热力学_统计物理学答案第一章

习题 1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温 度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的 效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效 率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：A→B 等温过程
f (η, L, T ) = 0, L = L(η , T ) dL = (
∂L ∂L ) T dη + ( ) η dT ∂η ∂T
习题 1.7 在 25 °C 下，压强在 0 至 1000 p n 之间，测得水的体积
的水从 1 p n 加压至 1000 p n ，求外界所做的功。 解：外界对水做功:
w.
dT (γ − 1)T pV = nRT ⇒ P = nRT V
习题 1.16 假设理想气体的 Cp 和 CV 之比 γ 是温度的函数，试求在准静态绝热过
网
对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为 (2) (3)
物态方程
w.
(2) ，(3)代入(1) 得：
ww
nR CV dV γ −1 1 − = dT < dT = dT V nRT nRT (γ − 1 )T
f (η, L, T ) = 0 实验通常在 1 p n 下进行，其体 积变化可 忽略。线 胀系数 定义为 α=
1 ∂L L ∂η ( )η 等杨氏摸量定义为 Y = ( ) T 其中 A 是金属丝的截面积，一般说 L ∂T A ∂L
来， α 和 Y 是 T 的函数，对 η 仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看 作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 T1 降 T2 时，其张力的增加为 ∆η = −YA α (T2 − T1 ) 解： 所以，
M V RT1 ln A µ VB = V V M M RT1 ln A − RT 2 ln D µ VB µ VC
由绝热过程泊松方程：
T1VB
∴
r −1
= T2 V C
r −1
； T2 VD r −1 = T1VA r −1
VB VA V V ； A = D = VC VD V B VC T1 T − T2 + T2 T2 = 1 = 1+ T1 − T2 T1 − T2 T1 − T2
kh da
后 课
dL = 0; 所以,
−3
答 案
Lα = (
∂L L )η ; dL = dµ + Lα dT ∂T AY
所以, ∆η = −YA α (T2 − T1 )
1 P + 4.6 × 10 −8 × p 3 ) dp 3
W
=
L0
∫
J ⋅ dL
w.
dη = −αdT , dη = − AYαdT AY
w.
因为 α = 1 ∂V 1 ∂V ( ) p ,κ T = − ( )T V ∂T V ∂p
网
dV = αdT − κ T dp V
co m
nRT nRT ;P = P V 1 ∂V 1 nR 1 α = ( )P = = V ∂T V P T 1 ∂P Rn β = ( )V = = 1/ T P ∂T PV 1 ∂V 1 −1 κ T = − ( ) T = − nRT 2 = 1 / P V ∂P V P
依绝热过程的热力学第一定律， 积分得 对于理想气体，上式变为 故有 所以
得
(U − U 0 ) + ∫ P0 dV0
V0
U − U 0 = p 0V0
答 案
cV T1 = (cV + R )T0 cP T = γV0 cV 0 V0 T1 = γV0 T0
w.
B→C 绝热过程 C→D 等温吸热 D→A 绝热，
ww
kh da
后
T1 =
课
对于等压过程
V1 =
Q1 =
V M RT1 ln A µ VB
Q2 =
V M RT 2 ln D µ VC
η=
Q1 Q1 = A Q1 − Q2
w.
网
vcV (T1 − T0 ) = vRT0
co m
0
子时，状态为（ P0,dV,T）这时的内能为 u，压缩气体所做的功为： p 0 dV0 , =0
解： 因为 f (T , V , p) = 0 ,所以,我们可写成 V = V (T , p ) ,由此,
kh da
课
∂V ∂V ) p dT + ( ) T dp , ∂T ∂p
后
答 案
κT =
1 ,试求物态方程。 p
dV = (
所以,
dV = VαdT − Vκ T dp,
所以,
ln V = ∫ αdT − κ T dp ,当 α = 1 / T , κ T = 1 / p . ln V = ∫
习题 1.3 测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 α = 4.85 *10 −5 K −1 和
ww
κ T = 7.8 *10 −7 pn ， α ,κ T 可近似看作常量，今使铜块加热至 10°C。问（1 压强
要增加多少 p n 才能使铜块体积不变？（2 若压强增加 100 p n ，铜块的体积改多少 解：分别设为 xpn ; ∆V ，由定义得：
∴η =
∴η =
将功 A 直接转化为热量 Q1 ，令高温物体吸收。有 A=Q1
程中 T 和 V 的关系。该关系试中要用到一个函数 F(T) ，其表达式为：
答 案
课
解：准静态绝热过程中： dQ = 0 ，∴ dU = − pdV
kh da
后
dU = Cv dT CV dT =
− nRT dV V
ln F (T ) = ∫
∫−
dV = V
∫ (γ − 1)dT
1 dT (γ − 1)
1
ln V −1 = ∫
γ 为 T 的函 数 F (T )V = 1 。
∴ V-1 为 T 的 函 数 。 ∴ F (T ) =
co m
Q1 = 1。 A
(1) （其中 CV =
nR ） γ −1
关系式
1 V
习题 1.4 描述金属丝的几何参量是长度 L ，力学参量是张力 η ，物态方程是
w.
−1
dT dp − , 得到 : pV = CT T p
xκ T = 4.858 * 10 −4 ; ∆V = 4.85 * 10 −4 − 100 * 7.8 * 10 −7
所以， x = 622 pn , ∆V = 4.07 *10 − 4
L
习题 1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压 强 p0 时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的 内能 U 与原来大气中的 U 0 之差为 U − U 0 = p 0V0 ，其中 V0 是它原来在大气中的体 积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。 解：假设先前的气体状态是（ P0 ，dV0,T0）内能是 u0，当把这些气体充入一个盒
L ⎛ L L0 2 ⎞ ⎟ = ∫ bT ⎜ ⎜ L − L2 ⎟dL 0 L0 ⎝ ⎠
(
网
因
∂η 1 ∂L L )T = ; ( )T = ∂ L ∂L AY ( ) T ∂η ∂η
co m
2 ⎡ L2 L ⎤ L 56TL0 = ⎢bT 2 + 0 ⎥ = bT 0 + L0 = 2 ⎥ 8 8 ⎢ ⎣ L0 ⎦ L0
第一章
热力学的基本规律
习题 1.1 试求理想气体的体胀系数 α ,压强系数 β 和等温压缩系数 κ T 。 解：由 2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质 T , p ,其物态方程可由实验测 得的体胀系数 α 及等温压缩系数 κ T , 根据下述积分求得 : ln V = ∫ (αdT − κ T dp ) 如 果α = 1 T
ww
p
W = ∫ Vdp
p0
1000Pn
w.
Pn
V = (18.066 − 0.715 ×10 − 3 p + 0.046 × 10 −6 p 2 )cm 3 mol −1 如果保持温度不变，将 1mol
=
∫ (18.066 − 0.715 × 10
= 33.1J 习题 1.8 解：外界所作的功：
L