热力学统计物理_第5章

U T
V
3 Nk 2
F
(T
,V
)
NkT
ln
ez N
NkT
3 ln 2
kT
ln
V N
3 ln 2
2m
h2
1.
S
(T
,V
)
F T
V
Nk
3 2
ln
kT
ln V N
j
5 2
(T
,V
)
F N
T
,V
kT
ln
N V
3 ln kT 2
17
j
j (3/ 2)ln(2m / h2)
§5.3 理想气体分子的速度分布律和速率分布律
Therefore,
We are ready to go!
3
后面的任务：
近独立粒子系统的宏观性质的计算： 一、玻尔兹曼统计 二、玻色统计 三、费米统计
4
5
§5.1 玻尔兹曼系统 一、粒子配分函数
al
e l l
al
e l l
N
l
l
Z1
el l
l
粒子配 分函数
e N Z1
al
a e 玻尔兹曼统计 l
l
l
S k[N ln N al lnal al lnl ]
l
l
对比
ln N ln N al lnal al lnl
l
l
SMB k ln MB
12
这样，熵就有了它的统计意义：它是系统的微观状 态数目的对数乘以k。同时熵也有了一个绝对的数值。
S k ln
我们已经学习了什么？
1、粒子运动状态的描述
经典粒子：－空间、相轨道的概念、 量子粒子：量子数、可能量子状态数目的计算
2、系统微观状态的经典和量子描述
经典系统：－空间中的N个点 量子系统：定域和非定域、全同性、统计特性
3、等几率原理
平衡状态下系统的任何微观状态出现的几率都相等
4、系统的微观状态数 目的计算及其关系
)
其中令 1
kT
熵
S
Nk
ln
Z
ln Z
S'
S是积分常数，熵常数
10
三. 熵S的统计意义：
经过一系列推导，我们得 到了服从玻耳兹曼分布的 系统的熵S与粒子数N、温 度T、内能U之间的关系。 其中，熵常数S待定。
N eα Z ln Z ln N
S
Nk
ln
Z
ln Z
S
'
S
Nk
ln
N Z1
l
e
l
1
kT
6
二、热力学量
1. 内能
U
e l ll
l 0
e (
l0
l e l )
2. 功
N ( Z1 ) N ln Z1
Z1
dU dW dQ
l
统计表达式 能级不变
al ' 分布变
l
1
al
0
1
l'
0
U al l l0
1' 0'
al 能级变 分布不变
y
所以 Z1 Z1( , y)
9
求全微分
d
ln
Z1
ln Z1
d
ln Z1 y
dy
之前求得
(dU Ydy ) Nd( ln Z1 ) N ln Z1 dy
y
d(N
ln
Z1
N
ln Z1
)
由
dQ dU Ydy dS
T
T
得到
dS
N
T
d (ln
Z1
ln Z1 )
Nkd (ln
Z1
ln Z1
四、内能
p NkT V
U
N
ln Z1
N
[lnV
3 2m
ln( 2
h2
)]
U 3 NkT 2
16
对于单原子理想气体，其他的物理量的导出：
3
Z
V
2πm h3 β
2
ln
z
3 ln 2
lnV
3 2
ln
2m
h2
PV NkT
U N ln Z 3 N 3 NkT
2 2
CV
玻耳兹曼关系式
熵是混乱度的量度。如果某个宏观状态的微光状态数目愈多，
它的混乱度就愈大，熵也愈大。在理想的绝对零度下，系统 处于基态，状态数很小，所以熵近似为0或者等于0。
孤立系统的熵增原理：系统总是朝着微观状态数目增加的 方向过渡，那样的状态有更大的几率出现。
熵是一种统计性质，对少数几个粒子组成的系统谈不到熵。 因此，热力学第二定律适用于粒子数非常多的系统。
玻尔兹曼：定域、粒子可以分辨 玻色系统：非定域、全同性、统计特性 费米系统：非定域、全同性、统计特性
5、三类系统的最可几分布
玻尔兹曼、玻色、费米三种分布之间的关系
1
玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系
玻色粒子，玻色分布
＝
e＋
1
非兼并条件
e》1 l l
费密粒子，费密分布
＝e＋ 1
注意：全同性带 来的微观状态
l
l
y
a
l
aldl
l
8
3. 熵
由
dQ dU Ydy dS
T
T
得 dQ dU Ydy
Nd ( ln Z1 ) N 1 ln Z1 dy
y
等式两边同乘β：
(dU Ydy ) Nd( ln Z1 ) N ln Z1 dy
y
而
Z1
e l l
且
l0
fl
l
r3
二、配分函数
Z1
e
2m
(
pdzdpx dp y dpz
h3
1
h3
p
2 x
p2y
pz2
dxdydz e 2m dpx e 2m dpy e 2m dpz
Z1
V
(
2m h2
)
3
/
2
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三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N
V
[lnV
3 2m 2 ln( h2 )]
13
§5.2 经典理想气体的热力学性质
一般气体满足经典极限条件，遵从玻尔兹曼分布。 考虑单分子理想气体
P＝N lnZ
v
关键在于求得配分函数Z
Z＝ e－
需要知道能级及其简并度
系统的l, l
如何求得能级及其简并度
14
一、理想气体
气体分子之间的相互作用势能被忽略。
1 2m
( px2
p2y
pz2 )
数目的差异
BE＝NM！B
可分辨粒子，玻尔兹曼分布
＝ e－－
e
注意：全同性带 来的微观状态
数目的差异
FD＝NM！B
全同性对微观状态数目的影响：粒子之间的交换能否引起系统微观状态的改变！
（N！）
2
现在，我们已经知道：
1、微观粒子运动状态的描述 2、可能状态数目（态密度）的计算方法 3、系统微观状态数目的计算 4、处于平衡态的系统的分布公式等
Z
ln Z
S'
Nk ln N U S '
N
k N ln N N U S '
目前还是看不出熵 的统计意义是什么。
11
我们现在来比较一下各种系统的微观状态数目的对数与系统的熵的 统计表达式，以图发现它们之间的联系，并得到熵常数S。
熵S的表达式：
S k N ln N N U S'
7
dU al d l l dal
l0
l0
能级变
能级不变
分布不变 分布变
每个粒子受力：
fl
l
y
外界对系
统的力
Y
l
l
y
al
l
l
y
l
e
l
e ( 1
y l
l e l )
N1
Z1 y Z1
N 1 ln Z1
y
功
p N ln Z1
V
广义力统计表达式
Ydy dy