高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理(1)课件新人教A版选修1_2
1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能 “锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯 子”应该是齿形的．该过程体现了 导学号 18674107 ( B ) A．归纳推理 C．没有推理 B．类比推理 D．以上说法都不对
＝503余2，故从2014到2016与从2到4的方向一致，故选D．
1 3 1 1 5 1 1 3． (2016· 天津五区县高二检测)观察式子：1＋22<2， 1＋22＋32<3， 1＋22＋32＋ 1 7 < ，„，则可归纳出式子 导学号 18674109 ( C ) 42 4 1 1 1 1 A．1＋22＋32＋„＋n2< (n≥2) 2n－1 1 1 1 1 B．1＋ 2＋ 2＋„＋ 2< (n≥2) 2 3 n 2n＋1
1 1 1 2n－1 C．1＋22＋32＋„＋n2< n (n≥2) 1 1 1 2n D．1＋ 2＋ 2＋„＋ 2< (n≥2) 2 3 n 2n＋1
[解析]
1 1 1 由题意可知，当 n≥2 时，第 n 个式子左边是 1＋22＋32＋„＋n2，右
2n－1 边为 n ，故选 C．
4．(2016· 山东文 12)观察下列等式： 导学号 18674110 π －2 2π －2 4 (sin ) ＋(sin ) ＝ ×1×2； 3 3 3 π －2 2π －2 3π －2 4π －2 4 (sin5) ＋(sin 5 ) ＋(sin 5 ) ＋(sin 5 ) ＝3×2×3； π －2 2π －2 3π －2 6π －2 4 (sin ) ＋(sin ) ＋(sin ) ＋„＋(sin ) ＝ ×3×4； 7 7 7 7 3 π －2 2π －2 3π －2 8π －2 4 (sin9) ＋(sin 9 ) ＋(sin 9 ) ＋„＋(sin 9 ) ＝3×4×5；
„„ 照此规律，
4 π －2 2π －2 3π －2 2nπ －2 n(n＋1) 3 (sin ) ＋(sin ) ＋(sin ) ＋„＋(sin ) ＝____________. 2n＋1 2n＋1 2n＋1 2n＋1
[解析]
4 根据已知，归纳可得结果为3n(n＋1)．
5．设 f(n)＝n2＋n＋41，n↔N*，计算 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、„、f(10)的值， 同时作出归纳推理，并用 n＝40 验证猜想的结论是否正确. 导学号 18674111
气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某 些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在．
1．归纳推理 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 ____________ 全部对象 由某类事物的 ____________ 个别事实 概括出 ____________ 一般结论 的推理，称 都具有这些特征的推理，或者由 ____________ 部分 到 ________ 整体 、 由 为 归 纳 推 理 ( 简 称 归 纳 ) ． 简 言 之 ， 归 纳 推 理 是 由 ________ 个别 到_______ 一般 的推理． _______ 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可 归纳推理 ． 猜想所有金属都导电，这种推理形式为___________
抽象 ，由特殊到______ 一般 ，从个 整体 5．归纳推理是由部分到______ ，由具体到______
一般结论 的思维模式． 别事实中概括出____________ 两类不同 的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之 类比推理是在 ____________
相同或相似 之处的一种推解析 ]
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过
程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
2．若把正整数按下图所示的规律排序，则从 2 014 到 2 016 的箭头方向依次 为 导学号 18674108 ( D )
A．↓→ C．↑→ [解析]
B．→↓ D．→↑ 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2014÷4
新课标导学
数 学
选修1-2 ·人教A版
第二章
推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答 “火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有
一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大
3．类比推理 某些类似特征 和其中一类对象的______________ 某些已知特征 ，推出 由两类对象具有_______________ 这些特征 的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比 另一类对象也具有____________ 特殊到特殊 的推理． 推理是由______________ 4．合情推理 已有的事实 ， 经 过 归 纳 推 理 和 类 比 推 理 都 是 根 据 ____________ 观察、分析、比较、联想 ， 再 进 行 ________ 归纳 类比 _________________________ 、 _________ ，然后提出 猜想 的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎 ________ 情理”的推理．
[解析] 首先分析题目的条件，并对 n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 的
结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题． f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋2＋41＝151.由此猜想，n为任意正整数 时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数． 当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结 论不正确．
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修12
而 a1a2a3=3 × × -
2
3
1
2
故 A2 015=(-1)671×3 ×
2
3
= −1,2 015=671×3+2,
= −2.
答案:-2
第七页，共28页。
1.归纳推理的特点及一般步骤是什么?
④证明(zhèngmíng):证明(zhèngmíng)结论的真伪.
第九页，共28页。
2.类比推理的特点及一般步骤是什么?
剖析:(1)类比推理的特点.
①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究的事物的属性,
是以已有的认识为基础,类比出新的结果.
②类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类
(yánsè)相同,故它的颜色(yánsè)一定是白色.
答案:A
第四页，共28页。
【做一做 1-2】 根据所给出的数塔,猜测 123 456×9+7 等于(
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
A.1 111 110
题型二
题型三
题型四
(方法2)由图案的排列规律可知,除第一块(yī kuài)无纹正六边形需6个
有纹正六边形围绕(第一个图案)外,每增加一块(yī kuài)无纹正六边形,只
需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块(yī
kuài)“公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理创新应用学案新人教A版选修1-2
n＋ 1 2
角度二：图形中的归纳推理
讲一讲
2． (1) 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六
边形的个数是 ( )
A． 26 B ． 31 C ． 32 D ． 36 (2) 把 1,3,6,10,15,21 ，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正
Hale Waihona Puke 123×9＋ 4＝ 1 111
1 234 ×9＋ 5＝ 11 111
12 345 ×9＋ 6＝111 111
A． 1 111 110 B ． 1 111 111
C． 1 111 112 D ． 1 111 113
解析：选 B 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是
1 的七位数，即 1 111 111.
x
4．设函数
f
(
x
)
＝
x
＋
( 2
x＞
0)
，观察：
x
x
f 1( x) ＝ f ( x) ＝x ＋ 2， f 2( x) ＝ f ( f 1( x)) ＝ 3x＋ 4，
x f 3( x) ＝ f ( f 2( x)) ＝ 7x＋ 8，
x f 4( x) ＝f ( f 3( x)) ＝ 15x＋ 16，
(2) 观察教材 P24～ P25 的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？
提示：这几个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理．
2．归纳总结，核心必记
(1) 归纳推理
①归纳推理的定义
由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 个别事
高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理(第1课时)课堂探究 新人教A版选修1-2(
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堂探究新人教A版选修1-2探究一数列中的归纳推理归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．一般步骤为：（1)通过观察个别情况发现某些相同性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．【典型例题1】已知数列{a n｝的第一项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2，3，…)．（1）求a2，a3，a4，a5；（2)归纳猜想这个数列的通项公式．思路分析：由递推公式，分别令n＝1,2,3，4求得a2，a3，a4，a5，然后分析a1，a2，a3,a4,a5的结构特征，猜想数列{a n｝的通项公式．解：(1）当n＝1时，a1＝1,由a n＋1＝错误!（n∈N＊），得a2＝错误!，a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!，a5＝错误!＝错误!。
(2)由a1＝1＝11,a2＝13,a3＝错误!，a4＝错误!,a5＝错误!，可归纳猜想a n＝错误!（n∈N*)．特别提醒要注意把数列各项表达式的结构形式统一，以便于寻找规律,归纳猜想出结论．探究二几何中的归纳推理在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理思想解决，解决该类问题的关键是寻求递推关系．【典型例题2】根据下图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为__________．思路分析：分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳，发现规律,得出猜想．解析：图形①～④中线段的条数分别为1,5，13，29.因为1＝22－3，5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.答案：509反思图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题，归纳的途径有两条：一是按每个图形中单位图形(要考查的几何元素，如本题中的线段）的数目来归纳；二是按图形变化的特点来归纳．探究三类比推理的应用类比推理的一般步骤为：(1）找出两类对象之间的相似性（或一致性）;(2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个明确的猜想．【典型例题3】如图(1）所示,在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC与底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出三棱锥的一个猜想．思路分析：根据平面几何中三角形的有关性质，利用类比的方法，推广到三棱锥中．解：如图(2）所示，在△DEF中，由正弦定理,得错误!＝错误!＝错误!。
2019-2020高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2
根据给出的数与式如何归纳一般性结论(步骤) (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面 (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．
1．(1)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝32；sin2 5°＋sin2 65°＋s 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________＝32(*).并 (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an2an(n∈N*) ①求 a2，a3，a4；②归纳猜想{an}的通项公式．
[解析] (1)左边为 n 项的乘积；等号右边为两部分：一部分为 2n， 续奇数的乘积． ∴第 n 个等式为(n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1 (2)因为 Sn＋S1n＋2＝an(n≥2)， 所以 Sn＋S1n＋2＝Sn－Sn－1(n≥2)， 所以S1n＝－2－Sn－1(n≥2)． 当 n＝1 时，S1＝a1＝－23；
1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，
开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似
齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思
是推理，由性质类比可知是类比推理．
答案：B
2．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案 是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1＝A1A2＝ 1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记 OA1，O 的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为 an＝________.
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
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2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
2020学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2
所以它的前 n 项和 Sn＝nn2＋（2 1aa＋＋bn）－2，1nb，为偶n为数奇. 数.(12 分)
●规律方法 1．运用类比推理的一般步骤 (1)找出两类对象可以确切表述的相似性(或一致性)； (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而 得到一个猜想． 2．运用上述规律可以解决 两类不同的事物之间存在合适的类比对象，如等差数 列与等比数列、平面图形与立体图形、一元与多元、椭圆 与双曲线等．
＝1＋x3x，…，由此可知：
f2 018(x)＝1＋2x018x.
【答案】 f2 018(x)＝1＋2x018x
●规律方法 由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数 等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的 特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．
(1)含义 再进行_归__纳__、类__比__，然后提出猜__想__的 推理，我们把它们统称为合情推理． 从具体问 观察、分析
(2)过程 题出发 → 比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
核心要点探究
知识点一 归纳推理 【问题1】 观察下面两个推理，回答后面的两个问 题： (1)哥德巴赫猜想： 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7
… 所以第n个图有(4n＋2)个原子，(5n＋1)个化学键． 答案 4n＋2 5n＋1
课堂探究案·素养提升
题型一 数与式中归纳推理 【例 1】 已知 f(x)＝1＋x x，x≥0，若 f1(x)＝f(x)， fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则 f2 018(x)的表达式为________．
【解析】 观察分析、归纳推理．
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2
因为对一切的 n∈N*，an>0，所以 a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7， 猜测出 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：(1)(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n －1) (2)2n－1.
故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋ 5×(6－1)＝31.
答案：B
[变式训练] 如图所示，由若干个点组成形如三角 形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N*)个 点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝ ________(n＞1，n∈N*)．
解析：依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各 边上各有 6 个点，因此 a6＝3×6－3＝15.
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳推 理和类比推理等进行简单的推理(重点).2.了解合情推理 在数学发现中的作用(难点)．
1．归纳推理和类比推理
类别
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具 由两类对象具有某些
有某些特征，推出该类事物 类似特征和其中一类
答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且 n∈N*)
5．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想 an ＝________．
解析：因为 a1＝0＝21－2，an＋1＝2an＋2， 所以 a2＝2a1＋2＝2＝22－2， a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2， … 猜想 an＝2n－2. 答案：2n－2
归纳升华 1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认 知功能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通 项公式或前 n 项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求 得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律， 猜测数列的通项公式并加以证明．