高三艺术生考前综合复习——数列篇

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模块一：知识篇
1、数列中n a 与n S 之间的关系：
1
1,(1),(2).n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +
），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2
a b
A +⇔=
⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式：
()()
11122
n n n n n a a S na d -+=+
= ⑸常用性质：
①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②单调性：{}n a 的公差为d ，则：
ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；
③数列{n a }为等差数列n a pn q ⇔=+（p,q 是常数）
④若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列。

3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a b 、G 、成等比数列2
,G ab ⇒=（ab 同号）。

反之不一定成立。

⑶通项公式：11n n m
n m a a q a q --==
⑷前n 项和公式：()11111n n n a q a a q
S q
q
--==
--
⑸常用性质
①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则m n p q a a a a ⋅=⋅；
②若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等比数列. 4
n 项和公式的求法
①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
{}n n a b ⋅的前n 项和.
此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.
一般地，当数列的通项12()()
n c
a an
b an b =
++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n
a 变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设1
2
n a an b an b λ
λ
=
-
++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
21c b b λ=
-，从而可得
122112
11
=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++
常见的拆项公式有： ①
111(1)1n n n n =-++；②
1111
();(21)(21)22121n n n n
=--+-+
1
a b =
-
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
模块二：高考篇
1.2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ、17）
已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=2（n+1）a n，设b n=．（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{a n}的通项公式．
2.2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ、17）
记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求S n，并求S n的最小值．
3.2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ、17）
等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．
4.2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ、17） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.
5.2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ、17）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，
222a b +=.
（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .
模块三：考点篇
题型一 等差、等比数列的通项及基本量的求解
1. (2013安徽文7）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，134S a =，22a =-，则9a =（ ）.
A. 6
B. 4
C. 2-
D. 2
2.（2013辽宁文14）已知等比数列
{}n a 是递增数列，n
S
是
{}n a 的前n 项和.若1
3
a a
，是方
程2540x x -+=的两个根，则6S = .
3. （2013四川文16）在等比数列{}n a 中，2
12a
a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求
数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
4.（2014重庆文2）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.
A.5
B.8
C.10
D.14
5.（2014江苏7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ．
题型二 数列求和及其等差等比综合问题 1.（2014新课标Ⅰ文17）（本小题满分12分）
已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
2.（2014福建文17）（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.
（1）求n a ； （2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
3.（2015全国文7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）. A.
172 B. 192
C.10
D.12 4.（2015全国1文13）在数列{}n a 中，
112,2n n a a a +==，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n = .
5.（2015全国Ⅱ文9）已知等比数列{}n a 满足41
1=
a ，()35441a a a =-，则=2a （ ）. A.2 B.1 C.21 D.8
1
6.（2016江苏8）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2
123a a +=-，510S =，则
9a 的值是 .
7.（2017江苏9）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，663
4
S =，则8a = ． 8.(2015·青岛模拟)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1
n ＋1＋n
，若S m ＝10，则m ＝( )
A.11
B.99
C.120
D.121
9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣1．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）设b n=2n﹣1，且c n=a n b n，求{c n}的前n项和．
10．已知数列{a n}满足a1=，2a n=a n﹣1+1（n∈N*，n≥2）．（1）求证：{a n﹣1}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）若b n=log（a n﹣1），求数列{}的前n项和S n．
11．数列{a n}的前n项和为S n且S n=n2+1．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．。