初高中物理衔接—数学专题.word(学生版)

数学知识的准备一、乘法公式1、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 2、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 223()()a b a ab b a b +-+=+ （2）立方差公式 223()()a b a ab b a b -++=-（3）两数和立方公式 33()33a b a a b ab b +=+++（4）两数差立方公式 33()33a b a a b ab b -=-+- 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．【课堂练习1】 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．二、 一元二次方程1、根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① （1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．初高中物理衔接【课堂练习2】 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－2x ＋a ＝0．2. 根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．三、直角三角形1、弧度与角度的转换关系1度=π/180弧度( ≈0.017453弧度 ) 1弧度＝180°/π （≈57.3°）【课堂练习3】 360°＝ 弧度 4π/3 弧度＝ °2、弧长与圆心角、半径的关系 弧长r l ⋅=α α为圆心角（弧度单位）周长r c ⋅=π23、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , （1）、三边关系（勾股定理）： （2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° （3）、边角间的关系：sin A = ； cos A = ； tan A = ； cot A = ； sin B = ； cos B = ； tan B = ； cot B = 4、填表αsin α cos α tan α cot α 300450 226005、同角三角函数的基本关系式 1c o s s i n 22=+θθ θθθc o s s i n t a n =θθθs i n c o s c o t =6、正弦、余弦的诱导公式诱导公式一：ααπcos )2sin(=- ααπs i n )2c o s (=- ααπcot )2(tan =-诱导公式二：ααπcos )2sin(=+ ααπc o s -)2s i n (=+ ααπcot -)2(tan =+ 诱导公式三：sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α 诱导公式四：sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α 诱导公式五 (k ∈Z)：sin （2k ·π＋α）＝sin α cos （2k ·π＋α）＝cos α tan （2k ·π＋α）＝tan α 诱导公式六：sin （2π－α）＝sin （－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos （－α）＝cos α tan （2π－α）＝ tan （－α）＝－tan α【课堂练习4】o585sin 的值为 （ ）(A) 22- (B)22 (C)32- (D) 32【课堂练习5】若cos(80)k -︒=，那么tan100︒= （ ）A.21k k -B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-7、三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心（如图7.1）。

三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图7.1 图7.2垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。

锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图7.2）外心：过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心（如图7.3）。

三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图7.4）图7.3 图7.4四、函数及图像1、 一次函数及图像：（1）若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。

一次函数y=kx+b(k ≠0)是过(0,b),( bk-,0)两点的一条直线. （2）当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

正比例函数是当y=kx+b 中b=0时特殊的一次函数.正比例函数y=kx(k ≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线，是经过原点的一条直线。

（3）一次函数的图象斜率 ①斜率的定义：平面直角坐标系中，已知两点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，如果x 1≠x 2，则直线PQ 的斜率是xyx x y y k ∆∆=--=1212． ② 几何意义：斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度， ③ 直线倾斜角与斜率的关系k=tan α(α≠900) 001800<≤α◈α为锐角时，k>0; k 越大,直线倾斜度越大◈ α为钝角时，k<0； k 越大,直线倾斜度越大 ◈ α=0°时， k=0； ◈ α=90°时，k 不存在。

④ 记住下列三角函数值α00 300 450 600 900 1200 13501500 1800 sin α 22cos αtan α33-BA CO2、 二次函数（1）二次函数的一般表示方式：：2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0a ≠)， 对称轴是,2b x a =- 顶点是24,)24b ac b a a-（－； （2） 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0) 的性质：①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。

②0a >时， 当2b x a =-时，y 取得最小值244ac b a -③0a <时，当2b x a =-时，y 取得最大值244ac b a-xy O x ＝－2b aA 24(,)24b ac b a a-- xyOx ＝－2baA 24(,)24b ac b a a--【课堂练习6】求经过点)3,5(),0,2(--B A 两点直线的斜率和倾斜角。

附录：高中物理中的数学公式1．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===. 2．余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-.3．面积定理： （1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.4．常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a bab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）b a b a b a +≤+≤- 5．极值定理 已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s . 6．三角倒数关系：ααααα222cot 1sin 1csc sin 1csc +===ααααα222tan 1cos 1sec cos 1sec +===7．和角与差角（和差化积）公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= 8．积化和差公式：()()[]βαβαβα++-=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα++-=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα+--=cos cos 21sin sin9．平方正弦公式、平方余弦公式：22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- 10．二倍角公式 ： sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.11．sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++ (辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 12. 圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.13．椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>14．等差数列的通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式: 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. 15．等比数列的通项公式: 1*11()n n n a a a q q n N q -==⋅∈；其前n 项的和公式: 11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩【课后作业】1、计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．2、判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1） x 2－ax －1＝0； （2） x 2－ax ＋(a －1)＝0；3、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．4、填空 （1）45°＝ 弧度 90°＝ 弧度 60°＝ 弧度（2） π/6 弧度＝ ° 2π/3 弧度＝ °（3）已知∠A 是锐角，且______2sin,3tan ==AA 则； （4）在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____,cos ==AB ；（5）已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,135==BC A ,则._______=AC （6）tan675°+tan765°－tan （－330°）+tan （－690°）=（7）252525sincos tan()634πππ++-= （8）已知直线l 经过点P(2,3)与Q(-3,2)，则直线l 的斜率为（9）已知点P(2,3)，点Q 在y 轴上，若直线PQ 的斜率为1，则点Q 的坐标为 5、当角度在︒0到︒90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 6、 cos300︒= （ ）(A)32-(B)-12 (C)12 (D) 327、在平面直角坐标系内P 点的坐标（︒30cos ，︒45tan ），则P 点关于x 轴对称点P ／的坐标为 （ ）A ． )1,23(B ． )23,1(-C ． )1,23(- D ． )1,23(-- 8、一个物体A 点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30=AB m 时，物体升高 （ ）A730m B 830m C 23m D 不同于以上的答案 9、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东060，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ） A 18海里/小时B 318海里/小时C 36海里/小时D 336海里/小时10、已知()()1,0,1,4),2,3(--C B A ，求直线CA BC AB ,,的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？11、如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°， 向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。