第4章 连续系统的频域分析

下图所示RC 电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1 t ， 例题： 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
v1 ( t )
1
R
2
v 1(t ) E
C
v2 (t )
2
O

t
Y H j F
yt F 1R j
所以
2 3 j
y(t ) 2e (t )
3t
例题：LTI 系统如下图所示，C 1, 求系统的冲激响应h(t )。
i t C

v t
1 t 1 h(t ) v(t ) i (t ) d t (t ) C C
1 H (j ) F h(t ) j
印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点 就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样 点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续的。
一、采样信号
基本概念
1. 模拟信号 时间连续或幅值连续的信号。 • 时间连续：信号在所有时间点上都有定义； • 幅值连续：信号的幅值为无限多个。
2. 数字信号 时间离散且幅值离散的信号。 (k ) • 时间离散：信号并不是在所有时间 1 点上均有定义； • 幅值离散：信号的幅值为有限多个。 1 0 1 2
三、信号通过理想滤波器
滤波器
若系统能让某些频率成分的信号通过，其他频率的信号受 到抑制，这样的系统称为滤波器。
理想滤波器
若系统的幅频特性在某一频率范围内为常数，而在带外为 零，相频特性始终为一条过原点的直线，这样的系统称为理 想滤波器。
H (j )

1
c
c O
t0
H ( j ) ——频域的系统函数，简称系统函数。
时域内系统的零状态响应： y (t ) f (t ) * h(t ) 由时域卷积定理得：
Y ( ) F ( ) H (j )
Y ( ) 响应的频谱函数 H (j ) F ( ) 激励的频谱函数
系统函 数公式
系统函数的频率特性
j E 1 e j j


V2 j H j V1 j E Sa e j 2


j
j

2
E e j 2 j

2

e
j

2
e
j

2
求v2(t)
E v2 j 1 e j j j
h( )e j0 (t ) d

e
j0t


h( )e j0 d
等于激励 e( t ) 乘以加权函数 (j 0 ) H
H (j0 ) e j0t
系统函数的物理意义
系统可以看作是一个信号处理器。 对信号各频率 分量进行加权 激励：F() 响应：H(j)·() F
E (j ) E (j ) e je ( ) H (j ) H (j ) e
jh ( )
E ( )的幅度 由 H ( ) 加权
R(j ) E (j ) H (j )
r ( ) e ( ) h ( )
由 修正
E 的相位
H (j ) H (j ) e
j ( )
H (j ) ~ ：幅频特性 ( ) ~ ：相频特性
有问题有待斟酌。
LTI系统的零状态响应 = 激励函数f(t) × 加权函数H(jω0)
设激励为 e(t ) e j0t , 则系统的零状态响应为 r (t ) h(t ) f (t )
0

C h(t ) Sa[(C (t t0 )]
h(t )
H j e
jt0
H ( j )
c
C
1
0
t0
C
t
C
C

( )
几点认识
1．比较输入输出，可见严重失真； t 1信号频带无限宽，
而理想低通的通频带(系统频带)有限的 0 ~ c 当 t 经过理想低通时， c 以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。 h( t ) ( t ) 当 c 时， 系统为全通网络，可以 无失真传输。 2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统
在什么条件下抽样信号能够保留原连续信
号中的信息量而不受损失。这由抽样定理来保
证。
信号抽样的应用

电影是连续画面的抽样：
电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅 画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样 本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会 感觉到是原来连续活动景象的重现。

印刷照片是连续图象的采样：
原因：从h(t)看，t<0时已有值。
例题：带限信号f (t)通过如图所示系统，已知f (t)、 H1(j)、
H2(j)频谱如图所示，画出x(t)、y(t)的频谱图。
f (t)
cos9t
F(j)
1
H1(j)
x(t )
H2(j)
y (t)
cos9t
H1(j)
1
X(j)
½
H2(j)
2
-15
TS
f (t )
0
f s (t )
t
0 TS 2TS 3TS
t

3 4 5 6
k
抽样
从连续信号f(t)中抽取一系列的离散值，这个过程称为 抽样，得到的信号称为抽样信号。
f (t )
f s (t )
抽样
抽样信号
0
t
TS
0 TS 2TS 3TS
t
注意：抽样信号 ≠ 抽样函数
抽样的实现
信号抽样的物理模型
0
实际应用系统无失真传输
对于实际的线性系统，其幅频特性和相频特性不可能完 全满足不失真条件，信号在传输过程中，幅度一定会有不同 程度的衰减，传输时间会有延迟即相移，因此，工程上，只 要信号在占有频率范围内，系统的幅频和相频基本满足无失 真传输条件，就认为该系统为无失真传输系统。
系统无失真传输的应用
H ( j ) K 即: t 0
信号无失真传输的条件
H j
K
t 0
O

O


信号无失真的条件
系统的幅频特性在整个频率范围（-∞, ∞）内应为常量； 系统的相频特性在整个频率范围内与ω成正比，比例系数 为t0。 只要系统的冲激响应为冲激函数，则信号经过系 统后必无失真。H ( j ) Ke jt0 h(t ) K (t t )
利用失真——产生某种特定波形。
H j
t
r t
E j 1

R j H j
例题：在如图所示电路中，输出电压
iS (t ) ε(t), 输入电流 is(t), 试求电路频 域系统函数H(j)。为了能无失 真传输，试确定R1和R2的数值。
R1
其它
通
C 2 C1
H ( j )
1
通
通
C1 C 2

H ( )
理想低通滤波器的冲激响应
已知：G (t ) Sa(

2
)
C 将 换成2c，得： Sa( C t ) G2 ( )
c
c
根据对称性： Sa( t ) 2 G ( )
2
C Sa[(C (t t0 )] G2 ( ) e j t 根据时移特性：






波形及频谱图
1
v1 ( t )
1
R
2
H j 1
C
v2 (t )
2
2 2
O
E


v 1(t ) E
V1 j
O
v 2 (t ) E

t
O
V2 j

O

t
O

二、信号的无失真条件
信号无失真传输定义
函数规则不变
是指输入信号经过系统后，输出信号与输入信号相比，只 有幅度大小和出现时间先后的不同，而波形形状不变。




1 1 1 e j E j j E E j 1 e 1 e j j j





所以 v2 t E t t E et t e t t E 1 et t E 1 e t t
f (t )
y (t )
f(t)
t
线性系统
y(t)
t0
t
y(t ) Kf (t t0 )
Y ( ) KF ( )e jt0
H ( j ) K Y ( ) jt0 H ( j ) Ke F ( ) t0
无失真传输系统函数的频率特性
第4章 连续信号的频域分析
主讲：刘春侠
防灾仪器系通信技术专业
本章主要内容
本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系
统中的几个主要方面——滤波、抽样和调制。 • 系统函数H(jω)及傅里叶变换分析法； • 信号无失真传输条件； • 理想滤波器模；
• 抽样信号的传输与恢复；
• 频分复用与时分复用。
主要章节
f (t )

f S (t )
t
f (t )

f S (t )

抽样器 信号抽样的数学模型
0 T
s (t )