系统建模与仿真-第4次课--第2章

2015-6-28
3
M序列的产生及性质
M序列是伪随机二位式序列的一种形式，它具有白噪声 的性质，不仅可以保证有较好的辨识效果，而且工程上又易 于实现。
输出
X1
X2
X3
X4
移位脉冲
XOR
2015-6-28
4
M序列的性质
111100010011010
（1）由n级移位寄存器产生的M序列的最大周期为N=2n-1。
24
由式（2.146）可得 N
N
0 u(i) y(i) / u2 (i)
i 1
i 1
设
x0 T0 0 1 1/ N u2 (i) i 1
（2.148） （2.149）
2015-6-28
25
若系统阶次为n时已经求出 xn Tn n 1 ，则系统阶次
, i 1, 2,3,
则{ξi}是伪随机数序列，循环周期可达2k。
2015-6-28
2
正常输入
X(t)
Rxy ( )
0
g( )Rx (
)d

kg( )
线性系统
g(τ)
y(t)+yw(t)
白噪声
Xw (t)
延迟τ
乘法器
Xw (t-τ)
K g(τ)
积分器
具有正常输入时的系统辨识模拟方块图
(1) 乘同余法
首先，用递推同余式产生正整数序列{xi}，即
xi A xi1 (m o d M ) , i 1, 2, 3
M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数； A≡3或A≡5（mod8），且A不能太小；
初值x0取正奇数。
再令
i

xi M
, i 1, 2,3,
则{ξi}是伪随机数序列，循环周期可达2k-2。
y(N n)
u(1 n)
u(2

n)


u(N n)
2015-6-28
21
则有
y
系统的最小二乘辨识结果为
（2.145）


T
1 T y
（2.146）
上式中矩阵 T的阶数越大，所包含的信息量就 越多，系统参数估计的精度就越高。为了获得满意的

u(2)

u(N )
y(1)
y


y(2)


y(N
)
2015-6-28
23
则 T0 0 和

T 0
y
均为常数，即
T0T0y 0 iN1iNu1(ui)2(yi()i)
2015-6-28
（2.147）
B12
B22

（2.152）
B22
1/
x T 2n1 2n1
T
T
2n1 n n n 2n1
B12 B2T1 xnTn B 2n1 22
B11

xn

B12
x T
T
2n1 n n
2015-6-28
27
则
n 1


辨识结果，矩阵 T 的阶数常常取得相当 大。这样，
在用式（2.146）计算系统参数的估计值 时，矩阵求
逆的计算量很大。本节介绍一种算法来代替矩阵求
逆，在不降低辨识精度的前提下，可以使辨识速度有 较大提高。具体算法如下。
2015-6-28
22
首先设系统的阶次为0，则有
u(1)
Φ0

bˆ1 0.4569
2015-6-28
16
2.5.1.3 最小二乘辨识中的输入信号问题
当矩阵(T )1的逆阵存在时，式（2.98）才有解。一 般地，如果 u(k) 是随机序列或伪随机二位式序列，则矩 阵 T 是非奇异的，即 T 存在，式（2.98）有解。现 在从矩阵 T 必须是正定的这一要求出发，来讨论对u(k) 的要求。在这里为了方便起见，假定 u(k) 是均值为0的随 机过程。
长度为n的游程只有1个，为“1”的游程;
2015-6-28
5
（3）所有M序列均具有移位可加性，即2个彼此移位等价 的相异M序列，按位模2相加所得到的序列仍为M序列，并 与原M序列等价。
1111000100110101111000 1001101011110001001101
0110101111000100110101

yˆ (5)
测量矩阵为
y(1) u(2) u(1) 0.3 2.7 2.1
Φ y(2) u(3) u(2) 0.5 0.8 2.7 y(3) u(4) u(3) 0.2 1.5 0.8
y(4) u(5)
u(4)
可以推出矩阵 T 为正定的必要条件是：u(k) 为
持续激励信号。（推导过程略）
随机序列或伪随机二位式序列都可以作为测试信 号 u(k)。
2015-6-28
17
二电平M序列的产生
由于M序列对时间是离散的，而输入需要对时间连续，所 以在实际应用中，总是把状态为“0”和 “1”的M序列变换成幅 度为+a和-a的二电平序列，其中“0”对应高电平+a，“1”对应 低电平-a。这种对时间连续的序列称为二电平M序列
0.0253
0.9783 0.1126 0.1110
1.1189 0.5259 0.4058
1.2578
0.1701

0.2151
2015-6-28
15
最后求得
1.4862
θˆ


0.3456

0.4569
即最优参数估计为
aˆ1 1.4862 bˆ0 0.3456
(T )1T y
（2.98）
J为极小值的充分条件是
2J T 0
2
（2.99）
即矩阵 2015-6-28
T 为正定矩阵，或者说矩阵
T 是非奇异的8 。
[例2.1]已知某一单输入单输出线性系统的差分方程形 式为
y(k) a1y(k 1) b0u(k) b1u(k 1) (k)
2015-6-28
6
最小二乘法：
a1
2n+1维 参数向量
N维输出向量
y

y(n 1)

y(n


2)


,

y(n

N
)




an

,

b0

bn

(n 1)
(n

2)



(n N )
但机其序参列数。经a1过，辨b0识，试b1验为，未测知得数5组，输且入(k输)为出不数相据关为的随
2015-6-28
9
u(1) 2.1 u(4) 1.5 y(1) 0.3
y(4) 0.6
u(2) 2.7 u(5) 2.1 y(2) 0.5 y(5) 0.83
试求出其最优参数估计。
T n 2n1
T 2n1 2n1

N
式中：Tn
为列向量；
2 n 1
T
2 n 1
2 n 1

y2 (i n)为一标量。
i 1
2015-6-28
26
由分块矩阵求逆公式可得
式中


' n1
T

' n1

1

B11

B21
' n
1
2n2
式中
2n2 u (1 n) u(2 n) u(N n)T
这时，仿照上述方法容易求出
xn1
T n1
1 n1
2015-6-28
2015-6-28
u(3) 0.8
y(3) 0.2
10
[解]
令最优参数估计为 θˆ
yˆ(2)

aˆ1
bˆ0

，
令输出

bˆ1

Y

y(2)

y(3)

y(4)

y (5)
的最优估计为 Yˆ


yˆ (3)
。
yˆ(4)
2015-6-28
12
ΦTΦ 的特征值为1 0.2417，2 5.2244，3 24.4538。
由于它的特征值均为正数，所以ΦTΦ 为正定矩阵， 满足残差二次型 J eTe 取最小的充分条件，其中
e Y Yˆ 。
2015-6-28
13
根据残差二次型 J eTe 取最小的必要条件
0.6
2.1
1.5

2015-6-28
11
该矩阵的转置为
0.3 0.5 0.2 0.6 ΦT 2.7 0.8 1.5 2.1
2.1 2.7 0.8 1.5
两者之积为
0.74
ΦTΦ


1.97
0.02
1.97 14.59 9.78
0.02 9.78 14.59
y
（2.88）
2015-6-28
7
e

y

y

y



（2.94）
最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指