第二章 科学严谨的几何证明
新课程背景下的几何证明教学
也许便是欧氏几何对 由一个“ 自然人” 成为“ 社会人” 的一 几何证 明能教会人按照规则思维的方式 ． 几何证 明
我们说 ，小学 阶段主要是要求学生认同证 明就可 以 点 贡献 吧 ．
全称 否定 、 特称肯定 、 特称否定形 ： 没有一个希腊 人 演绎推理是一种 由一般到特殊 的论证方法 ，这种论
方法的先河 ， 即从少数几个原始概念和命题 出发 ， 演绎出 是黑色的， 有些人是希腊人 ， 所以有些人不是黑色的．
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证方 法体现 了两个基本特性 ： 顺序性和严密性． 顺序性是 于对数学 的学 习望而却步． 但是 ， 也有一 个不容争论 的事 指在证 明中， 不能使用 尚未定义的概 念 ， 不能使用 尚未证 实 ， 随便问一个成年人 ：在中学 阶段数学学习中， “ 给你 印 明的命题 ； 严密性是指按照逻辑 ， 一步一步地进行推理 ， 象最深的内容什么？” 绝大多数的人都会说 是几何 ， 是几 每一 步都 不能凭直觉． 这种论证方法 希望达 到的 目标是 ： 何中的推理 与论证． 虽然人们为此付 出了很大的代价 ， 但 最令人难 忘 ， 因为几何学 习 用于任意一个前提 ，推导 出的结果 和前 提一样可靠 ． 又总感到几何学习最为亲切 ， 由
此， 如果前提 为真 ， 则结论也 为真． 这种 论证方法 成 使他们第一次理性地认识到了什么是真 ， 么是假 ， 后来 什 在他
为数学证明 的主要方法 ， 被称 为演 绎逻辑． 当然 ， 这算是 们的心里深深地刻上了“ 的来 不得 半点假” 真 的烙印 ， 这
在 数学 的学术 形 态 下 的证 明．
是最根本 的问题 就是我们要明 白到底什 么是几何证 明． 里士多得总结古希腊辩论者的经验 ，认为 ：推理是一种 “ 因为如果老师们 自身对几何证 明的概念不甚 了解 、模模 论证 ， 中有些被设为前提 ， 其 另外的判断则必然地 由它们 糊糊的话 ，那么在处理几何证 明教学的时候就无法把握 发生． 当推理 出由以出发的前提 是真实的和原始的时 ， 或 住 最 本 质 的东 西 ， 生也 就 无 法 从 本质 上 理 解 证 明 ， 何 者当我们对于他们 的最初知识是来 自于某些原始 的和真 学 几 的教育价值 当然就无法真正体现 出来．
数学中的几何证明的逻辑结构分析
数学中的几何证明的逻辑结构分析在数学的广袤领域中，几何证明犹如一座精巧构建的大厦，其逻辑结构便是支撑这座大厦的坚实骨架。
它不仅是数学思维的精彩展现，更是培养我们逻辑推理能力的重要途径。
那么，究竟什么是几何证明的逻辑结构？它又是如何构建和运作的呢？几何证明的逻辑结构可以理解为一系列按照特定规则和顺序排列的命题和推理，最终得出所要证明的结论。
这就好比我们要从一个起点到达一个终点，需要沿着一条清晰、合理的路径前进，途中的每一个步骤都必须有理有据，不能随意跳跃或凭空想象。
首先，我们要有明确的已知条件。
这些已知条件就像是我们出发时手中的地图和指南针，为我们指明了前进的方向和可能的路径。
例如，在证明一个三角形是等腰三角形时，我们可能已知两条边的长度相等，这就是一个关键的已知条件。
接下来是定理和定义的运用。
定理和定义是几何证明中的“工具库”，它们是经过无数数学家验证和确立的真理。
比如，勾股定理、平行线的性质定理等等。
当我们面对一个具体的证明问题时，需要准确地选取合适的定理和定义来支持我们的推理。
推理过程则是将已知条件和定理、定义相结合，通过一系列严谨的逻辑步骤得出中间结论，最终指向最终的证明目标。
这要求我们具备清晰的思维和严谨的逻辑，不能出现漏洞或错误的推断。
让我们通过一个简单的例子来具体感受一下几何证明的逻辑结构。
假设我们要证明“在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
已知条件是：这是一个直角三角形，其中一个锐角为 30 度。
我们首先运用直角三角形的性质，知道直角所对的边是斜边。
然后，我们可以通过构造一个等边三角形来辅助证明。
以斜边为边作一个等边三角形，利用等边三角形的内角都是 60 度，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得出 30 度角所对的直角边是等边三角形的一条边的一半。
而等边三角形的边长与原直角三角形的斜边相等，从而证明了结论。
在这个过程中，每一步推理都有其依据，从已知条件出发，借助相关的定理和定义，逐步推进，最终得出了清晰、无可辩驳的结论。
证明正方形的方法
证明正方形的方法正方形是一种特殊的四边形，具有很多独特的性质和特征。
证明一个图形是正方形的方法可以采用几何证明和数学推理，下面我们将深入探讨这个问题。
首先，我们来定义正方形。
正方形是一种四边形，具有以下特征：四条边相等，四个内角均为直角，对角线相等且互相垂直。
这些特征是正方形的重要特性，也是我们确定一个图形是否为正方形的基础。
证明一个图形是正方形的方法可以通过多种几何证明以及数学推理来完成。
下面我们将逐步论证。
首先，我们可以通过测量四条边的长度来证明一个图形是否为正方形。
如果一个四边形的四条边长度相等，则这个四边形符合正方形的定义。
我们可以使用尺子或者测量工具来测量四条边的长度，如果它们完全相等，则可以确定这个图形是正方形。
其次，我们可以通过测量对角线的长度来证明一个图形是否为正方形。
根据正方形的定义，对角线相等且互相垂直。
因此，我们可以使用测量工具来测量对角线的长度，如果它们完全相等，则可以确定这个图形是正方形。
除了测量边长和对角线长度，我们还可以通过角度的测量来证明一个图形是正方形。
根据正方形的定义，四个内角均为直角，即90度。
我们可以使用角度测量器或者直角尺来测量四个内角的大小，如果它们均为90度，则可以确定这个图形是正方形。
此外，我们还可以通过图形的对称性来证明一个图形是否为正方形。
正方形具有多种对称性，包括旋转对称、轴对称和中心对称。
通过观察图形的对称性，我们可以确定一个图形是否为正方形。
最后，我们可以通过计算图形的面积和周长来证明一个图形是否为正方形。
正方形的面积可以通过边长的平方来计算，周长可以通过四条边的长度相加来计算。
如果一个图形的面积和周长符合正方形的特征，则可以确定这个图形是正方形。
综上所述，证明一个图形是正方形的方法可以通过测量边长、对角线长度、角度、对称性以及计算面积和周长来完成。
这些方法可以通过几何证明和数学推理来确定一个图形是否为正方形，是一种科学严谨的方法。
通过这些方法，我们可以准确地判断一个图形是否为正方形，这对于几何学的学习和实践具有重要意义。
函数关系与几何证明 史宁中
函数关系与几何证明史宁中
函数关系与几何证明史宁中是一本研究函数关系与几何证明的
专著。
它是经过十几年的研究和考察，收集宇宙大自然的科学思想史上的结晶，为学界所称赞的经典著作。
它从历史、逻辑、数学、形式论、天文学、物理学和计算机技术等多方面构建函数关系的几何证明的理论框架。
本书首先介绍了必要知识与历史背景，包括几何史、函数史、代数史、科学进步史等，让读者对不同学科之间的联系有更深入的理解。
它研究了几何证明历史上最重要的思想发展，如函数关系理论、几何学的发展等，并指出了相关理论在实践中的应用情况。
其次，本书提出了创新的研究观点，如函数关系与几何关系的联系、几何证明如何影响实践、几何与计算机证明的联系等，并重点分析了函数关系的几何证明在实践中的应用。
著者还突出了函数关系与几何证明的联系，及其形式的转换，指出了函数关系与几何证明如何协同工作，以便于实现复杂几何问题的解决。
本书还介绍了几何证明的具体应用，如几何推理的精确性、几何推理的有效性和高效性、几何推理在计算机领域的应用、几何推理在智能系统中的应用等。
此外，本书还给出了大量有价值的实际案例，并深入分析了每个实例的特点，为读者提供了新的见解。
本书不仅为研究函数关系与几何证明的学术界提供见解，而且对计算机专业的实际工作也有很大的帮助，让大家能够更深入地了解几何学、函数关系、计算机证明以及它们在实际应用中的关系，从而更
好地从事研究与开发工作。
总而言之，本书《函数关系与几何证明史宁中》是一部令人耳目一新的经典著作，可以为学术界和实践界提供许多新鲜的见解，有助于它们更好地理解和掌握函数关系与几何研究的历史发展及它们在实践中的应用情况。
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题定义与命题教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题定义与命题教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题定义与命题，主要内容包括：三角形的概念、三角形的分类、三角形的性质、三角形的判定等。
这部分内容是几何学习的基础，对于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识，对于一些基本的几何概念和性质有所了解。
但他们在几何证明和推理方面可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握三角形的定义和性质，提高他们的几何证明和推理能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握三角形的概念、分类、性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和几何证明能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 教学重难点1.重点：三角形的概念、分类、性质和判定。
2.难点：三角形性质的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何模型，引导学生理解和掌握三角形的性质。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生自主探究和发现三角形的性质。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生团队合作和交流表达能力。
4.几何画板辅助教学：利用几何画板展示三角形的变化过程，增强学生的直观感受。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角形相关内容的课件，包括图片、动画、例题等。
2.几何画板：准备几何画板软件，用于展示三角形的变化过程。
3.练习题：挑选适合的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入三角形的概念，如：电线杆、自行车三角架等。
提问：这些实例中的三角形有什么共同特点？引导学生思考和回答。
2.呈现（10分钟）展示三角形的定义和性质，如：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的图形；三角形的三条边分别称为三角形的边；三角形的三个角分别称为三角形的内角。
第二章源头之一几何原本
《几何原本》后面各篇不再列出其它公理。这一 篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形的几何学，其中第47命题就是著 名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形(以 斜边为边的正方形) 等于直角边上的两个正方形。”
几何学的发展简史
几何学的发展历经了四个基本阶段：
一是经验事实的积累和初步整理
据考证西方的几何学就是起源于测地术．“几何 学”这个名词是我国明朝徐光启（1562—1633年） 译的，这个词的原义无论在拉丁文或希腊文都含“测 地术”的意思．
大约公元前1650年，埃及人阿默斯 （Ahrmes，生卒年月不详）手抄了一本书，即 后人所称的“阿默斯手册”，最早发现于埃及 底比斯的废墟中．公元1858年由英国的埃及学 者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故又名“莱因 德纸草书”．此书中载有很多关于面积的测量 法以及关于金字塔的几何问题．
第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面 体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。
第五公设的试证
在摆脱第五公设(也称平行公设)困扰的努力 中，第一个有影响的工作是由古希腊天文学家托 勒密完成的。在这次认真的尝试中，托勒密采取 的方式是直接证明法。他试图通过欧几里得的其 他九个公理、公设直接推导出第五公设。
第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个
题．占全书四分之一，主要讨论无理量(与给定
的量不可通约的量)，但是只涉及相当于 之类的无理量。
a b
第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系， 共有39个命题。
第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于 直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之间、 圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是： 欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等 的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法， 而是在他看来，这种计算属于实际测量而不用于理 论几何。
2024年冀教版七年级上册第二章 几何图形的初步认识第二章 几何图形的初步认识
一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“几何图形的初步认识”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.“图形的性质”是“图形与几何”领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.图形的性质的教学,需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想,感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象,通过基本事实确定论证的起点,通过证明确定论证的逻辑,通过命题确定论证的结果.要组织学生经历图形分析与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类,会用准确的语言描述研究对象的概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;要通过生活中的或者数学中的现实情境,引导学生感悟基本事实的意义,经历几何命题发现和证明的过程,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程,体会数学命题中条件和结论的表述,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界.2.本单元教学内容分析冀教版教材七年级上册第二章“几何图形的初步认识”,本章包括八个小节:2.1从生活中认识几何图形;2.2线段、射线、直线;2.3线段长短的比较;2.4线段的和与差;2.5角和角的度量;2.6角大小的比较;2.7角的和与差;2.8平面图形的旋转.“图形的性质”主题通过学习图形的概念,观察图形的特征,经历观察→猜想→验证等过程,以基本图形点、线、面展开研究.认识几何图形,了解线与角、线段与角的有关性质并学会计算,认识平面图形的旋转.本章的基本技能是画一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作两个角的和与差.能进行角的度数和线段长度的计算.由于是初中几何入门课,要注重对学生良好学习习惯的培养,一般按照“事物或模型→几何图形→文字表示→符号表示”的教学程序,让学生先理解符号或文字所表达的图形及关系,并把它们用图形直观表示出来,化“无形”为“有形”.“图形与几何”教学的一个重要目标是发展学生的空间观念,培养空间想象力,为了达到教学目标,本章教学要重视让学生从事动手操作、观察、想象、交流等活动,为学生提供有意义、有一定挑战性的学习任务,引导学生获得几何图形的知识和有关技能,为后期学习三角形、平行四边形、圆的相关概念、定理的证明以及几何综合问题等内容的教学起到铺垫作用.同时注意,本章中的一些抽象几何概念只要求学生有一些初步直观的认识,一些基本结论、基本事实也仅要求通过观察、思考、探究等活动归纳得出,仅作“说理”和“简单推理”,不要求达到很高的科学严密程度,这为以后教学逐步提高推理要求做了准备.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第二章几何图形的初步认识,学生在小学阶段对立体图形和平面图形有了初步的认识,掌握了简单图形的周长、面积、体积的计算方法,初步认识了图形的平移、旋转和轴对称,形成了初步的空间观念和几何直观.这使得本单元的学习之初容易理解,学生的学习兴趣也会很大.但随着学习的深入,对数学的探究意识、数学的抽象能力、推理能力的要求都不断提高.七年级的学生刚从小学过渡到初中,对新知识充满好奇,但还未经历过真正的数学观察、猜想、操作、思考、说理等数学活动,小组合作意识和交流、表达的能力都较弱,所以在教学过程中,要耐心引导,多鼓励学生大胆猜想,勇于表达,初步培养学生积极探索,发现问题,分析问题和解决问题的能力,逐步提高推理能力.本单元难点是对几何问题进行分析并有条理地表达,老师要利用课上多让学生交流,表达,并不断规范,在作业处理中,指出不规范表达的地方,耐心指导学生改正,增强学习信心.四、单元学习目标1.通过对丰富的实物和实例的抽象,进一步认识几何图形,尤其是点、线段、射线、直线和角,并会表示它们,发展学生抽象能力.2.经历观察、测量、画图、折纸等活动,了解点、线段、射线、直线和角的有关性质,初步形成空间观念.3.会比较线段的长短和角的大小,掌握判定线段长短和角大小的方法,发展空间观念和几何直观.4.认识角的度量单位,会进行角的换算.5.会计算线段的和与差、角的和与差,并学会用数学知识解决简单几何问题,培养学生的模型观念、应用意识.6.能使用直尺(无刻度)和圆规作线段和角,培养学生的动手能力.7.通过和角的认识相结合认识平面图形的旋转,提高学生的探究力和想象力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
湘教版九年级上册 2.4证明 2.4证明(1)公开课
2.4 证明(第一课时)证明命题“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是真命题。
注意：此题不止一种方法，请学生找到其他方法.3、例题2证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 讲解的关键：此命题的条件和结论不明显，需要引导学生找出。
而后写出已知求证。
已知： ∠1是△ABC 的一个外角，∠A 与∠B 是和它不相邻的内角， ∠2是和它相邻的内角． 求证：∠1= ∠A+ ∠B ．证明：∵ ∠1+∠2 =180º （平角的定义）∠A+∠B+ ∠2 =180º（三角形的内角和定理）∴ ∠1 = 180º－∠2 （等量减等量，差相等）∠A+∠B=180º－ ∠2（等量减等量，差相等）从而∠1 = ∠A+∠B . （等量代换）（鼓励学生寻找其他的证明方法，渗透证明的方法多种多样，只要说理环环相扣所用定理正确即可。
这也是学习几何证明的趣味所在）法二五：提高练习，能力拓展练习1、 如图，AB ∥CD ，则 ∠A 、∠C 、∠E 的大小有什么关系？并说明理由提醒注意：此题的格式 (不失一分的诀窍)练习2、（变一变你还会吗？）如图，AB ∥DE ，则 ∠B 、∠C 、∠E 的大小有什么关系？并说明理由中考链接：（2007福州）如图，直线AC ∥BD ，连接AB,直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连接PA 、PB,构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角。
（提示：有共同端点的两条重合的射线所组成的角是0°）(1) 当动点P 落在第一部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD（2）当动点P 落在第二部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否还成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P 在第三部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明1 2 AB C DABCDE。
几何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明
⼏何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明⼏何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明 ⼏何学中，有着⽆数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱⼈的⼀个。
毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明⽅法最多、应⽤最⼴泛，它是⼈类科学发现中的⼀条基本定理，对科技进步起了不可估量的作⽤。
中世纪德国数学家、天⽂学家开普勒称赞说：“⼏何学中有两件瑰宝，⼀是毕达哥拉斯定理，⼀是黄⾦分割律。
”毕达哥拉斯的百⽜宴 早在公元前2000多年的巴⽐伦的泥版书中，有⼀块泥版上刻着这样⼀个问题：“⼀根长度为30单位的棍⼦靠墙⾓直⽴，当其上端下滑6个单位时，其下端离开墙⾓有多远？”这表明当时的古巴⽐伦⼈已经发现了直⾓三⾓形三边长之间的关系，距今⾄少有4000多年了。
毕达哥拉斯定理揭⽰了⼀条⾃然界简明⽽⼜基本的科学规律：直⾓三⾓形两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。
它最先是如何被发现的，⽆从考证，但其证明的历程依然记录着⼀代⼜⼀代⼈的智慧与⼼⾎。
由于第⼀个给出证明的⼈是古希腊数学家毕达哥拉斯，因此称之为毕达哥拉斯定理。
他于公元前572年出⽣于爱琴海的萨摩斯岛，住在离泰勒斯的故乡⽶利都城不远的地⽅，曾就学于泰勒斯。
毕⽒早年旅⾏于⼩亚细亚⼤陆，⼜到过⾮尼其、埃及。
他⼏乎领略了⼀切希腊及外邦⼈的宗教秘法，并参加过埃及的宗教僧团和教派。
后来定居于意⼤利南部的克罗它岛，在那建⽴了带有神秘性质的著名的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯 毕⽒学派在⼏何学⽅⾯有许多重要的发现，如三⾓形三内⾓和等于两个直⾓、不可通约量（⽆理数）等。
但使毕达哥拉斯最为得意的还是证明毕⽒定理。
当他找到了证明这⼀定理的⽅法以后，欣喜若狂，令⼿下⼈宰了100头⽜来祭神，并⼤摆宴席，以⽰庆贺。
由此，后⼈也将此定理称为“百⽜定理”。
毕达哥拉斯证明这⼀定理的故事，最早是由公元1世纪的希腊学者普鲁塔克讲述的，公元5世纪另⼀位希腊学者普罗克鲁斯⼜把它写在欧⼏⾥得《⼏何原本》评注中。
遗憾的是，毕达哥拉斯是如何证明的，书中却⽆记载。
八年级数学上册《什么是几何证明》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.教学活动：教师引导学生从以下几个方面进行总结：
-本节课学习的几何证明方法及其适用场景。
-几何证明过程中应注意的问题和技巧。
-本节课的收获和感受。
2.设计意图：通过总结归纳，帮助学生巩固所学知识，提高几何证明能力，同时培养学生的反思和总结习惯。
5.能够通过几何证明解决实际问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师将采用以下方法引导学生学习：
1.通过问题导入法，激发学生的学习兴趣，引导学生思考几何证明的意义和价值。
2.采用讲解与示范相结合的方法，让学生在实践中掌握几何证明的基本方法和步骤。
3.设计多样化的例题和练习题，让学生在自主探究、合作交流中学会运用不同的证明方法。
-培养学生面对复杂几何问题时，能够灵活运用不同证明方法，形成系统化、条理化的解题思路。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用情境导入法，通过生活中的实际例子，让学生感受几何证明的必要性，激发学习兴趣。
-运用问题驱动的教学方法，设计具有挑战性的问题，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维和创新能力。
-结合小组合作学习，鼓励学生相互交流、讨论，发挥集体智慧，共同攻克难关。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.培养学生团队合作意识，学会倾听、表达、沟通与合作。
5.培养学生面对困难时勇于挑战、积极进取的精神风貌，树立正确的价值观。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和相关定理，但在逻辑推理和几何证明方面仍需加强。在此阶段，学生思维活跃，对新知识充满好奇心，但同时也可能存在以下问题：对几何证明的重要性认识不足，缺乏主动探究的积极性；逻辑思维能力有待提高，对证明过程的书写不规范；团队合作意识不强，沟通表达能力有待提升。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的主观能动性，引导他们积极参与课堂讨论，培养严谨的几何证明素养，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，让他们在实践中感受几何证明的魅力，从而更好地理解和掌握本章节内容。
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当结论的反面有多款时，必须驳倒其中每一款，这种反证法称为穷举法．
②同一法：若欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时可以作出 具有所有性质的图形，然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个，把 他们等同起来，这种证明方法称为同一法．
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9
§1 几何证明概述
一、几何证明的一般方法
❖ 二、例题选讲
例3.设ＡＢＣＤ为任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、 H将ＣＤ分成三等分，求证：SEFGH= SABCD．13
特 殊 化 思 想
C G H
D
x 3x
M
5x
5y
3y
N
y
SHMEFNG 13SABCD 只需证 SHMESGNF
A
E
F
B
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§1 几何证明概述
♠二、例题选讲：
4.按所选知识工具分
证题方法
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平面几何证法 代数法（如复数法） 三角法 坐标法（解析法） 向量法 ……
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§1 几何证明概述
❖ 二、例题选讲
例1.在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线l，如果
它将正方形分为面积相等的两部分，试证：这曲线的长度不
小于1．
分类思想、化归思想
D
CD
N' CD
FE 1 tan15 1 cos 30 2 3 ， sin 30
故 FG= 3 ．
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Ａ
1
Ｂ
13G
§1 几何证明概述
❖思考题.
❖1.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：直角三角形ＡＢＣ，Ｍ是斜边ＡＣ的中点，
穷举
求证：ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ.
法．
Ａ
D
Ｍ
Ｂ
E
Ｃ
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例4.如图，AD为△ABC的BC边上的中线，O为AD上一点，直 线BO、CO与AC、AB分别交于E、F.求证：EF∥BC．
证法1：延长OD,补平行四边形 证法 2：（塞瓦定理）
因 AD、BE、CF 交于一点，所以有
BD CE AF 1， DC EA FB
注意到 BD=DC，则 AF AE ， B FB EC
即有 EF∥BC.
A
F
E
O
D
C
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§1 几何证明概述
♠ 二、例题选讲
➢例5. 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中
点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交
AB于E．
F
➢求证：∠AME=∠CMB．
➢ 略证：易证△CAN≌△BCM，
➢ 因此N是AF的中点，
➢ 由对称性可知，FM经过点E，
法．
例2.以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角形
ＥＣＤ，使其两底角都是１５°，则△ＡＢＥ是等边三角
形．
Ｄ
F
Ｃ
三角法：如图，过点 E 作 AB 的垂线，分
Ｅ 别交 AB、CD 于 G、F．设正方形边长为 2，
因△EAB 是等腰三角形，欲证它是正三角形，
2
只需证明高 EG= 3 ．这可以通过计算得到：
初等几何研究
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02 科学严谨的几何证明
主要内容
§1 几何证明概述 §2 证度量关系 §3 证位置关系
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学习重点：
重点是几何题的各种证明方法及应用．同一法、三角法、 向量法等方法的应用是难点．
度量关系：线段或角的相等；和差倍分线段角； 比例线段；定值问题的证法； 位置关系：平行的证法；垂直的证法；共线点的 证法；共点线的证法；共圆点的证法；共点圆的 证法；
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§1 几何证明概述
❖ 二、例题选讲
例3.设ＡＢＣＤ为任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、H
将ＣＤ分成三等分，求证：SEFGH=
SABCD．
1 3
C G H
D
S2
S1
A
E
F
B
1 SEFGH 2SDEBG
（ 1）
S1
S2
1 3SABCD
SDEBG23SABCD （2）
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§1 几何证明概述
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§1 几何证明概述
一、几何证明的一般方法 1.按推理的逻辑结构分
演绎推理（证明推理）
逻辑推理
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合情推理
归纳推理 类比推理
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§1 几何证明概述
一、几何证明的一般方法 演绎法
完全归纳法
数学证 明方法
普通归纳法
归纳法
不完全归纳法
数学归纳法
❖ 演绎法：证题时由一般规律推导特殊事项的推理方法称为演绎 法．换句话说，演绎法是从一般到特殊的推理方法.
反证法 同一法
归谬法 穷举法
①反证法：由否定结论的正确性出发，根据假设，定义，公理，定理进行一 系列正确的推理，最后得出一个与命题的假设或某个公理，定理或自相矛盾 的结果，表明结论的反面不能成立，从而可以肯定原结论的正确性．
利用反证法，当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成了证明，这种 反证法叫归谬法；
综合法——由命题的假设入手，由因导果，通过
一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终得出结论．
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§1 几何证明概述
一、几何证明的一般方法
3.按所证明的命题类型分
❖ （１）直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公理，定理进行一 系列正面的推理，最后得出命题的结论，此证明方法称为直接证法．
C
E
1
N
E M
M
F
P
N' P
A
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BA M
NBA
N
B
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§1 几何证明概述
❖ 二、例题选讲
例2 以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角
形△ＥＣＤ，使其两底角都是１５°，则△ＡＢＥ是等边
三角形．
同一
Ｄ
ＣＤ
法． Ｃ
Ｅ
Ｅ
F
Ｅ’
Ａ
ＢＡห้องสมุดไป่ตู้
Ｂ
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§1 几何证明概述
三角
❖ 二、例题选讲
❖ 归纳法：以个别或特殊的知识为前提推导出一般性知识为结论的 推理方法称为归纳法．即归纳法是从特殊到一般的推理方法．
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§1 几何证明概述
一、几何证明的一般方法
2.按推理的序列方向分
证题方法
分析法——由命题的结论出发，执果索因，探寻
结论（及中间结论）成立的必要条件，如此逐步往 上逆求，直至达到已知的事实。
➢ 立即可知∠AME=∠CMB．
B
补形
N
A
γ
E
α
M
β
D
C
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§1 几何证明概述
♠ 二、例题选讲
➢例5. 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC 的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延 长线交AB于E．求证：∠AME=∠CMB．
❖ （２）间接证法：对于不能直接证明的命题，我们往往证明它的等效 命题（如逆否命题），这种证明方法称为间接证法．
证题方法
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直接证法
间接证法
反证法 同一法
归谬法 穷举法
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§1 几何证明概述
❖ 一、几何证明的一般方法 ❖ 3.按所证明的命题类型分
间接证法包括反证法与同一法
证题方法
直接证法 间接证法