高三函数复习专题

第一讲---函数的定义域
一、解析式型
当函数关系可用解析式表示时，其定义域的确定只需保证这个解析式在实数范围内有意义即可.求解时要由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，此不等式（或组）的解集就是所求函数的定义域.
例1 、求下列函数的定义域．
（1）
y =
（2）y =；
（3）2
lg(31)
y x =++；
（4）x y cos =
例2、求函数()lg()lg(1)f x x k x =-+-的定义域.
二、抽象函数型
抽象函数就是指没有给出具体对应关系的函数，求抽象函数的定义域一般有两种情况：一种情况是已知函数()f x 的定义域，求复合函数[()]f g x 的定义域；另一种情况是已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域.
例3、已知函数)(x f 的定义域是(12]-，，求函数)]3([log 2
1x f -的定义域.
三、实际问题型
四、学过的函数
第二讲---函数的值域
求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面给出常见方法。

一、分析观察法：结构不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出
函数的值域。

例1、求函数()1y x =≥的值域。

例2、求函数y
例3、求函数32
y x =
-的值域。

三、换元法
求值域；
注意:(1)新元的取值范围，(2)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。

例4、求函数y x =-
例5、求函数4y x =+的值域
四、配方法：二次函数或可转化为二次函数的复合函数常用此方法来还求解
例6、求函数y =的值域。

五、判别式法
方程有实根，即0≥∆从而求得y 的范围，即值域。

注意：①定义域为R ，②要对方程的二次项系数进行讨论。

例7、求函数22122
x y x x +=
-+的值域。

例8、求函数3cos 2y x =
-的值域。

例9、求函数2sin 2sin x y x -=
+的值域。

例10、求函数sin 2cos x y x
=
-的值域
七、基本不等式法：
得最值。

注意“一正、二定、三等”
例11、求函数1y x x
=+
的值域。

例12、求函数2
12y x x =+
(0)x >的值域
八、利用函数单调性：
结合函数的定义域，可求得值域。

例13、求函数x y 2=，[]2,2-∈x 的值域。

例14、求函数y =
例15、求函数y x =-
例16、求函数21()(2)x f x x x
+=≥的值域。

九、数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法。

例17、求函数()()2282++-=
x x y 的值域
十、导数法
例18、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的值域
第三讲---函数的单调性
一、主要方法：
1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.判断函数的单调性的方法有：
()1定义；()2已知函数的单调性；()3函数的导数；()4如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数；()5图像法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减”； ()7奇函数在对称的单调区间内单调性相同，偶函数在对称的单调区间内单调性相反；()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(9)在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增
函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数；()10函数)0,0(>>+=b a x
b ax y 在
,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝
或上是单调递减。

3.证明函数单调性的方法：利用单调性定义
二、典型例题
例1、求下列函数的单调区间：
()
120.7log (32)y x x =-+()2y =
例2、若函数()y f x =在R 上单调递增，2()()f m f m >-，求m 的取值范围
例3、函数()()2212-+-+=a x a x x f 在(]3,∞-上是减函数，求a 的取值范围。

例4、函数()()14322-+-+-=a x a x x f 在[)+∞,1上是减函数，求a 的取值范围。

例5、函数()b ax x x f +-=2在()1,∞-上是减函数,在()+∞,1上是增函数，求a
例6、求函数()8log 2log 2
12
21++-=x x x f 的的单调区间.
例7、求函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y 24sin log 2π的单调区间.
例8、若函数()x f 的图象与函数()x x g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=31的图象关于直线x y =对称，求()
22x x f -的单调递减区间.
例9、函数()()1132++-=x m mx x f 在[-1,2]上是增函数,求m 的取值范围。

例10、已知函数21)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围
例11、已知函数()()a ax x x f +-=221log 在区间()
2,∞-上是单调增函数，求a 的
取值范围。

第四讲---函数的奇偶性
一、主要知识及方法
（一）主要知识：
1．函数的奇偶性的定义；
2．奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；
（2）偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．
4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑()x f 与()x f -的关系。

2、牢记奇偶函数的图像特征，有助于判断函数的奇偶性；
3、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
()()0f x f x ±-=，()1()
f x f x =±-． 4．设()f x ，()
g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．
二、例题讲解
例1、已知函数()1,21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。

例2、()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设⎪⎭⎫ ⎝⎛=56f a ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛=23f b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=25f c 则（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<
例3、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 例4、判断下列各函数的奇偶性：
（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．
例5、设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．
（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．
例6、（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，
则()f x 的解析式为．
（2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，
且12||||x x <，则（ ）
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
例7、 已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]
x ∈时，2()2f x x x =-，
（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．。