2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末归纳整合课件新人教A版选修2_2
4．(2018年天津)i是虚数单位，复数61＋＋72ii＝________. 【答案】4－i 【解析】61＋ ＋72ii＝61＋＋72ii11－－22ii＝20－5 5i＝4－i.
5．(2019 年浙江)已知复数 z＝1＋1 i，其中 i 是虚数单位，则|z|＝ ________．
【答案】
2 2
专题二 复数系中的一元二次方程问题 一元二次方程的系数为实数时，可以利用根的判别式来判 别方程的根的情况，而对于复系数的一元二次方程，则需要注 意它的系数是实数还是虚数，就不能单纯地考虑根的判别式 了．但根与系数的关系对复系数方程仍然适用，对于复数系中 的一元二次方程的根及根与系数的有关问题，作如下探讨．
当 a＝－3 时，一个根为－1， 同理，得另一个根为－1＋4i. 综上，当 a＝73时，方程的根为 x＝3 或 x＝31－34i； 当 a＝－3 时，方程的根为 x＝－1 或 x＝－1＋4i. 方法点评：对于复系数的一元二次方程，直接将根代入方 程，再利用复数相等的充要条件求解．
5．已知关于x的方程x2＋(4＋i)x＋3＋pi＝0(p∈R)有实数 根，求p的值，并解这个方程．
1.(2019年新课标Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点
位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】依题意，z＝－3－2i，在复平面内对应的点为(－
3，－2)，在第三象限.
2．(2018年浙江)复数
2 1－i
(i为虚数单位)的共轭复数是
() A．1＋i C．－1＋i 【答案】B
2．已知 z1＝m2＋m＋1 1i，z2＝(2m－3)＋12i，m∈R，i 为虚
数单位．若 z1＋z2 是纯虚数，求 z1·z 2 的值．
【解析】z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋m＋1 1＋12i，∵z1＋z2 是纯
m2＋2m－3＝0，
虚数，∴m＋1 1＋21≠0，
解得 m＝1.
∴z1＝1＋12i，z2＝－1＋21i，则 z 2＝－1－12i.
【解析】z＝1＋1 i＝(1＋1i－)(1i－i)＝12－12i，所以|z|＝
22．
122＋122＝
分析：设实根然后代入方程通过复数相等的充要条件来解 答．
解：由题意知方程有实根，不妨设该实根为 x，则由复数
相等的充要条件，得
x2－2ax＋5＝0， ①
x2－2x－3＝0.
②
由②得 x＝3 或 x＝－1.
当 x＝3 时，代入①，得 a＝37； 当 x＝－1 时，代入①，得 a＝－3. 当 a＝73时，方程一个根为 3. 设另一个根为 x1，由根与系数的关系， 得 3x1＝51－＋3ii. ∴x1＝13－43i.
【例 4】 一元二次方程 x2－3x＋m＝0(m∈R)有一个根为 x ＝a＋ 3i(a∈R)，试求 a 和 m 的值．
分析：实系数一元二次方程若有复数根，其两根为共轭复 数．之后利用韦达定理来解答．
解：该方程为实系数一元二次方程且它有一个虚根为 x1＝a ＋ 3i，那么它必有共轭虚根为 x2＝a－ 3i.
B．1－i其共轭复数是1－i.
3.(2019年新课标Ⅲ)z(1＋i)＝2i,则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
]
C.1－i
D.1＋i
【答案】D
【解析】由 z(1＋i)＝2i,得 z＝12＋i i＝(12＋i(i1)－(1－i) i)＝1＋i.
当 a＝－3，p＝3 时，由韦达定理得－3＋x＝－(4＋i)，即 x＝－1－i，即另外一个根为－1－i.
【解读高考】
从近几年高考信息统计可以看出，复数这一模板呈现以下 特点：考查复数是题型以选择题、填空题为主，分值为5分， 属于容易题；重点考查复数的四则运算及其几何意义，会在几 何意义上与几何知识结合处命题．
3．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为 3，求yx的最大值． 【解析】∵|(x－2)＋yi|＝ 3，∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y) 在以(2,0)为圆心，以 3为半径的圆上.yx表示圆上的点(x，y)与原 点连线的斜率，又过原点的切线倾斜角为 60°.故切线的斜率为 3，故yx的最大值为 3.
∴z1·z 2＝1＋12i·－1－12i＝－1＋12i2＝－34＋i＝－34－i.
【例3】 已知z∈C且|z|＝1，解方程z5＋z＝1. 分析：由题意可得z5＝1－z，两边取模后，式子左右两边 的复数z分别代表两个圆，要使等式成立即要求两圆交点．
解：由题设得 z5＝1－z，所以|z|5＝|1－z|.
【解析】设方程的实数根为 a，则满足 a2＋(4＋i)a＋3＋pi
＝0，即
a2
＋
4a
＋
3
＋
(a
＋
p)i
＝
0
，
则
a2＋4a＋3＝0， a＋p＝0，
即
a＝－1或－3， p＝－a.
当 a＝－1 时，p＝1；当 a＝－3 时，p＝3.
当 a＝－1，p＝1 时，由韦达定理得－1＋x＝－(4＋i)，即 x＝－3－i，即另外一个根为－3－i，
由根与系数的关系，知 x1＋x2＝a＋ 3i＋a－ 3i＝3， ∴a＝32.又 x1·x2＝m，∴m＝241.故 a＝32，m＝241.
方法点评：本题已知一元二次方程的两根为复数，求其系 数，考查实系数一元二次方程的两复数根为共轭复数．
4．如果1＋2i是实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的根， 求a＋b的值．
【解析】∵1＋2i是实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的 根，所以1－2i是方程的另外一个根，由韦达定理可得(1＋2i) ＋(1－2i)＝－a且(1＋2i)(1－2i)＝b，∴a＝－2，b＝1－4i2＝ 5，∴a＋b＝3.
【例5】 关于t的方程(1＋i)t2－2(a＋i)t＋5－3i＝0有实根， 求实数a的值及方程的根．
该注意复数的加减法法则与乘除法法则的混合运算．
1．若 a 为实数，12＋＋a2ii＝－ 2i，则 a 等于__________． 【答案】－ 2 【解析】12＋＋a2ii＝－ 2i 可得 2＋ai＝－ 2i(1＋ 2i)＝2－ 2i，∴a＝－ 2.
【例2】 求证：方程(z＋1)2n＋(z－1)2n＝0(n∈N*)只有纯虚 数根．
因为|z|＝1，所以|1－z|＝1.
它表示复平面内复数 z 对应的点 Z 为圆 x2＋y2＝1 与(x－1)2
＋y2＝1 的交点(如图所示)．
交点坐标为12，± 23，故
z＝12±
3 2 i.
方法点评：复数的几何意义中涉及平面几何的有关问题， 在解决这类题目时，数形结合可以使复杂问题简单化，抽象问 题具体化．
分析：可以通过将方程变形，然后再利用复数的几何意义 来证明．
证明：显然 z≠1，故得zz＋ －112n＝－1⇒zz＋ －112n＝1⇒|z＋1| ＝|z－1|，此方程表示的点为落在虚轴上的点，然而 z＝0 显然 不适合原方程．
∴原方程只有纯虚数根．
方法点评：对于某些含有|z|， z 和| z |的复数方程，可通过 整体取模或变形整体取模，化为实数方程进行求解．这运用了 整体化归的数学思想，体现了数学知识的统一美．
章末归纳整合
【知识构建】
【思想方法专题】
专题一 复数运算中的简化策略 复数一章，以其概念多、涉及面广、题型多样、运算量大 而成为学生学习的难点，因此学习中如何选取适当的方法，降 低解题难度，减少解题步骤及计算量，既是学好本章的关键， 也是提高数学能力的重要途径．
【例 1】 已知 z1＝2＋i，z2＝2i＋z1＋1－i z1，求 z2. 分析：依题意，将 z1 代入 z2 后合并同类项，之后令分数上 下同时乘以分母的共轭复数，化简即可求解． 解：z2＝2i＋21＋－2i2＋i＝2－11＋＋ii＝－2i. 方法点评：本题主要考查了复数除法的运算法则，同时应
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高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》98PPT课件
自我检测二: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
一.复数的有关概念
1.复数： 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit)
复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示
C {z | z a bi,其中a,b R)
2.复数的代数形式：
用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式
复数的概念
数
系
的
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 无理数
实数
用图形表示包含关系：
RQZ N
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
实部
虚部
规定: 0i=0,0+bi=bi
实数b 0
复数a+bi
虚数b
纯虚数a 0，b 0 0非纯虚数 a 0，b
0
讨论？ 复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系
虚数集 复数集
纯虚数集
2020版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合课件新人教A版选修2_2
真题放送
9(2018·天津高考)i 是虚数单位,复数 6+7i = ___________________.
综合应用
应用4 已知2z+|z|=2+6i,求z.
提示:设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等建立方程组求解.
解:设z=x+yi(x,y∈R),代入已知方程,
得 2(x+yi) + ������2 + ������2 = 2+6i,即(2x+ ������2 + ������2)+2yi=2+6i.
8(2017·全国Ⅰ高考)设有下面四个命题 p1:若复数 z 满足 1������∈R,则 z∈R; p2:若复数 z 满足 z2∈R,则 z∈R; p3:若复数 z1,z2 满足 z1z2∈R,则������1 = ������2; p4:若复数 z∈R,则������∈R.
其中的真命题为( )
(a+1,1-a)在第二象限,所以
������ + 1-������
1 >
< 0, 0,
解得a<-1.故选
B.
答案:B
真题放送
7(2017·山东高考)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3i,z·������ = 4, 则a=( ) A.1 或-1 B. 7或 − 7 C. − 3 D. 3 解析:由 z=a+ 3i, 得z·������ = |������|2=a2+3=4,所以 a2=1,a=±1,选 A. 答案:A
本章整合
-1-
知识建构
专题一 专题二 专题三
综合应用
专题一 复数的有关概念 1.复数的实部与虚部:若复数z=a+bi(a,b∈R),则其实部与虚部分 别为a,b. 2.纯虚数:对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,z是纯虚数. 3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,称它们互 为共轭复数,z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为������ = ������ − ������i, 且有������������ = |������|2=|������|2. 4.复数的模:对于复数 z=a+bi(a,b∈R),其模|z|= ������2 + ������2.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳整合课件 a选修22a高二选修22数学课件
A.－1－i
B.－1＋i ]
C.1－i
D.1＋i
【答案(dáàn)】D
【解析】由 z(1＋i)＝2i,得 z＝12＋i i＝(12＋i(i1)－(1－i) i)＝1＋i.
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4．(2018年天津)i是虚数单位，复数61＋＋72ii＝________. 【答案】4－i 【解析】61＋＋72ii＝61＋＋72ii11－－22ii＝20－5 5i＝4－i.
∴原方程只有纯虚数根．
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方法点评：对于某些含有|z|， z 和| z |的复数方程，可通过 整体取模或变形整体取模，化为实数方程进行求解．这运用了 整体化归的数学思想，体现了数学知识的统一美．
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2．已知 z1＝m2＋m＋1 1i，z2＝(2m－3)＋12i，m∈R，i 为虚 数单位．若 z1＋z2 是纯虚数，求 z1·z 2 的值．
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【例5】 关于(guānyú)t的方程(1＋i)t2－2(a＋i)t＋5－3i＝0有实
根，求实数a的值及方程的根． 分析：设实根然后代入方程通过复数相等的充要条件来解答．
解：由题意知方程有实根，不妨设该实根为 x，则由复数 相等的充要条件，得
x2－2ax＋5＝0， ①
该注意复数的加减法法则与乘除法法则的混合运算．
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第四页，共二十八页。
1．若 a 为实数，12＋＋a2ii＝－ 2i，则 a 等于__________． 【答案】－ 2 【解析】12＋＋a2ii＝－ 2i 可得 2＋ai＝－ 2i(1＋ 2i)＝2－ 2i，∴a＝－ 2.
2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末整合提升(三)课件新人教A版选修1_2
[提醒] 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身 有意义．
题型二 复数的四则运算
例3 (1)设 i 是虚数单位，－z 是复数 z 的共轭复
数，若 z·－z i＋2＝2z，则 z＝
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)已知复数 z1＝2－3i，z2＝（32＋＋2i）i 2，则zz12等于
【答案】 (1)A (2)D
例4 证明：在复数范围内，方程|z|2＋(1－i)－z －(1＋
i)z＝52－＋5ii无解．
【证明】 原方程化为|z|2＋(1－i)－z －(1＋i)z＝1
－3i，设 z＝x＋yi(x，y∈R)，代入得 x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i.
由复数相等的定义，得x22x＋＋y22y＝＝13，，
领悟整合 复数的代数形式是z＝x＋yi(x，y∈R)，所以任一个 复数可由实数对(x，y)唯一确定，利用复数的代数形式， 在处理复数相等、复数的模、复数对应点的轨迹时， 都可以化归为实数x，y应满足的条件的问题，即复数 问题实数化，这一思想方法渗透于本章的各个知识 点．
解法二 类比实数绝对值的几何意义，可知，方程 |z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表 示圆上的点到点A(0，1)的距离．如图，连接AO并延长 与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知， 圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3.即当z＝－2i 时，|z－i|取最大值3.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为
x2－3x－3＞0， ① 0，所以log2（x－3）≠0， ②
x－3＞0. ③
由①得
x＞3＋2
21或
x＜3－2
21 .
由②得 x≠4，由③得 x＞3.
题型二 复数的四则运算
例3 (1)设 i 是虚数单位，－z 是复数 z 的共轭复
数，若 z·－z i＋2＝2z，则 z＝
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)已知复数 z1＝2－3i，z2＝（32＋＋2i）i 2，则zz12等于
【答案】 (1)A (2)D
例4 证明：在复数范围内，方程|z|2＋(1－i)－z －(1＋
i)z＝52－＋5ii无解．
【证明】 原方程化为|z|2＋(1－i)－z －(1＋i)z＝1
－3i，设 z＝x＋yi(x，y∈R)，代入得 x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i.
由复数相等的定义，得x22x＋＋y22y＝＝13，，
领悟整合 复数的代数形式是z＝x＋yi(x，y∈R)，所以任一个 复数可由实数对(x，y)唯一确定，利用复数的代数形式， 在处理复数相等、复数的模、复数对应点的轨迹时， 都可以化归为实数x，y应满足的条件的问题，即复数 问题实数化，这一思想方法渗透于本章的各个知识 点．
解法二 类比实数绝对值的几何意义，可知，方程 |z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表 示圆上的点到点A(0，1)的距离．如图，连接AO并延长 与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知， 圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3.即当z＝－2i 时，|z－i|取最大值3.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为
x2－3x－3＞0， ① 0，所以log2（x－3）≠0， ②
x－3＞0. ③
由①得
x＞3＋2
21或
x＜3－2
21 .
由②得 x≠4，由③得 x＞3.
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2
4．已知复数 z＝1－i(i 是虚数单位)，则2z－z2 的共轭复数是
()
A．1－3i
B．1＋3i
C．－1＋3i
D．－1－3i
解析：∵2z－z2＝1－2 i－(1－i)2＝1－21i＋1＋i i－(1－2i＋i2)＝1 ＋i＋2i＝1＋3i，∴2z－z2 的共轭复数为 1－3i，故选 A.
答案：A
故所求的 z＝ 23＋12i，|z－w|的取值范围是[0,2]．
[名 师 点 拨] (1)复数问题向实数问题转化是解答复数问题的重要方法． (2)牢记共轭复数的定义，熟悉共轭复数的相关性质.
(1)(2019·全国卷Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在
复平面内 z 对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：
(1)(2＋3i)2；
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)；
(3)11＋ －ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
【思路探索】 按复数的乘除运算法则进行．
【解】 (1)(2＋3i)2＝4＋12i＋9i2＝4＋12i－9＝－5＋12i.
2．已知复数 z＝4－3i ，则|z|＝( )
A．4
B．3
C．5
D．2
解析：z＝4－3i ＝4－3i2i＝4＋3i，∴|z|＝5，故选 C.
答案：C
3．(2019·保定月考)已知 z1，z2 为复数，则下面四个选项中 正确的是( )
A．若z11为纯虚数，则 z1∈R B．若 z21∈R，则 z1∈R C．若 z1，z2 为纯虚数，则 z1＋z2 为纯虚数 D．若 z 1＝z2，则 z1＋z2∈R
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末整合提升课件 a选修22a高二选修22数学课件
12/12/2021
第二十七页，共三十四页。
(2)要使 z 为纯虚数， 则lmg（ 2＋m32m－＋2m2≠－02，）＝0， 即mm2≠－－2m1且－m2＝≠1－，2. ∴mm＝ ≠3－或1m且＝m－≠1－，2，∴m＝3. 所以当 m＝3 时，z 为纯虚数．
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第二十五页，共三十四页。
9．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积 z1z2 的 实 部 和 虚 部 为 相 等 的 正 数 ( z h èn g s h ù) ， 则 实 数 m 的 值 为 ________．
解析 z1z2＝m－2(m－1)＋[2m＋(m－1)]i ＝－m＋2＋(3m－1)i，
【答案(dáàn)】 (1)D (2)A (3)－2i
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专题三 利用复数相等解决问题 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个数a＋bi、 c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi、c＋di相等的充 要条件是a＝c且b＝d. (1)根据两个复数相等的定义(dìngyì)知，在a＝c，b＝d两 式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.
第三页，共三十四页。
2.共轭复数的有关性质应用技巧 (1)z·－z ＝|z|2＝|－z |2. (2)z∈R⇔－z ＝z. (3)z 为纯虚数⇔－z ＝－z.
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【例1】 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2
＋bi互为共轭复数(ɡònɡ èfùshù)，则(a＋bi)2等于
3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数(xūshù)，则实数
2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入课件新人教A版
(2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z， 即 a2＋b2－1－3i＋a＋bi＝0， 所以b－a23＋＝b02＋，a－1＝0，得ab＝＝－3，4， 所以 z＝－4＋3i. 所以（1＋i）22（z 3＋4i）2＝22i（（－－74＋＋234i）i）＝244－＋37ii＝3＋4i.
1．已知（1－z i）2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：选
D. 验 证 各 选 项 ， 只 有
z＝－1－i
时
，
（1－i）2 －1－i
＝
－2i（－2 1＋i）＝1＋i.
2．已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z＝a＋ 3i，z·－z ＝4，则 a
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它 的实部是否有意义． 2．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件． 3．z2<0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z＝3i 时 z2＝－9<0.
主题 1 复数的有关概念 (1)设 z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )
共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复 数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用 一些结论简化解题过程，如 z∈R⇔z＝－z 等．
位，则 z＝( A．1＋2i C．－1＋2i
1.若复数 z 满足 2z＋－z ＝3－2i，其中 i 为虚数单 )
B．1－2i D．－1－2i
【解】 (1)选 A.因为(1±i)2＝±2i，
所以（11＋－ii）4＋（11－＋ii）4＝（12－i）i 2＋（－1＋2ii）2＝1－－4i＋1－＋4i＝
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
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解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入本章回顾课件 新人教版选修22
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∵a2－2a＝(a－1)2－1≥－1， ∴x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， 消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)， ∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋ 2(x≥3)．
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2．函数与方程的思想 在复数中，通常利用复数相等的充要条件，构造方程(组)来 解题，也是本章常用的思想方法． 【例3】 已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b －z ＝(a＋ 2z)2( z 为z的共轭复数)． 【分析】 把z＝1＋i代入已知等式，利用复数相等的充要条 件转化为a，b的方程组求解．
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(2)i的性质： 当n∈N*时，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1， i4n＋3＝－i. (3)特例：1i ＝－i，(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i， 11－＋ii＝－i.
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(4)复数加、减运算的几何意义，如下图：
图①是复数加法的平行四边形法则．即以复数z1，z2对应的向 量为邻边作平行四边形，其对角线对应的复数就是z1＋z2，图② 中，向量Z→1Z2对应的复数就是z2－z1.
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5．复数代数形式的四则运算 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 加法：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
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除法：当c＋di≠0时， (a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii ＝ac＋＋dbiicc－－ddii ＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i. 复数的加法、减法、乘法可按多项式的加、减、乘进行．复 数的除法可按“分母有理化”进行．复数加、减、乘、除运算的 结果还是复数，结果要实部、虚部分开．
∵a2－2a＝(a－1)2－1≥－1， ∴x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， 消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)， ∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋ 2(x≥3)．
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2．函数与方程的思想 在复数中，通常利用复数相等的充要条件，构造方程(组)来 解题，也是本章常用的思想方法． 【例3】 已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b －z ＝(a＋ 2z)2( z 为z的共轭复数)． 【分析】 把z＝1＋i代入已知等式，利用复数相等的充要条 件转化为a，b的方程组求解．
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(2)i的性质： 当n∈N*时，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1， i4n＋3＝－i. (3)特例：1i ＝－i，(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i， 11－＋ii＝－i.
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(4)复数加、减运算的几何意义，如下图：
图①是复数加法的平行四边形法则．即以复数z1，z2对应的向 量为邻边作平行四边形，其对角线对应的复数就是z1＋z2，图② 中，向量Z→1Z2对应的复数就是z2－z1.
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5．复数代数形式的四则运算 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 加法：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
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除法：当c＋di≠0时， (a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii ＝ac＋＋dbiicc－－ddii ＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i. 复数的加法、减法、乘法可按多项式的加、减、乘进行．复 数的除法可按“分母有理化”进行．复数加、减、乘、除运算的 结果还是复数，结果要实部、虚部分开．
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》96PPT课件
则图中表示z的共轭复数的点是( )
A.A
B.B
C.C D.D
（3）已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3 ，则
y x 的最大值为________.
【巩固练习】
1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单 位)，则a，b的值分别等于( )
A.3，－2 B.3,2 C.3，－3 D.－1,4
（a,b）到点（c,d）的距离，
即：z1 z2 (a c)2 (b d)2
6.复数的运算法则
1、复数的加法（减法）：
（a+bi) (c+di)= (a c)+(b d)i
即实部与实部 ，虚部与虚部分别相加或相减
2.复数的乘法：
3.复数的除法法则
分母实数化
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
7、复数的几何意义：
（1）复平面的概念： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面， 其中x轴叫实轴，y轴叫虚轴。实轴上的点都 表示实数，虚轴上的点（除圆的外）都表示 纯虚数。 （2）复数的几何意义： 复数z=a+bi与复平面内的点Z（a,b）及平面向量
oz (a,b)是一一对应的关系。
8：常用的计算结果
（1）如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. 即：i具有周期性，周期为4 （2）(1 i)2 2i; 1 i; 1 i i; 1 i i.
i 1i 1i
高考中的题型 题型一：复数的概念的应用
（1）设i是虚数的单位，若复数 z a 10 (a R)