计算机视觉测量与导航_张正友法相机标定 _结课实验报告
手机相机标定实验报告
1 手机相机标定与校正1.1 实验目的要进行手机相机的标定与校正，首先需要建立模型。
通过拍摄到的图像信息获取到物体在真实三维世界里相对应的信息，建立物体从三维世界映射到相机成像平面这一过程中的几何模型。
由于相机透镜的制造工艺，会使成像产生多种形式的畸变，例如近大远小，在世界坐标系中的直线转化到其他坐标系不在是直线等。
在矫正过程中，利用畸变系数来矫正这种像差。
1.2 实验原理1.2.1 相机标定模型与方法定义如下的四个坐标系来建立模型： 世界坐标系（三维）：用户定义的三维世界的坐标系，描述目标物在真实世界里的位置。
单位为m 。
相机坐标系（三维）：在相机上建立的坐标系，从相机的角度描述物体位置，作为沟通世界坐标系和图像/像素坐标系的中间一环。
单位为m 。
图像坐标系（二维）：描述成像过程中物体从相机坐标系到图像坐标系的投影透射关系，方便进一步得到像素坐标系下的坐标。
单位为m 。
像素坐标系（二维）：描述物体成像后的像点在数字图像上（相片）的坐标，是我们真正从相机内读取到的信息所在的坐标系。
单位为个（像素数目）。
通过单应性变化实现像素坐标系与世界坐标系之间的映射，假定标定棋盘位于世界坐标系中0=w Z 的平面，两者间坐标映射关系如下：0012001101x w y w f u u X v s f v r r t Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，u 、v 表示像素坐标系中的坐标，s 表示尺度因子，X.Y 表示世界坐标系中的坐标。
如下矩阵为相机的内参矩阵，其中/,/x y f f dx f f dy ==为分别在x 轴和y 轴上对焦距进行归一化所求得的值，dx 、dy 为像元尺寸。
00(,)u v 为图像中心坐标。
0000001x y f u f v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦张氏相机标定法利用单应性矩阵来描述世界坐标系与像素坐标系之间的映射关系，将尺度因子、内参矩阵和外参矩阵的乘积定义为单应性矩阵，如下所示：001200001xy f u H s f v r r t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦确定角点后，可通过下述公式求得单应性矩阵H ，进一步求得内参矩阵以及外参矩阵：111213212223313233''11x h h h x y h h h y h h h ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦展开化简，化为AX=0的齐次方程组形式，多组对应点形成超定方程组，可以运用最小二乘法求解：111213313233313233111213313233212223212223313233''()y'()y'h x h y h x h x h y h x h x h y h h x h y h h x h y h h x h y h h x h y h h x h y h ++⎧=⎪++++=++⎪→⎨++=++++⎪=⎪++⎩将单应性矩阵化为[]12H sM r r t =，M 为内参矩阵。
张正友标定法
小组成员：张文豪 张智宇 陈宇
一、张正友标定法简介
目 二、张正友标定法数学原理 录 三、张正友标定法程序实现
四、标定实验及结果
张正友标定法 简介
像机标定：
建立摄像机图像像素位置与场景点位置 之间的关系，其途径是根据摄像机模型， 由已知特征点的图像坐标求解摄像机的 模型参数。
➢ 张正友标定法是张正友教授于1998年 在名为“A Flexible New Technique for Camera Calibration”一文中提 出的单平面棋盘格的摄像机标定方法。
➢ 透视投影
像平面 光心
f z
x=RX +
r01 r11
r02 r12
X Y
Tx Ty
z r20 r21 r22 Z Tz
[R,T]矩阵被称为外参数
光轴
K=
x f
y
0
1 0
K1K2
0 0 xc
f
0
yc
0 1 zc
u 1/ dx
v
B
K
T
K
1
B21
B22
B23
B31 B32 B33
b [B11, B12 , B22 , B13, B23, B33 ]
化简 hiT Bhj VijTb 得：
Vij [hi1hj1, hi1hj2 hi2hj1, hi2hj2 , hi3hj1 hi1hj3 , hi3hj2 hi2hj3 , hi3hj3 ]T
0
1 0
0 1/ dy
0
u0 x
v0
y
1 1
K矩阵被称为内参数
K1 K2
➢ 单应性映射
相机标定原理张正友法
相机标定原理张正友法
相机标定是指通过对相机的内部参数和外部参数进行精确测量
和计算，建立相机模型的过程。
其中，张正友法就是一种常用的相机标定方法，主要原理是利用一些已知的3D空间点和它们在2D图像中的对应点，通过最小二乘法求解相机的内外参数。
在具体实现中，首先需要采集一组已知的3D空间点和它们在2D 图像中的对应点。
然后，通过对这些点进行处理，计算出相机的内部参数，包括焦距、畸变系数等。
接着，利用已知的3D空间点和它们在2D图像中的对应点，求解相机的旋转矩阵和平移向量，即相机的外部参数。
最后，将求得的内部参数和外部参数结合起来，建立相机模型，从而可以用于图像的校正、三维重建等应用。
需要注意的是，张正友法还可以通过多次采集不同位置的图像，并利用薄板法进行标定，提高标定结果的精度。
- 1 -。
计算机视觉课程仿真实训总结
计算机视觉课程仿真实训总结在当今数字化和智能化的时代，计算机视觉技术正发挥着越来越重要的作用，从自动驾驶到医疗诊断，从安防监控到工业生产，其应用领域不断拓展。
为了更深入地理解和掌握这一前沿技术，我们参与了计算机视觉课程的仿真实训。
通过这次实训，我不仅学到了丰富的理论知识，还积累了宝贵的实践经验。
本次仿真实训的主要内容涵盖了图像采集与预处理、特征提取与描述、目标检测与识别、图像分类与标注等多个关键环节。
在图像采集与预处理阶段，我们学会了使用各种设备和工具来获取高质量的图像数据，并掌握了一系列图像处理技术，如去噪、增强、裁剪、缩放等，以提高图像的质量和可用性。
这一环节让我深刻认识到，数据的质量对于后续的分析和处理至关重要，如果原始图像存在大量的噪声或失真，那么无论后续的算法多么先进，都难以得到准确的结果。
特征提取与描述是计算机视觉中的核心环节之一。
我们学习了多种特征提取方法，包括基于颜色、纹理、形状等的特征提取。
同时，还掌握了如何使用描述符来对提取的特征进行有效的描述，以便于后续的比较和匹配。
通过实际操作，我发现不同的特征提取方法在不同的场景下具有不同的效果，需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的方法。
目标检测与识别是计算机视觉中的重要应用领域。
在实训中，我们运用了经典的目标检测算法，如基于滑动窗口的方法和基于深度学习的方法。
通过对大量图像数据的训练和测试，我们逐渐掌握了如何调整参数以提高检测的准确性和效率。
同时，我们也了解到目标检测不仅要准确地定位目标的位置，还要能够准确地识别目标的类别，这需要综合运用多种技术和方法。
图像分类与标注是对图像数据进行归类和标记的过程。
我们学习了如何使用机器学习和深度学习算法来对图像进行分类，并通过手动标注和自动标注相结合的方式，提高标注的准确性和效率。
这一环节让我体会到了数据标注的重要性和繁琐性，同时也让我认识到了标注质量对于模型训练效果的直接影响。
在实训过程中，我们遇到了不少问题和挑战。
相机标定实验报告
相机标定一、实验原理相机标定就是求解相机的内参数以及畸变参数的过程。
相机的标定主要有两种：传统的摄像头标定方法和摄像头自标定方法，典型的有：（1）Tsai（传统的标定方法）；（2）张正友（介于传统和自标定之间）。
1999年，微软研究院的张正友提出了基于移动平面模板的相机标定方法。
此方法是介于传统标定方法和自标定方法之间的一种方法，传统标定方法虽然精度高设备有较高的要求，其操作过程也比较繁琐，自标定方法的精度不高，张正友标定算法克服了这两者的缺点同时又兼备二者的优点，因此对办公、家庭的场合使用的桌面视觉系统(DVS)很适合。
张正友标定方法由于简单、效果好而得到广泛使用。
张正友标定法的标定步骤：1、打印一张模板并贴在一个平面上；2、从不同角度拍摄若干张模板图像；3、检测出图像中的特征点；4、求出摄像机的外参数（单应性矩阵）和内参数（最大似然估计）；5、求出畸变系数；6、优化求精。
张正友标定方法的主要思想是：1、相机内参矩阵其中，q 的坐标系是默认的OpenCV 的像素坐标系，Q 的坐标系是标定板坐标系，Z 轴为0，原点在标定板的某个内角点上（标定板上角点的坐标均为[*,*,0]的形式），在OpenCV 3.0中使用的是（[i ∗Squres_Size ，j ∗Square_Size ，0]的形式）。
其中fx 和fy 表示相机x 轴和y 轴的焦距，s 表示成像平面x 轴和y 轴的不正交性。
2、基础公式对于不同位置的棋盘格到相机的成像，可以使用下面的公式进行表示：其中，[R|t]表示棋盘格坐标系相对于相机坐标系的位姿。
把矩阵R 和M ~写开，如下式所示：进行化简得：其中[u v 1]是已知量，[X Y 1]也是已知量，A 和[r1 r2 t]是未知量。
其中H=A[r1 r2 t]又叫做单应性矩阵，可以使用下面的3中所述的方法求解。
3、单应矩阵求解这里使用的方法基于最大似然准则：假设提取的m 存在均值为0，噪声协方差矩阵为的高斯白噪声。
相机标定的精度影响实验分析
相机标定的精度影响实验分析
翟溢章;宿洁华;张士恒;吴恩启
【期刊名称】《电子设计工程》
【年(卷),期】2022(30)7
【摘要】相机标定是机器视觉中的必要步骤,标定效果直接影响后续的测量精度。
在张正友标定方法的基础上,对棋盘格尺寸、标定图片数量、棋盘格打印方式3个方面进行实验分析,实验过程中通过控制变量法进行对比实验。
实验结果表明,棋盘格尺寸选择10~15 mm时标定效果较好;当棋盘格角点数目相同时,棋盘格尺寸越大,标定所需的图片数量越多;当棋盘格尺寸相同时,角点数目越多,标定所需的图片数量就越少;彩印的标定棋盘格在有效焦距、主点坐标以及重投影误差方面都比普通打印的精度高,且与实际值的误差维持在5个像素内,波动较小。
实验结论为提高相机标定精度提供了有效参考。
【总页数】5页(P82-86)
【作者】翟溢章;宿洁华;张士恒;吴恩启
【作者单位】上海理工大学机械工程学院;库柏电子科技(上海)有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.73
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多方法融合的相机内参数标定方法研究
多方法融合的相机内参数标定方法研究孟明辉王星凯沈紫妍刘卓彭佳仪张竹重庆科技学院机械与动力工程学院，重庆401331摘要：相机标定是确定世界坐标系下三维空间点与像素平面像素点间的转换关系，是机器视觉测量的关键步骤。
针对相机测量场景、条件不同，文章通过研究DLT标定法、Tsai标定法以及张正友法标定法三种标定方法，结合三种标定方法的优缺点，筛选契合的相机标定方法，并根据标定结果反馈不断优化标定计算结果，提升相机内参数标定效率及标定准确度。
采用多方法融合的相机内参数标定算法可以提高相机标定的效率，并降低生产成本，提高标定精度，进而获得准确的物体特征。
关键词：相机标定；多方法融合；标定效率中图分类号：TP391.41文献标识码：A0 引言在机器视觉和相机测量领域，完成测量任务的主要设备为相机，对其参数进行准确标定是完成测量任务的前提[1]。
在机械视觉应用的领域通常是对物体进行工程测量和检测，而完成机器视觉测量任务则需要通过相机内部参数的标定建立物与像的关联。
内部参数标定旨在保证世界坐标系下被测物体轮廓各个位置的特征点的空间位置与之在二维坐标系中同一特征点之间的对应关系，构建相机成像的几何模型是十分必要的，其几何模型参数即为相机内部参数[2]。
实现相机标定的关键是找到准确简洁的数学对应关系，解出该对应关系所建数学模型的参数，实现类似世界坐标系到图像坐标系的过程，实现三维坐标到二维坐标表达的过程，同时利用得到的数学模型引入其反函数还原相机成像时的表达过程，即为由平面图像表达其空间坐标系下的位置。
用较为简易的数学对应关系还原繁杂的相机成像过程并且求出该过程的反过程。
完成相机内部参数标定之后，此相机能够继续开展世界坐标系的重建还原。
高精准度的标定获得的数学模型使得机器视觉测量物体的特征点产生的误差明显减小。
相机标定得到相机模型是参数获取的过程，参数主要是指相机的内部参数，主要目的就是对相机内参数的标定装置进行设计与计算，确定相机在不同的机构作用下，所能完成的功能，同时提高相机内部参数的标定精度[3]。
相机标定实验报告
相机标定实验报告学院：机械与车辆学院学号：2120140416姓名：赵嘉珩一、实验目的使用个人相机拍摄一组标定图片，完成对拍摄设备进行标定的实验任务。
二、实验原理图像测量过程以及机器视觉应用中，为确定空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建立相机成像的几何模型，这些几何模型参数就是相机参数。
在大多数条件下这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个求解参数的过程就称之为相机标定（或摄像机标定）。
单目相机模型中的三种坐标系关系如图1所示，相机坐标系即是以光轴中心O为原点的坐标系，其z轴满足右手法则，成像原点所代表平面即为像平面坐标系（实际应用中，均以图像左上角为坐标系原点），实际物体坐标系即为世界坐标系。
图1 单目相机模型的三坐标系统关系其中，在世界坐标系的值为，是在像平面坐标系的投影点，其相机坐标系的值为。
是相机坐标系轴与像平面夹角，一般情况下轴与像平面垂直，值为。
且相机坐标系与像平面平行，为相机的焦距。
对于从相机坐标系到像平面坐标系的变换，像平面坐标系是用像素单位来表示的，而相机坐标系则是以毫米为单位来表示，因此，要完成改变换过程就需要先得到像平面的像素单位与毫米单位之间的线性关系。
在图1中，相机光轴中心z轴方向上与像平面的交点称为投影中心，坐标为，是像素单位，而每个像素在和的物理尺寸为和，单位是像素/毫米，则像平面的像素与毫米间的线性关系如式（1）：（1）根据小孔模型下投影变换原理，像平面的物理坐标对应的相机坐标系满足式（2）：（2）其对应的矩阵形式为式（3）：（3）联立式（1）和式（3），得到式（4）即为相机坐标系与像平面坐标系变换的矩阵。
（4）其中，即为相机的6个内参数，其组成的矩阵即为内参数矩阵。
对于从相机坐标系到世界坐标系的变换，是通过旋转矩阵R和平移矩阵T完成的，如图2所示。
图2 相机坐标系与世界坐标系的变换关系其中，平移矩阵T是三维列向量，旋转矩阵R是坐标轴依次绕和轴旋转角度和所形成的三个矩阵的总乘积。
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H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y计算机视觉测量与导航实验报告院系：航天学院学科：控制科学与工程姓名：TSX学号：任课教师：张永安卢鸿谦日期：2014.05.13摘要人类视觉过程可看成是一个复杂的从感觉到知觉的过程,也就是指三维世界投影得到二维图像,再由二维图像认知三维世界的内容和含义的过程。
信号处理理论与计算机出现以后,人们用摄像机等获取环境图像并转换成数字信号,完成对视觉信息的获取和传输过程,用计算机实现对视觉信息的处理、存储和理解等过程,形成了计算机视觉这门新兴学科。
其中从二维图像恢复三维物体可见表面的几何结构的工作就叫做三维重建。
随着计算机硬件、软件、图像采集、处理技术的迅速发展,三维重建的理论和技术已被广泛应用于航空航天、机器人技术、文字识别、工业检测、军事侦察、地理勘察、现场测量和虚拟植物可视化等领域。
相机标定是三维重建必不可少的步骤,它包括对诸如主点坐标、焦距等与相机内部结构有关的内部参数的确定和对相机的旋转、平移这些外部参数的确定。
价格低廉的实验器材、简单的实验环境、快捷的标定速度和较高的标定精度是现在相机标定研究追求的几大方向。
数码相机的标定就是研究的热点之一。
本次报告介绍了基于棋盘格模板标定的基本原理和算法，利用MATLAB的相机标定工具箱，使用张征友算法对相机进行了标定，记录了标定的过程，并给出结果，最后对影响标定精度的因素进行了分析。
关键词：相机标定张正友角点提取内外参1基于棋盘格标定的基本原理和算法1.1基础知识1.1.1射影几何当描述一张相机拍摄的图像时，由于其长度、角度、平行关系都可能发生变化，因此无法完全用欧氏几何来处理图像，而射影几何却可以，因为在射影几何中，允许存在包括透视投影的更大一类变换，而不仅仅是欧氏几何的平移和旋转。
实际上，欧氏几何是射影几何的一个子集。
1.1.2齐次坐标设欧氏直线上点p的笛卡尔坐标为(x,y)T，如果x1,x2,x3满足x=x1/x2，y =x2/x3，x3≠0，则称三维向量(x1,x2,x3)T为点P的齐次坐标。
当x3= 0时，(x1,x2,0)T规定直线上的无穷远点的齐次坐标。
实际上，齐次坐标是用一个n+ 1维向量来表示原本n维的向量。
应用齐次坐标的目的是用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系。
形的几何变换主要包括平移、旋转、缩放等。
以矩阵表达式来计算这些变换时，平移是矩阵相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，综合起来可以表示为P’=R*P+T（R为旋转缩放矩阵，T为平移矩阵，P为原向量，P′为变换后的向量）。
当n+1维的齐次坐标中第n+1维为0，则表示n维空间的一个无穷远点。
1.1.2二维射影射影平面的构造如下：当，即,i=1,2,3,T与T表示同一个点，我们把T看作与T等价的，记为。
在这个等价的关系下，所有等价类称为齐次向量。
任何具体的向量都是所属等价类的表示。
在的向量等价类组成了射影平面P2，其中记号表示去掉零向量，即不与P2中任何点对应。
反过来，对任何齐次向量，若x3≠0，可以定义x=x1/x2，y =x2/x3，于是确定了欧氏平面上的一个点P(x,y)T。
这样，欧氏平面上的点P 与x3≠0的齐次坐标，建立了一个一一对应，而在欧氏平面上不存在任何对应点。
二维射影平面可以看作三维空间的子集，二维平面上的线性变换叫做平面射 影变换或单应，二维射影变换可以用3 × 3可逆矩阵表示为:'11111213'22122232'31323333x x h h h x h h h x h h h x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1.1）或者表示为：，此方程中的H 矩阵乘以任意一个非零因子不会改变射影变换，也就是说二维射影变换的H 有八个自由度。
1.1.3 三维射影类似二维射影变换，三维空间变换可以用4 × 4的可逆矩阵 H 表示。
因此，三维空间变换表示为：（1.2）变换矩阵 H 是齐次矩阵，乘以任意一个非零因子不会改变射影变换，因此三维射影变换有 14 个自由度。
1.2 相机模型数码相机图像拍摄的过程实际上是一个光学成像的过程。
相机的成像过程涉及到四个坐标系：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系以及这四个坐标系的转换：1.2.1理想透视模型——针孔成像模型相机模型是光学成像模型的简化，目前有线性模型和非线性模型两种。
实际的成像系统是透镜成像的非线性模型。
最基本的透镜成像原理如图1.1 所示图1.1 透镜成像原理示意图其中u 为物距，f 为焦距，v 为相距。
三者满足关系式：(1.3)相机的镜头是一组透镜，当平行于主光轴的光线穿过透镜时，会聚到一点上，这个点叫做焦点，焦点到透镜中心的距离叫做焦距f。
数码相机的镜头相当于一个凸透镜，感光元件就处在这个凸透镜的焦点附近，将焦距近似为凸透镜中心到感光元件的距离时就成为小孔成像模型。
①世界坐标系：是客观三维世界的绝对坐标系，也称客观坐标系。
因为数码相机安放在三维空间中，我们需要世界坐标系这个基准坐标系来描述数码相机的位置，并且用它来描述安放在此三维环境中的其它任何物体的位置，用(X W ,Y W ,Z W )表示其坐标值。
②相机坐标系（光心坐标系）：以相机的光心为坐标原点，X 轴和Y 轴分别平行于图像坐标系的X 轴和Y 轴，相机的光轴为Z 轴，用(Xc,Yc,Zc)表示其坐标值。
③图像坐标系：以CCD 图像平面的中心为坐标原点，X 轴和Y 轴分别平行于图像平面的两条垂直边，用(x,y)表示其坐标值。
图像坐标系是用物理单位（例如毫米）表示像素在图像中的位置。
④像素坐标系：以CCD 图像平面的左上角顶点为原点，X 轴和Y 轴分别平行于图像坐标系的X 轴和Y 轴，用(u,v)表示其坐标值。
数码相机采集的图像首先是形成标准电信号的形式，然后再通过模数转换变换为数字图像。
每幅图像的存储形式是M ×N 的数组，M 行N 列的图像中的每一个元素的数值代表的是图像点的灰度。
这样的每个元素叫像素，像素坐标系就是以像素为单位的图像坐标系。
像素坐标系与图像坐标系的关系的转换关系为：0xu u dx=+ (1.4) 0yv v dy=+ (1.5) 采用齐次坐标再用矩阵形式将上式表示为：00101011001u dx u x v v y dy ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭(1.6)其中00(,)u v 是图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标，dx 和dy 分别是每个像素在图像平面x 和y 方向上的物理尺寸。
图像坐标系与相机坐标系的转换为：ccfX x Z =(1.7) ccfX y Z =(1.8) 其中f 为焦距（像平面与相机坐标系原点的距离）。
用齐次坐标系和矩阵表示上述关系：000000100101c c c c X x fYZ y f Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1.9)相机坐标系与世界坐标系的变换为：0111c w c w Tc wX X Y Y RT Z Z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1.10) 其中R 为3×3正交旋转矩阵，T 为三维平移向量。
将式1.6、式1.9和式1.10综合起来：000011000010000011001010010000010010111w x w c Ty w w x w y Tw w w w w w w u X d u f Y R T Z v v f d Z X a u Y R T a v Z X X Y Y KM M Z Z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1112131421222324313233341w w w X m m m m Y m m m m Z m m m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1.11)其中：x xfa d =(1.12)y yfa d =(1.13)0000000010xy a u K a v ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1.14)101TR T M ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1.15) x a 和y a 分别是图像水平轴和垂直轴的尺度因子。
K 的参数中只包含焦距、主点坐标等只由相机的内部结构决定，因此称K 为内部参数矩阵，x a 、y a 、0u 、0v 叫做内部参数。
中包含的旋转矩阵和平移向量是由相机坐标系相对于世界坐标系的位置决定的，因此称1M 为相机的外部参数矩阵，R 和T 叫做外部参数，M 叫投影矩阵。
相机标定就是确定相机的内部参数和外部参数。
1.3 基于棋盘格标定的基本原理和算法张正友在1998年提出了一种基于棋盘格模板的相机标定方法成为相机标定研究的经典之作。
这种方法由两部分组成，首先对相机的参数进行估计，再用优化函数进行迭代求精。
1.3.1 相机参数的初始估计假定模板平面在世界坐标系 Z=0 的平面上，则相机成像模型可变化为：()()123120111X u X Yv K r r r t K r r t Y λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1.16）令()()12312H h h h K r r t λ==，则11112211,r K h r K h λλ--==。
根据已知的空间三维点的坐标与像素坐标系下的坐标用最小二乘法可以求出H 。
根据旋转矩阵的性质，即120T r r =和12||||||||1r r ==（||||•表示向量的二范数），每幅图象可以获得以下两个对内参数矩阵的基本约束：T 1120T h K K h --= (1.17)111122T T TT h K K h h K K h ----= (1.18)由于摄像机有5个未知内参数，所以当所摄取得的图象数目大于等于 3 时，就可以线性唯一求解出。
令11121311222231323330222222200002222210101T yx x y y yy y x yyx y yB B B B K K B a B B a B u a a a a v a a u a u a v v a a a a a a --⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪--++ ⎪ ⎪⎝⎭()111222132333Tb B B B B B B =()111221221331233233ij i j i j i j i j i j i j i j i j i j v h h h h h h h h h h h h h h h h h h =+++则T Ti j ij h Bh v b =即：()1211220TT v b v v ⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭，求出内部矩阵的解。