大一高数高5-2(3)

10
2 max{ x , x }dx . 例9 求 ∫− 2
2
y
解
由图形可知
f ( x ) = max{ x , x }
2
2
−2
y = x2 y=x
o
x
x − 2 ≤ x ≤ 0 = x 0 ≤ x ≤ 1 , x2 1 ≤ x ≤ 2
0 2 1 −2 0
1
2
∴ 原式 = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫
x +1
f ′( x ) = 3( x 2 − 3 x + 1) = 0 ⇒ x = 3 ± 5
2
5<0
5>0
3− 5 x= 为极大值点， 2 3+ 5 x= 为极小值点 . 2
定理2（原函数存在定理） 设 f ( x ) 在[ a , b ]上连续，则 Φ ( x ) =
就是 f ( x ) 在[ a , b ]上的一个原函数.
= 4 − π.
第五章
1
1 − x dx
2
单位圆的面积
19
例 6 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证 明 （ 1） ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx ;
0 0
π 2 π 2
π π （ 2） ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0 π 证 （1）设 x = − t ⇒ dx = − dt , 2 π π x = ⇒ t = 0, x = 0⇒ t = , 2 2 π 0 π 2 ∴ f (sin x )dx = − π f sin − t dt 0 2 2
= lim
( x ∫ f ( t ) dt )′ 1
x→a
a
f ( t ) dt + xf ( x ) 1
第五章
= af ( a )
4
例3 求f ( x ) = ∫x t ( t − 2)( t − 4)dt的极值点 . 解
f ′′( x ) = 3( 2 x − 3)
3− 5 ∴ f ′′( )= −3 2 3+ 5 ∴ f ′′( )= 3 2
0
∴
∫
2∫ 0 f ( x ) dx , = 0,
−a
f ( x ) dx =
a
∫
0
[ f ( − x ) + f ( x ) ]d x
f ( − x ) = f ( x )时
f ( − x ) = − f ( x )时
第五章 18
例5 计算
∫−1
1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1− x
1 x cos x 2x2 dx dx + ∫−1 2 2 1+ 1− x 1+ 1− x
解 原式 = ∫−1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 1 x (1 − 1 − x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1− x 1 − (1 − x ) 2 1
= 4 ∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4∫0
第五章 9
2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 例8. 设f ( x ) = ,求 ∫ f ( x )dx . 0 1< x ≤ 2 5
解
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
=
1
2
∫ 2 xdx + ∫ 5 dx
0 1
o
1
2
y
= 6.
1 2
x
第五章
§ 5.2微积分的基本公式 一、积分上限函数及其导数 定义 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,则称
Φ ( x ) = f ( t )dt (a ≤ x ≤ b ) a 为积分上限函数或变上限积分.
定理 1 如果 f ( x) 在 [a, b]上连续， 则积分上限函数
∫
x
Φ( x) = ∫a f (t )dt 在 [a, b] 上 连 续 ， 可 导 ， 且 导 数 是 d x Φ′( x) = ∫a f (t )dt = f ( x) (a ≤ x ≤ b) dx
π
∫
∫
=
∫
π 2
0
f (cos t )dt =
第五章
∫
π 2
0
f (cos x )dx;
20
（2）设
π
x = π − t ⇒ dx = − dt , x = π ⇒ t = 0, x = 0 ⇒ t = π,
0
∴
∫ xf (sin x )dx = − ∫ ( π − t ) f [sin( π − t )]dt
Φ ( x) =
故
F ( x) = Φ ( x) + C
∫
x a
f ( x ) d x 是 f ( x )的一个原函数 ,
(a ≤ x ≤ b)
令 x = a , 得 C = F (a ) , 因此 Φ ( x ) = F ( x ) − F ( a ) 再令 x = b , 得 Φ(b ) =
∫
b a
3
∫
3 −1
dx 3 = arctan x = arctan 3 − arctan( −1) 2 1+ x −1 π π 7 = − (− ) = π 3 4 12
−2
dx . 2 1+ x
dx . 例5. 计算 ∫ −e −1 1 + x −2 解: 原式 = ln | 1 + x | = ln1 − ln e = −1 −e −1
第五章 1
x
d dx d dx
∫
∫
b x
f (t )d t = − f ( x )
f ( t ) d t = f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )
ϕ( x) a
d dx
∫
ϕ ( x)
ψ ( x)
f ( t ) d t = f [ϕ ( x )]ϕ ′( x ) − f [ψ ( x )]ψ ′( x )
a
a
a
a
f ( x )dx ；
② f ( x ) 为 奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
证
在∫
0 −a
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
f ( x )dx 中 令 x = − t ,则有
0
a
a
0
f ( x )dx ,
a
∫−a f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0 f ( − t )dt = ∫0 f ( − x )dx a a
∫ a = 2 ∫
2
0 π 2
0
(1 + cos 2 t ) d t
S
o a x
π 2 a2 1 π a = ( t + sin 2t ) 2 = 2 2 4 0
第五章
17
例 4 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，且有 ① f ( x ) 为 偶函数，则
∫− a f ( x )dx = 2 ∫0
第五章
2
1
11 x dx = . 2
2
11
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x )在[a , b]连续 , 且 F ′( x ) = f ( x ) , 则有
∫a f ( x) d x = f (ξ )(b − a) = F ′(ξ )(b − a) = F (b) − F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
第五章 16
∫
π 2 0
π 2 0
cos xdx .
2
例3. 计算
∫
a 0
a 2 − x 2 d x (a > 0).
解: 令 x = a sin t , 则 d x = a cos t d t , 且 当 x = 0 时, t = 0; x = a 时, t = π . 2 y y = a2 − x2 π 2 2 2 cos t d t ∴ 原式 = a
第五章
2
练
1. f ( x ) = ∫
x
0
2 ′ sin x sin t dt , f ( x ) = _______________ .
2
− e _____ . 2. f ( x ) = ∫ e dt , f ′( x ) = __________
0 t
2
x2
x
2 x sin x_____ . 3. f ( x ) = ∫ sin t dt , f ′( x ) = __________
0
∫ (π − t ) f (sin t )dt = π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t )dt
=
0
π
π
π
π
0
0
= π ∫ f (sin x )dx − ∫ xf (sin x )dx ,
0
π
π
0
∴
∫0
π
π π xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 2 0
步骤：1.换积分变量 : x = ϕ ( t )
3.换积分限 :
∫
b
a
f ( x)dx =
∫
β
α
f [ϕ (t )]ϕ ′(t )d t
2.换微元 : dx = ϕ ′( t )dt
4.相应代入，用牛 − 莱公式 .