2015届高三一轮复习专题-+函数与方程+导学案

第8讲 函数与方程编制：江海军 审核：黄立斌 邵华川导 学 目 标：1.函数的零点与方程根的联系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B 级要求；2.二分法求相应方程的近似解，B 级要求．知 识 梳 理：1．函数零点的定义(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使y ＝f (x )的值为____的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．(2)几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与 有交点⇔函数y ＝f (x )有 ．2．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y ＝f (x )在区间 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得 ，这个 也就是方程f (x )＝0的根.324.（1）定义对于区间[a ，b ]上连续不断的，且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )＜0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ；③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))；(ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④. 课 前 自 测：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点. ( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0. ( )(3)若f (x )在区间[a ，b ]上连续不断，且f (a )f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )内没有零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点. ( )(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( )(6)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个. ( )(7)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12. ( ) (8)(2012·湖北卷改编)函数f (x )＝x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为2. ( )(9)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是(－2,0)． ( )2．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是________(填序号)．3.若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________.4.(2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________.5．已知函数f (x )与g (x )的图象在R 上连续不断，由下表知方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是________.：【例1】 函数零点的判断和求解(1)(2012·湖北改编)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________.(2)设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0).当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________.【训练1】(1)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.(2)若定义在R y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.【例2】 与二次函数有关的零点分布是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【训练2】（1）已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.【例3】 函数零点的应用若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.【训练3】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程 f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是________.【例4】 函数与方程思想的应用已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0). (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.【训练4】 (1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．课 堂 热 练：：1、函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在区间________． ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．2、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．3、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为________．4、已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为________．5、(1)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )在区间(1,2)内的零点有________个．(2)(2014·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为________．第8讲 函数与方程（课后练习）编制：江海军 审核：黄立斌 邵华川A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________.3.方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________.4.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________.5.已知函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,1]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.6.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.8.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________.二、解答题9.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.10.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点.B 组 专项能力提升(时间：35分钟)1.已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0，2 014]内根的个数为________.2.已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为________.3.对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点，若二次函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a 2没有不动点，则实数a 的取值范围是________.4.若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称.则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________对.5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是________.(填序号)①当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点；②当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点；③无论k 为何值，均有2个零点；④无论k 为何值，均有4个零点.6.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围.7.已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围.。