3.4.2基本不等式求最值
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法（最新版）目录1.引言2.基本不等式的概念和公式3.基本不等式的最值求法4.实际应用举例5.结论正文一、引言在数学中，基本不等式是一个非常重要的概念，它在各个领域的数学问题中都有广泛的应用。
基本不等式可以帮助我们求解一些最值问题，使得问题变得简单易懂。
本文将介绍基本不等式的概念，公式以及最值求法。
二、基本不等式的概念和公式基本不等式，又称柯西不等式，是指对于任意实数 a1, a2, b1, b2，都有 (a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 成立。
三、基本不等式的最值求法求解基本不等式的最值，通常需要先找到等号成立的条件。
根据柯西不等式的公式，我们可以发现，当且仅当 a1/b1 = a2/b2时，等号成立。
这意味着，如果我们想要求解基本不等式的最值，我们只需要将所有数按照一定的比例放大或缩小，使得它们满足等号成立的条件，这样就可以求得最值。
四、实际应用举例举个例子，假设我们要求解以下不等式的最大值：x + 2y + 3z ≤ 10。
我们可以将不等式看作是基本不等式的形式，即 x = a1, 2y = a2, 3z = a3，然后找到使得等号成立的条件，即找到一个比例，使得 a1/a2 = a2/a3。
在这个例子中，我们可以取a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3，这样等号成立的条件就是 x = 1, y = 1, z = 1。
将这些值代入原不等式，我们可以得到最大值为 10。
五、结论基本不等式是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们求解一些最值问题。
通过理解基本不等式的公式和最值求法，我们可以更好地解决实际问题。
基本不等式最大值最小值公式
基本不等式最大值最小值公式不等式是数学中的一种基本概念。
在实际生活和工作中，我们会遇到各种各样的不等式问题。
投资的收益率大于某个固定值，或者某个物品的价格必须低于定价等等。
为了解决这些问题，我们需要用到不等式的理论和技巧。
不等式的最大值和最小值是非常重要的概念。
其指的是在给定条件下，不等式所能达到的最大和最小的值。
基本不等式就是一种常见的最大最小值公式。
基本不等式是指对于任意的正实数 a_1, a_2, ..., a_n，有如下的不等式关系：\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdot a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}左边的式子称为算术平均数和几何平均数不等式，右边的式子称为调和平均数不等式。
这两个不等式可以统称为基本不等式。
基本不等式的原理是利用平均值不等式和相应的积分不等式证明的。
平均值不等式指的是对于一组数，算术平均数大于等于几何平均数，大于等于调和平均数。
即：\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdota_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}这是数学中的一个基本定理，其应用范围非常广泛。
而基本不等式是平均值不等式的一种特例，其应用范围也同样广泛。
下面我们来看一下基本不等式的具体应用。
基本不等式广泛应用于数学竞赛等数学问题的解决中。
在一些竞赛题目中，基本不等式常常被用来证明一些不等式关系，或者推导最大最小值等问题。
基本不等式还可以应用于物理、化学等领域的一些问题。
在物理和化学中，我们也经常会遇到一些关于最大最小值的问题。
3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)
4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法基本不等式的最值求法1. 介绍基本不等式的概念和重要性基本不等式是数学中一种常见且重要的理论工具，它能够帮助我们求解不等式中的最值。
不等式在数学领域中具有广泛的应用，例如在优化问题、经济学、物理学等领域中都有其身影。
掌握基本不等式的最值求法，对于我们的数学学习和实际应用都具有深远的影响。
2. 基本不等式的最值求法的基本思路在求解基本不等式的最值时，我们可以采用以下的基本思路：第一步，根据不等式的形式，我们需要对不等式进行一些变形和整理，以便更好地理解和处理不等式。
第二步，我们需要注意观察不等式中的各个项，找出其中的极大值和极小值，这些值将有助于我们进行进一步的推导和求解。
第三步，我们可以通过一些常见的不等式定理和方法来简化不等式，例如使用柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
第四步，根据不等式的说明和要求，我们可以使用方法如二分法、递归法、均分法等来逐步缩小不等式的范围，以便更精确地求得最值。
第五步，最后我们需要对求解过程进行总结和回顾，确保我们找到了最值，并且可以解释和应用这个结果。
3. 利用基本不等式的最值求法解决实际问题基本不等式的最值求法不仅在数学领域有重要的应用，同样在实际问题中也具有广泛的运用。
例如在优化问题中，我们可以利用基本不等式的最值求法找到一组变量的最优取值，使得问题的目标函数达到最大或最小值。
在经济学中，基本不等式的最值求法可以帮助我们确定投资策略，寻找最佳的资源分配方案。
在物理学中，我们可以利用基本不等式的最值求法分析物体的稳定性或者求解问题的最优解。
4. 个人观点和对基本不等式的理解作为一种基础的数学概念，我认为基本不等式的最值求法对于我们的数学学习和思维能力的培养都具有重要意义。
不等式作为一种较为复杂的描述方式，可以帮助我们更全面和深入地理解数学中的不等关系。
通过运用基本不等式的最值求法来解决实际问题，我们可以培养自己的逻辑思考能力和数学建模能力。
总结回顾：基本不等式的最值求法是数学中一种重要的理论工具，能够帮助我们解决不等式中的最值问题。
基本不等式中常见的方法求最值
基本不等式中常见的方法求最值基本不等式是数学中常用的不等式形式，它可以解决两个或多个变量之间的大小关系问题。
在实际问题中，求最值是一类常见的问题，可以通过基本不等式的方法来解决。
下面将介绍一些常见的方法用于求解最值的基本不等式。
一、最值问题的数学建模在解决最值问题之前，首先需要进行数学建模。
数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，通常包括确定问题的目标函数和约束条件。
在求解最值问题中，目标函数表示要求解的最值，约束条件是指限制该函数取值范围的条件。
例如，求解一个函数在给定范围内的最大值，可以将问题建模为求解一个目标函数在一组特定约束条件下的最大值。
二、最值问题的基本不等式方法在实际问题中，一般使用不等式约束来限制变量的取值范围。
下面将介绍几种常用的基本不等式方法来求解最值问题。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）算术平均-几何平均不等式是一种常见的不等式方法，用于求解多个正实数的不等式关系。
它可以将多个正实数的乘积限制在一些范围内，并且表明乘积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an为n个正实数，那么AM-GM不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解向量内积的不等式关系。
它可以将两个向量的内积限制在一些范围内，并且表明内积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为n个实数，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
基本不等式求最值的类型与方法经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法引言在数学中，不等式是一种关系，用于描述两个数之间的大小关系。
基本不等式是一类常见的不等式，可以通过一些特定的方法求解其最值。
本文将介绍基本不等式的概念、性质以及求解最值的方法。
基本不等式的定义基本不等式是指在数学中常见且常用的一类不等式，包括大于等于不等式和小于等于不等式。
大于等于不等式表示一个数大于或等于另一个数，记作a≥b，其中a 和b为实数。
小于等于不等式表示一个数小于或等于另一个数，记作a≤b。
基本不等式的性质基本不等式具有以下性质：1.传递性：如果a≥b且b≥c，则a≥c。
2.反对称性：如果a≥b且b≥a，则a=b。
3.加法性：如果a≥b，则a+c≥b+c。
4.乘法性：如果a≥b且c>0，则ac≥bc；如果a≥b且c<0，则ac≤bc。
这些性质使得基本不等式在数学推导和证明中有着重要的应用。
求解基本不等式的最值方法求解大于等于不等式的最大值对于大于等于不等式a≥b，我们要求解其最大值。
下面介绍两种常见的方法：图像法和代数法。
图像法图像法是通过绘制函数的图像来求解不等式的最值。
对于大于等于不等式a≥b，我们可以将其转化为函数f(x)=a−b，然后绘制函数f(x)的图像。
最大值即为函数图像上的最高点。
代数法代数法是通过代数运算来求解不等式的最值。
对于大于等于不等式a≥b，我们可以进行如下运算：1.将不等式转化为等价的形式：a−b≥0。
2.将不等式化简为一个或多个因式相乘的形式：(a−b)(c−d)≥0。
3.求解不等式中每个因子的取值范围：a−b≥0且c−d≥0。
4.根据每个因子的取值范围，确定不等式的最值范围。
求解小于等于不等式的最小值对于小于等于不等式a≤b，我们要求解其最小值。
同样可以使用图像法和代数法来求解。
图像法对于小于等于不等式a≤b，我们可以将其转化为函数f(x)=b−a，然后绘制函数f(x)的图像。
最小值即为函数图像上的最低点。
代数法对于小于等于不等式a≤b，我们可以进行如下运算：1.将不等式转化为等价的形式：b−a≥0。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值的六种方法一、配项法求解函数 $y=\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq8$，当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二、配系数法求解函数 $y=x^4-3x^2$ 的最大值，其中 $0<x<1$。
解析：$y=\frac{2}{3}x^4-\frac{2}{3}x^4-3x^2+2\leq2$，当 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时等号成立。
三、重复使用不等式法求解 $a>b>0$ 时，$a^2+b^2$ 的最小值。
解析：$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}$，$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\geq\frac{(2\sqrt{ab})^2}{2}=2ab $，所以 $a^2+b^2\geq2ab$，当 $a=b\sqrt{2}$ 时等号成立。
四、平方升次法求解函数 $y=x+4-x^2$ 的最大值，其中 $x>0$。
解析：$y^2=4+2x^4-x^2\leq4+(x^2+(4-x^2)^2)=8$，当$x=2$ 时，$y$ 取得最大值 $2\sqrt{2}$。
五、待定系数法求解函数 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2x+2\sin x\cos x=2\sin^2x+\sin2x\leq2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$，当 $\sinx=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时等号成立。
六、常值代换法已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 的最小值。
解析：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x+2y}{2}}\geq\sqrt{3x+ 2\sqrt{2xy}}$，$3x+2\sqrt{2xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(\sqrt{x}+2\sqrt{y})\geq(\s qrt{x}+\sqrt{y})^3$，所以$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq\sqrt[3]{\frac{27}{2}}$，当 $x=2,y=1$ 时等号成立。
2018版高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
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重视：一正，二定， 重视：一正，二定，三相等
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例题精析
2 1 例3. 1）若x > 0, y > 0, 且 + = 1，则x + y的最小值 （ x y
3+ 2 2 8 为_________.xy的最小值为_____.
1 4 （2）若x > 0, y > 0, 且x + y=4，则使不等式 + ≥ m x y 9
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复习引入
2ab a+b a +b 5.若a > 0, b > 0, 则 ≤ ab ≤ ≤ 2 2 a+b
2 2
a2 6.若x > 0, a > 0则x+ ≥ 2a x
b a 7.若ab > 0则 + ≥ 2 a b
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讲授新课
例1. 1）已知x > 0, y > 0且xy = 16, （ +y的 求z=x+y的最小值. （2）已知x > 0, y > 0且x + y = 16, y的 求z=xy的最大值.
2.若 2.若a > 0, b > 0, 则a + b ≥ 2 ab (当且仅当a = b时，等号成立)
a+b 2 4.若a > 0，b > 0, 则ab ≤ ( ) (当且仅当a = b时，等号成立) 2
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最值定理
设x , y为正数，则有： S2 xy (1)若x + y = S为定值，则当x = y时， 取得最大值 ; 4 (2)若xy = P 为定值，则当x = y时， + y取得最小值2 P . x
2.若a > 0, b > 0, 则a + b ≥ 2 ab (当且仅当a = b时，等号成立) 2.若
a +b 3.若a > 0, b > 0，则 ab ≤ （当且仅当a = b时，等号成立） 2
a+b 2 4.若a > 0，b > 0, 则ab ≤ ( ) (当且仅当a = b时，等号成立) 2
2.若 2.若a > 0, b > 0, 则a + b ≥ 2 ab (当且仅当a = b时，等号成立)
a+b 2 4.若a > 0，b > 0, 则ab ≤ ( ) (当且仅当a = b时，等号成立) 2
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讲授新课
设x , y为正数，则有： S2 xy (1)若x + y = S为定值，则当x = y时， 取得最大值 ; 4 (2)若xy = P 为定值，则当x = y时， + y取得最小值2 P . x
如果因为地 理位置，使 理位置， 水池的宽不 能超过30 30米 能超过30米 呢？
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3
例题精析
如图，为处理含有某杂质的污水， 例7如图，为处理含有某杂质的污水，要制 造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱， A孔流入，处理后从B孔流出，设箱长 a 米， 孔流入， 孔流出， 流出水中该杂质的质量分数与a 箱高b米，流出水中该杂质的质量分数与 b成 反比，现有制箱材料60平方米， 、 60平方米 反比，现有制箱材料60平方米，问a、b各为 多少，可使流出水中该杂质的质量分数最小？ 多少，可使流出水中该杂质的质量分数最小？ (A、B孔面积不计) 孔面积不计) A B
9 （10）y = sin x + 的最 ___ 值为 ____ . 2 sin x 3 2 (11) y = x + 4 + 的最 ___ 值为 ____ . 2 x +4
2
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例题精析
2 8 (12) 若0 < x < 1, 则y = + 的最 ___ 值为 ____ . x 1− x 4 9 + 的最 ___ 值为 ____ . (13) y = 2 2 sin x cos x
2 2
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例题精析
b =1,则 （5）已知a、b都是正数，且a + =1,则y = a 1 + b 2 2 32 3 2 ___.此 的最大值是___.此时a=____,b=_____. 4 2 2
2 2
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例题精析
例4.若x，y, m, n为实数，且x + y = 4,
Q a + 2b ≥ 2 2ab ,
∴ ab + 2 2ab ≤ 30, 得0 < ab ≤ 18.
a = 2b， a = 6, 由 得 ab + a + 2b = 30, b
练习. 乙两地相距S千米， 练习 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速 行驶到乙地，速度不得超过C千米/ 行驶到乙地，速度不得超过C千米/时，已知汽 车每小时的运输成本（以元为单位） 车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部 分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/ 分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/ 的平方成正比， 时）的平方成正比，比例系数为 b；固定部分 为a 元，
( −∞, ] 恒成立的m的取值范围是___________. 4
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例题精析
1 a （3）已知不等式（x + y )( + ) ≥ 9对任意实数x、y x y
4 恒成立，则正实数a的最小值是___.
（4）若直线2ax + by − 2=0( a > 0,b>0)平分圆x +y 2 1 3+ 2 2 − 2 x − 4 y − 6 = 0，则 + 的最小值是___. a b
3.4.2 基本不等式 求最值
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复习引入
1上一节学了哪些基本不等式？你是否能想 上一节学了哪些基本不等式？ 上一节学了哪些基本不等式 象一下它们的图形证明？ 象一下它们的图形证明？
1.若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当 若 ， （当且仅当a=b时，等号成立） 时 等号成立）
练习.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板， 练习.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的 上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b 问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？ 米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
A B b P H a
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解 : 设学生P距黑板x米, 黑板上, 下边缘与学生的 水平视线PH的夹角分别为∠APH = α , ∠BPH = β , 其中α > β , 则学生看黑板的视角为α − β
8 (7) 若x ≥ 3, 则y=x+ 的最 ___ 值为 ____ . x
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例题精析
25 （8）若x > 1, 则y=x + 的最 ___ 值为 ____ . x −1 x2 + 3x + 3 (9) 若x > −1, , 则y = 的最 ___ 值为 ____ . x +1
64 由a + 2 = 得a = 6, 则b = 3. a+2 ∴L
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例题精析
k ( k > 0), 解法 2：设流出的水中杂质的质量分数为y，得y = ab
最大时， ∴当ab最大时，y最小.
由2 × 2b + 2ab + 2a = 60(a > 0, b > 0), 得ab + 2b + a = 30(a > 0, b > 0),
简称：和为定值，积有最大值； 简称：和为定值，积有最大值； 积为定值， 积为定值，和 有最小值. 有最小值.
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例题精析
例2.填空题 （1）若a > 0, b > 0, a + b = 8, 则ab的最 ___ 值为 ____ . (2) 若a > 0, b > 0, ab = 9, 则a + b的最 ___ 值为 ____ .
（3）若a > 0, b > 0, a + 2b = 8, 则ab的最 ___ 值为 ____ . (4) 若a > 0, b > 0, ab = 9, 则a + 2b的最 ___ 值为 ____ .
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例题精析
1 （5）若0 < x < , 则x (1 − 3 x )的最 ___ 值为 ____ . 3 8 (6) 若x < 0, 则y=x+ 的最 ___ 值为 ____ . x
b
a
2
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例题精析
k ( k > 0), 解法1：设流出的水中杂质的质量分数为y，得y = ab 又 2 × 2b + 2ab + 2a = 60( a > 0, b > 0), 即：b = 30 − a a+2 k k ∴y= = ab 30a − a 2 2+a
30a − a 2 64 ) ≤ L = 18. 又 = 34 − (a + 2 + 2+a a+2
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思考． 思考．用一个两臂长短有差异的天平 称一样物品， 称一样物品，有人说只要左右各秤 一次，将两次所称重量相加后除以2 一次，将两次所称重量相加后除以2 就可以了. 就可以了.你觉得这种做法比实际重 量轻了还是重了？ 量轻了还是重了？