高数积分公式大全
高数微积分公式大全(总结的比较好)
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- （7）()x x e e '= （8）()ln x x a a a '= ⑽ （9）()1ln x x '=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x= ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin 62π= （3）sin 3π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π= （1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=- （1）tan 00= （2）tan 63π=（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot6π=（3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在 十二、重要公式 （1）0sin lim 1x x x→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （9）lim 0xx e →-∞= （10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→= （12）00101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩ （系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 211c o s 2x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ∂+-∂十四、三角函数公式2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 十五、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程：()()dy f x g y dx= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.一阶线性非齐次微分方程：()()dy p x y Q x dx+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是求解不定积分、定积分和定积分的一种重要方法。
积分公式是指一些常见函数的积分表达式，熟悉和掌握这些公式可以加快求解积分的速度。
下面是一些常见的高等数学积分公式：一、不定积分公式：1. ∫kdx = kx + C （常数函数的积分）2. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （幂函数的积分）其中n不等于-1，C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C （自然对数函数的积分）4. ∫e^x dx = e^x + C （指数函数的积分）5. ∫sinxdx = -cosx + C （正弦函数的积分）6. ∫cosxdx = sinx + C （余弦函数的积分）7. ∫sec^2xdx = tanx + C （正割函数的积分）8. ∫csc^2xdx = -cotx + C （余割函数的积分）9. ∫secxtanxdx = secx + C （正割函数与正切函数的积分）10. ∫cscxcotxdx = -cscx + C （余割函数与余切函数的积分）二、定积分公式：1. ∫[a,b]kdx = k(b-a) （常数函数的定积分）2. ∫[a,b]xdx = (b^2 - a^2)/2 （幂函数的定积分）3. ∫[a,b]1/x dx = ln，b/a，（自然对数函数的定积分）三、定积分计算方法与公式：1.分部积分法∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx2.代换法（换元积分法）∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x))3.增广方法当函数的导数是其本身的倍数，例如dy/dx = ky时，可以使用增广方法进行求解，具体公式为∫d(y)e^(-kx) = e^(-kx)y4.牛顿-莱布尼茨公式若F(x)为f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)5.分式积分对于形如∫(P(x)/Q(x))dx的分式积分，其中P(x)和Q(x)是多项式函数，可以使用部分分式法进行分解，然后再分别求积分。
高数微积分公式大全dy
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
高数积分公式大全
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a++ 2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1lnax b C b x +-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -+12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-++13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -++15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．2a b - 17．x＝b +18．x＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b--+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arsh xC a+＝ln(x C + 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x＝ln(x C +++37．1ln aC a x -+ 38．C + 39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ⎰C42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．d x x ⎰ln a a C x ++44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C +48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ＝ln x C +++51．1arccosaC ax+52．C +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．d x x⎰arccos a a C x +58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分 59．＝arcsin xC a+ 60．C +61．x ＝C62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．1ln a C a x +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C +70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x a C ++72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x75．x 76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --++80．x ＝((x b b a C --81．C ()a b <82．x 2()4b a C -++ （十一）含有三角函数的积分83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+⎰97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n -+--+++⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b <105．d cos xa b x+⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a+ 108．2222d cos sin xa xb x-⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >） 113．arcsin d xx a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d xx x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d xx x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++119．arctan d xx a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax nx x x a a--⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x xx a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++（十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n nx x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224xx C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分公式是解决多种数学问题的重要工具。
积分是微积分的核心概念之一，是对函数进行求和的过程。
下面将介绍一些常见的积分公式。
一、基本积分公式1. 幂函数积分：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为常数，$C$为常数项。
2. 正弦函数积分：$\int \sin x dx=-\cos x+C$。
3. 余弦函数积分：$\int \cos x dx=\sin x+C$。
4. 指数函数积分：$\int e^x dx=e^x+C$。
5. 对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$。
6. 反正切函数积分：$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。
7. 反正弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$。
8. 反余弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C$。
二、常用积分公式1. 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$，其中$u$和$v$是可导函数。
2. 三角函数积分：- $\int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+C$。
- $\int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+C$。
- $\int \sin^3 x dx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+C$。
- $\int \cos^3 x dx=\frac{1}{3}\sin^3 x+C$。
3. 积化和差公式：$\int \sin(a+b)x dx=-\frac{\cos(a+b)x}{a+b}+C$。
$\int \cos(a+b)x dx=\frac{\sin(a+b)x}{a+b}+C$。
4. 积化导法：$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$，其中$F$为$f$的一个原函数。
高数微积分公式
高数微积分公式以下是一些高数微积分中常用的公式：1. 极限求导公式：- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}$- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(\\sin x)=\\cos x$- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(\\cos x)=-\\sin x$- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(\\ln x)=\\frac{1}{x}$ - $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}$2. 基本导数法则：- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(cf(x))=cf'(x)$ （常数的导数）- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(f(x)\\pmg(x))=f'(x)\\pm g'(x)$ （和差法则）- $\\displaystyle\\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ （乘积法则）- $\\displaystyle\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)=\\frac{f'(x)g( x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}$ （商法则）- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f'(g(x))\\cdot g'(x)$ （链式法则）3. 积分公式：- $\\displaystyle \\intx^{n}dx=\\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- $\\displaystyle \\int \\sin xdx=-\\cos x+C$- $\\displaystyle \\int \\cos xdx=\\sin x+C$- $\\displaystyle \\int \\frac{1}{x}dx=\\ln |x|+C$- $\\displaystyle \\int e^{x}dx=e^{x}+C$这些只是一些常用的公式，高数微积分中还有更多的公式和定理。
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12.（一）含有ax b 的积分（a 1. dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7.9. 10.11. 13. 常用积分公式0)1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄ax ba 3(ax bln b)2 b)ax b) C 2b(ax b) b 2lnax bdx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b)2(^dx1ln b 1 bxax ax b1=-r(ln aax bax b )2bln ax b b 2 ax b ) Cdx 2x(ax b) b(ax b)含有.ax b 的积分12In b 2ax bTax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b15ax 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C105a).(ax b)3 Cx2- d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ，ax b 3a 2215a 3dx x ¥ ax b dx x 21 ax bax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b■, ax b 、.； b .ax b.b AC (b(b 0)0)bx 2b x 丫 ax b2 ax bdx x, ax bax b ,2 dx =xa dx 2 x 、ax b14.15.16.17.18.(三)19.20.21 .(四)22.23.含有x 2 a 2的积分dx 1 x arcta n—C22 _xa a adxx2n 3 dx (x2a 2) n= 「2(n 1)a 2/22、n 1(x a )2( n 1)a 222 n 1(x a )dx~22 =x a含有ax 2 b(a 0)的积分dx ax 2 b~^= arcta n j ax C Vbax b2TZ ln(b 0) C (b 0)x2ax -dx b2aax 2 -In 2a2 34.24. x 2—- ax b dx ax 2 b25. dx x(ax 2 b) In 2b 2x 2~ ax26. dx x 2(ax 2 b) 1 bx27.dx3a l 3 2 2lnx 3(ax 2 b)2b 228. dx 2 2(ax b)29.30. (六) 31. 32. 33. dx ~2- ax2ax b2x2b(ax 2 b) 12bdx ax 2 b含有ax 2bx dx ax 2 bx cx dx ax bx c 含有■. x 2dx dx.(x 2 a 2)x7x 2" c(a 0)的积分-=2 2 arctan —2ax b _ C ■. 4ac b 、4ac ba 2 (a 丄 ln ax 2a arsh- a—dx = 2 a1dx = ----- = C/ 2 2■ x a2 ax b J b 24ac 2 ax b J b 2 4ac C b .b 2 4ac(b 2 4ac)2(b 4ac)2 bx c 0)的积分 dx ___ 2a ax 2 bx c C 1 = ln(x 、.x 2 a 2) C ■. x 2 a 2 C22—x _____ dx =7^ d,(x a )ln( x \ x 2 a 2)dx 2 2 x x a2 2x a 」 dx =xdx "x^O 2xarch 凶 aG =ln xdxx :=a 2 dx =\ x 2 a 2dx35.36.37.38.39.40.41 .42.43.44.(七)45.46.47.dxx i x 2 a 2 lln aX '. x 2 a 2dx = 、 x dx = (2x8 1 J( 3 5a 2)、.x 2X 2 X 2 a2dx = 8(2x ln( x . x 2 a 2) C 4a ln(x 8、.x 2 a 2) C2 2x a 」2 dx = x x 2 a 2ln(x、x 2 a 2)含有\ x 2a 2 (a 0)的积分—22.x a2 a xa 2)■- x 2 a 2___ x a 2 x 2.(x 2 a 2)32 ~~2, x 2x x a dx =(2x 8 aa arccos —xIn x含有、•.a 2 x 2(a 0)的积分=arcs in 仝 Cadxxx 」1dx =CJ\3I 22a ) x a2 x 2 2 x a 2r a a ln2 2 x . dx =2 2、3 x a ) x . ln2 2x a1=—arccosx 、x * 2 a 2 a dx x 2adx x 2 x^? 2 2x a 2a xC In 2 2x x a48.49.50.51 .52.53.54. 55.56.57.58.(八)59.60.4—ln 8x2a x■- x 2 2 adx =x22a . x arcs in C 2 aarcsin - C a,(a /x 2)3dxdx x 、a 2 x 2 dx x 2、a 2 x 2 lln a 心 x 2 a2 2.a x 2 a x 2a . x arcsin3a 4arcs in 仝 C8~ x = x ~x 2X 2 Ldx =評X 2 / 2 2 ax, 2 2----------- dx = '. a x _2 2 ~2 2 a x a x 2 ----dx =—x2、 2 2a ) .a x4a . x arcs in 8 aa Ina a 2 x 2 QCxarcsin 一 Ca含有i ax 2 bx c (a 0)的积分 dx 1 2= = ln 2ax b Vaxbx c 7a61.62.63.64.65.66.67.68. 69.70.71 .72. (九) 73.= 2 ax b —2=cdx = ----------- ：,ax bx c4a（十一）含有三角函数的积分82.C (a b)74.ax bx75.x ax 2 bxdx =76.dx c bx ax 277.、、c bx ax2dx4ac b 2 8 . a 3In 2ax b 2石 bxc C1Jax 2bx c a— In 2ax b 2梟罷 2府1 2 ax b —i= arcsi n = C ■ a . b 4ac2ax b - ’ 2c bx ax 4ax 2 bx cb 2 4ac . 2ax barcs inC8 . a 3 b 2 4ac78..xdx = Sc bx ax 2—空 arcsin —2ax —b — C.c bx ax 2a2 . a 3b 2 4acJ x b) Cb)F (b 加® F C=2arcsi n_a C (a b) x a)(b x)1b x(x a)(b x)的积分b 后（b曲79.83. sin xdx = cosx Ccosxdx = sinx Ccot xdx = ln si nx C sec xdx = ln ta n(- -) C 4 2 csc xdx = ln tan — C =ln2sec xdx = tan x Ccsc 2 xdx = cotx CC In cosx tan xdx = =In secx tanx cscx secx tan xdx = secx C csc x cot xdx = cscx 2x 1sin xdx = — 一 sin 2x 2 42」x 1cos xdx = sin2x 2 4n1 n 1 sin xdx = sin xcosx n n | 1 n 1 .cos xdx = cos xsinx n 1 cosx n 1n 1 sin x 1 sin x dx n sin x dxn 丄n 1cos x n 1 cos x m . n | 1cos xsin xdx = m cotx Cn 2sin xdx cos n 2 xdx dx__^"2~sin x dx彳 n 2 n 1 cos x m 1 . n 1 m 1 — cos xsi n x --------------n m n 1 m 1 . n 1 n cos xsi n x m cosm n m n 2. n .xsin xdxm ・ n 2.cos xsin xdx sin ax cosbxdx =cos(a b)xcos(a b)x C2(a b)2(a b)84. 85. 86.87.88.89. 90. 91. 92.93. 94.95. 96. 97.98. 99.100.1sin ax sin bxdx = sin(a b)x2( a b)1cosax cosbxdx = sin(a b)x(a b)dx a bsinx2a2ata n?=arcta n2b2；a2b2dx a bsinx =2l nadx a bcosx1sin (a b)x C2(a b)1sin(a b)x2(a b)b2)atan兰b 4b~a22 ___________atan^ b 4b~a22dxb a bcosxdxa2 cos2 x b2 sin2 x ______ dxa2 cos2 x b2 sin2 x(a2b2)(a2b2)CC1 arctan(— tan x)ab aab丄ln2abxsin axdx = $sin axa2 1 2x sin axdx = x cosaxax cosaxdx = $ cosaxa1x cosaxdx = x sin axa含有反三角函数的积分(其中(abta nx abta nx a1-x cos ax C a2 .2 xs in axa1 . xsi n axa22 xcosaxaa 0)arcsin x dx = xarcsin 仝Ca a23 cosaxa2 .3 sin ax C a101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 10 8. 109.110. 111.112. (十二) 113.X2• X, /X xarcs in dx =(—22X. /X x arccos-dx =(— a 2arctan — dx = x arcta n — a114.115.116.117.118.119. 120.121.(十三)122. 123. 124. 125. 126.127.12 8. 129.x 2arcsin ^dx a 3x . x =—arcs in 3 1 / 29(x2a 2)\ a 2x 2arccos xdx = axx arccos-ax 2arccos —dx a3x =—arc cos —3 a 1(x 2 2a 2). ax 2xarctan x dx = - (a 2 a 2 x 2 )arcta nax C23 x 2 arctan dx = arctan —a 3 x 2)含有指数函数的积分 1 a X dx = ----- a x C In a ax 1 ax e dx = e C a xe dx = 2 (ax a n ax 1 n ax x e dx = x e a ax1)e1 ax .e dx x x xxa dx = aIn a 2a(ln a)n x 1 nx a dx = x In aIn a n 1 x . x a dx e ax s in bxdx =— a e ax(as inbx bcosbx)e ax cosbxdx = b 2 2 -_ e ax (bsinbx acosbx) a b 2a . x)arcsin 4 a x -a x C 42a x)arccos 一 4 a al n(a 2a 2x 2) C144.130. e ax s in nbxdx1ax . n 1ea bnsin bx(a s inbx nbcosbx)131. ax n e cos bxdx =2n(n 1)bb 2n 2ax . n 2 e sin bxdx axbV en cos 1bx(a cosbx nbsin bx)2n(n 1)b ax e cos n 2bxdx 132. In xdx = xlnxx Cdx ,133. -lnln xCxln xn -1n 1八1134. x ln xdx -x (ln x n 1n135. (ln x)n dx - x(ln x)n n (ln x)136. x m(ln x)nd: x -1 mx 1(ln x)r含有对数函数的积分（十四） nm2 .22 1)C1dxmx (lnm 1x)n 1dx （十五）含有双曲函数的积分137.shxdx - chx C13 8. chxdx - shx C139. thxdx - lnchx :C 140. sh 2xdx -- 2 1sh2x C4141.2 x ch xdx -— 2 1 sh2x C4（十六）定积分142.cosnxdx -sin nxdx -0, m cos mxcos nxdx =143 .0 cosmxsin nxdx = 0144.= —C145.sin mxsin nxdx =0, m n146.—,m n20, m nsin mxsin nxdx =cosmxcos nxdx =0 2n = 2nxdx22cos nxdxn 0n 1 In -12nn 1 n 3L 4 2/ 一 亠厶 _4-- ~r\ 4 r^rAr 来、n— n 为大于1旳止可数），I 1 -1 n n 2 5 3 n 1 n 3 3 1（n 为正偶数），I 0 -nL -nn 24 2 22147.2x a b / —、(b a)2x a)(b x)dx =--------------------- 乂x a)(b x) arcsin4 4。