第三节 定积分的换元法和分部积分法3
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【2019年整理】定积分的换元法与分部积分法99169
四、设 f ( x)在 a , b 上连续，
证明
b
f ( x)dx
b f (a b x)dx.
a
a
五、证明：
1 x m (1 x)n dx 1 x n (1 x)m dx .
0
0`
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六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
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0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
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3
x
3
)dx
___________________；
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 (arcsin x)2
2
1
2
1 x2
定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。
在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。
本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。
1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。
定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。
2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。
换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。
换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。
换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。
3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。
分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。
分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。
4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。
换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。
通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分的换元法与分部积分法
原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0
解
2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x
解
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
定积分第三节定积分的换元法和分部积分法
2
解
4
0
sin
xdx
x0 t,tx0,;dxx22t,d tt202tsitndt
42
202tdcots
2tcot0 2s202cotdst
2sint02 2
例4 计算
1 0
l(n2(1x)x2)dx.
解
1
0
l(n2(1x)x2)dx
01ln1 ( x)d2 1x
ln2(1xx)10012 1xdln1(x)
f[ ( t ) ] ( t ) dt
说明:
b
af(x)d x f[ ( t ) ] ( t ) dt
1) 当 < , 即区间换为[,]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
( t ) ]
( t ) dt
b
f (x)dx
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121 xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
导数，则有
b
a udv
例9 计算 01xscionsx2 xdx .
解 积分区间为 0,，被积函数为 xfsixn
型，利用定积分公式⑥得
0 1 xs cix o 2x n ds x 20 1 scix o 2n xdsx
20 1c1o 2xd scoxs 2arccta oxn s 042
例11
设f
定积分的换元法和分部积分法
微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
（4）同不定积分一样，d x 可看作对 x 的微分 .
（5）上述换元公式也可反过来使用。
a
0
0
a
0 [ f (x ) f ( x) ]d x
即
a
a
f ( x)d x [ f ( x) f ( x) ] d x
a
0
a
a
即
f (x)d x [ f (x) f (x) ] d x
a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
则
b
f (x)d x F(b) F(a)
a
由不定积分换元法有 f [ (t)] '(t)d t F[ (t)] c
f [ (t)] '(t)d t F[ (t)]
F[( )] F[( )]
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
第四节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
5.3 定积分的换元法和分部积分法
例12 解
求
2
0
e cos xdx.
2
2x
[e sin x ] 0 sinxde
2x
2
2
2
0
e cos xdx e d sinx
2x 2x
0
2x
2
e 2 e sinxdx e 2 e 2 x d cos x
2
0
2x
0
e 2 4 e cos xdx 0 1 2 2x e cos xdx (e 2). 0 5
例5 解
计算
0
2
cos x sin xdx.
5
令 t cos x ,
x t 0, 2
dt sin xdx ,
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
5.3定积分换元法和分部积分法
5.3定积分换元法和分部积分法
I n sin n1 x cos x 0 ( n 1)0 sin n 2 x cos 2 xdx
2 2
0
I n ( n 1)0 sin
2
1 sin 2 x
n 2
xdx ( n 1)0 sinn xdx
2
(n 1) I n2 (n 1) I n
例2
计算
解 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2
D5_3换元法与分部积分法(new)
换元公式也可反过来使用, 即
(t ) (t )
f ( x) d x
a
b
(令 x (t ) )
一、定积分的换元法
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时，定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3）配元不用换极限
(t ) (t )
v cos x
I n [ cos x sin
n 1
x] 0 (n 1) sin 0
2
2
n2
x cos x dx
2
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n2
0
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m 4 m 2 m2 42 I I 2m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
1
单值函数
满足:
1) (t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ;
2) 在[ , ] 上 则
(t ) (t )
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
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0
0
a
f ( t )dt ,
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( t ) f ( t ),
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
2 f ( t )dt ;
0 a
a
0
a
f ( x )dx
② f ( x ) 为奇函数，则 f ( t ) f ( t ),
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
证
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
( t ) F [( t )],
dF dx ( t ) f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), dx dt
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
a
0
a
f ( x )dx 0.
例6
计算
1
2 x x cos x
2
1
1 1 x
2x
2
2
dx .
1
解 原式 1
x
1
1 1 x
偶函数
2 2
2
dx
2
x cos x 1 1 x
奇函数
2
1
2
dx
4
1
0
1 1 x
dx 4
2
1
x (1 1 x ) 1 (1 x )
2
0
dx
4 (1 1 x )dx 4 4
0
1
1
0
1 x dx
2
4 .
单位圆的面积
例7
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
2 2
（1） f (sin x )dx f (cos x )dx ;
必象计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成原
t 变量 x 的函数，而只要把新变量 的上、下限 分别代入 (t ) 然后相减就行了.
例1
计算 cos 5 x sin xdx.
0
2
解
令 t cos x ,
x 2
dt sin xdx ,
t 0,
5
x 0 t 1,
2
0
f sin t dt 2
0
2
f (cos t )dt
0
2
f (cos x )dx;
（2）设 x t dx dt ,
x 0 t ,
x t 0,
0
0
xf (sin x )dx ( t ) f [sin( t )]dt
b
(t ) 是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
f [( t )]( t )dt ( ) (),
( ) a 、 ( ) b ,
( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]
F (b) F (a ),
a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )
注意
b
f [ ( t )] ( t )dt .
当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t ) 把变量 x 换成新变量t
相应的改变. 时，积分限也
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数 (t ) 后，不
cos t sin t cos t
dt
1
2
2 0
cos t sin t 1 dt sin t cos t
1 1 2 . ln sin t cos t 0 4 2 2 2
例 5 当 f ( x ) 在[ a , a ]上连续，且有 ① f ( x ) 为偶函数，则
e4 e
.例4 解计算 0a1 x a x
2 2
dx .
( a 0)
令 x a sin t ,
x a t
dx a cos tdt ,
,
2
x 0 t 0,
a cos t
2 2
原式
2
0
a sin t a (1 sin t )
dt
0
2
a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx ；
0
a a
a
② f ( x ) 为奇函数，则
f ( x )dx 0 .
a
证
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
在
0 a
a
0
f ( x )dx ,
f ( x )dx 中令 x t ,
a f ( x )dx a f ( t )dt 0
0 ( t ) f (sin t )dt ,
0
xf (sin x )dx f (sin t )dt tf (sin t )dt
0 0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx ,
0
xf (sin x )dx
0
2
cos x sin xdx
0 5
t dt 1
t
6 1
0
1 6
.
6
例2
计算 0
sin x sin xdx .
3 5
解
f ( x)
3 0
3 5 sin x sin x cos x sin x 2
5
3
sin x sin xdx
3
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2 5
2
cos x sin x 2 dx cos x sin x 2 dx
3
2 3
0 sin x 2 d sin x sin x 2 d sin x
2
sin x 2
5
2
2
2 5
sin x 2
第三节 定积分的换元法和分部积分法
• 一、定积分的换元法 • 二、分部积分法 • 三、小结
一、定积分的换元法
定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2）函数 x (t ) 在[ , ] 上是单值的且有连续 导数；
（3）当t 在区间[ , ] 上变化时， x (t ) 的值 在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
0 0
（2） xf (sin x )dx
0
2 0
2
f (sin x )dx .
dx .
由此计算
x sin x 1 cos x
0
证 （1）设 x
2
t 2 ,
dx dt ,
x 2
x 0 t
t 0,
0
2
f (sin x )dx
5
2
4 5
.
0
3
例3
计算
e4 e
dx x ln x (1 ln x )
3
.
解
原式
3
e4 e
d (ln x ) ln x (1 ln x )
3
e4 e
d (ln x ) ln x (1 ln x )
3
2
6
e4 e
d ln x 1 ( ln x )
2
2arcsin( ln x )
2 0
f (sin x )dx .
0 1 cos 2 x dx
x sin x
0 1 cos 2 x dx 2
2
sin x
0 1 cos 2 x d (cos x ) 2
2
1
arctan(cos x )0
. ( ) 4 2 4 4