大学物理第3章刚体的定轴转动
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大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
大学物理第3章习题解答
第三章 刚体的定轴转动3-1掷铁饼运动员手持铁饼转动1.25圈后松手，此刻铁饼的速度值达到125-⋅=s m v 。
设转动时铁饼沿半径为R=1.0 m 的圆周运动并且均匀加速。
求: (1)铁饼离手时的角速度; (2)铁饼的角加速度;(3)铁饼在手中加速的时间(把铁饼视为质点)。
解：（1）铁饼离手时的角速度为(rad/s)250125===.//R v ω（2）铁饼的角加速度为)(rad/s 83925122252222..=⨯⨯==πθωα（3）铁饼在手中加速的时间为(s)628025251222..=⨯⨯==πωθt3-2一汽车发动机的转速在7.0s 内由2001min -⋅r 均匀地增加到3001min -⋅r 。
(1)求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度; (2)求这段时间内转过的角度和圈数;(3)发动机轴上装有一半径为r=0.2m 的飞轮，求它的边缘上一点在第7.0s 末的切向加速度、法向加速度和总加速度。
解：（1）初角速度为(rad/s)9206020020./=⨯=πω末角速度为(rad/s)3146030002=⨯=/πω角加速度为)(rad/s 9410792031420...=-=-=tωωα（2）转过的角度为)186(rad 1017172314920230圈=⨯=⨯+=+=..t ωωθ（3）切向加速度为)(m/s 388209412t ...=⨯==R a α法向加速度为)(m /s 10971203142422n ⨯=⨯==..R a ω总加速度为)(m/s 10971)10971(378242422n 2t ⨯=⨯+=+=...a a a总加速度与切向的夹角为9589378101.97arctan arctan 4t n '︒=⨯==.a a θ3-3 如图所示，在边长为a 的六边形顶点上分别固定有质量都是m 的6个小球(小球的直径a d <<)。
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
大学物理第三章知识点
dt dt
t2 Mdt
t1
2 d(J) J
1
2 1
d
J2
J1
冲量矩
---角动量定理(积分式)
X. J. Feng
作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量
3.角动量守恒定律
t2
t1
Mdt
J2
J1
M 0时，J2 J1
若转动物体的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
转动系统由两个或两个以上物体组成时：
X. J. Feng
M合 0时 Jii 常数
若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
讨论：1. J、ω均不变， J ω=常数 2. J、ω都改变， 但 J ω不变
注意: 1).运用角动量守恒时,系统中各物体均绕同一转轴转动
2).角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需 相对同一惯性参照系。
花样滑冰运动员通过改变 身体姿态即改变转动惯量 来改变转速
ω
X. J. Feng
猫的下落
例: 杆( m,l ),可扰固定端O在竖直平面内自由转动, X. J. Feng
一子弹( m,v0 )射入杆的下端,求杆上摆的最大角度?
O 判断:
m,l
mv0 (m m)V
1 2
mv 0 2
刚体定轴转动定律: 功能关系:
M 合 J
刚体转动动能定理:
A
1 2
J2 2
1 2
J12
刚体重力势能： EP mghc
机械能守恒定律:
若W外+ W内非=0 则Ek +Ep =常量
X. J. Feng
t2 Mdt
t1
2 d(J) J
1
2 1
d
J2
J1
冲量矩
---角动量定理(积分式)
X. J. Feng
作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量
3.角动量守恒定律
t2
t1
Mdt
J2
J1
M 0时，J2 J1
若转动物体的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
转动系统由两个或两个以上物体组成时：
X. J. Feng
M合 0时 Jii 常数
若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
讨论：1. J、ω均不变， J ω=常数 2. J、ω都改变， 但 J ω不变
注意: 1).运用角动量守恒时,系统中各物体均绕同一转轴转动
2).角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需 相对同一惯性参照系。
花样滑冰运动员通过改变 身体姿态即改变转动惯量 来改变转速
ω
X. J. Feng
猫的下落
例: 杆( m,l ),可扰固定端O在竖直平面内自由转动, X. J. Feng
一子弹( m,v0 )射入杆的下端,求杆上摆的最大角度?
O 判断:
m,l
mv0 (m m)V
1 2
mv 0 2
刚体定轴转动定律: 功能关系:
M 合 J
刚体转动动能定理:
A
1 2
J2 2
1 2
J12
刚体重力势能： EP mghc
机械能守恒定律:
若W外+ W内非=0 则Ek +Ep =常量
X. J. Feng
大学物理 3.3刚体定轴转动中的功与能
1
冲头做的功。
解：以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
2
i
N
r, r, , r , r
1
2
i,
N
v,v ,,v,,v
1
2
i
N
v r
i
i
E 1 Δmv 2
i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？
解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态：动能为零，重力势能为
v
末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 是 n 240r min，1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
冲头做的功。
解：以 1和 2 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
2n 1
8rad s1
1 60
1 0.2 0.8
2
1
1
由转动动能定理 A 1 J 2 1 J 2 1 J 2 0.82 1
2
2 2
1
2
1
又 J 1 mr2 2
A 5.45103 J
1.绕定轴转动刚体的动能
Δm ,Δm ,,Δm ,,Δm
1
2
i
N
r, r, , r , r
1
2
i,
N
v,v ,,v,,v
1
2
i
N
v r
i
i
E 1 Δmv 2
i2
ii
刚体的总动能
E 1 Δm v 2 1 Δm r 2 2
例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。 当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？
解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。
设终态时重力势能为零
R M
初态：动能为零，重力势能为
v
末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能
2
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 这就是刚体定轴转动的动能定理
例3-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构 的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘， 其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速 是 n 240r min，1 冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔
大学物理同步训练第2版第三章刚体定轴转动详解
mg
3g 1 cos L 1 1 1 cos mL2 2 2 2 3 L
可知当 从 0 至 90 度的过程中，角速度从小到大。 5. （☆）如图 3 所示，A、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A 滑 轮挂一质量为 m 的物体，B 滑轮受拉力 G，而且 G=mg。设 A、B 两 滑轮的角加速度分别为βA 和βB，不计滑轮轴的摩擦，则有 （A） A B （C） A B 答案：C 分析： （定性）由于物体 m 有向下的加速度，故作用于物体上的绳子张力小于 mg，即小于 右边绳子的张力（=mg） ，故 A 滑轮受到的力矩小于 B 滑轮，故 A B 。 （定量）设圆盘转动惯量为 I ，参考计算题第 1 题的计算过程，可得 A、B 圆盘的转动角加 速度为 （B） A B （D）开始时 A B ，以后 A B
mg TA ma mgR mgR A ； GR I B B TA R I A 2 I mR I R a A
故 A B 。 6. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、转动惯量为 J 的定滑轮， 绳的两端分别悬 有质量为 m1 和 m2 的物体 （m1<m2） ， 如图 4 所示。 绳与轮之间无相对滑动。 若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 （A）处处相等 （C）右边大于左边 答案：C 分析： （定性）由于重的物体 m2 最终必然下落，可知圆盘最后将做顺时针转动，因此圆盘 受到的合外力矩应为顺时针，即右边绳子的张力要大于左边绳子的张力。 （定量）参考课本例题（ （★）阿特伍德机：P84，例 3-5）可得 （B）左边大于右边 （D）无法判断哪边大
A J B A
6. （☆）如图 10 所示，一静止的均匀细棒，长为 L，质量为 m1，可绕通过棒的端点且垂直 于棒长的光滑固定轴 O 在水平面内转动，转动惯量为 m1L2/3。一质量为 m、速率为 v 的子 弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为 v/2，则 此时棒的角速度应为 答案： 。
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
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设刚体上P点受到外力 F 的作用， 位移为 d r z dA F dr F sin rd 力矩： M Fr sin F ds O d dA Md r P
力矩对刚体所作的功：
A Md
1
20 20
2
二 .定轴转动动能定理
1 转动动能: EK Δ mi vi 2 i 2
dm 2π rdr
J r dm 2π r dr
2
3
R
o
r
dr
π R 1 mR2 2 2
4
11 11
J与转轴位置有关：
例 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
m l o
l
dm dx
F//
r
F
M z Fr sin Fh Ft r
2）力不在转动平面内
h
Ft
A
F// 对轴的力矩为零 M z rF sin Fh Ft r
Fn
F
5
说明
在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平 面内的分力对转轴的力矩。
同一个力对不同转轴的矩不一样； 通常规定: 沿转轴方向 M 0 沿转轴反方向 M 0
24
二、定轴转动的角动量定理
由质点系的角动量定理可得:
d Lz d( J ) Mz dt dt
刚体定轴转动 的角动量定理
t2
t1
M z d t J2 J1
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M z 0 ，则 J const.
即外力对某轴的力矩之和为零，则物体对同一轴的 角动量守恒
上式对所有质元求和，有：
F r f r (m r
外力矩之和
)
内力矩之和
为零
7
Fit ri M Z (mi ri2 )
令 J 即
2 m r ii
刚体绕Z轴转动的转动惯量
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。 2. M、J、是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
§ 刚体定轴转动的描述
一. 刚体的运动
刚体：在力的作用形状和体积均不发生形变的物 体，理想化的模型。 刚体的基本运动形式：平动和转动 平动： 在运动过程中，其上 任意两点的连线始终保持平 行的运动。 平动时可当作质点处理
1 1
转动: 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动 这条直线称为转轴。 定轴转动（fix-axis rotation）： 转轴固定不动的转动
25
25
角动量守恒定律举例： 例如：花样滑冰运动员的“旋”动作
质点与刚体的碰撞时，可以把质点和刚体
看成一个系统，在碰撞期间，系统所受的合外
力矩为零，对系统应用角动量守恒定律。
26 26
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一
质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若
棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。 解： 1 2 2 角动量守恒： mva m0l ma 3 机械能守恒： 1 1 2 2 2 m0l ma
例. 已知：均匀直杆质量为m，长为l，轴o光滑， 初始静止在水平位置。 AO l / 4
0
A
θ· l /4 C
l,m B EP重=0
ω
求: 杆下摆到 角时，
角速度
？
解: “杆+地球”系统，
E机 守恒。
1 l 2 J 0 mg sin 0 2 4
1 l 2 7 2 J0 ml m ( ) ml 2 12 4 48
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM阻 dmgx
细杆受的阻力矩
l 0
l dm o x m dx
x
1 M阻 dM阻 gxdx mgl 2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初速度为0，绕中O心旋转，问经 过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为） 解： dM dF r μ dmg r
x
l
2
m l
l 2
L/2
dm
x
l 2
x
l
2
o x dx
L / 2 2 x dm
L/2 L / 2
J A x dm x dx
0
0
Jc
2 x dx
mL /3
2
2 mL / 12
12
平行轴定理：
刚体绕质心轴的转动惯量 JC
刚体绕质心轴的平行轴的转动
z' d
解: 选垂直纸面向里为转轴正向
棒在任意位置时质元dm对O轴 的重力矩
o
d
r dr
mg dM dr r cos l l mg l M dM r cos dr mg cos 0 l 2
dm g
16
1 2 M J ml 3
3g cos 2l
dr r
dm 2π r dr
M dM
R 0
O R
2mgr dr 2 mgR 2 R 3
2
0
d 3R t 0 3R M J dt d dt d 0 4 g dt 4 g
19 19
§ 定轴转动刚体的功和能
一. 力矩的功
m
h
R 0 M
P
1 2 m gh m v 2 v 2 gh (1)
x
30 30
碰撞过程: 对“m + M ”系统，
m
h
R 0 M P
冲力远大于重力，重力对0的力 矩可忽略，故角动量守恒：
mvRcos J0
x
(2)
(3)
1 J MR 2 mR 2 2mR 2 2 2 gh 0 (4) 4R
1 J mR 2 2
练习：写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量
L
O
m
M O R
14
三. 刚体定轴转动定律的应用
例 定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌
面水平光滑。已知 m1,m2, m3 ，R.求：两侧绳拉力。 m1 T1 T1 m3 解：如图建立直角坐标系， 选垂直纸面向里为转轴正向， R o T1 m1a1 T2 T2 T2 m2 g T2 m2 a2 T1 T1 T
vi ri
当
ait ri
ain ri
2
C
0 t
刚体做匀变速转动
0 0t t
1 2
2
与质点匀变速直 线运动公式相似
2 2 0 2 ( 0 )
4 4
§ 刚体定轴转动定律
一. 刚体定轴转动定律
1、对轴的力矩 1）力在转动平面内
6 g sin 2 7l
23
§ 定轴转动刚体的角动量守恒定律
一. 定轴转动刚体的角动量
刚体上任一质元mi对Z轴的角动 量为：
z
vi
ri
Liz mi ri vi mi ri ri
由于任一质元对 Z 轴的角动量 具有相同的方向
mi
Ri
x
2
O
y
Lz Liz ( mi ri )ω J
d d d d 3g (2) cos dt d dt d 2l
分离变量积分
0
l g cos d d 0 3 2
(3g sin ) l
3g 30 , 2l
0
3g 90 , l
0
17
例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
0
ri
Δ mi
vi
1 2 2 Δ mi ri i 2 1 2 EK J （可对比质点的动能）
2
A外 M 外 d
1
2
2
1
2 d 1 2 1 2 J d J d J2 J1 1 dt 2 2
转动过程： 对“m + M + 地球 ” 系统， E机守恒
31 31
当 m =3m ’时, v = 0（瞬时静止）
当 m <3m’ 时,v < 0（向下）
29
例 泥球质量为 m,半径为R的均质圆盘质量为 M=2m,
它可绕水平光滑轴o轴转动.泥球与 它正下方的圆盘 上的P点距离为 h， =60。求: （1） 碰撞后的瞬间 m、M 共同角速度 （2）P点转到 x 轴时角速度 和角 加速度。 解： （1）机械能守恒：
6 6
2. 定轴转动的转动定理
设第i个质元，受合外力 Fi 合内力 f i Fi fi mi ai
切线方向 同乘以 ri
ri fi
Fi
Fit f it mi ait
Fit ri fit ri mi ait ri mi ri ri
2 it i it i i i
28 28
因为弹性碰撞， 动能守恒
1 1 1 1 2 2 2 2 m u ml m v (2) 2 2 12 2
联立(1)(2)解得
m 3m u v ;
m 3m
6 m u ( m 3 m )l
力矩对刚体所作的功：
A Md
1
20 20
2
二 .定轴转动动能定理
1 转动动能: EK Δ mi vi 2 i 2
dm 2π rdr
J r dm 2π r dr
2
3
R
o
r
dr
π R 1 mR2 2 2
4
11 11
J与转轴位置有关：
例 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
m l o
l
dm dx
F//
r
F
M z Fr sin Fh Ft r
2）力不在转动平面内
h
Ft
A
F// 对轴的力矩为零 M z rF sin Fh Ft r
Fn
F
5
说明
在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平 面内的分力对转轴的力矩。
同一个力对不同转轴的矩不一样； 通常规定: 沿转轴方向 M 0 沿转轴反方向 M 0
24
二、定轴转动的角动量定理
由质点系的角动量定理可得:
d Lz d( J ) Mz dt dt
刚体定轴转动 的角动量定理
t2
t1
M z d t J2 J1
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M z 0 ，则 J const.
即外力对某轴的力矩之和为零，则物体对同一轴的 角动量守恒
上式对所有质元求和，有：
F r f r (m r
外力矩之和
)
内力矩之和
为零
7
Fit ri M Z (mi ri2 )
令 J 即
2 m r ii
刚体绕Z轴转动的转动惯量
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。 2. M、J、是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
§ 刚体定轴转动的描述
一. 刚体的运动
刚体：在力的作用形状和体积均不发生形变的物 体，理想化的模型。 刚体的基本运动形式：平动和转动 平动： 在运动过程中，其上 任意两点的连线始终保持平 行的运动。 平动时可当作质点处理
1 1
转动: 刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动 这条直线称为转轴。 定轴转动（fix-axis rotation）： 转轴固定不动的转动
25
25
角动量守恒定律举例： 例如：花样滑冰运动员的“旋”动作
质点与刚体的碰撞时，可以把质点和刚体
看成一个系统，在碰撞期间，系统所受的合外
力矩为零，对系统应用角动量守恒定律。
26 26
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一
质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若
棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。 解： 1 2 2 角动量守恒： mva m0l ma 3 机械能守恒： 1 1 2 2 2 m0l ma
例. 已知：均匀直杆质量为m，长为l，轴o光滑， 初始静止在水平位置。 AO l / 4
0
A
θ· l /4 C
l,m B EP重=0
ω
求: 杆下摆到 角时，
角速度
？
解: “杆+地球”系统，
E机 守恒。
1 l 2 J 0 mg sin 0 2 4
1 l 2 7 2 J0 ml m ( ) ml 2 12 4 48
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM阻 dmgx
细杆受的阻力矩
l 0
l dm o x m dx
x
1 M阻 dM阻 gxdx mgl 2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初速度为0，绕中O心旋转，问经 过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为） 解： dM dF r μ dmg r
x
l
2
m l
l 2
L/2
dm
x
l 2
x
l
2
o x dx
L / 2 2 x dm
L/2 L / 2
J A x dm x dx
0
0
Jc
2 x dx
mL /3
2
2 mL / 12
12
平行轴定理：
刚体绕质心轴的转动惯量 JC
刚体绕质心轴的平行轴的转动
z' d
解: 选垂直纸面向里为转轴正向
棒在任意位置时质元dm对O轴 的重力矩
o
d
r dr
mg dM dr r cos l l mg l M dM r cos dr mg cos 0 l 2
dm g
16
1 2 M J ml 3
3g cos 2l
dr r
dm 2π r dr
M dM
R 0
O R
2mgr dr 2 mgR 2 R 3
2
0
d 3R t 0 3R M J dt d dt d 0 4 g dt 4 g
19 19
§ 定轴转动刚体的功和能
一. 力矩的功
m
h
R 0 M
P
1 2 m gh m v 2 v 2 gh (1)
x
30 30
碰撞过程: 对“m + M ”系统，
m
h
R 0 M P
冲力远大于重力，重力对0的力 矩可忽略，故角动量守恒：
mvRcos J0
x
(2)
(3)
1 J MR 2 mR 2 2mR 2 2 2 gh 0 (4) 4R
1 J mR 2 2
练习：写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量
L
O
m
M O R
14
三. 刚体定轴转动定律的应用
例 定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌
面水平光滑。已知 m1,m2, m3 ，R.求：两侧绳拉力。 m1 T1 T1 m3 解：如图建立直角坐标系， 选垂直纸面向里为转轴正向， R o T1 m1a1 T2 T2 T2 m2 g T2 m2 a2 T1 T1 T
vi ri
当
ait ri
ain ri
2
C
0 t
刚体做匀变速转动
0 0t t
1 2
2
与质点匀变速直 线运动公式相似
2 2 0 2 ( 0 )
4 4
§ 刚体定轴转动定律
一. 刚体定轴转动定律
1、对轴的力矩 1）力在转动平面内
6 g sin 2 7l
23
§ 定轴转动刚体的角动量守恒定律
一. 定轴转动刚体的角动量
刚体上任一质元mi对Z轴的角动 量为：
z
vi
ri
Liz mi ri vi mi ri ri
由于任一质元对 Z 轴的角动量 具有相同的方向
mi
Ri
x
2
O
y
Lz Liz ( mi ri )ω J
d d d d 3g (2) cos dt d dt d 2l
分离变量积分
0
l g cos d d 0 3 2
(3g sin ) l
3g 30 , 2l
0
3g 90 , l
0
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例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
0
ri
Δ mi
vi
1 2 2 Δ mi ri i 2 1 2 EK J （可对比质点的动能）
2
A外 M 外 d
1
2
2
1
2 d 1 2 1 2 J d J d J2 J1 1 dt 2 2
转动过程： 对“m + M + 地球 ” 系统， E机守恒
31 31
当 m =3m ’时, v = 0（瞬时静止）
当 m <3m’ 时,v < 0（向下）
29
例 泥球质量为 m,半径为R的均质圆盘质量为 M=2m,
它可绕水平光滑轴o轴转动.泥球与 它正下方的圆盘 上的P点距离为 h， =60。求: （1） 碰撞后的瞬间 m、M 共同角速度 （2）P点转到 x 轴时角速度 和角 加速度。 解： （1）机械能守恒：
6 6
2. 定轴转动的转动定理
设第i个质元，受合外力 Fi 合内力 f i Fi fi mi ai
切线方向 同乘以 ri
ri fi
Fi
Fit f it mi ait
Fit ri fit ri mi ait ri mi ri ri
2 it i it i i i
28 28
因为弹性碰撞， 动能守恒
1 1 1 1 2 2 2 2 m u ml m v (2) 2 2 12 2
联立(1)(2)解得
m 3m u v ;
m 3m
6 m u ( m 3 m )l