第四章-液体的流动
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第四章流体的有旋流动和无旋流动
第四章 流体的有旋流动和无旋流动在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。
本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。
第一节 流体微团运动的分析我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。
但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。
因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。
所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。
下面我们分别讨论这几种运动情况。
一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx 、dy 、dz ，形心a 处的速度为u，沿三个坐标轴的速度分量分别为u x 、u y 、u z ，如图4－1所示。
如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量也都是u x 、u y 和u z ，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。
图4－1 微团移动分析4－2 微团旋转运动分析二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy 平面的轴(z 轴)转动的情况，如图4－2所示。
设O 点在x 轴和y 轴方向的速度分量分别为u x 和u y 。
当A 点在y 轴方向的分速度不同于O 点在y 轴方向的分速度及B 点在x 轴方向的分速度不同于O 点在x 轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。
A 点在y 轴方向的分速度和B 点在x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为x xu u d y y ∂∂+和y yu u d xx ∂∂+，它们相对于O 点的对应分速度(相对于O 点的线速度)分别为x xu d y ∂∂和y yu d x∂∂，所以它们相对于O 点的角速度(逆时针方向旋转为正)应为A 点上xu x x xu ∂∂=∂∂y y d /dB 点上 yuy y y u ∂∂-=∂∂-x x d /d 而对于微团中其它各点绕z 轴转动的角速度(如C 点等)则是由该点y 向的分速度在x 轴方向的变化量和x 向的分速度在y 轴方向的变化量共同产生的。
第4章 流体基本知识
粘性作用表现不出来-------流体静力学为无黏性流体的力学 模型。
注：不是流体没有粘性
一、流体的静压强定义：
流体的压强(pressure) ：在流体内部或固体壁面所存在的单位 面积上 的法向作用力 流体静压强（static pressure)：流体处于静止状态时的压强。
p
lim
A0
P A
4、稳定流和非稳定流
定常流动(steady flow) :流动物理参数不随时间而变化
如：p f ( x, y, z), u f ( x, y, z, )
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f ( x, y, z, t ), u f ( x, y, z, t )
式中μ——黏度或黏滞系数(viscosity or absolute viscosity)。
黏度的单位是：N.s/m2或Pa.s 黏度μ的物理意义：表征单位速度梯度作用下的切应力， 反映了流体黏性的动力性质，所以μ又被称为动力黏度。 与动力黏度μ对应的是运动黏度υ(kinematic viscosity)，二 者的关系是
V 0
V 0
V
V
G V
三、流体的压缩性与膨胀性 1、压缩性： 定义：在一定的温度下，流体的体积随压强升高而缩 小的性质 表示方法：体积压缩系数β (The coefficient of compressibility)
1 dV V dp
（1/Pa）
2、膨胀性： 定义： 在一定的压强下，流体的体积随温度的升 高而增大的性质 表示方法：温度膨胀系数α(the coefficient of expansibility)
特别注意：流体静压强的分 布规律只适用于静止、同种、 连续的流体。
注：不是流体没有粘性
一、流体的静压强定义：
流体的压强(pressure) ：在流体内部或固体壁面所存在的单位 面积上 的法向作用力 流体静压强（static pressure)：流体处于静止状态时的压强。
p
lim
A0
P A
4、稳定流和非稳定流
定常流动(steady flow) :流动物理参数不随时间而变化
如：p f ( x, y, z), u f ( x, y, z, )
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f ( x, y, z, t ), u f ( x, y, z, t )
式中μ——黏度或黏滞系数(viscosity or absolute viscosity)。
黏度的单位是：N.s/m2或Pa.s 黏度μ的物理意义：表征单位速度梯度作用下的切应力， 反映了流体黏性的动力性质，所以μ又被称为动力黏度。 与动力黏度μ对应的是运动黏度υ(kinematic viscosity)，二 者的关系是
V 0
V 0
V
V
G V
三、流体的压缩性与膨胀性 1、压缩性： 定义：在一定的温度下，流体的体积随压强升高而缩 小的性质 表示方法：体积压缩系数β (The coefficient of compressibility)
1 dV V dp
（1/Pa）
2、膨胀性： 定义： 在一定的压强下，流体的体积随温度的升 高而增大的性质 表示方法：温度膨胀系数α(the coefficient of expansibility)
特别注意：流体静压强的分 布规律只适用于静止、同种、 连续的流体。
凝固过程中的传热
第四章 凝固过程中的传热、传质与液 体流动
一、凝固过程中的传热 二、凝固过程中的传质 三、凝固过程中的液体流动
1
一、凝固过程中的传热
在凝固过程中，伴随着潜热的释放、液相与固相降温放出物理热，定向凝 固时，还需外加热源使凝固过程以特定的方式进行，各种热流被及时导 出，凝固才能维持。 宏观上讲，凝固方式和进程主要是由热流控制的。
10
4. 温度场与凝固过程的分析 铸件凝固时间的确定：
对温度场研究的目的是进行凝固过程分析。 以无限大平板铸件为例，由铸件放热与铸型吸热相等 Q1=Q2，可得
铸件凝固层厚度：? ? K ? ， K为常数
Chvorinov 根据大量实验结果的分析，创造性地引入铸件模数的概念，
得出了著名的平方根定律： M ? K ? c
7
（1）解析法
直接从传热微分方程出发，在给定的
定解条件下，求出温度场的解析解
，实际条件下很少、只有引入许多假设
的条件下。
大平板铸件：
图中：S、L、M分别表示固相、液相和铸型的参数， Tk为凝固界面温度
根据界面上的热平衡：
?
S
? ? ?
?TS ?x
? ? ?x??
?
?
L
? ? ?
? TL ?x
? ? ?x??
边界条件相似 k s
按傅里叶导热微分方程可得相似条件：
k? k?
? ,? ,
即： l , 2
?
? ?,, ,,
l ,,2
?
??? ?
??
l2
k
2 l
Fo= ? ?
l2
?1
----定义为傅里叶数是
两个过程相似的必要条件是 Fo相等。
一、凝固过程中的传热 二、凝固过程中的传质 三、凝固过程中的液体流动
1
一、凝固过程中的传热
在凝固过程中，伴随着潜热的释放、液相与固相降温放出物理热，定向凝 固时，还需外加热源使凝固过程以特定的方式进行，各种热流被及时导 出，凝固才能维持。 宏观上讲，凝固方式和进程主要是由热流控制的。
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4. 温度场与凝固过程的分析 铸件凝固时间的确定：
对温度场研究的目的是进行凝固过程分析。 以无限大平板铸件为例，由铸件放热与铸型吸热相等 Q1=Q2，可得
铸件凝固层厚度：? ? K ? ， K为常数
Chvorinov 根据大量实验结果的分析，创造性地引入铸件模数的概念，
得出了著名的平方根定律： M ? K ? c
7
（1）解析法
直接从传热微分方程出发，在给定的
定解条件下，求出温度场的解析解
，实际条件下很少、只有引入许多假设
的条件下。
大平板铸件：
图中：S、L、M分别表示固相、液相和铸型的参数， Tk为凝固界面温度
根据界面上的热平衡：
?
S
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?TS ?x
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?
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L
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边界条件相似 k s
按傅里叶导热微分方程可得相似条件：
k? k?
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即： l , 2
?
? ?,, ,,
l ,,2
?
??? ?
??
l2
k
2 l
Fo= ? ?
l2
?1
----定义为傅里叶数是
两个过程相似的必要条件是 Fo相等。
金属凝固理论 第4章 液态金属凝固过程中的传热、传质及液体流动
3） 金属的凝固温度
金属的凝固温度越高，在凝固过程中铸件表面和铸型内表 面的温度越高，铸型内外表面的温差就越大，致使铸件断 面温度场出现较大的梯度。如有色金属与钢铁相比，其温 度场较平坦。
2020/10/15
11/56
（2）铸型性质的影响 1）铸型的蓄热系数
铸型的蓄热系数越大，对铸件的冷却能力就越大， 铸件内的温度梯度就越大。铸型的导热系数越大， 能把铸型内表面吸收的热迅速传至外表面，使铸 型内表面保持强的吸热能力，铸件内的温度梯度 也就大。
向中心推进时，把铸型加热到更高温度，所以铸 件内温度场较平坦。
2）铸件的形状 铸件的棱角和弯曲表面，与平面的散热条件不同。
向外凸出的部分，散出的热量被较大体积的铸型 所吸收，铸件的冷速较大，如果铸件内凹的表面， 则相反。
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13/56
三、铸件的凝固方式及影响因素
TL
TS
L
S+L S
第四章 液态金属凝固过程 中的传热、传质及液体流动
2020/10/15
1/56
第一节 凝固过程中的传热
在材料成形过程中，液态金属的过热热量和 凝固潜热主要是通过传导而释放的。
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2/56
一、凝固过程中的热传导及傅里叶方程
温度场基本概念: 稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函 数），其表达式为：
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T n
Tw Tf
4/56
凝固过程中，热量传递有三种形式：传导、辐射、 对流。
以热传导为主。 热传导过程取决于温度的分布——温度场：温度
随空间和时间的变化。 T = f（x，y，z，t） Fourier热传导方程：
金属的凝固温度越高，在凝固过程中铸件表面和铸型内表 面的温度越高，铸型内外表面的温差就越大，致使铸件断 面温度场出现较大的梯度。如有色金属与钢铁相比，其温 度场较平坦。
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（2）铸型性质的影响 1）铸型的蓄热系数
铸型的蓄热系数越大，对铸件的冷却能力就越大， 铸件内的温度梯度就越大。铸型的导热系数越大， 能把铸型内表面吸收的热迅速传至外表面，使铸 型内表面保持强的吸热能力，铸件内的温度梯度 也就大。
向中心推进时，把铸型加热到更高温度，所以铸 件内温度场较平坦。
2）铸件的形状 铸件的棱角和弯曲表面，与平面的散热条件不同。
向外凸出的部分，散出的热量被较大体积的铸型 所吸收，铸件的冷速较大，如果铸件内凹的表面， 则相反。
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三、铸件的凝固方式及影响因素
TL
TS
L
S+L S
第四章 液态金属凝固过程 中的传热、传质及液体流动
2020/10/15
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第一节 凝固过程中的传热
在材料成形过程中，液态金属的过热热量和 凝固潜热主要是通过传导而释放的。
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一、凝固过程中的热传导及傅里叶方程
温度场基本概念: 稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函 数），其表达式为：
2020/10/15
T n
Tw Tf
4/56
凝固过程中，热量传递有三种形式：传导、辐射、 对流。
以热传导为主。 热传导过程取决于温度的分布——温度场：温度
随空间和时间的变化。 T = f（x，y，z，t） Fourier热传导方程：
第4章-流体流动守恒原理-讲义1-守恒方程
动量矩守恒方程： 描述流体动量矩变化 与作用力矩之间的关 系；应用于流体转折 运动或旋转运动动力 学分析。
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
工程流体力学第4章流体在圆管中的流动
流体在圆管中的摩擦系数
定义
表示流体在圆管中流动时， 流体与管壁之间的摩擦力 与压力梯度之间的比值。
影响因素
流体的物理性质、管道的 粗糙度、流动状态等。
测量方法
通过实验测定，常用的实 验设备有摩擦系数计和流 阻仪等。
流体在圆管中的流动效率
定义
表示流体在圆管中流动的能量转 换效率，即流体在流动过程中所 消耗的能量与流体所具有的能量
流速分布受流体粘性和密度的影响， 粘性越大、密度越小，靠近管壁处流 速降低越快。
03
流体在圆管中的流动现象
流体阻力
01
02
03
定义
流体在流动过程中，由于 流体内部以及流体与管壁 之间的摩擦力而产生的阻 力。
影响因素
流体的物理性质、流动状 态、管道的形状和尺寸等。
减小阻力措施
选择适当的流速、优化管 道设计、使用减阻剂等。
之比。
影响因素
流体的物理性质、管道的形状和尺 寸、流动状态等。
提高效率措施
优化管道设计、改善流体物性、降 低流速等。
流体பைடு நூலகம்圆管中的流动稳定性
定义
表示流体在圆管中流动时，流体的速 度和压力等参数随时间的变化情况。
影响因素
流动稳定性控制
通过控制流体物性、流速和管道设计 等措施，保持流体在圆管中的流动稳 定性。
根据输送距离、流量和扬程要求，选择合适的水 泵。
输送效率
优化输送管道布局，降低流体阻力，提高输送效 率。
输送安全性
确保输送过程中不发生泄漏、堵塞等安全问题。
液压系统
液压元件
根据液压系统要求，选择合适的液压元件，如油泵、阀、油缸等。
系统稳定性
确保液压系统在各种工况下稳定运行，避免压力波动和振动。
流体力学课件第四章流动阻力和水头损失
l v hf d 2g
2
r w g J 2
w v 8
定义壁剪切速度（摩擦速度） 则
w v
*
v v
*
8
§4-4 圆管中的层流
层流的流动特征
du dy
du du dy dr
du dr
g J
r 2
r du g J 2 dr
层流 紊流
§4-3 沿程水头损失与剪应力的关系
均匀流动方程式
P G cos P2 T 0 1
P p1 A1 1
P2 p2 A2
T w l
G cos gAl cos gA( z1 z2 )
w l p1 p2 ( z1 ) ( z2 ) g g gA
v2 hj 2g
§4-2 粘性流体的两种流态
两种流态
v小
' c
v小
v > vc
v大 v大
临界流速。 下临界流速 vc ——由紊流转化为层流时的流速称为下 临界流速。
vc' ——由层流转化为紊流时的流速称为上 上临界流速
vv
层流 紊流
' c
紊流 层流
a-b-c-e-f f-e-d-b-a
第四章 流动阻力和水头损失
水头损失产生的原因： 一是流体具有粘滞性， 二是流动边界的影响。
§4-1 流动阻力和水头损失的分类
沿程阻力和沿程水头损失
在边界沿程无变化（边壁形状、尺寸、过 流方向均无变化）的均匀流段上，产生的流动 阻力称为沿程阻力或摩擦阻力。由于沿程阻力 做功而引起的水头损失称为沿程水头损失。均 匀流中只有沿程水头损失 h f 。
第四章.液流形态及水头损失
水头损失分类
（依据边界条件以及作用范围） 依据边界条件以及作用范围） hw 沿程损失 hf 局部损失 hj
沿程水头损失hf
水道中， 在平直的固体边界水道中，单位重量的液 体从一个断面流至另一个断面的机械能损失。 体从一个断面流至另一个断面的机械能损失。 这种 并随沿程长度增加而增加， 水头损失沿程都有并随沿程长度增加而增加，称 作沿程水头损失。 作沿程水头损失。
k
lg v
紊流：质点混掺， h ∝v 紊流：质点混掺，
f
1.75 ～ 2.0
3.液流流态的判断 3.液流流态的判断
雷诺发现， 雷诺发现，判断层流和紊流的临界流速 与液体密度、动力粘性系数、管径关系密切， 与液体密度、动力粘性系数、管径关系密切， 判断： 提出液流型态可用下列无量纲数判断：
ρvd Re = µ
对于圆管， 对于圆管，则
l v hf = λ d 2g
l v2 hf = λ 4R 2g
2
对于明渠均匀流， 对于明渠均匀流，则
可见，欲求出水头损失， 可见，欲求出水头损失，必须研究沿程阻力系数 的变化规律。 的变化规律。
沿程阻力系数λ包含的影响因素： 沿程阻力系数 包含的影响因素： 包含的影响因素
液流产生水头损失必须具备两个条件： 液流产生水头损失必须具备两个条件： 1）液体具有粘滞性；（决定作用） 液体具有粘滞性；（决定作用） ；（决定作用 2）由于固体边界的影响，液流内部质 由于固体边界的影响， 点间产生相对运动。 点间产生相对运动。
水力学上能量损失用单位重量液体 表示。 的能量损失 hw 表示。
H = H 0 + ∑ hw
水头损失在工程上的意义： 水头损失在工程上的意义：
水头损失的数值大小直接关系到动力设备容量 的确定，因而关系到工程的可靠和经济性。 的确定，因而关系到工程的可靠和经济性。 如图为水泵供水示意图，据供水要求， 如图为水泵供水示意图，据供水要求，水泵将 水池中水从断面１ 提升到断面２ 水池中水从断面１－１提升到断面２－２。 静扬高：断面１ 的高程差Ｈ 静扬高：断面１和２的高程差Ｈ0 扬程Ｈ：静扬高加水头损失， Ｈ：静扬高加水头损失 扬程Ｈ：静扬高加水头损失， 即：
流体流动04-(流体流动阻力)
蝶阀
3、阻力损失计算通式 - 范宁公式 圆直管中的范宁公式推导 圆直管中的范宁公式推导
分析流体在直径为d 长度为l 分析流体在直径为d，长度为l的水平管内的水平受力
F = τπ dl
1 2 F
u p1
p1 ⋅ d 4
d
1`
2
F 2` l
Ｐ2
π
p2 ⋅ d 4
π
2
对匀速运动，合力为零，即： 对匀速运动，合力为零，
p1 ⋅
π
4
d
2
= p2 ⋅
π
4
d +F
2
= p2 ⋅
π
4
d 2 + τπ dl
4τl p1 − p 2 = d
4τ l p1 − p 2 = d
已知不可压缩流体在水平等径管内作稳定流动时， 已知不可压缩流体在水平等径管内作稳定流动时，柏 水平等径管内作稳定流动时 努利方程为： 努利方程为：
p1 − p2
一、流体的黏度 1、流体阻力的表现和来源 （1）阻力的表现 如图 由两截面间的柏努利方程式 可得：
z1 = z2 u1 = u2
即：
1 2 p1 1 2 p2 z1 g + u1 + = z2 g + u2 + + ∑hf 2 ρ 2 ρ
结论：流体阻力致使静压能下降。阻力越大，静压 能下降就越多。
例
用泵将贮槽(通大气) 用泵将贮槽(通大气)中的稀碱液送到蒸发器中进
行浓缩， 所示。 行浓缩，如附图 所示。泵的进口管为φ89×3.5mm × 的钢管，碱液在进口管的流速为 的钢管，碱液在进口管的流速为1.5m/s，泵的出口管 ， 的钢管。 为φ76 × 2.5mm的钢管。贮槽中碱液的液面距蒸发 的钢管 器入口处的垂直距离为7m，碱液经管路系统的能量 器入口处的垂直距离为 ， 损失为40J/kg，蒸发器内碱液蒸发压力保持在 ， 损失为 0.2kgf/cm2（表压），碱液的密度为 表压），碱液的密度为1100kg/m3。试计 ），碱液的密度为 算所需的外加能量。 算所需的外加能量。
第四章 凝固过程中的传热讲解
合质量热容法，即把潜热△h加 到质量热容c，上，获得了一个增大的热
容，折合的质量热容为：
c, c h d3
dT
（3）常见的凝固并不是按平面界面进行的，而存在一个凝固区，即糊状区， 在该区存在着传热与传质的偶合问题，需同时考虑传热和传质。
6
3. 凝固过程传热的研究方法
（1）解析法 （2）实验法 （3）数值计算法
19
（3）固相无扩散，液相中有扩散而无对流的溶质再分配
1） 最初过渡区 2）稳态区当C*S = C0、CL* = C0/K0时，便 进入稳定生长阶段，固相生长所排出的溶
质量等于液态中扩散走的量。在此区，液 相内各点上的成分保持不变。
dCL dt
DL
d 2CL dx,2
R dCL dx,2
0
平衡凝固只是一种理想状态，在实际 中一般不可能完全达到，特别是固相 中原子扩散不足以使固相成分均匀。 对C、N、O等半径较小的间隙原子， 由于固、液相扩散系数大，在通常铸 造条件下，可近似认为按绝对平衡情
况凝固。
16
（2）固相无扩散而液相均匀混合的溶质再分配
固相成分的计算（Scheil公式）：
CL 1 K0 dfS
dn
T a2T ----傅里叶第二定律
辐射： q
K
Tc, 100
4
Tc 100
4
λ---导热系数，a=λ/ρcp ----热扩散系数 Tc----环境温度， T,c-----铸件温度
对流： q Tc, Tc
以上为凝固过程基本方程，在特定的条件下即可进行凝固过程温度及其演 变过程的计算，特定解包括： 1）物理条件（物性参数），2）几何条件（凝固系统几何形状） 3）时间条件（初始条件），4）空间条件（边界条件）
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（1）理想流体（ideal fluid）
完全不可压缩的无黏性的流体.
（2）稳定流动（steady flow） 流体粒子流经空间任一固定点的速度不随 时间而改变的现象.
返回
（3）流线（stream line） 在流体流动的空间画出许多曲线,使曲线 上每一点的切线方向与流经该点的流体 质点的速度方向相同,这种曲线称为流线.
h1 = h 2 P1 v1 P2 v2
伯 努 利 方 程 及 其 应 用
1 2 p v constant 2
Static pressure
Dynamic pressure
(1)流速计 汾丘里（Venturi）流量计的设计原理： 先用两个插在主管道中的竖直细管来 测量不同截面处的压强差,然后计算出流速 或流量.
1 1 2 2 移项： p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
返回
由于1点、2点的任意性,可得到伯努利方程
1 2 p V gh 常量 2
此式称为伯努利方程
重要公式
证毕！
返回
其中：
p — 压强能密度
1 2 v — 动能密度 2
gh— 重力势能密度
根据功能原理：A=ΔE
返回
1 1 2 2 p1V p2 V ( mv2 mgh2 ) ( mv1 mgh1 ) 2 2
1 1 2 2 p1V mv1 mgh1 p2 V mv2 mgh2 2 2
m 等式两边同除 V 利用 V 有
1 1 2 2 p1 p2 v2 gh2 v1 gh1 2 2
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二、 连续性方程（continuity equation）
S=常数
证明：
流进流管的体积=流出流管的体积 ΔV1=ΔV2 （不可压缩性）
S11Δt=S22 Δt
∴ S11=S22 1点与2点是任选的,则 重要公式 S =常数
证毕！
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连续性方程表明: 当不可压缩的流体做定常流动时, 流量是守恒的.
证明：
有功能原理： 外力作功+非 保守内力作功=机械能增量
A F1v1t F2v2 t p1S1v1t p2 S2v2 t
设
S1v1t S2v2 t V
A p1V p2 V
返回
机械能增量：
E E 2-E 1
1 1 2 2 ( mv2 mgh2 )-( mv1 mgh1 ) 2 2
返回
A
B C
飞 流 直 下 三 千 尺 , 疑 是 银 河 落 九 天 .
返回
流线的照片：
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定常流动时流线的特点：
（1）任何两条流线不可能相交; （2）流线形状不随时间的推移而改变; （3）流线疏的地方,平均流速小;流线密的地 方,平均流速大;
（4）流线的形状与流体质点的运动轨迹相同.
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（4）流管（flow Tube ）
适用条件：
（1）不可压缩流体; （2）定常流动; （3）在同一流管. 若流管中某截面上的流速不是定值,则速 度应用平均值 S v 常数
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S1 1 = S2 2
Distributing of velocity about blood in vessel
30cm/s
main section of blood vessel
伯努利方程表明：
理想流体做定常流动时,沿同一流线,动能 密度、势能密度和压强能密度之和是一恒量.
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适用条件：
（1）理想流体
（2）定常流动
（3）同一流线
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. The applications of Bernoulli’s equation(应用)
1 2 p v gh consta nt 2 1. The relation between pressure and velocity of flow in a horizontal pipe 水平管
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第一节 理想流体 定常流动
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引入:流体流动的描述方法
拉格朗日法: 对于流体的流动通常有两种不同的考察方法. 一种方法是选定一个流体质点,对其跟踪观察, 描述其运动参数与时间的关系.此法描述的是 同一质点在不同时刻的状态. 欧拉法: 它描述的则是空间各点的状态及其与时间的 关系.此法并不跟踪流体质点进行观察,而是在 固定位置上观察流体质点的运动情况.欧拉法 系直接描述各有关运动参数在指定空间和时间 上的变化.
两种方法应用
在物理学中考察单个固体质点的运动时,通常 都采用拉格朗日法.在流体流动中则不然,由于 流体流动中涉及到无数个质点,采用拉格朗日 法就使问题变得异常复杂.仅当所研究的是任 一质点均遵循的一般规律时,才采用拉格朗日 法.一般情况下,对流体流动的描述均采用欧拉 法.本课程都是采用欧拉法.
一、 基本概念
由流线围成的管状曲面.
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定常流动时流管的特点：
（1）流管内外无物质交换; （2）流管的形状不随时间的推移而改变; （3）流体在实际的河床、管道等区域中流动, 这些区域就是最大的流管.
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（5）流量
flux
单位时间内流过垂直流管的截面S的 流体体积. 定义：Q= • S 单位 ：米3/秒 （m3
h This is a horizontal pipe 1 2 p v constant 2
第四章
流体 的 运 动
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教学要求：
1. 重点掌握理想流体的连续性方程和伯努利方 程,黏性流体的泊肃叶定律的物理意义并能熟 练应用; 2. 确切理解理想流体与黏性流体,定常流动与层 流、黏度、雷诺数等概念; 3. 了解外周阻力、血沉、心脏做功,血流速度及 血管中血压的分布.
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第一节 理想流体 定常流动 第二节 第三节 第四节 第五节 伯努力的方程 粘性流体的流动 粘性流体的运动规律 血液在循环系统中的流动
900cm2 5cm/s 速度 面积 1mm/s 毛细血管 18cm2 腔静脉 静脉
vein
血 流 速 度
速度
理 想 液 体 的 定 常 流 动
3cm2
主动脉 大动脉
Main artery
小动脉
Small artery
毛细血管
Capillary vessel
第二节 伯努利方程 (Bernoulli equation)
完全不可压缩的无黏性的流体.
（2）稳定流动（steady flow） 流体粒子流经空间任一固定点的速度不随 时间而改变的现象.
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（3）流线（stream line） 在流体流动的空间画出许多曲线,使曲线 上每一点的切线方向与流经该点的流体 质点的速度方向相同,这种曲线称为流线.
h1 = h 2 P1 v1 P2 v2
伯 努 利 方 程 及 其 应 用
1 2 p v constant 2
Static pressure
Dynamic pressure
(1)流速计 汾丘里（Venturi）流量计的设计原理： 先用两个插在主管道中的竖直细管来 测量不同截面处的压强差,然后计算出流速 或流量.
1 1 2 2 移项： p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
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由于1点、2点的任意性,可得到伯努利方程
1 2 p V gh 常量 2
此式称为伯努利方程
重要公式
证毕！
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其中：
p — 压强能密度
1 2 v — 动能密度 2
gh— 重力势能密度
根据功能原理：A=ΔE
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1 1 2 2 p1V p2 V ( mv2 mgh2 ) ( mv1 mgh1 ) 2 2
1 1 2 2 p1V mv1 mgh1 p2 V mv2 mgh2 2 2
m 等式两边同除 V 利用 V 有
1 1 2 2 p1 p2 v2 gh2 v1 gh1 2 2
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二、 连续性方程（continuity equation）
S=常数
证明：
流进流管的体积=流出流管的体积 ΔV1=ΔV2 （不可压缩性）
S11Δt=S22 Δt
∴ S11=S22 1点与2点是任选的,则 重要公式 S =常数
证毕！
返回
连续性方程表明: 当不可压缩的流体做定常流动时, 流量是守恒的.
证明：
有功能原理： 外力作功+非 保守内力作功=机械能增量
A F1v1t F2v2 t p1S1v1t p2 S2v2 t
设
S1v1t S2v2 t V
A p1V p2 V
返回
机械能增量：
E E 2-E 1
1 1 2 2 ( mv2 mgh2 )-( mv1 mgh1 ) 2 2
返回
A
B C
飞 流 直 下 三 千 尺 , 疑 是 银 河 落 九 天 .
返回
流线的照片：
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定常流动时流线的特点：
（1）任何两条流线不可能相交; （2）流线形状不随时间的推移而改变; （3）流线疏的地方,平均流速小;流线密的地 方,平均流速大;
（4）流线的形状与流体质点的运动轨迹相同.
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（4）流管（flow Tube ）
适用条件：
（1）不可压缩流体; （2）定常流动; （3）在同一流管. 若流管中某截面上的流速不是定值,则速 度应用平均值 S v 常数
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S1 1 = S2 2
Distributing of velocity about blood in vessel
30cm/s
main section of blood vessel
伯努利方程表明：
理想流体做定常流动时,沿同一流线,动能 密度、势能密度和压强能密度之和是一恒量.
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适用条件：
（1）理想流体
（2）定常流动
（3）同一流线
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. The applications of Bernoulli’s equation(应用)
1 2 p v gh consta nt 2 1. The relation between pressure and velocity of flow in a horizontal pipe 水平管
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第一节 理想流体 定常流动
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引入:流体流动的描述方法
拉格朗日法: 对于流体的流动通常有两种不同的考察方法. 一种方法是选定一个流体质点,对其跟踪观察, 描述其运动参数与时间的关系.此法描述的是 同一质点在不同时刻的状态. 欧拉法: 它描述的则是空间各点的状态及其与时间的 关系.此法并不跟踪流体质点进行观察,而是在 固定位置上观察流体质点的运动情况.欧拉法 系直接描述各有关运动参数在指定空间和时间 上的变化.
两种方法应用
在物理学中考察单个固体质点的运动时,通常 都采用拉格朗日法.在流体流动中则不然,由于 流体流动中涉及到无数个质点,采用拉格朗日 法就使问题变得异常复杂.仅当所研究的是任 一质点均遵循的一般规律时,才采用拉格朗日 法.一般情况下,对流体流动的描述均采用欧拉 法.本课程都是采用欧拉法.
一、 基本概念
由流线围成的管状曲面.
返回
定常流动时流管的特点：
（1）流管内外无物质交换; （2）流管的形状不随时间的推移而改变; （3）流体在实际的河床、管道等区域中流动, 这些区域就是最大的流管.
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（5）流量
flux
单位时间内流过垂直流管的截面S的 流体体积. 定义：Q= • S 单位 ：米3/秒 （m3
h This is a horizontal pipe 1 2 p v constant 2
第四章
流体 的 运 动
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教学要求：
1. 重点掌握理想流体的连续性方程和伯努利方 程,黏性流体的泊肃叶定律的物理意义并能熟 练应用; 2. 确切理解理想流体与黏性流体,定常流动与层 流、黏度、雷诺数等概念; 3. 了解外周阻力、血沉、心脏做功,血流速度及 血管中血压的分布.
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第一节 理想流体 定常流动 第二节 第三节 第四节 第五节 伯努力的方程 粘性流体的流动 粘性流体的运动规律 血液在循环系统中的流动
900cm2 5cm/s 速度 面积 1mm/s 毛细血管 18cm2 腔静脉 静脉
vein
血 流 速 度
速度
理 想 液 体 的 定 常 流 动
3cm2
主动脉 大动脉
Main artery
小动脉
Small artery
毛细血管
Capillary vessel
第二节 伯努利方程 (Bernoulli equation)