超级难题
10大仍未解开的数学难题
几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。
1.科拉兹猜想科拉兹猜想科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
澳大利亚数学家陶哲轩本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。
科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。
目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤；数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤；数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤；数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤； 数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。
但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
2.哥德巴赫猜想将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。
它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。
例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。
也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。
中国数学家陈景润哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。
目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。
他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。
3.孪生素数猜想这个猜想是最初发源于德国数学家希尔·伯特，他在1900年国际数学家大会上提出：存在无穷多个素数 p ，使得 p + 2 是素数。
超级难题的简单解法(六)
，
例 ４ 设 ｆｘ 是 定 义 在 Ｒ 上 的奇 函数 ， 当 （） 且 ≥０时 ， （ ） ， 对 于 任 意 的 ∈［，＋ 】 不 等 ｆｘ ＝ 若 ｔｔ ２ ，
式 ｘ ｔ≥ ＋） ） 成立 ， 实数 ｔ 恒 则 的取值 范 围是 Ｂ［ ， ∞） ． ＋ ２ Ｄ ［、 ２ ， ｌｕ［ ， ／ ． ／ 一 】 ０ 、 ２】 ＿ 据 题 意 可 知 ｆ ｘ 是 定 义 在 Ｒ 上 （）
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简 单解 法 一
依 题 意 可知 ａ ＃Ｏ且 ≠ ，． ．方 －
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文 ／ 程 宏 咏
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值 范 围．
例 １ 已知 ａ是 实 数 ． 函数 ｆ ｘ ＝ａ 一 －． （）２ｘ＋ ３ ａ ） 区 间卜１ １上 有 零 点 ， ａ的 取 在 ，］ 求
图像 ， 可得 ｋ ＝一 ，用＝６ ２ ／ ． 使 两 个 函数 的 ２ｋ － 、丁 要 图 像 在 区 间 卜１ １上 有 交 点 ， 必 须 有 ｋ ，］ 则 ≤尼≤
平行四边形超级难题学霸挑战2
2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷一．选择题（共9小题）1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．C．2cm2D．3cm22．如图，▱ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MN∥AB，PQ∥BC，则下列结论中正确的是（）A．S△MOD =S△NOBB．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD =2S四边形AMOPD．S四边形AMOP=S四边形CNOQ3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对4．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．255．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2 B ．C ．D．157．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD ＜38．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．69．△ABC 与平行四边形DEFG 如图放置，点D ，G 分别在边AB ，AC 上，点E ，F 在边BC 上．已知BE=DE ，CF=FG ，则∠A 的度数（ ）A ．等于80°B ．等于90°C ．等于100°D ．条件不足，无法判断二．选择题（共7小题）10．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD 于D ，F 为AC 中点，AB=5，BC=7，则DF= ．11．在▱ABCD 中，两对角线交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 个．12．在△ABC 中，BC=10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，B 1，B 2，C 1，C 2分别是AB ，AC 的三等分点，在图③中B 1，B 2…B 9；C 1C 2…C 9分别是AB 、AC 的10等分点，则B 1C 1+B 2C 2+…+B 9C 9的值是 ．13．已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是 ．14．已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为 ．15．如图，对面积为1的平行四边形ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，CD ，DA 至点A 1，B 1，C 1，D 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1D=2CD ，D 1A=2AD ，顺次连接A 1，B 1，C 1，D 1，得到平行四边形A 1B 1C 1D 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1、D 1A 1至点A 2，B 2，C 2，D 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，D 2记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A 5B 5C 5D 5，则其面积S 5= ．16．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= cm2．三．选择题（共23小题）17．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积．18．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．19．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．20．已知：如图，AD∥BC，AC⊥BD于O，AD+BC=5，AC=3，AE ⊥BC于E．求AE的长．21．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CN ⊥AD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M．试判断BM=MC的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．22．已知：如图在▱ABCD中，AC，BD交于O，CE ⊥BD于E，AF⊥BD于F，连接AE，CF．（1）判断四边形AFCE的形状；（2）证明你的结论．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高．24．已知：如图（1），AC是▱ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有（只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有（只写一组）．请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．25．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．线段BC 所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D．（1）经过多少秒后ED是△ABC的中位线此时ED 的长为多少（2）经过多少秒后ED的长为2cm26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．27．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．28．如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．29．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．30．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．32．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD．求证：AD ≥BC．33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．34．（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗请在图上画出对应的示意图．（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是．（不要求说明理由）35．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G 的形状是．36．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC ；（2）．37．已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC 上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．38．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗试说明理由．（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF 的周长和面积．39．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．四．解答题（共1小题）40．如图所示，在▱ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D 的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系为什么（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF 、BC与AB的关系又如何请画出图形并证明你的结论．2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．C．2cm2D．3cm2【解答】解：连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB=AC，∴BF=CF=BC=×8=4，在Rt△ABF中，AF==，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，∴NM=BC=DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2=÷2=，∴S阴影=4×÷2=．故选B．2．如图，▱ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MN∥AB，PQ∥BC，则下列结论中正确的是（）A．S△MOD=S△NOBB．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD=2S四边形AMOPD．S四边形AMOP=S四边形CNOQ【解答】解：∵平行四边形中，MN∥AB，PQ∥BC，∴S△BOP=S△BON，S△MOD=S△QOD，S（△BOP+▱APOM+△MOD）=S（△BON+▱CQON+△QOD）．∴S▱APOM=S▱CQON∴A、B、C说法都不正确，故选D．3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB ∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．4．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．25【解答】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，故选：D．5．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选：B．6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2 B ．C ．D．15【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=．△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是•5y=4y．则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=．同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．则四边形A4B2C4D2的面积是S ﹣﹣﹣﹣=，即=1，解得S=．故选：C．7．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD ＜3【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE、CE，∵AD=DE∵AD是△ABC中BC边上的中线∴BD=DC∴四边形ABEC为平行四边形∴BE=AC=4∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB即2＜2AD＜6∴1＜AD＜3故选：D．8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．6【解答】解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=BC=×6=3，∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH===4，∴S△ADE=BC •=×3×=3，设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b==2，∴S△DOE+S△FOG=DE•a+FG•b=×3（a+b）=×3×2=3，∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．故选：D．9．△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G 分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）A．等于80°B．等于90°C．等于100°D．条件不足，无法判断【解答】解：∵BE=DE∴∠B=∠BDE∵四边形DEFG是平行四边形∴∠ADG=∠B∴∠ADG=∠BDE同理：∠AGD=∠CGF∵∠AGD+∠CGF+∠DGF=180°，∠DGF+∠GDE=180°∴∠AGD+∠CGF=∠GDE∵∠ADG+∠BDE+∠GDE=180°∴∠ADG+∠BDE+∠AGD+∠CGF=180°∴∠ADG+∠AGD=90°∴∠B+∠C=90°∴∠A=90°故选：B．二．选择题（共7小题）10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF= 1 ．【解答】解：延长AD交BC于E∵AD⊥BD，BD平分∠ABC∴△ABD≌△EBD∴BE=AB=5又∵BC=7∴EC=BC﹣BE=7﹣5=2∵DF为△AEC的中位线∴DF=EC=×2=1．故答案为1．11．在▱ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 4 个．【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形EFGH是平行四边形；根据SAS可分别证明：△AHD≌△CFB，△AFB≌△CGD，可得，AH=CF，AF=CH，所以AHCF是平行四边形；同理可得BGDE是平行四边形，则以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH、ABCD、AHCF、BGDE，故有4个．故答案为4．12．在△ABC中，BC=10，B1、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图③中B1，B2…B9；C1C2…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45 ．【解答】解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1=BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2=BC+BC；…当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1=BC+BC+…+BC=BC=5（n﹣1）；当n=10时，5（n﹣1）=45；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．故答案为45．13．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（2）（3）．【解答】解：其中正确的说法是（2）、（3）．因为再加上条件“∠BAD=∠BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明△AOB≌△COD，所以，AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形．故答案为：（2）（3）．14．已知△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为．【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：22009，∵△ABC周长为1，∴第2010个三角形的周长为．故答案为：．15．如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5= 135．【解答】解：如图，连接BD，B1D，∵B1C=2BC，∴△B1DC的面积是△DBC的面积的两倍，又∵C1D=2DC，△B1C1D的面积是△B1DC的两倍，∴△B1C1C的面积是△DBC的面积的6倍，也就是平行四边形ABCD的面积的三倍，以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍，∴新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍，按此规律继续下去，那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135．故填空答案135．16．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= 144 cm2．【解答】解：设S△AEF 的高为h1，S△DCF的高为h2，平行四边形的高为h ∵平行四边形ABCD ∴△AEF∽△CDF∵S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2∴AE：DC=AE：AB=1：3，h 1：h2=1：3∴AB=3AE∵h=h1+h2∴h=4h1∵S△AEF=AE•h1=6∴AE•h1=12∴S平行四边形ABCD =AB•h=3AE•4h1=12AE•h1=144cm2三．选择题（共23小题）17．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积．【解答】解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE∥AM，∴四边形AMED是平行四边形，∴AD=ME，AM=DE，∵M 是BC的中点，AD=10，∴MB==5，∴BE=BM+ME=15，∵四边形AMED是平行四边形，∴AM=DE=9，∵BD=12，∴92+122=152，即BD2+DE2=BE2，∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为=，∴平行四边形ABCD的面积为10×=72．18．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．【解答】证明：（1）直角三角形ACB中，∵CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=BE=CD，又∵AB∥CD，∴BCDE为平行四边形，∴BC∥DE，∵AC⊥BC，∴DE⊥AC．（2）∵CD∥AB，∴∠ACD=∠CAE．由（1）知EC=EA，∴∠A=∠ACE．∴∠ACD=∠ACE．19．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．20．已知：如图，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，AD+BC=5，AC=3，AE ⊥BC 于E ．求AE 的长．【解答】解：过点A 作AF ∥DB 交CB 的延长线于点F ，（1分） ∵AD ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴FB=AD ． ∵AD+BC=5，∴FC=FB+BC=AD+BC=5．（2分） ∵AC ⊥BD ， ∴FA ⊥AC ．（3分）在△FAC 中，∠FAC=90°，AC=3，FC=5， ∴AF=4．（4分） ∵AE ⊥BC 于E ， ∴AF •AC=FC •AE ． ∴AE=．（5分）21．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CN ⊥AD 于E 交AB 于N ，F 是AC 的中点，FE 的延长线交BC 于M ．试判断BM=MC 的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．【解答】解：结论BM=MC 正确．证明过程如下： ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠NAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠AEN=∠AEC=90°． ∵AE=AE ， ∴△ANE ≌△ACE ． ∴NE=CE ．∵F 为AC 的中点， ∴AF=CF ． ∴EF ∥AB ． ∵AF=CF ， ∴BM=MC ．22．已知：如图在▱ABCD 中，AC ，BD 交于O ，CE ⊥BD 于E ，AF ⊥BD 于F ，连接AE ，CF ． （1）判断四边形AFCE 的形状；（2）证明你的结论．【解答】解：（1）四边形AFCE 是平行四边形．（2）∵在△ABE和△CDF中∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．又∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∴OE=OF．∴AECF是平行四边形．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高．【解答】解：（1）四边形ABCD为平行四边形．∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°在Rt△OBC中，OB=，BC=3，∴．∵AC=4，∴OA=2，∴OA=OC．∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．又∵∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴BC=AD．∵BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形．（2）设AB边上的高为h，∵S平行四边形ABCD=BC•AC=AB•h，∴3×4=5h，∴h=．即AB边上的高为．24．已知：如图（1），AC是▱ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ （只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ （只写一组）．请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．【解答】解：探究（1）：如图（2），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．探究（2）：如图（3），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．选择探究（1）：如图（2），证明MP=NQ．理由：如图（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；又MN∥AC，∵四边形ACNP是平行四边形，∴NP=AC．同理可证MQ=AC，∴NP=MQ∴PQ+QN=MP+PQ，∴MP=NQ．25．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．线段BC 所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D．（1）经过多少秒后ED是△ABC的中位线此时ED 的长为多少（2）经过多少秒后ED的长为2cm【解答】解：（1）ED是△ABC的中位线即E、D分别为AB、AC的中点，则ED=BC=4cm，∴BE=AB=3cm，∵动点速度为每秒2cm，∴时间为t==；（2）ED的长为2cm，即ED=BC，∴AE=AB=，∴BE=6cm﹣=故时间t==秒，答：（1）经过秒后ED是△ABC的中位线，此时ED 的长为4cm，（2）经过秒后ED的长为2cm．26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．【解答】解：（1）△ACD≌△CBF证：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∠ACD=∠B=60°∵CD=BF∴△ACD≌△CBF（SAS）（2）四边形CDEF为平行四边形∵△ACD≌△CBF∴∠DAC=∠BCF，CF=AD∵△AED是等边三角形∴AD=DE∴CF=DE①∵∠ACG+∠BCF=60°∴∠ACG+∠DAC=60°∴∠AGC=180°﹣（∠ACG+∠DAC）=120°∴∠DGF=∠AGC=120°∵△AED是等边三角形∴∠ADE=60°∴∠DGF+∠ADE=180°∴CF∥DE②综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．（3）∵AC=BC，当点D是BC中点时，BF=CD=BC=AB，∴CF为AB边上的中线，CF平分∠ACB，∴∠DEF=∠ACB=30°，∴当点D是BC中点时，∠DEF=30°．27．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．【解答】证明：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵DE=CF，∴AE=BF．∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM=ME，CN=NE．∴MN是△BCE的中位线．∴MN∥AD，MN=AD．28．如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG∵G、N、M分别是BD、BC、AD的中点，∴GN是△ADB的AB对的中位线，GM是△BCD的CD 对的中位线∴NG∥AB，NG=AB，GM∥CD，GM=CD∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME又∵AB=CD∴MG=NG∴∠GNM=∠GME∴∠1=∠2．29．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．【解答】解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120度．又∵EF=AE，∴BD=FE．∴△BDE≌△FEC．（选证二）△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．（选证三）△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=∠CED=60度．∵EF=AE，△AEF是等边三角形．∴AE=AF，∠EAF=60度．∴△ABE≌△ACF．（2）四边形ABDF是平行四边形．理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．∴AB∥DF，BD∥AF．∴四边形ABDF是平行四边形．（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．∴EF∥AB，EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G，则EG=．∴S四边形ABEF=EG•（AB+EF）=（6+4）=10．30．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．【解答】（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF．∴∠1=∠2，∠3=∠4∵E是AD的中点，∴AE=DE．∴△ABE≌△DFE．（2）解：四边形ABDF是平行四边形．∵△ABE≌△DFE，∴AB=DF又∵AB∥DF∴四边形ABDF是平行四边形．32．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD．求证：AD ≥BC．【解答】（1）证明：如图，当A、D为BH、CH的中点时，AD=BC．（2）证明：如图，当A，D不是BH、CH的中点时．∵∠B=∠C，∴BH=HC．∵DH=AB，∴AH=CD．过B作BE∥AD，过D作DE∥BH，BE与DE交于E点，连接EC∴四边形ABED为平行四边形，∠EDC=∠H．∴DE=AB，BE=AD．∴DH=DE．又∵CD=AH∴△ADH≌△CED．∴CE=AD．∴BE=CE．在△BEC中，BE+EC＞BC，∴2AD＞BC．∴AD ＞BC．综合（1），（2）可得，AD ≥BC．33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为90．34．（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗请在图上画出对应的示意图．（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是28 ．（不要求说明理由）【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．连接AC．在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC 的中点，即EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，EF=AC．在△ADC中，同样可以得到HG∥AC，HG=AC．所以四边形EFGH是平行四边形．（2）如图，（3）四边形ABCD是面积是28．35．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是平行四边形．【解答】解：操作2：四边形FF1G1G的形状是平行四边形连接AC．在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC的中点，即EF 是△ABC的中位线，所以EF∥AC，EF=AC．在△ADC中，同样可以得到HG∥AC，HG=AC．又△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置所以EF1∥AC，EF1=AC同理HG1∥AC，HG1=AC∴FF1∥GG1且FF1=GG1四边形FF1G1G是平行四边形．36．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC ；（2）．【解答】证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；∵BE⊥AG，∴∠AEB=∠BEG=90°；∵BE平分∠ABG，∴∠ABE=∠GBE；∴∠BAE=∠BGE；∴△ABG是等腰三角形；∴AB=BG，E是AG中点；同理可得：AC=CF，D是AF中点；∴DE是△AFG的中位线；∴DE∥BC．（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，∴DE=FG；∵FG=BG+CF﹣BC，且AB=BG，AC=CF；∴FG=AB+AC﹣BC，即DE=（AB+AC﹣BC）．37．已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC 上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．【解答】（1）证明：∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠PAB+∠PBA=90°．∴∠APB=180°﹣90°=90°．从而AP⊥PB．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5．又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠PAD=∠DPA．∴DP=AD=5．同理PC=BC=5．∴AB=DC=DP+PC=10．∴在Rt△APB中，应用勾股定理得：．∴△APB 的面积是．38．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗试说明理由．（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF 的周长和面积．【解答】解：（1）AC，EF互相平分．证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA又∵AE，CF分别平分∠BAD，和∠BCD．∴∠BAE=∠DAE=，∠BCF=∠DCF=，∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAE=∠BCF。
初三数学试卷超级难题
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10等于：A. 25B. 27C. 29D. 312. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，若AB=8cm，则BC的长度为：A. 4√3 cmB. 8√3 cmC. 16√3 cmD. 4√6 cm3. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[0, 3]上有极值，则f(x)的极大值点x为：A. 1B. 2C. 3D. 2或34. 已知函数y = log2(x - 1)的图像关于点(2, 1)对称，则该函数的图像上存在一个点P，使得点P到直线y = x的距离为：A. 1B. √2C. 2D. √35. 在直角坐标系中，点A(-3, 2)，点B(1, -4)，则线段AB的中点坐标为：A. (-1, -1)B. (-2, -1)C. (-1, -2)D. (0, -1)6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，那么数列的前n项和S_n为：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 27. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为：A. k^2 + b^2 = 4B. k^2 + b^2 = 16C. k^2 + b^2 = 5D. k^2 + b^2 = 98. 在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，则△ABC的外接圆半径R为：A. 2√3B. √3C. √2D. 29. 函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数y = e^x - x在x=0处取得极值，则该极值为：A. 1B. 0C. -1D. e二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a, b, c之间的关系为______。
智商测试题超级难(3篇)
第1篇欢迎来到这场前所未有的智商挑战！以下是精心设计的2500字以上的超级难题集合，旨在测试你的逻辑思维、数学能力、语言理解、空间想象等多方面的智力。
请准备好你的大脑，开始这场智力马拉松吧！第一部分：逻辑推理1. 谜题解析：一个房间里有五个人，分别是甲、乙、丙、丁、戊。
他们分别来自不同的国家，说着不同的语言，穿着不同的衣服。
已知：甲是英国人，穿蓝色衣服；乙会说英语，穿红色衣服；丙是日本人，穿黑色衣服；丁会说日语，穿绿色衣服；戊会说中文，穿白色衣服。
请问：哪个人是穿黄色衣服的法国人，会说德语？2. 数字游戏：在一个数字序列中，每个数字都是前两个数字之和。
序列的前几个数字是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... 请问：这个序列的第100个数字是多少？3. 逻辑链条：有四个陈述，分别是A、B、C、D。
已知：A和D是矛盾关系；B和C 是反对关系；A和C是无关关系。
请问：哪个陈述是正确的？第二部分：数学难题1. 几何挑战：一个正方体的边长为2，另一个正方体的边长为3。
两个正方体重叠的部分是一个正方形，求这个正方形的面积。
2. 概率问题：一个袋子里有5个红球、3个蓝球、2个绿球。
随机取出一个球，不放回，再取出一个球。
求取出两个红球的概率。
3. 数列问题：一个数列的前三项是2, 4, 8。
从第四项开始，每一项都是前两项之和。
求这个数列的第10项。
第三部分：语言理解1. 文字游戏：以下是一段文字，请找出其中的错误。
“今天天气真好，阳光明媚，小鸟在树上欢快地唱歌。
我拿起相机，记录下这美好的瞬间。
突然，一只蝴蝶飞过来，停在我的手上。
我仔细观察，发现它的翅膀上有五条线。
”2. 成语解析：解释以下成语的正确含义。
- 班门弄斧- 空中楼阁- 破釜沉舟3. 逻辑判断：以下是一个句子，请判断其逻辑是否正确。
“如果明天下雨，我就不去公园。
”第四部分：空间想象1. 立体图形：请根据以下描述，在纸上画出这个立体图形。
高中物理竞赛热学超级经典难题
高中物理竞赛热学超级经典难题1．已知大气压强p为l高水银柱，水银的密度为ρ．有一U型管由三段长度均为l，横截面积均为S的直细管构成，其两平行边沿竖直方向．U型管一端封闭，另一端敞开．在U 型管中有一段长度为/2l的水银柱．开始时，水银柱刚好位于U型管左竖直边的下半部，此时被封闭的气柱的温度为T，如图所示．现使气柱中的气体缓慢膨胀，直到水银从U型管的开口端全部逸出为止．(1)求整个过程中封闭气柱中的气体压强p与气柱长度x的函数关系，并画出/~/p p x l关系曲线；(2)求整个过程中封闭气柱中的气体温度T与气柱长度x的函数关系，并画出/~/T T x l关系曲线；(3)已知封闭气柱中气体的内能E与温度T的关系为32E RTν=，其中ν为气体的摩尔数，R为气体普适常量，求在整个过程中封闭气柱中的气体与外界交换的热量(忽略水银柱与气柱之间的热交换)．(1)依题意可得(a)2lx l≤≤：()p p g l x gxρρ=−−=；(b)32l x l≤≤：p glρ=；(c)322l x l<≤：0(2)()22l lp p g x l g xρρ=++−=−+；(d)522l x l<≤：322lp p g glρρ=+=；(e)532l x l<<：0(3)(4)p p g l x g l xρρ=+−=−；故得()23()23()(2)2235(2)225(4)(3)2lgx x lgl l x llp g x l x lgl l x lg l x l x lρρρρρ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎪=−+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎪−<<⎪⎩(2)根据(/2)(/2)pxS gl l ST Tρ=可得p/p3/21/211/213/225/23x/ll/2l/2T200004()()234()()2134()()(2)2256()(2)254(4)()(3)2x l T x l l x T l x l l x x T T l x l l l xT l x l l x x T l x l l l ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎪=−+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎪−<<⎪⎩(3)01113313[(1)1(1)(1)]22222222i i i i i ilW p V p x S p S=∆=∆=+++++++∑∑2238gl S ρ=，2000033333333()(12)2222228gl l E R T T R T T RT S gl S ρνννρ∆=−=−===，27Q E W gl S ρ=∆+=2．有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A 和B ，如图所示，A 、B 分别盛有1mol 氮气和氦气，今将336J 的热量缓慢地由底部传给气体，设活塞上的压强始终保持为1atm ，求(1)A 部和B 部气体温度的改变量，系统对外所作的功(设导热板的热容量可忽略不计)；(2)将位置固定的导热板换成可自由滑动的导热板，重复上述讨论．(3)将位置固定的导热板换成可自由滑动的绝热板，重复上述讨论．(1)52A Q R T =∆，3522B Q R T p V R T =∆+∆=∆，5A B Q Q Q R T =+=∆，8.085Q T K R ∆==，5367.222B B A Q E R T R T J =−∆=∆−∆=．(2)5722A Q R T p V R T =∆+∆=∆，3522B Q R T p V R T =∆+∆=∆，6A B Q Q Q R T =+=∆， 6.746Q T K R ∆==，35611222A Q E R T R T R T J =−∆=∆−∆−∆=．(3)557222Q E A R T p V R T R T R T =∆+=∆+∆=∆+∆=∆，211.67Q T K R ∆==，759822A Q E R T R T J =−∆=∆−∆=．T /T 011/213/225/23x /l4612153．双原子理想气体经如图所示的直线过程从状态a 过渡到状态b ．(1)求此过程中系统内能的改变、做功和热传递．(2)过程a →b 中哪一状态对应的温度最高．(3)过程a →b 哪一状态为吸、放热转折点．(1)55()()500()22b a b b b a E R T T p V p V J ν∆=−=−=−，i i i A p V =∆=∑1()()400()2a b b a p p V V J +−=，100()Q E A J =∆+=−． (2)22410125/4(25/2)(410)p V pV V T V V pV RT R R R νννν=−+⎧−−→==−+=⎨=⎩，335(10)4V m −=为温度极大值点．切线法：~p V 线与等温线相切点为温度极值点()()0p p V V pV pV p V +∆+∆−=∆+∆=，4104p p V V V V ∆−+=−=−=−→∆335(10)4V m −=为温度极大值点．(3)考虑一微小过程：(,)()p V p p V V →+∆+∆，，p V V p R T ν∆+∆=∆．575222Q E A R T p V p V V p ν∆=∆+∆=∆+∆=∆+∆7(410)2V V =−+∆+5(4)(2435)2V V V V −∆=−+∆，3335(10)24V m −=，吸放热转折点．切线法：~p V 线与绝热线相切点为吸放热转折点pV c γ=，()()0p p V V pV γγ+∆+∆−=，()(1/)()(1/)/0p p V V V pV p p V V V pV pV pV V V γγγγγγγγγ+∆+∆−≈+∆+∆−≈∆+∆=，//p V p V γ∆∆=−，741045p V V Vγ−+−=−=−→3335(10)24V m −=，吸放热转折点．4．有一方形气缸被两楔形活塞I 和II 分割成两室A 和B ．活塞I 和II 的斜面倾角均为045θ=，质量可忽略不计，两者均可沿气缸滑动，它们与气缸接触面间的摩擦系数为0.5μ=．开始时，A 和B 两室体积相等，分别装有1mol 温度为T 0，压强等于外界气压0p 的同种理想气体，气体的内能E 与温度T 的关系为3E RT =，其中R 为气体普适常量，该气体在绝热过程中温度T 和体积V 满足：1/3TV =常量．现将量值为Q 的热量缓慢地由气缸底部传给A 中的气体，试求A 和B 中气体的最终温度．假设：除了气缸底部外，气缸壁和两活塞均绝热，活塞与气缸接触面间的摩擦所产生的热量不传给A 和B 中的气体．p 0p 0, T 0p 0, T 0QA BIIIθθ分3种情况：(1)热量Q 不足以使A 中的气体推动活塞I 移动．此时A 中气体的末态压强A p 满足(S 为气缸的横截面积)0()A A p p S p S μ−≤(1)，即0021Ap p p μ≤=−(2)，A 中气体所经历的过程为等容过程，因此03()A A Q E R T T ∆==−(3)，解得03A QT T R=+(4)，B 中气体状态不变，因此0B T T =(5)，A 中气体的末态压强0000(1)3A A T Q p p p T RT ==+(6)，根据02A p p ≤可得此时03Q RT ≤(7)．(2)热量Q 足以使A 中的气体推动活塞I 移动，但不足以使B 中的气体推动活塞II 移动．此时A 、B 中气体的末态压强满足0()B B p p S p S μ−≤(8)，()A B A p p S p S μ−=(9)，即0021B p p p μ≤=−(10)，21B A B pp p μ==−(11)，B 中气体所经历的过程为绝热过程，活塞I 对B中气体所做的功03()B B B W E R T T ∆'==−(12)，A 中气体对活塞I 所做的功026()A B B W W R T T '==−(13)，对A 中气体，由热力学第一定律：A A Q E W ∆=+可得003()6()A B Q R T T R T T =−+−(14)，即000233A B T T QT T RT +=+(15)，对B 中的气体，根据绝热过程方程：1/31/300B B T V T V =可得300()B B T V V T =(16)，另一方面，根据理想气体状态方程：000A A B B A Bp V p V p V T T T ==可得3001()2A B A A BB A B B T T p T V V V T p T T ==(17)，根据(16)(17)和02A B V V V +=得400024()A B B T T T T T T +=(18)，联立(15)和(18)解得1/400034(3)33A Q Q T T RT RT ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+−+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭(19)，1/4001(3)43B Q T T RT ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦(20)，B 中末态的压强000001(3)43B B B V T Q p p p V T RT ==+(21)，由03Q RT >和02B p p ≤可得此时Q 的范围为00315RT Q RT <≤(22)．(3)015Q RT >，此时热量Q 足以使A 中的气体推动活塞I 移动，也足以使B 中的气体推动活塞II 移动．当系统吸收热量015Q RT '=时，根据(19)和(20)，A 、B 中的温度分别为5/40(82)AT T '=−(23)，1/402B T T '=(24)，此后B 中气体状态不变，A 中气体所经历的过程为等压过程，由此015()3()4()A A AA A A A Q RT p V V R T T R T T '''−=−+−=−(25)，解得5/4001517(2)444A A Q RT Q T T T R R−'=+=−+(26)，B 中末态的温度1/402B B T T T '==(27)．综合上述结果，可得(1)03Q RT ≤时003A B Q T T R T T ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(28)；(2)00315RT Q RT <≤时1/4001/40034(3)331(3)43A B Q Q T T RT RT Q T T RT ⎧⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪=+−+⎨⎬⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎩⎭⎨⎪⎡⎤=+⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩(29)；(3)015Q RT >时5/401/4017(2)442A BQ T T R T T ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩(30)．5．有一个空的气球，初始体积为0，在恒温T下对气球充气，在充气过程中气球外面的压力0P保持不变，充入质量为m的理想气体后，体积膨胀为0V．如果在充气过程中气球外面的压力是变化的，压力每次变化NP/，每次在定压下充入质量为Nm/的理想气体，经N次充气后，气球外面的压力从NP/增加到0P，质量为m的理想气体全部被充入气球．假设气球在每次充气的始末时刻是球形的．试求：(1)在第i次(Ni≤≤1)充气的始末时刻气球的半径比fibirr/，(2)气球在第i次被压缩过程中传给环境的热量．00PV mRT=，111fPV m RT=，101//P P N m m N==，，10fV V=，1212bPV m RT=，210/2/2b fV V V==，12122fPV m RT=，20fV V=，….，11(1)biiPV i m RT=−，11fiiPV im RT=，/(1)/bi fiV V i i=−，1/3/[(1)/](1)bi fir r i i i N=−≤≤，．气球在第i次被压缩过程中，气体的压力为1/P im RT V=，气体所做的功111lim lim[/]n nj j j jn nj jW P V im RT V V→∞→∞===∆=∆∑∑．当n→∞时，1()/0j j jV V V+−→，令1()//j j jV V V a n+−=，则有1/1/j jV V a n+=+，(1)11lim/lim/lim(1/)nn ab i fi j jn n njV V V V a n e++→∞→∞→∞===+=∏，(1)ln/b i fia V V+=，11lim/nj jnjW im RT V V→∞==∆∑1(1)ln(/)b i fiim RT V V+=．利用11fiiPV im RT=和1()1(1)b i ii PV im RT++=得(1)//(1)b i fiV V i i+=+，(1)i N≤<，1ln[(1)/]W im RT i i=−+，负号表示此过程是外界对气体做功，从而使气体的体积缩小．根据理想气体的内能仅是温度的函数，气球在第i次被压缩过程中传给环境的热量为100ln[(1)/]ln[(1)/]iQ W im RT i i PV i iN==+=+．6.有一个质量均匀分布、长度为L、定压热容量为常量PC的物体，两端的温度分别为1T和2T且1T<2T．已知1niix L=∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)ni inix bx L bL Lb→∞=∆+=++−∑．试问(1)当1T等于环境温度T、物体各处的温度都降到T时所能做出的最大功和物体放给环境的热量．(2)当1T>T、物体各处的温度都降到1T时所能做出的最大功和放给环境的热量．(3)当1T>T、物体各处的温度都降到环境温度T时所能做出的最大功和放给环境的热量．如图所示，先求单位长度热容量为c、长度为i xΔ、温度为f T的物体，当温度降到gT时所能做出的最大功111()(1/)m mi ij i j j g jj jW W c x T T T T−====∆−−=∑∑11()mi j jjc x T T−=∆−−∑11()/mi g j j jjc x T T T T−=∆−∑11()()/mi f g i g j j jjc x T T c x T T T T−==∆−−∆−∑．(1)当m→∞时，1()/0j j jT T T−−→，令1()//j j jT T T a m−−=，则有1/1/j jT T a m−=+，11lim/lim/lim(1/)mmf g j jm m mjT T T T a m−→∞→∞→∞===+∏a e=，ln/f ga T T=，()i i f gW c x T T=∆−−ln/i g f gc x T T T∆．根据题意/Pc C L=，当020()/f iT T T T x L=+−，gT T=，则有020210110()[ln ]n ni P i i i i i LT T T x C T T W W x x T L L LT ==+−−==∆−∑∑2101[ln(1)]nP i i i i C T Tx x T bx L L =−=∆−+∑，其中200()T T b LT −=．因为1ni i x L =∆=∑，21/2n i i i x x L =∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)n i i n i x bx L bL L b →∞=∆+=++−∑，可得当温度降到0T 时物体所能做出的最大功为200200222001{[()ln(1)]}(ln )22P P T T T T T T T T W C L bL L C L b T T T −+=−++−=−−，物体放出的总热量为2020011()2nnP i f i i P i i T T T T C Q c x T T x x C L L ==−−=∆−=∆=∑∑．物体放给环境的热量为20200222200200200(ln )(ln 1)22P P P T T T T T T T T TQ Q W C C C T T T T T T T −+=−=−−=−−−．(2)当121()/f i T T T T x L =+−，1g T T =，则有1212111111()[ln ]n n i P i i i i i LT T T x C T T W W x x T L L LT ==+−−==∆−∑∑，因为1ni i x L =∆=∑，21/2n i i i x x L =∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)ni i n i x bx L bL L b →∞=∆+=++−∑，211()T T b LT −=，可得2112112212111{[()ln(1)]}(ln )22P P T T T T T TT T W C L bL L C L b T T T −+=−++−=−−．物体的温度降到1T 时放出的总热量为2121111()2nn P i f i i Pi i C T T T T Q c x T T x x C L L ==−−=∆−=∆=∑∑；物体放给温度为1T 的热源的热量为212112222111211211(ln )(ln 1)22P P P T T T T TT T T T Q Q W C C C T T T T T T T −+=−=−−=−−−；热量1Q 所能做出的功为22210110211(1/)()(ln 1)P T T W Q T T C T T T T T =−=−−−．所以当物体的温度降到1T 时所能做出的最大功21122221210211211(ln )()(ln 1)2P P T T TT T T T W W W C C T T T T T T T T +=+=−+−−=−−202120211(ln )2P T T T T TC T T T T −−+−，物体放给环境的热量为202121222000211211(ln )(ln 1)22P P P T T T T T T T T TQ Q W C C T C T T T T T T T −−=−=−−+=−−−．(3)当121()/f i T T T T x L =+−，g T T =，则有12121100110()[ln ]n ni P i i i i i LT T T x C T TW W x x T T T L L LT ==+−−==∆+−−=∑∑211100010[ln ln(1)]nP i i ii C T T T x x T T T T bx LL T =−∆+−−−+∑．其中211()T T b LT −=，因为1nii xL =∆=∑，21/2ni ii x x L =∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)ni i n i x bx L bL L b →∞=∆+=++−∑，可得当温度降到0T 时物体所能做出的最大功为021110001{ln [()ln(1)]}2P T T T T W C T T T L bL L T L b−=+−−−++−022********(ln ln )2P T T T T T TC T T T T T +=−−−．物体放出的总热量为2121010011()()()2nn P i f i i Pi i C T T T T Q c x T T x x T T C T L L ==−+=∆−=∆+−=−∑∑，物体放给环境的热量为0202212112120000002010201()(ln ln )(ln ln )22P P P T T T T T T T T T T T TQ Q W C T C T C T T T T T T T T T T ++=−=−−−−=+−−−7.有两个质量相同、且定压热容量同为常数P C 的物体，它们的初始温度分别为1T 和2T (12T T >)，并满足1002T T T T −=−，其中0T 为环境温度．试算利用这两个物体所能做出的最大功．(1)10(1/)i i P i i W Q C T T T η==−−∆，1011()n ni ii P i i i T T W W C T T T +==−==−∆−∑∑，当n →∞时，1()/0i i i T T T +−→，令1()//i i i T T T a n+−=，则有1/1/i i T T a n+=+，0111lim /lim /lim(1/)nn a i i n n n j T T T T a n e +→∞→∞→∞===+=∏，01ln /a T T =，110010[ln(/)]P W C T T T T T =−−(2)102(1/)()i i i i i W Q T T W Q η==−+，00201//i ii i P i i iT T T TW Q C T T T T −−==∆0/i i P i P C T T T C T =∆−∆，10()i nni ii P i ni niT T W W C T T T +==−==−∆∑∑，当n →∞时，1()/0i i i T T T +−→，令1()//i i i T T T a n +−=，则有1/1/i i T T a n +=+，0211lim /lim /lim(1/)n n a i i n n n j T T T T a n e +→∞→∞→∞===+=∏，02ln /a T T =，200202[ln(/)()]P W C T T T T T =−−，1210010[ln(/)]P W W C T T T T T +=−−+00202[ln(/)()]P C T T T T T −−2010020012[ln(/)ln(/)]ln[/()]P P C T T T T T C T T TT =−+=，202()0T T −>，0220//2T T T T +>，22202000220121/[(2/)/]/[(2)]/()1T T T T T T T T T TT −=−=>．8．【已知卡诺热机的效率121/1/W Q T T η==−，其中1Q 是热机从温度为1T 的高温热源吸取的热量，2Q 是热机放给温度为2T 的低温热源的热量，12W Q Q =−是热机的输出功．】现有一卡诺热机工作在温度分别为T 和0T 的热源之间，其效率为01/T T η=−，每单位时间从温度为H T 的热源传递热量q 到温度为T 的热源后，其中一部分热量L q 成为热损失传到环境中，剩余的热量()L q q −传到热机中，热量q 和L q 的大小分别为()H q k T T =−和0()L L q k T T =−，其中k 和L k 是两个常数且有0L k k >>和0L q q ≥≥．当高、低温热源的温度H T 和0T 不变，而中间热源的温度T 可变时，试求(1)卡诺热机的输出功率P (每单位时间的输出功)和该系统(由热机和热源构成)的总效率/T P q η=；(2)当T 为何值时，0=P ；(3)当T 为何值时，输出功率达到最大值和所对应的系统总效率； (4)当T 为何值时，系统总效率达到最大值和所对应的输出功率．(1)000[()()](1/)()(1/)H L P k T T k T T T T a bT T T =−−−−=−−，0()[1]()L T H k T T k T T η−=−−0(1/)T T −，其中0H L a kT k T =+，L b k k =+．(2)0T T =或0()/()/H L L H T kT k T k k a b T =++=<，0=P ．(3)利用222()20x y x y xy −=+−≥且222x y xy +≥(当x y =时，等号成立)可证2000()(1/)()/P a bT T T bT aT bT T aT T =−−=−++−00[(/)/]a bT b T a b T T =+−+≤0a bT +−2002(/)()b a b T a bT =−．当0(/)T a b T =时，等号成立，输出功率达到最大值2max 0()P a bT =−，对应的总效率0000(/)[1](1/)(/)L T H k aT b T bT a k T aT b η−=−−−．(4)由0(1/)()T H a bTT T k T T η−=−−可得0()()()T H k T T T a bT T T η−=−−和200()()0T T H b k T a bT kT T aT ηη−−+−+=，当200()4()0T H T a bT kT b k aT ηη∆=+−−−=时，总效率达到最大值，对应的温度02()T HT a bT kT T b k ηηη+−=−．解上述方程得220000()2[()2]()40T H H T kT kT a bT akT a bT abT ηη−+−++−=，220002[()2/]/()0T H T H a bT aT T kT ηηη−+−+=，其中001/H T T η=−，00[()2/]/()H H a bT aT T kT +−00001(1)2(1)/L L L H H H H k T Tk T k T T kT k T kT =+++−+0000002221(/)(1)L L L H H H H Hk T T k T k T T T kT T kT kT η=+−−=+，2200022(1)0L T T Hk T kT ηηηη−++=，000max22(11)()L L H T T H H L k T k T kTkT kT k T ηηη=+−+≡，002/0T H a bT kT aT T ηη+−−=．000000000000000000000002222(11)2(1)22(1)(11)2(1)2222(1)T H L L H H H H L L HL L L L H H H H H H L L HL L L H H H H H L aT aT T a bT kT k T k T kTa bT kT kT kT k T k T T kT k T T k T k T k T kT kT T kT kT kT k T k T T kT T k T k T k T kT T kT kT kT k T ηηηηη==+−+−+−++=+++−+−++=+−−+000(1)11)L H HL L H H L k T T kT T k T k kT kT k k T ηη+=+++，20/()0T aT T b k ηη−−=000/()()/()2()T HT T T T a bT kT T aT b k aT b k b k b k ηηηηηη+−=−=−−=−9．太阳能是自然界中一种丰富的清洁能源．太阳能的利用、开发和转换成为人类寻求新能源的热点．近年来，各种利用太阳能的装置应运而生，如太阳能热机、太阳能热泵、太阳能制冷机，等等．现有一个光学效率为η的太阳能集热器，当入射到集热器的总太阳能为Tq时，可输出的有用热能为()u T h cq q k T Tη=−−，其中()h ck T T−为集热器的热损失，hT为集热器的工作温度，cT为环境温度，k是一个比例系数，η、Tq、cT和k均为给定的常数．如果人们构建一个热力学系统，利用太阳能集热器输出的有用热能u q，对温度为p T的空间供热，该供热空间获得的热量p q可大于T qη，达到有效利用能源的目的，其中T qη为直接将太阳能Tq 传到温度为p T的供热空间时该空间所吸收到的太阳能．(1)画出由太阳能驱动的包括太阳能集热器的供热系统的示意图．(2)求出供热量p q的表示式．(3)求出该供热空间在Tq给定的情况下获得最大供热量时，太阳能集热器的工作温度hT和效率Tusqqη/=的表示式．(4)求出最大供热量max()pq．(5)max()pq>Tqη的必要条件是ck k<，求出ck的表示式(用给定常数η、Tq、cT和pT表示)．(1)依题意得，如下图所示．(2)()()00[][]ph cp u T h c T h ch p cTT Tq q q k T T q k T TT T Tψηψη−==−−=−−−，其中ph ch p cTT TT T Tψ−=−．(3)令0T ca q kTη=+，则()(1)pcp T s hh p cTTq q a kTT T Tηψ==−−−2[()][2]()p p pc ccc h ch p c p c p cT T TaT aTa kT k T a kT k a kTkT T T k T T T T=+−+≤+−=−−−−．当chaTTk=时，供热量达到最大值，太阳能集热器的效为()[]/()/s T h c T c Tq k T T q a kaT qηη=−−=−．(4)最大供热量为2max()()pcpp cTq a kTT T=−−．(5)当2max0()()pcp Tp cTq a kT qT Tη=−>−时，2c ca kTb kT b>++，其中0p cTpT Tb qTη−=，04()T ccp p cq Tk kT T Tη<≡−．10．下图为半导体温差发电器的示意图．它是由P 型和N 型半导体元件及负载电阻R 所组成，工作在温度分别为1T 和2T 的高、低温热源之间．P 型和N 型导体元件的长度、横截面积及电导率分别为P l 、P A 、P σ和N l 、N A 、N σ．当半导体温差发电器工作时，由于珀尔贴效应，每单位时间发电器从高温热源吸取的热量1Q 和放给低温热源的2Q 分别为11 T I Q α=和22 T I Q α=，其中I 为发电器回路中的电流，α为P 型和N 型半导体的总温差电势率．当电流I 通过发电器时，半导体元件中产生焦耳热流2I r Q J =，其中r 为发电器中半导体元件的总电阻．为了计算方便，通常假设半导体元件侧面绝热隔离，并可证明元件中产生的焦耳热的一半流向高温热源、一半流向低温热源．当发电器工作时，由于半导体元件两端存在一定的温差，根据牛顿传热定律有一热流)(21T T K Q K −=经元件内部由高温端传往低温端，其中K 为发电器中半导体元件的总热传导系数．图中的H Q 和L Q 分别为每单位时间半导体温差发电器从高温热源吸取的和放给低温热源的净热量．为了计算方便，假设1T 、2T 、P l 、P A 、P σ、N l 、N A 、N σ、r 、α和K 均为常数，半导体温差发电器中的其它效应和金属导线中的电阻可忽略不计．(在半导体温差发电器的设计中，人们总是希望获得尽可能大的输出功率和效率．对于半导体温差发电器，有时设计它工作在最大输出功率状态；有时设计它工作在最大效率状态；有时为了兼顾它的输出功率和效率，设计它工作在其它的合理状态：既不是最大输出功率状态又不是最大效率状态)．请根据上述模型，回答如下问题：(1)写出r 的表示式； (2)写出H Q 和L Q 的表示式；(3)写出半导体温差发电器的输出功率P 和效率η的表示式； (4)确定半导体温差发电器的电流范围；(5)求出半导体温差发电器的最大输出功率max P 和所对应的电流P I 和效率P η的表示式； (6)确定当半导体温差发电器的效率大于最大输出功率的效率P η时的电流范围； (7)定性地讨论和画出P 和η随I 变化的曲线，定性地标注出半导体温差发电器工作在最大效率时的电流ηI 的位置；(8)讨论并确定电流的最佳范围；(9)计算当半导体温差发电器工作在最大输出功率时所需匹配的负载电阻P R ，并分析当半导体温差发电器工作在最大效率时所需匹配的负载电阻ηR 是应该大于P R 还是小于P R ；(10)定性地确定负载电阻的最佳范围．(1)) /() /(N N N P P P A l A l r σσ+=．RPINQLQ HT HT L(2)211111222()H J K Q Q Q Q ITrI K T T α=−+=−+−，122L J K Q Q Q Q =++=212122()IT rI K T T α++−． (3)21212()H L J P Q Q Q Q Q I T T rI α=−=−−=−−，212211122()()H I T T rI PQ IT rI K T T αηα−−==−+−． (4)当12max ()0,T T I I I rα−==≡时，0P =；当0P >时，要求max 0I I <<． (5)2221212()[()]42T T P r T T I r rαα−=−−−，12()2P I T T I r α=−≡，2212max ()4T T P P r α−=≡．(6)22212122221121()[()]42()()22H T T r T T I P r r T r Q K T T T I r rααηαα−−−−==−+−−，12(),2P Pb I T T I r a αη=−≡=，2122(),2()2b r I T T r r ac αη−∆=−+∆=−∆−∆．当P ηη=时，0∆=，/20/2bc b a∆=<−；当0∆>或/2/2bc b a ∆<−时，P ηη<；当/20/2bc b a>∆>−时，P ηη>，则电流的范围为1212/2()()2/22L bc I T T I T T rb a rαα≡−+<<−−．(7)I P ~曲线是一条开口朝下的双曲线，并通过(0，0)，),(max P I P ，)0,(max I 三个坐标点，如图所示．I η~曲线通过(0，0)，),(P L ηI ，),(max ηI η，),(P P ηI ，)0,(max I 五个坐标点，其中P ηL I I I <<，如图所示．(8)从图看出，当I I η<时，P 和η均随着I 的减少而减少，当P I I >时，P 和η均随着I 的增加而减少．在P I I I η≤≤范围内，当P 增加时，η减少，而当P 减少时，η增加．因此，电流的最佳范围应为P I I I η≤≤．(9)2212()P I T T rI RI α=−−=，12()/R T T I r α=−−，P R r =，因为ηP I I >，1212()/()/P P R T T I r T T I r R ηηαα=−−<−−=．(10)根据电流的最佳范围P I I I η≤≤，可确定负载电阻R 的最佳范围应为ηP R R R ≤≤.11．太阳辐射的可见光波段承载了绝大部分的能量，地球上的能量从源头上说都来自太阳辐射．地球大气对可见光透明，到达地面的可见光一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收．被吸收的部分最终转换成为地球热辐射(红外波段的电磁波)．热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡．作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射可近似为黑体辐射．根据斯忒蕃—玻尔兹曼定律，单位面积的黑体辐射功率J 与表面的热力学温度T 的四次方成正比，即4J =T σ，其中σ是一个常量．已知太阳的温度30 5.7810K T =⨯(K 是热力学温度单位)，半径50 6.9610km R =⨯，地球到太阳的平均距离91.5010km d =⨯．假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为0.38β=．(1)如果地球表面对太阳辐射的平均反射率0.3α=，请问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少．(2)如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为0.85α'=，其余部分的反射率仍然是0.3α=．问冰雪覆盖面占总面积的多少以上时会导致冰雪覆盖面积不再减少．(1)根据斯忒蕃—玻尔兹曼定律，太阳辐射的总功率244S S P R T πσ=．太阳能均匀(各向同性)地向外传播．设地球半径为E r ，则地球接收太阳辐射的总功率为224S E PP r dππ=，即422()S S S E R P T r dσπ=①，地球表面反射可见光的总功率为S P α．设地球表面的温度为E T ，则地球的热辐射总功率为244E E E P r T πσ=②，考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为S E P P β+．当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等有S E S E P P P P βα+=+③，从而可得1/41/221()()21S E SR T T dαβ−=−④，代入数值有287K E T =⑤． (2)地球表面维持稳定的冰雪覆盖的低温状态要求地球表面的平均温度低于水的冰点0273K T =．将0E T T =代入式④，可求得地表对太阳辐射的平均反射率为0.43α'=⑥，设冰雪覆盖的地表面积比例为x ，则0.850.3(1)x x α'=+−⑦，可由此解得23%x =⑧．12．南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市．有人设计了一个利用这座冰山来发电的方案，具体过程为：(a )先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触使容器内空气温度降至冰山温度；(b )使容器脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冷空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温度；(c )在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电．如此重复，直至整座冰山融化．已知环境温度293K =a T ，冰山的温度为冰的熔点I 273K =T ，可利用的冰山的质量111.010kg m =⨯．为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用的数据如下：(1)空气可视为理想气体．(2)冰的熔解热53.3410J /kg =⨯L ；冰融化成温度为I T 的水之后即不再利用． (3)压强为p 、体积为V 的空气的内能 2.5=U pV ．(4)容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变． (5)喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是u ，且u 远小于容器的体积．在每个小过程中；喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能E ∆，从喷嘴喷出．不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀的，外压强为大气压．(6)假设可能获得的电能是E ∆总和的45%． (7)当||1x <<时，()ln 1+≈x x ．试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能．以a p 表示环境中大气的压强，则初始时装入容器的空气的压强为a p ，温度为a T ，以a V 表示其体积．当容器与冰山接触，达到平衡时，容器中空气的温度为T I ，体积减小为V0，根据题意，空气经历的过程为等压过程，故有0I aa V V T T =(1)在这一过程中，容器中空气内能的增加量为()02.5a a U p V V ∆=−(2)，大气对所考察空气做功为()0a a W p V V =−−(3)，若以Q 表示此过程中冰山传给容器中空气的热量，根据热力学第一定律有=∆−Q U W (4)，由以上四式得I 3.5a a a a T T Q p V T ⎛⎫−= ⎪⎝⎭(5)，(5)式给出的Q 是负的，表示在这一过程中，实际上是容器中的空气把热量传给冰山．容器中空气的温度降至冰山温度后，又经一过等容升温过程，即保持体积V 0不变，温度从T I 升至环境温度a T ，并从周围环境吸热．若以p 1表示所考察空气的压强，则有1I aa p p T T =(6)，设喷管的体积为u ；当喷管中的气体第一次被喷出时，容器中空气的压强由p 1降到p 2；根据题目给出的条件有()1020p V u p V −=(7)，即021V up p V −=(8)，喷出气体获得的动能()k11a E p p u ∆=−(9)．当喷管中的空气第二次被喷出后，容器中空气压强由p 2降到p 3，根据题给出的条件可得032V u p p V −=(10)，喷出气体获得的动能()k22a E p p u ∆=−(11)，当喷管中的空气第N 次被喷出后，容器内空气的压强由p N 降到p N +1，根据题给出的条件可得010N NV up p V +−=(12)，喷出气体获得的动能()kN N a E p p u ∆=−(13)，如果经过N 次喷射后，容器中空气的压强降到周围大气的压强，即1N a p p +=(14)，这时喷气过程终止．在整过喷气过程中，喷出气体的总动能k k1k2kN =∆+∆++∆E E E E …(15)，利用(8)到(13)式，(15)式可化成21000k 10001N a V u V u V u E p u Np u V V V −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−⎢⎥=+++− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…(16)，(16)式等号右边第1项方括号内是N 项的等比级数，故有00k 1011Na V u VE p u Np u V u V ⎛⎫−− ⎪⎝⎭=−−−(17)．又根据(8)(10)(12)(14)各式可得010Na V u p p V ⎛⎫−= ⎪⎝⎭(18)，对(18)式等式两边取自然对数得01ln 1lna p u N V p ⎛⎫−= ⎪⎝⎭(19)，因0<<u V ，可利用近似公式()ln 1+≈x x 把(19)进一步化简，即01ln aV p N u p =(20)，进而由(17)(18)(20)三式得()1k 100ln a a a pE p p V p V p =−−(21)，将(1)(6)代入(21)式可得I I I k 1ln a a a a a T T T E p V T T T ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭(22)． 根据题意，这些动能可转化成的电能为I I I 0.451ln a a a a a T T T E p V T T T ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭(23)，以上讨论表明，要获得电能E ，冰山必须吸收-Q 的热量．整座冰山化掉可吸收的总热量=t Q mL (24)，因此可产生的总电量为=−t mL E E Q (25)，将(5)和(23)带入(25)式得I I II 1ln 9701a a a t aT T T T T T E mL T T −+=−(26)，代入数据后有141.510J t E =⨯(27)．。
超级难的数学题
超级难的数学题以下是一些超级难的数学题，供参考:一、代数方程1. 解方程：x^4 - 10x^2 + 9 = 02. 对于给定的复数z，满足条件z^3 = -1，找出z 的值。
二、几何图形1. 证明：三角形ABC的三条中线相交于一点G，这个点G被称为三角形的重心。
2. 证明：任意一个四边形，其对角线的平方和等于两边平方和的两倍。
三、概率统计1. 假设你有一个硬币，每次抛掷得到正面或反面的概率都是50%。
现在你要抛掷这个硬币3次，找出得到两次正面的概率。
2. 在一个有n个人的房间里，每个人都有等可能的机会被选中担任某项职务。
那么这个房间里有一个人被选中的概率是多少？四、数论难题1. 哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
2. 费马大定理：不存在整数x，y，z和n，使得x^n + y^n = z^n。
五、微积分难题1. 证明：在任何有限区间上，函数y = sin(x)的图像不可能是一个封闭的曲线。
2. 计算函数f(x) = x^2在[0, 1]区间上的定积分。
六、离散数学难题1. 图论问题：在一个有n个节点的图中，证明至少存在一个节点，它的度数（连接的边的数量）是大于n/2的。
2. 逻辑推理问题：给定一个命题公式，找出其主析取范式或主合取范式。
七、拓扑学问题1. 证明：任何一个无环的连通图最多有四个顶点。
2. 在拓扑学中，证明任何一个简单的封闭曲线都可以连续地收缩到一个点。
3. 证明：任何一个单连通二维闭曲面要么是球面，要么是环面。
4. 证明：在三维空间中，任何一个简单的封闭曲线都可以连续地收缩到一个点。
八、组合数学难题1. 组合数学中的“柯克曼女生问题”：有26个男生和31个女生在一所学校里，任意5个男生和任意5个女生都能组成一个五人乐队。
证明：至少存在一个由多于5个男生和多于5个女生组成的一组，他们中任何一个男生都可以至少与两个不同女生组成乐队。
2. “鸽巢原理”问题：如果10只鸽子要飞进5个鸽巢，并且至少有一个鸽巢里要飞进2只鸽子，那么有多少种不同的飞法？九、数学物理难题1. 求解经典力学中的“三体问题”：三个质点在万有引力作用下的运动规律是什么？2. 求解量子力学中的“薛定谔方程”，特别是无限深势阱问题。
陕西高一物理超级难题
陕西高一物理超级难题
1、一质点以初速度V0作直线运动，所受阻力与其速度成正比，试求当质点速度减为V0/n（n>1）时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。
2、一质点以初速度V0作直线运动，所受阻力与其速度的三次方成正比，试求质点速度和位置随时间的变化规律以及速度随位置的变化规律。
3、两质点在地面上同一地点以相同速率V0从不同抛射角抛出，试证明，当两质点的射程R相同时，它们在空中飞行时间的乘积为
2R/g，忽略空气阻力。
4、学校实验室只有一个量程为1mA，内电阻为lkQ的电流表，某同学在实验时需要下列两种电表，问：
1）若要把这只量程为1mA的电流表改成量程为1A的电流表，应该连接一个怎样的电阻？怎样连接？请画出电路图，若用该改装的电流表与标准电流表进行测量比较，发现测量值偏大，则应该如何校正？
2）若要把这只量程为1mA的电流表改成量程为10V的电压表？应该连接一个怎样的电阻？怎样连接？请画出电路图，若用该改装的电压表与标准电压表进行测量比较，发现测量值偏大，则应该如何校正？。
智力测试题超难(3篇)
第1篇第一章：逻辑推理篇1. 一个房间里有一盏灯，外面有三个开关，你只能进房间一次，如何判断哪个开关控制着灯？2. 一个岛上有100个居民，岛上的居民分为三种：总是说真话的人、总是说谎话的人和有时说真话有时说谎话的人。
岛上有一条规定，每个人只能与其他两种居民交往。
现在有一个人告诉你：“我从未见过一个说谎的人。
”请问这个人是哪种居民？3. 有一个房间里有三个开关，对应着房间外的三个灯泡。
你只能进房间一次，如何确定哪个开关对应哪个灯泡？4. 一个篮子里有5个苹果，5个橘子，5个香蕉。
现在要求将它们平均分给5个人，每个人得到相同数量的水果。
你能做到吗？5. 一个盒子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球，每种颜色有5个。
现在要求从盒子中随机取出一个球，使得取出的球的颜色与盒子里剩下的球的颜色各不相同。
你能做到吗？6. 有一个房间里有一盏灯，外面有三个开关，你只能进房间一次，如何判断哪个开关控制着灯？7. 一个盲人面前有三个开关，分别控制着三个灯泡。
他只能触摸开关，不能看到灯泡。
现在要求他找出哪个开关控制哪个灯泡。
你能帮他想一个办法吗？8. 一个房间里有一盏灯，外面有三个开关，你只能进房间一次，如何判断哪个开关控制着灯？9. 一个盒子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球，每种颜色有5个。
现在要求从盒子中随机取出一个球，使得取出的球的颜色与盒子里剩下的球的颜色各不相同。
你能做到吗？10. 一个篮子里有5个苹果，5个橘子，5个香蕉。
现在要求将它们平均分给5个人，每个人得到相同数量的水果。
你能做到吗？第二章：数学计算篇1. 一个数列的前三项分别是1、2、3，请问这个数列的第四项是多少？2. 一个数列的前三项分别是1、3、5，请问这个数列的第四项是多少？3. 一个数列的前三项分别是1、2、3，请问这个数列的第四项是多少？4. 一个数列的前三项分别是1、3、5，请问这个数列的第四项是多少？5. 一个数列的前三项分别是1、2、3，请问这个数列的第四项是多少？6. 一个数列的前三项分别是1、3、5，请问这个数列的第四项是多少？7. 一个数列的前三项分别是1、2、3，请问这个数列的第四项是多少？8. 一个数列的前三项分别是1、3、5，请问这个数列的第四项是多少？9. 一个数列的前三项分别是1、2、3，请问这个数列的第四项是多少？10. 一个数列的前三项分别是1、3、5，请问这个数列的第四项是多少？第三章：语言文字篇1. 下列哪个成语的意思与其他三个不同？A. 水滴石穿B. 破釜沉舟C. 画蛇添足D. 一箭双雕2. 下列哪个词语与其他三个不同？A. 精诚所至，金石为开B. 良药苦口利于病C. 知足常乐D. 一日不见，如隔三秋3. 下列哪个词语与其他三个不同？A. 喜出望外B. 喜笑颜开C. 喜从天降D. 喜气洋洋4. 下列哪个成语的意思与其他三个不同？A. 破釜沉舟B. 画蛇添足C. 一箭双雕D. 知足常乐5. 下列哪个词语与其他三个不同？A. 精诚所至，金石为开B. 良药苦口利于病C. 知足常乐D. 一日不见，如隔三秋第四章：生活常识篇1. 下列哪个食物富含蛋白质？A. 鸡蛋B. 面包C. 玉米D. 蔬菜2. 下列哪个运动有助于增强心脏功能？A. 羽毛球B. 网球C. 游泳D. 跑步3. 下列哪个疾病属于传染性疾病？A. 流感B. 肺炎C. 肝炎D. 肾炎4. 下列哪个交通工具的载重量最大？A. 自行车B. 摩托车C. 小汽车D. 飞机5. 下列哪个季节适合去海边旅游？A. 春季B. 夏季C. 秋季D. 冬季第五章：综合应用篇1. 一个人从A地出发，向东走了10公里，然后向北走了10公里，最后向西走了10公里。
超级难的高数极限题
超级难的高数极限题高等数学是大学数学的重要组成部分，其中极限是数学分析的基础。
极限是指函数在某一点趋近于某一值的过程，是数学中非常重要的概念。
而高数极限题则是考验学生数学思维和解题能力的重要题型之一。
下面将介绍一些超级难的高数极限题。
1. $lim_{xto 0} frac{sin x}{x}$这道题是高数极限题中最经典的一道题，也是最基础的一道题。
它的解法是利用极限的定义，即当$x$趋近于$0$时，$frac{sinx}{x}$趋近于$1$。
这个结论可以用泰勒公式证明。
2. $lim_{xto +infty} left(1+frac{1}{x}right)^x$这道题需要用到自然对数$e$的定义，即$lim_{xto +infty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e$。
我们可以通过变形将这个式子转化为$lim_{xto 0} left(1+xright)^{frac{1}{x}}=e$，然后利用极限的定义求解。
3. $lim_{xto 0} frac{e^x-1}{sin x}$这道题需要用到泰勒公式的展开式，即$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...$和$sinx=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+...$。
将这两个展开式代入原式中，我们可以得到$lim_{xto 0}frac{1+frac{x}{2!}+...}{x-frac{x^3}{3!}+...}$，然后利用洛必达法则求解。
4. $lim_{nto infty}left(frac{n}{n^2+1^2}+frac{n}{n^2+2^2}+...+frac{n}{n^2+n^2} right)$这道题需要用到积分的思想，即$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx=frac{pi}{4}$。
我们可以将原式转化为$lim_{nto infty} frac{1}{n}sum_{k=1}^{n} frac{1}{1+(frac{k}{n})^2}$，然后利用积分的思想求解。
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超级难题
1. ( )He usually me to the park.
A.carries
B.takes
C..gets
2. ( )Welcome school.
A.for
B.back to
C.at
3. ( )I get up at 6:30 weekdays,but the weekend I get up at 8:00.
A.on on
B.at at
C.on at
4. ( ) I live Friendship Road No.2.
A.on at
B.at at
C.in in
5. ( )Mr. and Mrs. Green are teachers.
A.all
B.every
C.both
6. ( )He ofen comes home on foot.
A.to
B.back
C.at
7. ( )Can he do it ?
A.he
B.himself
C.him
8. ( )This is a season.
A.raing
B.rain
C.raining
9. ( ) the end last rerm we had a party.
A.In of
B.At of
C.From to
10. ( ) happy I am to have you in the park!
A.What
B.How
C.Why
11. ( )If it tomorrow,I will make a snowman.
A.will
B.snows
C.snowy
12.你劝客人多吃点鱼，应该怎样说？
13. ( )—Her mother is in hospital.
—
A.That’s bad
B.Quite good!
C.Sorry to hear that.
14. ( )If it’s 3 o’clock in the afternoon in China.What time is it in Britain?
A.Morning
B.Afternoon
C.Night
D.Evening
15. ( )This ball is for and .
A.him my
B.you her
C.them we
16. ( )Mr Li has no sons daughters.
A.or
B.and
C.but
17. ( ) does Tom put the boxes? He them there.
A.When puts
B.Where puts
C.What, is going to put
18. ( )A:Are those English cars? B：Y es,I think .
A.it
B.so
C.right
19. ( )A:Did you see Mr. Li? B:Sorry? A:
A.Are you Mr.Li?
B.Thanks all the same.
C.Did you see Mr.Li?
20. ( )Of all the girls . Marry spent time and made mistakes.
A.much many
B.the least,the fewest
C.more most
D.the fewest,the least
21. ( )This is the we play a game.
A.color
B.way
C.ball
22. ( ) will you come back? In an hour.
A.How long
B.How soon
C.How often
23. ( )The old man is too tired .
A.working
B.to work
C.doesn’t work
24. ( )The TV is broken.There is picture.
A.not
B.any
C.no
25. ( )There are twenty in our school.Some of them are .
A. women teachers, Gernans
B.woman teachers, Gernans
C.wonen teachers,Gernen
26. ( )The store is at this time of day.
A.closed
B.opens
C.closes
D.opened
27. ( )I got up a quarter to six a hot morning.
A.to ask
B.at on
C.at at
D. on on
28. ( )The girl a flower in her hand is my cousin.
A. of
B. has
C. holds
D. with
29. ( )Why not your mother to buy a pen for you as your birthday gift?
A. to ask
B.ask
C. asking
D.asks
30. ( )Y ou should have rest and be relaxed.Or you’ll have hair.
A.more less
B.more fewer
C.less more
D.many fewer
31. ( )It’s difficult for us to touch our nose with our tongue. some people can do it.
A. And
B.So
C.Because
D.But
32. ( )Janet is going to move in a new apartment at .
A.Tokyo,Cherry Road,Japan
B.Taojin Road,Guangzhou,China
C.Englan,Green Road,London
D.France,Paris,Golden Road
33. ( )The girl is an girl. She’s in reading story books.
A.interesting interesting
B.interesting interested
C.interested interested
34. ( )Y ou’d better on your coat.
A.putting
B.put
C.to put
35. ( )He always spend a lot of time his homework.
He always spend a lot of time doing his homework.
A.on
B.in
C.at
D.for
36. ( )The coat me￥56.
A.costs
B.cost
C.took
D.spent
37. ( )What about to see a movie?
A.go
B.going
C.to go
38. ( )The woman with her son often to the park.
A.go
B.goes
C.going
39. ( )Y esterday I bought books.
A.new two
B.two new
C.two and new
40. ( )This is the photo of .
A.Green family
B.Green family
C.the Greens’ family
D.Greens’ family
41. ( )I can tell you the story my own words?
A.of
B.in
C.on
D.with
42. ( )Y ou must hurry you will miss the train.
A.or
B.and
C.but
D.so。