180 B.180- C.90- D.90【答案】A 【解析】【分析】由1010[2(12)(1)1]x x =+-+写出其通项公式，依题意对r 赋值即可求得2a .【详解】因1010[2(12)(1)1]x x =+-+，其二项展开式的通项为：10101011010=C [2(1)](1)(1)2C (1),0,1,,10r r r r r rr r T x x r ---++-=-+= ，而2a 是22(1)a x +的系数，故只需取8r =，得28229102C (1)180(1)T x x =+=+，即2180a =.故选：A.6.已知菱形ABCD ，π3DAB ∠=，将DAC △沿对角线AC 折起，使以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A.35B.2C.34D.4【答案】C 【解析】【分析】当三棱锥D ABC -的体积最大时，平面ACD ⊥平面ABC ，以E 为原点，,,EB EC ED分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量,AB CD的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解.【详解】记AC 的中点分别为E ，因为AD CD =，所以DE AC ⊥，同理，BE AC ⊥，记2AB a =，因为π3DAB ∠=，所以π6DAC BAC ==行，所以BE DE a ==，AE CE ==，易知，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时π2BED ∠=，以E 为原点，,,EB EC ED分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,,0,,0,0,0,,0,0,0,A B a C D a所以()(),0,0,,AB a CD a ==，所以233cos ,224a AB CD a a -==-⨯ ，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为34.故选：C7.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，1()2P AB =B.当2n =时，事件A 与事件B 不独立C.当3n =时，7()8P A B += D.当3n =时，事件A 与事件B 不独立【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3n =的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，AB 表示一正一反，故()1112222P AB =⋅⋅=，故A 正确；此时()1112222P A =⋅⋅=，()()11311224P B P B =-=-⋅=，()()()1328P AB P A P B =≠=，故B 正确；当3n =时，A B +表示并非每次都是正面朝上，故()()1117112228P A B P A B +=-+=-⋅⋅=，故C 正确；此时()111332228P AB =⋅⋅⋅=，()()1111113112222224P A P A =-=-⋅⋅-⋅⋅=，()111111132222222P B =⋅⋅+⋅⋅⋅=，所以()()()331842P AB P A P B ==⋅=，故D 错误.故选：D.8.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足22c a ab -=，2c =，则ABC 面积取最大值时，cos C =（）A.B.14+C.22-D.24+【答案】A 【解析】【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角,A C 的关系，再用角A 的三角函数表示ABC 的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角A 的三角函数值，再利用角,A C 的关系，求cos C .【详解】因为22c a ab -=⇒22c a ab =+，又由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，所以2a ab +=222cos a b ab C +-，所以2cos a b a C =-.由正弦定理得：sin sin 2sin cos A B A C =-⇒()sin sin 2sin cos A A C A C =+-⇒()sin sin cos cos sin sin A C A C A C A =-=-，所以A C A =-或πA C A +-=（舍去），故2C A =.因为2C A =，所以π3B A =-.由正弦定理：sin sin c b C B =⇒()2sin 2sin π3b A A =-⇒()22sin π334sin sin 2cos A A b A A--==.所以1sin 2ABCS bc A = 33sin 4sin cos A A A -=323tan tan 1tan A AA-=+.因为π30A ->⇒π3A <，所以0tan A <<设()3231x x f x x-=+，(x ∈.则()()()()()22322331321x x x x x f x x -+--⋅=+'()4222631x x x --+=+，由()0f x ¢>⇒42630x x +-<⇒260332x -+<<=<，由()0f x '<⇒23x >-，所以()f x在(上单调递增，在上递减，所以当23x =-时，()f x 有最大值.即当2tan 3A =-时，ABC 的面积最大.此时cos cos 2C A =22cos sin A A =-2222cos sin cos sin A AA A-=+221tan 1tan A A -=+13--=12-=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A.2A =B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 在5π5π,126⎛⎫-⎪⎝⎭内有3个极值点 D.()f x 在区间11π,2π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的部分图象求得2A =，π3ϕ=，2ω=值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解.【详解】对于AB ，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象知，2A =，ππ4()π312T =⨯-=，2π2Tω∴==，故AB 正确，对于C ，由五点法画图知，ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=∈+，解得ππ,Z k k ϕ=+∈23，由于π02ϕ<<，所以π3ϕ=，π()2sin(23f x x ∴=+.令ππ2π,Z 32x k k +=+∈，则π1π,Z 122x k k =+∈，2k =-时，11π12x =-，1k =-时，5π12x =-，当0k =时，π12x =，当1k =时，7π12x =，当2k =时，13π12x =，故()f x 在5π5π,126⎛⎫-⎪⎝⎭内有2个极值点，分别为π12x =，7π12x =，故C 错误，对于D ，11π,2π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，可得：π13π24π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当π13π233x +=此时()f x 取最大值13ππ2sin 2sin 33=，故D 正确.故选：ABD.10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:14xC y +=，圆22:5O x y +=，P 为圆O 上任意一点，Q 为椭圆C 上任意一点.过P 作椭圆C 的两条切线1l ，2l ，当1l ，2l 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为1k ，2k ，则（）A.椭圆C 的离心率为2B.||PQ 的最小值为1C.||PQ 2+D.22123k k +≥【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程判断选项A ，再由两点间距离，判断BC ，利用切线方程的斜率和韦达定理求解判断选项D.【详解】对于A ，根据题意，21a b ==，，则c =2c e a ==，故A 正确；对于BC ，设(),,22Q x y x -≤≤，则2214x y +=，而圆22:5O x y +=的圆心()0,0O，半径为r =，则OQ ==，因为22x -≤≤，所以204x ≤≤，则231144x ≤+≤，所以12≤≤，即12OQ ≤≤，所以||PQ的最小值为22r -=，最大值为22r +=+，故B 错误，C 正确；对于D ，设()220000,,5P x y x y +=，过点P 的直线方程为：()00y y k x x -=-，联立()002214y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=，根据直线与椭圆的相切，则()()()2220000Δ8414440k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦，化简可得，()()22200004210x k x y k y --+-=，可知12,k k 是方程的两个根，所以220012220014144y x k k x x --===---，所以22121222k k k k +≥=，当且仅当12k k =取等号，故D 错误.故选：AC11.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.函数()f x 的单调递减区间为(0,1)(1,e)B.(π)(2)f f <C.若方程|(||)|f x k =有6个不等实数根，则ek >D .对任意正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212ex x >【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，分析导函数即得递减区间，不能用“并”连接；对于B ，由推理得(2)(4)f f =，利用函数单调性比较即得；对于C ，分析函数的奇偶性，分段讨论函数的单调性和图象趋势，得图象简图，结合图象判断两函数交点个数即得；对于D ，设函数ln ()x g x x =，构造函数2e ()()()h x g x g x =-并判断其单调性，利用单调性得出221e >x x 即可.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2ln 1()ln x f x x-'=，对于A ，由()0f x '<可得01x <<或1e x <<，由()0f x '>可得e x >，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,e)，故A 错误；对于B ，由A 得，函数()f x 在(e,+)∞上单调递增，因244(2)(4)ln 22ln 2ln 4f f ====，e < π4<，故(π)(4)(2)f f f <=，即B 正确；对于C ，易知||(||)ln ||x f x x =为偶函数，当0x >时，(||)()ln xf x f x x==，由A 项知，函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1,e)，增区间为(e,)+∞.又当1x >时，(||)()0f x f x =>，当e x =时，(|e |)e f =，当1x +→时，(||)f x →+∞，x →+∞时，(||)f x →+∞，当01x <<时，(||)0f x <，当0x →时，(||)0f x →，1x -→时，(||)f x →-∞，故函数|(||)|y f x =的图象如图所示.由图可得，直线y k =与函数|(||)|y f x =有6个不同交点，等价于e k >，故C 正确；对于D ，由图，不妨设120e x x <<<，由()()12f x f x =可得1212ln ln x xx x =，即1212ln ln x x x x =，不妨取ln ()xg x x=，设2222lne e ()()ln (ln (ln ))e e 2x h x x x x g x g x xx x x --==-=-，则2ln (2ln )()()[]e x x x h x x -'''=-221ln 1ln e x x x --=-2222(1ln )(e )e x x x--=，则当0e x <<时，221ln 0,e 0x x ->->，故()0h x '>，()h x 在(0,e)上单调递增，又(e)0h =，又10e x <<，2111e ()()()0h x g x g x =-<，即2121e ()()()g x g x g x =<.因ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x-'=，当e x >时，()0g x '<，ln ()x g x x =在(e,)+∞上单调递减，因221e e,e x x >>，故得221e >x x ，即212e x x >，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的零点和单调性应用,属于难题.解决该题的关键，在于对函数的图象性质的探求，通过奇偶性单调性判断，作出简图，利用函数零点与方程的根、两函数的图象交点的关系转化解决；同时要根据待证不等式特征，设法构造对应的函数，利用该函数的单调性实现相关量的比较即得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足|i |z -=||z 的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】设i,,R z x y x y =+∈，由条件得2221x y y +=+，所求式||z 消元后化成||z =，结合点的轨迹图形特征，求得y 的范围，结合函数单调性即得||z 的最小值.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，由|i |z -=22(1)2x y +-=，即2221x y y +=+而|||i |z x y =-==作出复数z 对应的点(,)Z x y 的轨迹22(1)2x y +-=的图形如图.易得11y ≤≤+故||1z =≥=-，即当且仅当1y =-||z 取最小值1-.1-.13.已知1tan 1tan αα+=-44sin cos αα+=______.【答案】78##0.875【解析】【分析】根据弦切互化可得cos sin cos sin αααα+=-，平方得1cos sin 4αα=，即可根据完全平方求解.【详解】由1tan 1tan αα+=-cos sin cos sin αααα+=-，平方可得12cos sin 312cos sin αααα+=-，故1cos sin 4αα=，()2244222217sin cos sin cos 2sin cos 1248αααααα⎛⎫+=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：7814.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______.【答案】283##193【解析】【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得.【详解】如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为2x ，则下底面边长为4x ，则,2CM CF x BM BE x ====，11,22CIM MIF BIM MIE ∠=∠∠=∠,故1()902CIB CIM BIM MIE MIF ∠=∠+∠=∠+∠= ,在Rt CIB 中，IM CB ⊥,则由射影定理，2IM CM BM =⋅得221x =，解得22x =，于是棱台的上底面面积为2(2)2x =，下底面面积为2(4)8x =，高为2，故该正四棱台的体积为：1282(28)33V =⨯⨯+=.故答案为：283.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知()()212ln f x f x x x '=-++.（1）求()1f '并写出()f x 的表达式；（2）证明：()1f x x ≤-.【答案】（1）()11f '=，()22ln f x x x x=-++（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导并令1x =可得()11f '=，再代入原表达式即可；（2）构造函数()ln g t t t =-并用导数证明()1g t ≥，然后利用()()2f x xg x =-即可.【小问1详解】由()()212ln f x f x x x '=-++有()()2211f x f x x''=-++，取1x =得到()()12112f f ''=-++，解得()11f '=.将()11f '=代入()()212ln f x f x x x '=-++可得()22ln f x x x x =-++.【小问2详解】设()ln g t t t =-，则()111t g t t t'-=-=，故当01t <<时()0g t '<，当1t >时()0g t '>.所以()g t 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，故()()11g t g ≥=.从而()()()22222ln ln 1f x x x x x x xx g x x =-++=-++=-≤-.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断单调性，属于常规题.16.如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．【小问2详解】取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =，所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅= ，所以220099t -+=，t =，又(0,1,0)BC =，(1,0,PB = ，令m =r，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=，所以m是平面PBC 的法向量，DG的方向向量是11,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||sin|cos,|3||||m DGm DGm DGθ⋅=〈〉===⋅.故直线DG与平面PBC所成角的正弦值为3.17.已知双曲线22:1E x y-=，直线PQ与双曲线E交于P，Q两点，直线MN与双曲线E交于M，N 两点.（1）若直线MN经过坐标原点，且直线PM，PN的斜率PMk，PNk均存在，求PM PNk k；（2）设直线PQ与直线MN的交点为(1,2)T，且TP TQ TM TN⋅=⋅，证明：直线PQ与直线MN的斜率之和为0.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两点斜率公式，结合点差法即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算得数量积()2121411TM TN kk-⋅=+⋅-,()2222411TP TQ kk-⋅=+⋅-,进而根据等量关系化简即可求解.【小问1详解】当直线MN经过坐标原点时，M，N两点关于原点对称.设()11,M x y，()11,N x y--，()00,P x y，于是0101PMy ykx x-=-，0101PNy ykx x+=+.因为M，N，P三点都在双曲线221x y-=，所以2200221111x yx y⎧-=⎨-=⎩，两式作差，22220101x x y y-=-，所以22010101220101011PM PNy y y y y yk kx x x x x x-+-=⋅==-+-.【小问2详解】已知(1,2)T，由题意可知,MN PQ均有斜率，可设直线1:2(1)MN y k x -=-，直线2:2(1)PQ y k x -=-，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y .()111,2TM x y =-- ，()221,2TN x y =--.联立直线MN 方程与双曲线E 的方程：1222(1)1y k x x y -=-⎧⎨-=⎩.整理得，()()()2221111122210k x k k x k -+----=，当2110k -≠时，()Δ4540k =->.()()111221221k k x x k -+=--，()()211221211k x x k ---=-.于是，()()()()12121122TM TN x x y y ⋅=--+-- ()()21121211k x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()()211121221121221111k k k k k k ⎡⎤----=+++⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()2121411k k -=+⋅-同理可得，()2222411TP TQ k k -⋅=+⋅- .因为TM TN TP TQ ⋅=⋅ ，所以221222121111k k k k ++=--整理得，2212k k =，而12k k ≠，所以120k k +=.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算.18.某企业生产一种零部件，其质量指标介于()49.6,50.4的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布()50,0.16N ；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布()50,0.04N .附：若()2~,X N μσ，取()0.6827P X μσ-<=，()20.9545P X μσ-<=.（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是()01p p <<，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？②假设该系统配置有()3,n n n ≥∈N 个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.【答案】（1）0.2718（2）①可靠性为()343pp -，增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.【解析】【分析】（1）直接根据题目条件及给定的正态分布数据求解；（2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同n 的取值下可靠性的大小关系即可，当然也可以采取其它的思路求解.【小问1详解】技术改造前，易知150μ=，10.4σ=，则其优品率为()()()11111149.650.420.6827P X P X P X μσμσμσ<<=-<<+=-<=；技术改造后，250μ=，20.2σ=，则其优品率为()()()22222249.650.42220.9545P X P X P X μσμσμσ<<=-<<+=-<=.所以优品率之差为0.95450.68270.2718-=.【小问2详解】①记X 为原系统中正常工作元件个数，Y 为增加一个元件后正常工作元件个数.由条件知，~(4,)X B p ，~(5,)Y B p .()3344443(3)C (1)C 43P p p p X p p ≥=-=-+，3324455555(3)C (1)C (1)C P Y p p p p p ≥=-+-+.因为32(3)(3)6(1)0P X P Y p p ≥-≥=->，所以可靠性提高.②方法一：根据上一问的假设，易知~(,)X B n p ，~(1,)Y B n p +.当n 为奇数时，设()*212,n k k k =-≥∈N ，原系统的可靠性为()P X k ≥，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，(1)(1)()P Y k P X k p P X k ≥+=≥++⋅=.所以，(1)()[(1)()]P Y k P X k P X k p P X k ≥+-≥=≥++⋅=-121[(1)()](1)()(1)(1)0k k k k P X k P X k p P X k C p p p --≥++==-==--<，这说明可靠性降低.当n 为偶数时，设()*22,n k k k =≥∈N ，原系统的可靠性为(1)P X k ≥+，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，(1)(1)()P Y k P X k p P X k ≥+=≥++⋅=.所以，12(1)(1)()(1)0kk k k P Y k P X k p P X k C pp +≥+-≥+=⋅==->，这说明可靠性提高.综上，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.方法二：当n 为奇数时，设()*212,n k k k =-≥∈N ，原系统的可靠性为()P X k ≥，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，21222121212121()C(1)C(1)k k ii k i i i k i k k k i ki kP X k p p p p p ---------==≥=-=-+∑∑()212211211121222121(1)C (1)CC (1)k k i i k i i i i k i kkk k i ki kP Y k p p p p p --++--++----==≥+=-=+-+∑∑于是，(1)()P Y k P X k ≥+-≥()2222112121221212121CC(1)C (1)k k i i i k i i i k i k k k k k i ki kpp p p p p --++--------===+---+-∑∑()2212121212121CC C (1)(1)k ii i i k i k k k k i kp p p p p -+------=⎡⎤=+----⎣⎦∑2211212212121C (1)C (1)(1)k k i k i k i k i k k k i kp p p p p p -++------=⎡⎤=-----⎣⎦∑21C (1)0k k kk p p -=--<，这说明可靠性降低.当n 为偶数时，设()*22,n k k k =≥∈N ，原系统的可靠性为(1)P X k ≥+，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，2221(1)C(1)kii k iki k P X k p p -=+≥+=-∑()2122112121212211(1)C(1)CC (1)k ki i k ii i i k i k k k k i k i k P X k p p p p p ++--+-++=+=+≥+=-=+-+∑∑于是，(1)()P Y k P X k ≥+-≥()2212122122211CC(1)C(1)kki i ik ii i k i k kkki k i k p p p p p -+--+=+=+=+---+∑∑()2121212212221C (1)C (1)C (1)ki i k i i i k i i i k i k kk k i k p p p p p p p -+-+--+=+⎡⎤=-+---+⎣⎦∑2121221221C(1)()C (1)ki i k i i i k i k kk i k p p p p p p -+--+=+⎡⎤=-+--+⎣⎦∑21211221221C (1)C (1)ki i k i i i k i k k k i k p p p p p -+-+-+=+⎡⎤=---+⎣⎦∑12C (1)0k k k k pp +=->.这说明可靠性提高.综上，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.方法三：设12,,...X X 两两独立且均服从二项分布()1,B p ，记12...2n n n p P X X X ⎛⎫=+++>⎪⎝⎭，则该系统配置有()3,n n n ≥∈N 个元件时，系统的可靠性为n p .则()2122...1m m p P X X X m =+++≥+()()12212221...1...,1m m m P X X X m P X X X m X +<+++≥+++++==()122121...1m m P X X X m p ++=+++≥+=，且()211221...m m p P X X X m --=+++≥()12211...1m P X X X m -=-+++≤-()()1221122121...1...,0m m m P X X X m P X X X m X -->-+++≤--+++==()1221...m P X X X m =-+++≤()1222...1m m P X X X m p =+++≥+=.这就得到212m m p p ->，221m m p p +<.这表明，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.注意到1234X X X X +++服从二项分布()4,B p ，故()()()33434123443C 143p P X X X X p p p p p =+++≥=-+=-.进行完以上准备工作后，我们回到原题.①若控制系统原有4个元件，则系统的可靠性为()3443p pp =-.而4是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高；②根据上面的结论，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.【点睛】关键点点睛：第2小问②的结果本质上是因为：当n 是偶数时，若添加一个元件，那么要求的正常工作的元件的最小数量不变，还是22n +，但是元件多了一个，所以正常工作的元件数目必然有更大的机会达到要求的值，所以可靠性一定更大了；而当n 是奇数时，若添加一个元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大数量不变，还是12n n +-，但是元件多了一个，所以未能正常工作的元件数目必然有更大的机会突破允许的最大值，所以可靠性一定更小了.第2小问的方法三的关键在于：构造一列独立同分布随机变量来比较不同的概率，相比构造单个二项分布随机变量，构造一列独立同分布随机变量会更加便于比较不同的概率，因为此时每个随机变量的取值范围都非常有限，而进行比较时只需要研究多出的一个随机变量即可.这就避免了花费力气对两个取值范围很广的随机变量进行比较，那样太过困难.19.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用n x 来表示系统在第*()n n ∈N 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态1n x +满足()1n n x f x +=，101x <<，其中2()f x ax ax =-+.（1）当3a =时，若满足对*n ∀∈N ，有()1n n x f x +=，求{}n x 的通项公式；（2）证明：当1a =时，{}n x 中不存在连续的三项构成等比数列；（3）若112x =，1a =，记221n n n S x x +=，证明：1218n S S S +++< .【答案】（1）23n x =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）把3a =代入，利用给定的两个递推关系，建立方程组求解即得.（2）利用反证法，结合已知定义导出矛盾即可得证.（3）先确定数列的范围和单调性，然后利用21i i i x x x +=-结合放缩法推理即得.【小问1详解】当3a =时，()233f x x x =-+，依题意，212233x x x =-+①，221133x x x =-+②，两式作差，()()2112430x x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，则12x x =或1243x x +=，若12x x =，代入①式解得，10x =或123x =，而101x <<，于是123x =；若1243x x +=，将2143x x =-代入②式解得，123x =.因此必有123x =.注意到2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1n n x f x +=，从而由123x =归纳即知{}n x 是常数列23n x =.所以{}n x 的通项公式为23n x =.【小问2详解】假设n x ，1n x +，2n x +构成等比数列，则0n x ≠.那么由211n n n n n n x x x x x x +-+==-+，22111111n n n n n n x x x x x x ++++++-+==-+可知1n n x x +=.又21n n n x x x +=-+，则2n n n x x x -+=，解得0n x =，与0n x ≠矛盾.所以{}n x 中不存在连续的三项构成等比数列.【小问3详解】由于当01x <<时，有()()210f x x x x x =-+=->，()21f x x x x =-+<<，即()01f x <<.而101x <<，()1n n x f x +=，故归纳即知对任意正整数n 都有01n x <<.又由0n x >及()1n n x f x +=可知21n n n n x x x x +=-+<，故数列{}n x 单调递减.又由于()221i i i i i i x x x x x x +=--+=-，故()()2222222231111111111111118n n n n n i i i i i i i n i i i i i S x xx x xx xx x x x x x +++======<==-=-<=∑∑∑∑∑.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.。
2019-2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (2)
2019-2020年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|﹣l＜x＜l），B＝{x|x2﹣2x≤0），则A∩B＝（）A．[0，1）B．[﹣1，2] C．[﹣2，1）D．（﹣1，0]2．（5分）（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据得到样本的平均数3，2.7，则由观测数据得到的回归方程可能是（）A．0.2x+3.3 B．0.4x+1.5C．2x﹣3.3 D．2x+8.64．（5分）已知实数x，y，满足约束条件，若z＝﹣2x+y的最大值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．35．（5分）如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．36．（5分）给出下列三个命题（1）“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；（2）命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x0∈R，0（3）“φkπ（k∈Z）”是“函数y＝sin（2x+φ）为偶数”的充要条件．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，则球O的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π9．（5分）如果关于x的方程有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（1，+∞）D．10．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P是C右支上一点，若0，且cos∠PF1F2，则C的离心率为（）A．5 B．4 C．D．11．（5分）将函数f（x）＝sin（）﹣2cos2x+1的图象向左平移2个单位，得到函数y＝g（x）的图象，当x∈[0，]时，g（x）的最小值为（）A．B．0 C．D．12．（5分）已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（1，] C．[1，] D．[1，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sin（x），则cos x+cos（）＝14．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是，甲不输的概率．15．（5分）已知点P（﹣3，3），过点M（3，0）作直线，与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝16．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，CD＝3，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，则AD的长为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，满足a n2+2a n＝4S n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝l，DC＝2，SD，E为棱SB的中点．（1）求证：SC⊥平面ADE；（2）求点B到平面AEC的距离，19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．经数据处理后得到该样本的频率分布直方图，其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．（1）求图中a，b，c的值；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明：①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定？20．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（l）求C的方程；（2）设过点P（2，0）的直线，与C相交于A、B两点（点B在点P和点B之间），若S△OPA＝λS△OPB，求λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+m）lnx+l在x处取得极值．（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（x）≥ax+b对任意的a＞0，b∈R恒成立，证明ab．参考数据：e≈2.71828．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与x轴交于点P，与曲线C交于两点M，N．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2019年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：B＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝[0，1）．故选：A．2．【解答】解：．故选：A．3．【解答】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把3，2.7，代入A成立，代入D不成立．故选：A．4．【解答】解：实数x，y，满足约束条件，的可行域如图所示：联立，解得A（1，4）．化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣2×1+4＝2．故选：C．5．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V．故选：A．6．【解答】解：（1）若命题“若x＝1，则x2+2x﹣3＝0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题（2）正确．（3）当时，则函数）为偶函数；反之也成立．故“”是“函数y＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2．故选：C．7．【解答】解：∵log2，，．∴b＞a＞c．故选：B．8．【解答】解：∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半径r，∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．9．【解答】解：方程①（1）由方程的形式可以看出，x＝0恒为方程①的一个解（2）当x＜0且x≠﹣2时方程①有解，则即kx2+4kx+1＝0当k＝0时，方程kx2+4kx+1＝0无解；当k≠0时，△＝16k2﹣4k≥0即k＜0或k时，方程kx2+4kx+1＝0有解．设方程kx2+4kx+1＝0的两个根分别是x1，x2则x1+x2＝﹣4，x1x2．当k时，方程kx2+4kx+1＝0有两个不等的负根；当k时，方程kx2+4kx+1＝0有两个相等的负根；当k＜0时，方程kx2+4kx+1＝0有一个负根．（3）当x＞0时，方程①有解，则，kx2+4kx﹣1＝0当k＝0时，方程kx2+4kx﹣1＝0无解；当k≠0时，△＝16k2+4k≥0即k＞0或k时，方程kx2+4kx﹣1＝0有解．设方程kx2+4kx﹣1＝0的两个根分别是x3，x4∴x3+x4＝﹣4，x3x4．∴当k＞0时，方程kx2+4kx﹣1＝0有一个正根，当k时，方程kx2+4kx+1＝0没有正根综上可得，当k∈（，+∞）时，方程有4个不同的实数解．10．【解答】解：在三角形PF1F2中，因为0，所以∠F1PF2＝90°，∴PF1＝F1F2•cos∠PF1F2＝2c•，PF2＝F1F2•sin∠PF1F2＝2c•，∴2a＝PF1﹣PF2，∴e5．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）＝sin（）﹣2cos2x+1＝sin（）﹣cos x sincos x sin（x）∵f（x）的图象向左平移2个单位，得到函数y＝g（x）sin（x）sin （x）当x∈[0，]时，x根据正弦函数的性质可知，g（x）即最小值为故选：C．12．【解答】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ（0≤θ≤2）有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（，）+μ（1，0）；整理得：λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，则λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），其中（0≤θ≤2）；易知λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ）为增函数，由单调性易得其值域为[1，2]故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：已知sin（x）sin x cos x，则cos x+cos（）＝cos x cos x sin x（sin x cos x）•，故答案为：．14．【解答】解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，∴甲获胜的概率是1﹣（），甲不输与乙获胜对立互斥事件．∴甲不输的概率是1，故答案为：，．15．【解答】解：设直线x＝my+3，联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣12＝0，设A（，y1），B（，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣12，则k1+k2═1．故答案为：﹣1．16．【解答】解：连接AC，BD∵AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°，∴AC，cos∠BCA，sin∠BCA，∵∠BCD＝120°，∴cos∠ACD＝cos（120°﹣∠ACB），△ACD中，由余弦定理可得，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠ACD65﹣12，∴AD故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵a n2+2a n＝4S n﹣1，∴1+a n2+2a n＝4S n，1+a n﹣12+2a n﹣1＝4S n﹣1，两式相减可得，，∴，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝2，∵a12+2a1＝4S1﹣1，解可得a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可知，b n＝2n﹣1+2n，∴T n＝（1+3+…+2n﹣1）+（2+22+…+2n），，＝n2+2n+1﹣2．18．【解答】证明：（1）由AD⊥平面SDC，得AD⊥SC，取BC的中点F，连结EF，AF，∵AB＝AD＝l，DC＝2，SD，E为棱SB的中点．∴在△AEF中，AE＝1，EF，AF，∴AE⊥EF，∴AE⊥SC，∵EF∩SC＝F，∴SC⊥平面ADE．解：（2）AC，EC，，，设点B到平面AEC的距离为h，∵V B﹣AEC＝V E﹣ABC，∴，解得h，∴点B到平面AEC的距离为．19．【解答】解：（1）由频率分布直方图和茎叶图得：，解得a＝0.5，b＝1，c＝1.5．（2）估计这种产品质量指标值的平均数为：1.35×0.5×0.1+1.45×1×0.1+1.55×3×0.1+1.65×4×0.1+1.75×1.5×0.1＝1.6，估计这种产品质量指标值的方差为：S2＝（1.35﹣1.6）2×0.05+（1.45﹣1.6）2×0.1+（1.55﹣1.6）2×0.4+（1.75﹣1.6）2×0.15＝0.0105．（3）∵质量指标值不低于1.50的产品占比为：0.30+0.40+0.15＝0.85＜0.9，∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定．20．【解答】解：（1）∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．∴，解得a，b＝1，∴C的方程为1．（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设其方程为x＝my+2，联立，得（2+m2）y2+4my+2＝0，∵过点P（2，0）的直线，与C相交于A、B两点，∴△＝16m2﹣8（2+m2）＞0，解得m2＞2，设A（x1，y1），B（x2，y2），得，y1y2，（*）由S△OPA＝λS△OPB，得，由m2＞2，得，∴，解得0，且λ≠1．∴λ的取值范围是（0，1）∪（1，3+2）．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx+l，∴f'（x）（x＞0），∵f（x）在x处取得极值，∴，∴m＝0，∴f（x）＝xlnx+1，∴f'（x）＝lnx+1，∵当0＜x时，f'（x）＜0；当x时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调减区间为（1，），单调增区间为（，）（2）f（x）≥ax+b，即xlnx+1﹣ax﹣bgeq0，令g（x）＝xlnx+1﹣ax﹣b，则g'（x）＝lnx+1﹣a，由g'（x）＞0，得x＞e a﹣1，∴g（x）min＝g（e a﹣1）＝﹣e a﹣1+1﹣b，由g（x）min≥0，得b≤1﹣e a﹣1，∴ab≤a﹣ae a﹣1，其中a＞0，令h（x）＝x﹣xe x﹣1（x＞0），则，∵h'（0）＝10，h'（）0，∴存在，使h（x0）＝0，即，∴h（x）max＝h（x0）＝x0﹣x0e x0﹣1＝（x0+1）2，∵，∴，∴ab．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sinα）t+1＝0．由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0，且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．∴．∴的取值范围是（﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由题意可得|x﹣1|+|2x+3|＞4，当x≥1时，x﹣1+2x+3＞4，解得x≥1；当x＜1时，1﹣x+2x+3＞4，解得0＜x＜1；当x时，1﹣x﹣2x﹣3＞4，解得x＜﹣2．可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（2）由（1）可得|t﹣1|+|2t+3|，可得t时，|t﹣1|+|2t+3|取得最小值，关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由|x+l|﹣|x﹣m|≤|m+1|，可得|m+1|，解得m或m．。
武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题参考答案
武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号123456789101112答案CADDABBAABCABADBD填空题：13.3214.9415.是；216.63解答题：17.（10分）解：（1）当1n =时，1122a a a =，即22a =.当2n ≥时，112n n n S a a --=.所以112()n n n n a a a a +-=-.因为数列{}n a 中各项均不为零，即112n n a a +--=.所以数列{}n a 中奇数项是以1a 为首项，2为公差的等差数列；偶数项是以2a 为首项，2为公差的等差数列.当2n k =时，22(1)22k a a k k =+-⨯=，即n a n =；当21n k =-时，211(1)221k a a k k -=+-⨯=-，即n a n =.综上，数列{}n a 的通项公式为n a n=…………5分（2）由（1）知数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，即易知(1)2n n n S +=.因为2023k S ≤，所以(1)4046k k +≤，当63k ≤时，不等式恒成立；当64k =时，2023k S >.故正整数k 的最大值为63.…………10分18.（12分）解：（1）在ABC ∆中有1132AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅.即11cos cos cos 32bc A ac B ab C ⋅=-⋅=-⋅.因为1cos cos 3bc A ac B ⋅=-⋅，由正弦定理可得1sin cos sin cos 3B A A B =-，即tan 3tan A B =-.同理3tan tan 2C B =.在ABC ∆中有tan tan tan tan()tan()tan tan 1B CA B C B C B C π+=--=-+=-.解得11tan 1,tan ,tan 32A B C =-==.由0A π<<，得：34A π=.…………6分（2）ABC ∆面积1sin 2S bc A =，代入3,24A b π==，整理得：22S =.由（1）知11tan ,tan 32B C ==，即105sin 105B C ==.ABC ∆中由正弦定理可得sin sin b cB C=，即2c =所以22222S ==.…………12分19.（12分）解：（1）PAB ∆中PA AB =，E 为PB 的中点，所以AE PB ⊥.在正方形ABCD 中，BC AB ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，即PA ⊥BC .又因为PA AB A ⋂=，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，即AE BC ⊥，又因为AE PB ⊥，PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC .所以AE ⊥平面PBC ，AE ⊂平面AEF ，即平面AEF ⊥平面PBC .…………6分（2）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以易知,,AB AD AP 两两垂直.以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.有(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，PB 中点(1,0,1)E ，设(2,,0),02F λλ≤≤.(0,2,2),(2,0,0),(1,0,1),(2,,0)PD DC AE AF λ=-===.设平面PCD 的法向量(,,)m x y z = ，由0m PD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020y z x -=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)m = .设平面AEF 的法向量(,,)n a b c = ，由0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩，取(,2,)n λλ=-- .所以平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值为2222cos ,22422m n λλλλ--+==⨯++ .令2,[2,4]t t λ+=∈，则22211cos ,641112462126()33t m n t t t tt ===-+-+-+，所以当113t=即3t =时，平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值取得最大值32，此时平面AEF 与平面PCD 的夹角取得最小值6π.…………12分20.（12分）解：（1）补全22⨯列联表如下表：航天达人非航天达人合计男20626女101424合计302050零假设0:H 假设“航天达人”与性别无关.根据表中的数据计算得到2250(201460)30256.46430202624468χ⨯⨯-==≈⨯⨯⨯.查表可知0.0106.464 6.635χ<=.所以根据小概率值0.010α=的2χ独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，因此“航天达人”与性别无关.…………6分（2）在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有206430⨯=（人），女航天达人有2人.X 所有可能取值为：0,1,2.则34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===，1242361(2)5C C P X C ===.所以X 的分布列如下：X 的数学期望为131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=.…………12分21.（12分）解：（1）已知双曲线渐近线为b y x a =±，即12b a =.因为椭圆2C 的长轴长24a =，即2,1a b ==.所以双曲线1C 的方程为：2214x y -=.椭圆2C 的方程为：2214x y +=.…………4分（2）当直线1l 、2l 的斜率不存在时，不满足题意.故直线1l 的方程设为：y kx m =+，直线1l 过点(2,1)P ，即21k m +=.与双曲线方程联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222(14)8440k x kmx m ----=.故22222140,6416(1)(14)0k k m m k -≠∆=++->.设1122(,),(,)A x y B x y ，有122814km x x k +=-，21224414m x x k --=-.设00(,)Q x y .0102010202012010*******()()()()()QA QB y y y y y kx m x x y kx m x x k k x x x x x x x x x x -----+---+=+=---++.化简得00001212020012122()()22()QA QB x y kx y m x x kx x mx k k x x x x x x -+-++-+=-++.代入韦达定理得：22200000222002(14)8()882(14)(14)844QA QB x y k km kx y m km k mx k k k k x kmx m --+-----+=----.将21k m +=代入其中消去m 化简得：X 012P1535152000000002220000(168)(488)22(16164)(168)8QA QB y x y k x y k x y x k k x x k x k x -+--+-+=--+-+-.由动直线12l l 、互不影响可知，要满足QA QB QM QN k k k k +++为定值，则QA QB k k +为定值，QM QN k k +为定值.因此要满足QA QB k k +为定值，则有：①若0001680y x y -=，200161640x x --=，计算得002,0x y ==.经检验满足(2,0)Q ，此时1QA QB k k +=.②若0001680y x y -≠，即000,2y x ≠≠，有0000000022000016848822161641688y x y x y x y x x x x x ----==----.无解.综上，当(2,0)Q ，1QA QB k k +=.下面只需验证当(2,0)Q 时，QM QN k k +是否为定值.设直线2l 方程为：y tx n =+，直线2l 过点(2,1)P ，即21t n +=.椭圆方程联立2214y tx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440t x tnx n +++-=.故0∆>.设3344(,),(,)M x y N x y ，有342814tn x x t -+=+，23424414n x x t -=+.334434343434()(2)()(2)2242()QM QN y tx n x tx n x y k k x x x x x x +-++-+=+=--+-+.化简得343434342(2)()442()QM QN tx x n t x x nk k x x x x +-+-+=+-+.代入韦达定理化简可得：228441616QM QN t n k k n t tn--+=++.将21t n +=代入其中可得：1QM QN k k +=-.所以当(2,0)Q ，1QA QB k k +=，1QM QN k k +=-，0QA QB QM QN k k k k +++=.所以点Q 坐标为(2,0).…………12分22.（12分）解：（1）若0b c ==，即()ln (0)f x ax x x =->.11()ax f x a x x-'=-=.①若0a ≤，则()0f x '<，即()f x 在),0(+∞单调递减；②若0a >，令0)(>'x f 有a x 1>,即()f x 在1(0,a 上单调递减，1()a+∞，上单调递增.综上有，当0a ≤，()f x 在),0(+∞单调递减.当0a >，()f x 在1(0,)a 上单调递减，1()a+∞上单调递增.…………4分（2）由题意知：已知12,x x 是()f x 的两个零点，12x x <.即111ln 0b ax c x x ++-=，222ln 0bax c x x ++-=.所以12211211()()ln ln 0a x x b x x x x -+-+-=，即21121221ln ln x x b ax x x x x x -=-⋅-.要证：2112(1)(1)x ax b x ax -<<-.只需证：122121ax x x b ax x x -<<-.即证：21212121ln ln x x x x x x x x --<-<--.即证：1222111ln 1x x x x x x -<<-，令211xt x =>.即证：11ln 1t t t-<<-.令1()ln 1(1)p t t t t =-+>，有22111()0t p t t t t-'=-=>.即()p t 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0p t p >=，即1ln 1t t>-.设()ln 1(1)q t t t t =-+>，有1()10q t t'=-<.所以()q t 在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0q t q <=，即ln 1t t <-综上可得：2112(1)(1)x ax b x ax -<<-.…………12分。
湖北省武汉市武昌区高三5月调考文科数学试题含答案
武昌区 高三年级五月调研考试文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}|{2x x x A ≤=，}1,0,1{-=B ，则集合B A I 的子集共有（ C ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个 2．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m ( B )A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x z 2+=的最大值是( C )A ．25-B ．0C ．35D ．25 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ) A ．32 B ．52 C ．53D ．109 5．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为03=+y x ，则该双曲线的方程为( B )A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．12622=-y x D ．16222=-y x6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan ( A )A ．1-B ．1C ．3-D ．3 7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8， 则判断框内可填入的条件是( B )A ．?43≤SB ．?1211≤S C ．?2425≤SD ．?120137≤S 8．设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则( C )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 9．下面是关于公差0>d 的等差数列}{n a 的四个命题：p 1：数列}{n a 是递增数列； p 2：数列}{n na 是递增数列； p 3：数列}{na n是递增数列； p 4：数列}3{nd a n +是递增数列． 其中的真命题为( D )A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B) A ．54 B ．60 C ．66 D ．7211．动点A (x ，y )在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0=t 时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A ．]1,0[B ．]7,1[C ．]12,7[D ．]1,0[和]12,7[12．已知椭圆Γ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与Γ相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点)2,1(-P ，线段PQ 的中点M 的坐标为)1,1(-．若向量PQ 与向量a =(λ，1)共线，则λ= ． 答案：32-14．已知数列{a n }是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则=q ． 答案：115．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若21===AA AC AB ，=∠BACο90=，则该球的体积等于 ．答案：π3416．函数1cos sin )(++-=x x x x f 在]47,43[ππ上的最大值为 ． 答案：2+π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =．正视图侧视图俯视图（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c ．解：（Ⅰ）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B sin A ＝3sin A cos B ．在△ABC 中，sin A ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3．∵0＜B ＜π，∴B ＝π3．……………………………………………………………6分（Ⅱ）由sin C ＝2sin A 及正弦定理，得c ＝2a ． ①由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即a 2＋c 2－ac ＝9． ②解①②，得a ＝3，c ＝23． (12)分 18．（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x -＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ），得x -＝40，s ＝103，∴x -－s ＝3623，x -＋s ＝4313， 由表可知，这36名工人中年龄在(x -－s ，x -＋s )内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22==AC AB ．（Ⅰ）求证：//QG 平面PBC ； （Ⅱ）求G 到平面PAC 的距离． 解：（Ⅰ）如图，连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ． ∵G 为△AOC 的重心，∴M 为AC 的中点． ∵O 为AB 的中点，∴OM ∥BC ．∵OM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴OM ∥平面PBC ． 同理QM ∥平面PBC ．又OM ⊂平面QMO ，QM ⊂平面QMO ，OM ∩QM ＝M ， ∴平面QMO ∥平面PBC ． ∵QG ⊂平面QMO ，∴QG ∥平面PBC ． (6)分（Ⅱ）∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ．由（Ⅰ），知OM ∥BC ，∴OM ⊥AC ．∵PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，∴PA ⊥OM ． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，∴OM ⊥平面PAC ，∴GM 就是G 到平面PAC 的距离． 由已知可得，OA ＝OC ＝AC ＝1，∴△AOC 为正三角形，∴OM ＝32． 又G 为△AOC 的重心，∴GM ＝13OM ＝36．故G 到平面PAC 的距离为36．…………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1．解得C (3，2)，于是切线的斜率必存在． 设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．……4分（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1，∴1≤(a －0) 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤3，即1≤5a 2－12a ＋9≤3． 由5a 2－12a ＋8≥0，得x ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125． 故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．…………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数xkx x f e ln )(+=（k 为常数，Λ71828.2e =是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设)()()(2x f x x x g '+=，其中)(x f '为)(x f 的导函数．证明：0>∀x ，2e 1)(-+<x g ． 解：（Ⅰ）由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)． 由已知，得f ′(1)＝1－ke＝0，∴k ＝1． (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ），得g (x )＝(x 2＋x )·1－x －x ln x x e x ＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝1－x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)．令h ′(x )＝0，得x ＝e －2．当0＜x ＜e －2时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，e －2)上是增函数；当x ＞e －2时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(e －2，＋∞)上是减函数．故h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，即h (x )≤1＋e －2． 设φ(x )＝e x －(x ＋1)，则φ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)， ∴φ(x )在(0，＋∞)上是增函数，∴φ(x )＞φ(0)＝0，即e x －(x ＋1)＞0，∴0＜x ＋1e x ＜1．∴g (x )＝x ＋1ex h (x )＜1＋e －2． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．……………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； （Ⅱ）求线段AE 的长． 解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝ABBD ，即AC ·BD ＝AB ·AD ．A BCDE OO ′∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．…………………………………………………5分 （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，∴AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AB ·AD ．由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3． (10)分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分 （Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3． 设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)， 则|PC |＝(－32t －3)2＋(－5＋12t )2＝t 2－2t ＋28＝(t －1)2＋27． 当t ＝1时，|PC |取得最小值，从而|PQ |也取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|(x －a )－(x ＋b )|＝|－a －b |＝|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )min ＝a ＋b ．由题设条件知f (x )min ＝2， ∴a ＋b ＝2．…………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab ≤a ＋b ＝2，∴ab ≤1． 假设a 2＋a ＞2与b 2＋b ＞2同时成立， 则由a 2＋a ＞2及a ＞0，得a ＞1．同理b ＞1，∴ab ＞1，这与ab ≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分。
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足，则复数A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为A. 3B. 5C. 10D. 154.若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C.D.5.已知的值为A. B. C. D.6.函数的值域为A. B. 且C. D.7.PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为A. B. C. D.8.已知平面上定点和，又P点为双曲线右支上的动点，则的最大值为A. 8B. 10C. 11D. 139.已知向量，向量与夹角为，且，则A. B. 2 C. D. 410.已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.设直线AB：与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点横坐标为2，则直线的斜率A. 2B.C.D. 或212.已知函数在无零点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______．15.已知M，N为直线上两点，O为坐标原点，若，则面积的最小值为______．16.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．附：，，精确到三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，且满足：，．求数列的通项公式；记数列的前n项和为，求取得最大值时n的值．18.成绩人数105010025015040求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差同一组数据用该区间的中点值作代表；请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数．附：．19.如图，在三棱柱中，侧面是边长为4的菱形，且，面面ABC，，．求证：面；求到平面的距离．20.已知，为椭圆：的左右焦点，过的直线交椭圆于A ，B两点，的周长为8．求椭圆的标准方程；已知是直线l：上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点，，则是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．21.已知函数，．证明：不等式在恒成立；证明：在存在两个极值点．附：，，．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若面积为，求的值．23.已知正数a，b，c满足求证：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：由，得，，故选：B．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．：40：：5：3，又共抽出20人，管理层抽取人数为人．故选：B．先计算业务人员、管理人员、后勤人员的人数的比例，再根据这个比例计算需抽取的人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积．故选：B．先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可．本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：，，，，故选A．利用两个角的正弦公式展开所给的三角函数式，两边同除以系数，得到一个角的正弦与余弦的差，两边平方整理出可以应用二倍角公式，得到结果．本题考查二倍角公式的逆用，是一个考查一个角的正弦与余弦的和，差与积三者之间的关系的题目，这三者可以做到知一求二．6.答案：C解析：解：因为．故选：C．由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解．本题主要考查了利用分离法求解函数的值域，属于基础试题．7.答案：C解析：解：过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．因为，所以点O在的平分线上，即．过点O作，，因为平面APB，则，．设，．在直角中，，，则．在直角中，，则．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．故选：C．过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角，说明点O在的平分线上，通过直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：由双曲线，可得，，，可知是双曲线的左焦点，设双曲线右焦点为，可得，则，则，当P，B，三点共线时有最大值，而，所以的最大值为，故选：D．设双曲线右焦点为，根据双曲线的定义可知，进而可知当P、、B三点共线时有最大值，根据双曲线方程可求的的坐标，利用两点间的距离公式求得答案．本题主要考查双曲线的定义、三点共线取得最值的性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．9.答案：A解析：解：由平面向量数量积的定义可知，，，．故选：A．先根据平面向量数量积的定义可知，代入已知条件后可求出，再由展开进行运算即可得解．本题考查平面向量数量积的运算，遇到求向量模长的问题时一般采取平方处理的方式，考查学生的运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：因为函数图象关于直线对称，，，由知，时，．故，令得，．因为，所以，1，2时，满足条件．故零点有三个．故选：C．根据余弦型函数的对称性知，在时取得最值，由此求出值，再令，解出x，即可判断在上零点个数．本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值点、零点之间的关系．属于中档题．11.答案：A解析：解：设，，直线与抛物线联立整理可得：，，即，可得，由题意可得，整理可得解得：或，所以，故选：A．将直线AB的方程与抛物线方程联立求出两根之和，及判别式大于0的k的范围，再由线段AB的横坐标求出k的值本题考查直线与抛物线的综合，及中点坐标的求法，属于中档题．12.答案：B解析：解：函数在无零点，显然不是函数的零点．故问题可转化为无正实数根，令，，且，，令得，当时，，故在上递减；当时，，递增．又时，；时，；时，；，．作出函数与的图象：可知，当介于x轴包括x轴与点之间时，原函数在上无零点．故即为所求．故选：B．函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，a只要在值域之外取值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而通过函数的图象，研究函数的零点问题．属于中档题．13.答案：解析：解：，，所以切线为：，即：．故答案为：．先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值，最后利用点斜式求出直线方程．本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力．属于基础题．14.答案：解析：解：柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，基本事件总数，取出的2只鞋子刚好成对包含的基本事件个数，取出的2只鞋子刚好成对的概率．故答案为：．先求出基本事件总数，取出的2只鞋子刚好成对包含的基本事件个数，由此能求出取出的2只鞋子刚好成对的概率．本小题主要考查古典概率等基本知识，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：如图所示，圆的O到直线的距离．设，，中，由余弦定理可得：．面积．，，当且仅当时取等号．．面积．故答案为：．如图所示，利用点到直线的距离公式可得：圆的O到直线的距离设，，中，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：由面积进而得出结论．本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，依题意，可得整理，得，，，，解得：，应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药．故答案为：．先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力．17.答案：解：设等差数列的公差为d，，．，，联立解得，．，可得：，解得．．取得最大值时．解析：设等差数列的公差为d，由，可得，，联立解得，即可得出．，可得：，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：平均成绩为：．方差，标准差为．由已知数据得前4组频率依次为：，由，，可知中位数位于区间，设中位数为x，则，解得，中位数为．解析：先求出平均成绩，由此能求出方差，进而能求出标准差．由已知数据求出前4组频率，由，，可知中位数位于区间，设中位数为x，列出方程能求出中位数．本题考查平均数、标准差、中位数的求法，考查频数分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：证明：在菱形中，过作于点H，平面平面ABC，平面ABC，，而，由，则平面．解：平面，到面的距离与到面的距离相等，在菱形中，连结，设，则，平面，即为到面的距离，在菱形中，，，，到面的距离为．解析：过作于点H，平面ABC，，，由此能证明平面．平面，能求出到面的距离与到面的距离相等，连结，设，则，从而平面，即为到面的距离，由此能求出到面的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可得三角形中，三角形的周长为，解得，而，所以，所以椭圆的方程为：；由题意设，，，设直线AB的斜率为0时可得，，，则直线PA与x轴的交点M的横坐标，同理可得，所以，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为：，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得，，，设直线PA的方程为：，令，可得，所以，同理可得，所以；综上所述为定值．解析：由椭圆的定义可得的周长为4a，由题意可得a的值，及c的值，再有a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，求出A，B的坐标，设P的坐标，求出直线PA的方程，令，求出M的坐标，进而求出的表达式，同理求出的表达式，进而求出为定值．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．21.答案：证明：，令，则在上单调递增，且，，故存在使得，当时，，单调递减，即单调递减，，时，，单调递，即单调递增，，故当时，总有，为减函数，所以，从而原不等式得证；，，令，，则在上单调递增，又，，故存在唯一的，使得，，，单调递减，即单调递减，当时，，单调递增，即单调递增，而，，，存在唯一的，使得，时，，单调递减，，，单调递增，故为的一个极小值点，另一方面，在时，由可知，由可知，所以在上恒成立，又在上恒成立所以是函数的极大值点．解析：由已知，要证原不等式成立，问题转化为求解函数在上的范围问题，结合导数与单调性的关系可求．先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系，结合函数的零点判定定理可证．本题综合考查了导数与函数的性质及函数的零点判定定理在求解函数极值中的应用，属于中档试题．22.答案：解：直线l的参数方程为参数，为常数，转换为直角坐标方程为．曲线C的极坐标方程为整理得，根据，转，换为直角坐标方程为．由于与x轴的交点坐标为，所以得到，记，所以，整理得．所以，解得，即，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：因为正数a，b，c满足，所以，由于，故．分析法：要证原式，只要证：，即证，只要证：，即证：，因为，将两式相乘即得要证的式子：，以上每步都成立，所以不等式成立．解析：由已知得，用均值不等式即可；用分析法把左式分离变量，再由变形配凑成3元均值不等式的形式即可证明．本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用．属于中档题．。
湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)解析版
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ+6cosθ ． （1）求 C2 的直角坐标方程； （2）已知 P（1，3），C1 与 C2 的交点为 A，B，求|PA|•|PB|的值．
23. 设函数 f（x）=|2x+a|+|x-1|-3． （1）当 a=4 时，求不等式，f（x）≤6 的解集；
（1）试估计该市市民的平均购房面积 ．
（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110，130]的 40 位市民中随机取 4 人， 再从这 4 人中随机抽取 2 人，求这 2 人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．
（3）根据散点图选择 =
和=
两个模型进行拟合，经过数据处
理得到两个回归方程，分别为 =0.9369+0.0285 和 =0.9554+0.0306lnx，并得到 一些统计量的值，如表所示：
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=0.9369+0.0285
=0.9554+0.03061lnx
（yi ）2
0.000591
0.000164
（yi ）2
0.006050
请利用相关指数 R2 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测 2019 年 6 月份的二手房购房均价（精确到 0.001）． 参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94， ≈1.41， ≈1.73，
18. 如图 1，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC=6 ；如图 2，将图 l 中△DAC 沿 AC 起，点 D 在丽 ABC 上的正投影 G 在△ABC 内部，点 E 为 AB 的中 点，连接 DB，DE，三棱锥 D-ABC 的体积为 l2 ． （1）求证：DE⊥AC； （2）求点 B 到平面 ACD 的距离．
湖北省武汉市武昌区高三5月调考文科数学试题含答案
k =k +2输出k结束开始S =0，kS S 1+= 是否武昌区高三年级五月调研考试文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}|{2x x x A ≤=，}1,0,1{-=B ，则集合B A 的子集共有（ C ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个 2．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m ( B ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-3．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x z 2+=的最大值是( C )A ．25-B ．0C ．35D ．25 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ) A ．32 B ．52 C ．53 D ．109 5．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为03=+y x ，则该双曲线的方程为( B )A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．12622=-y x D ．16222=-y x6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan ( A ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8， 则判断框内可填入的条件是( B ) A ．?43≤SB ．?1211≤S C ．?2425≤SD ．?120137≤S 8．设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则( C )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 9．下面是关于公差0>d 的等差数列}{n a 的四个命题：p 1：数列}{n a 是递增数列； p 2：数列}{n na 是递增数列； p 3：数列}{na n是递增数列； p 4：数列}3{nd a n +是递增数列． 其中的真命题为( D )A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B) A ．54 B ．60 C ．66 D ．7211．动点A (x ，y )在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0=t 时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A ．]1,0[B ．]7,1[C ．]12,7[D ．]1,0[和]12,7[12．已知椭圆Γ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与Γ相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点)2,1(-P ，线段PQ 的中点M 的坐标为)1,1(-．若向量PQ 与向量a =(λ，1)共线，则λ= ． 答案：32-14．已知数列{a n }是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则=q ．答案：115．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若21===AA AC AB ，=∠BAC90=，则该球的体积等于 ．答案：π3416．函数1cos sin )(++-=x x x x f 在]47,43[ππ上的最大值为 ． 答案：2+π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）24 53 正视图侧视图俯视图在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c ．解：（Ⅰ）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B sin A ＝3sin A cos B ．在△ABC 中，sin A ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3．∵0＜B ＜π，∴B ＝π3．……………………………………………………………6分（Ⅱ）由sin C ＝2sin A 及正弦定理，得c ＝2a ． ①由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即a 2＋c 2－ac ＝9． ②解①②，得a ＝3，c ＝23． (12)分18．（本小题满分12分）工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄1 402 443 404 415 336 407 458 429 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x -＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．…………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ），得x -＝40，s ＝103，∴x -－s ＝3623，x -＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x -－s ，x -＋s )内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 为P A 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22==AC AB ．（Ⅰ）求证：//QG 平面PBC ； （Ⅱ）求G 到平面P AC 的距离．解：（Ⅰ）如图，连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ． ∵G 为△AOC 的重心，∴M 为AC 的中点． ∵O 为AB 的中点，∴OM ∥BC ．∵OM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴OM ∥平面PBC ． 同理QM ∥平面PBC ．又OM ⊂平面QMO ，QM ⊂平面QMO ，OM ∩QM ＝M ， ∴平面QMO ∥平面PBC ． ∵QG ⊂平面QMO ，∴QG ∥平面PBC ． (6)分（Ⅱ）∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ．由（Ⅰ），知OM ∥BC ，∴OM ⊥AC ．∵P A ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，∴P A ⊥OM ． 又P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，∴OM ⊥平面P AC ，∴GM 就是G 到平面P AC 的距离． 由已知可得，OA ＝OC ＝AC ＝1，∴△AOC 为正三角形，∴OM ＝32． 又G 为△AOC 的重心，∴GM ＝13OM ＝36．故G 到平面P AC 的距离为36．…………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1．解得C (3，2)，于是切线的斜率必存在． 设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．……4分（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，OGM∴圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， ∴点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1，∴1≤(a －0) 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤3，即1≤5a 2－12a ＋9≤3． 由5a 2－12a ＋8≥0，得x ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125． 故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．…………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数xkx x f e ln )(+=（k 为常数， 71828.2e =是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设)()()(2x f x x x g '+=，其中)(x f '为)(x f 的导函数．证明：0>∀x ，2e 1)(-+<x g ．解：（Ⅰ）由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由已知，得f ′(1)＝1－ke＝0，∴k ＝1．……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得g (x )＝(x 2＋x )·1－x －x ln x x e x ＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝1－x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)．令h ′(x )＝0，得x ＝e －2．当0＜x ＜e －2时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，e －2)上是增函数；当x ＞e －2时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(e －2，＋∞)上是减函数．故h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，即h (x )≤1＋e －2． 设φ(x )＝e x －(x ＋1)，则φ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)， ∴φ(x )在(0，＋∞)上是增函数，∴φ(x )＞φ(0)＝0，即e x －(x ＋1)＞0，∴0＜x ＋1e x ＜1．∴g (x )＝x ＋1ex h (x )＜1＋e －2．因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．……………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； A（Ⅱ）求线段AE 的长．解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AB ·AD ． ∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．…………………………………………………5分 （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，∴AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AB ·AD ． 由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3． (10)分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分 （Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3． 设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)， 则|PC |＝(－32t －3)2＋(－5＋12t )2＝t 2－2t ＋28＝(t －1)2＋27． 当t ＝1时，|PC |取得最小值，从而|PQ |也取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|(x －a )－(x ＋b )|＝|－a －b |＝|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )min ＝a ＋b ．由题设条件知f (x )min ＝2，∴a＋b＝2． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab≤a＋b＝2，∴ab≤1．假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分。
最新湖北省武汉市高三5月模拟考试数学(文)试题(Word版)【含答案】
武汉市20xx 届高中毕业生五月模拟考试文 科 数 学20xx.5.8一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={0，1，2}，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．9 2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A ．若α≠4π，则tan α≠1 B ．若α=4π，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α=4π3．函数－x )的定义域为A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]4．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08B ．07C ．02D ．01 5．设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n －1B ．S n =3a n －2C ．S n =4－3a nD ．S n =3－2a n6．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定7．执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =A ．1111234+++B ．1111232432+++⨯⨯⨯C ．111112345++++D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．若存在正数x 使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是A ．(,)-∞+∞ B.(2,)-+∞ C.(0,)+∞ D.(1,)-+∞9．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为A．4 B1 C．6- D10．设a ＞0，b ＞0，下列命题中正确的是A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．若复数i +=1z （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为 ．12．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．13．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．14．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则→AP ·→AC ＝ ． 16．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≥--+x x 成立的概率为____.17．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，也有另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；（Ⅱ）求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=.{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b )(*N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和T n ．20．（本小题满分13分）如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD ．（Ⅰ）若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE ； （Ⅱ）当棱锥A ′-PBCD 的体积最大时，求PA 的长．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(2x2－4ax)ln x＋x2（a＞0）．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x∈[1，＋∞)，不等式(2x－4a)ln x＞－x恒成立，求a的取值范围．22．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.武汉市20xx 届高中毕业生五月模拟考试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．B 8．D 9．A 10．A二、填空题11．0 12．78 1314．18＋9π 15．18 16．1317．以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线三、解答题18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f (x )＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝1－cos x ． 由f (α)＝335，得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α＞0，从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15．（Ⅱ）f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin(x ＋π6)≥12．从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ．故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ． （Ⅱ）由（Ⅰ），知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以12n n T b b b =+++=111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)．20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图，设F 为A ′B 的中点，连结PF ，FE ．则有EF ∥BC ，EF ＝12BC ，PD ∥BC ，PD ＝12BC ，∴DE ∥PF ，又A ′P ＝PB ，∴PF ⊥A ′B ， 故A ′B ⊥DE ．（Ⅱ）令PA ＝x （0＜x ＜2），则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x ．因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ， 故A ′P ⊥平面PBCD ．∴V A ′-PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)．令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233．当x ∈(0，233)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(233，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．∴当x ＝233时，f (x )取得最大值，故当V A ′-PBCD 最大时，PA ＝233．21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝(4x －4a )ln x ＋2x 2－4axx ＋2x ＝4(x －a )(ln x ＋1)（x ＞0），令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝1e．①当0＜a ＜1e时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )的单调递增区间为(0，a )，(1e ，＋∞)；单调递减区间为(a ，1e)．②当a ＝1e 时，f ′(x )≥0，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．③当a ＞1e时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )的单调递增区间为(0，1e )，(a ，＋∞)；单调递减区间为(1e ，a )．（Ⅱ）由(2x －4a )ln x ＞－x （x ≥1），得(2x 2－4ax )ln x ＋x 2＞0，即f (x )＞0对x ≥1恒成立． 由（Ⅰ）可知，当0＜a ≤1e时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＞0恒成立；当1e＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＝1＞0恒成立； 当a ＞1时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (a )＞0，即(2a 2－4a 2)ln a ＋a 2＞0，解得1＜a ＜e ． 综上可知，a 的取值范围为(0，e)．22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）解法1：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A ,B ,C ,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根， 所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.。