中考第二轮复习：中考数学压轴题全面突破之五四边形的存在性
中考数学压轴题全面突破之五•四边形的存在性
题型特点
四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．
解题思路
①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；
②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；
③借助几何特征建等式．
难点拆解
①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转
画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．
②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．
③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不
易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．
④直角梯形存在性关键是利用好直角．
1.（2012湖北孝感）如图，抛物线错误！未找到引用源。
(a≠0)与x轴交于点
A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．
（2）P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 面积的最大值和此时点P 的坐标．
（3）点Q 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q 作QN ∥AC 交x 轴于点
N ．当点Q 的坐标为_________时，四边形QNAC 是平行四边形；当点Q 的坐标为_________时，四边形QNAC 是等腰梯形．
M A
B
C
D
P
O x
y y x
O
C
B
A
2. （2012黑龙江牡丹江）如图，OA ，OB 的长分别是关于x 的方程x 2-12x +32=0的两
根，且OA >OB ．请解答下列问题： （1）求直线AB 的解析式．
（2）若P 为AB 上一点，且错误！未找到引用源。
，求过点P 的反比例函数的解析式．
（3）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A ，P ，O ，Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
y x
O
P B
A
y x
O
P
B
A
y x
O P
B
A
3. （2012湖北襄阳）如图，在矩形OABC 中，AO 10，AB 8，沿直线CD 折叠矩形
OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线错误！未找到引用源。
经过O ，D ，C 三点．
（1）求AD 的长及抛物线的解析式．
（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点
C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？
（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
D
E
A B
C O y x D
E
A B
C O
4. （2010贵州遵义）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。
(a ≠ 0)的顶点坐
标为Q (2，-1)，且与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与点
A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式．
（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标．
（3）在（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以
A ，P ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
y x
Q
C D P A
B
O
O B
A C
Q
x
y
5. （2012山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点
B (1，0)，
C (3，0)，
D (3，4)，以A 为顶点的抛物线错误！未找到引用源。
过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作P
E ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求点A 的坐标及抛物线的解析式．
（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形？求出t 的值．
y Q
P
G
F E
D
A y Q
P
G F E
D
A
四边形的存在性
1. （1）抛物线的解析式为322++-=x x y ，顶点D 的坐标是
(14)，．
（2）设四边形PMAC 的面积为S ，则
OM OC PM OC OA S ⋅++⋅=)(2
1
21
=23
292+
+-m m
=16105
)49(2+
--m
∵91<
<34
∴当49=
m 时，四边形PMAC 的最大面积为16105．
此时，点P 的坐标是93
()42，．
（3）Q (23)，；Q 1115
()416
，．
2. （1）直线AB 的解析式为142
y x =+．
（2）()6
0y x x
=-
<．
（3）存在，符合条件的点Q 的坐标为（－2，1），58
5937
37⎛⎫-
⎪⎝⎭ ， 或
54
275
5⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，． 3. （1）AD =3，抛物线的解析式为2216
=+33
y x x －．
（2）当t =
4013或25
7
时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似．
（3）存在，符合条件的点M ，N 的坐标分别为，
①M 1（-4，-32），N 1（4，-38） ②M 2（12，-32），N 2（4，-26） ③M 3（4，
323
），N 3（4，14
3－）．
4. （1）抛物线的函数关系式为342+-=x x y ．
（2）点P 的坐标为(1，0)或(2，-1)．
（3）存在，符合条件的点F 的坐标为(22-，1)或
(22+，1)．
5. （1）A （1，4），抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3．
（2）S △ACG =21
(2)+14
t －－，
当t =2时，S △ACG 的最大值为1． （3）t =
20
13
或t =2085－
．。
中考数学考点复习 类型五 特殊四边形存在性问题 课件(共33张PPT)
第2题图
类型五 特殊四边形存在性问题 3．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，M(1，4)，直线AM交y轴 于点N.点P是y轴上一动点，点Q是平面内任意一点，若以A、P、M、Q 为顶点的四边形是矩形，求点Q的坐标．
第3题图
类型五 特殊四边形存在性问题
解：①当 AM 为矩形的对角线时，如解图①， ∵A(－1，0)，M(1，4)， ∴AM 的中点坐标为(0，2)， 易知点 N 为 AM 的中点，则 N(0，2)， ∴MN＝ （1－0）2＋（4－2）2＝ 5. ∴NQ1＝NQ2＝ 5， ∴Q1(0，2＋ 5)，Q2(0，2－ 5)；
图⑤
图⑥
类型五 特殊四边形存在性问题 满分技法
②AB 为对角线时：如图⑦，作 AB 的垂直平分线；
图⑦
类型五 特殊四边形存在性问题 满分技法
(4)求作正方形 ①AB 为边时：如图⑧，过点 A，B 分别作垂直于 AB 的直线；
图⑧
类型五 特殊四边形存在性问题
当 AB 为平行四边形的对角线时，如解图②，
y
则4－1＝xP3＋0，2－3＝0＋yQ3，
2
2
2
2
A
∴xP3＝3，yQ3＝－1，即 P3(3，0)，Q3(0，－1)．
QO3
P3 x
综上所述，点 P 的坐标为(－5，0)或(5，0)或(3，0)，
B 对应的点 Q 的坐标为(0，5)或(0，－5)或(0，－1)．
P1
P2
P3
第1题图
类型五 特殊四边形存在性问题 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，2)，B(－1，－3)，P是x轴 上的一点，Q是y轴上的一点．若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形 是平行四边形，求点P和点Q的坐标．
2020年中考数学压轴题训练平行四边形的存在性问题
2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标2、如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所⽰现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理⽈如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为⼀点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂⾜为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的⼀动点，过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N设OP的长度为m，连结CM、BN，当m 为何值时，四边形BCMN为平⾏四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接⽤含t的代数式分别表⽰：QB= ，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某⼀时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的⼀动点，且满⾜O=2x，连结DE，以DE、DA为边作平⾏匹边形DEFA（1）如果平⾏四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平⾏四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直⾓边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12,0）（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正⽅向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为⼀边，O 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是菱形？并求出此时t 的值8、（19连云港26）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所⽰）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平⾏线交MN 于点①求DE 的最⼤值②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x轴的⼀个交点为A（-1,0），另⼀个交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上⼀点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上⼀点，点Q是⼀次函数y=2x+2的图象上⼀点，若四边形OAPQ 为平⾏四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试⽤含a的代数式分别表⽰点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的⾯积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在⼀点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所⽰，已知抛物线y=-x2+bx+c与⼀直线相交于A（-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意⼀点，过点E 作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平⾏四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上⽅的⼀个动点，直接写出△APC的⾯积的最⼤值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。
2021年九年级中考三轮冲刺解答题高频题型精准练(二次函数压轴题中的的四边形存在性问题)
2021年三轮冲刺解答题高频题型精准练（二次函数压轴题中的图形存在性问题）题型一：三角形存在性问题1.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.抛物线与直线y=-x+5一个交点A（2，m），另一个交点B在x轴上，点P是线段AB上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交抛物线于点E；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P，使线段PE长度最大？若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由；（3）求当ΔPAE为直角三角形时点P的坐标.4.如图所示，已知直线y＝kx＋m与抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B(6，0)和点C(0，6)，且抛物线的对称轴为直线x＝4；(1)试确定抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．5.如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．7.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．题型二：四边形存在性问题x-3交于A，B两点，其中点B在y轴上，点A坐标为（-4，1.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=12-5），点P为y2轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，B，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，△PAB的面积是否有最大值？如果有，请求出此时点P的坐标．2.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标；(4)在平面内，是否存在点M，使点A，B，C，M构成平行四边形，如果存在，直接写出M坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，已知二次函数y=ax2+3x+c的图象经过点C（0，4），与x轴分别交于点A，点B（4，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．4. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．（1）求二次函数的解析式；（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．6.如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线的函数表达式；（2）P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.7.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学三轮冲刺专题05 四边形(名师点睛+能力提升)(解析版)
中考考点总动员之三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升专题05 四边形讲练测模块一：平行四边形【例1】如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称____________．【难度】★【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形．【解析】考查常见的四边形的性质．【例2】下列判断错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】C【解析】对平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查．【例3】下列命题中，真命题是( )A．菱形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线互相垂直平分C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】D【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质．【例4】 如图，在ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，请添加一个条件________________，可得ABCD 是矩形．【难度】★【答案】BD AC =或90DAB ∠=︒．【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形． 【总结】考查矩形的判定．【例5】 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确的是( )A ．当AB = BC 时，四边形ABCD 是矩形 B ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形 C ．当OA = OB 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形 【难度】★★ 【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形．【例6】 已知在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )A ．AC = BD ，AB // CD ，AB = CD B ．AD // BC ，A C ∠=∠ C ．AO = BO = CO = DO ，AC BD ⊥D ．AO = CO ，BO = DO ，AB = BC【难度】★★ 【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形．【例7】 如果点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形KLMN 是菱形，那么下列选项正确的是( )A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【难度】★★ 【答案】D【解析】连接AC 、BD ，点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，所以得四边形KLMN 为平行四边形，又它为菱形则相邻两边相等，而邻边正 好是四边形ABCD 的对角线的中位线，所以AC=BD ．ABC DO【总结】考查三角形中位线定理的运用．【例8】 从①AB // CD ，②AD // B C ，③AB = CD ，④AD = BC 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD 是平行四边形的概率是______．【难度】★★ 【答案】23． 【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、两组对边相等的四边形、一组对边平行且相等的四边形均是平行四边形，共有4种情况，所以概率是42=63．【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用．【例9】 在平行四边形ABCD 中，BC = 24，AB = 18，ABC ∠和BCD ∠的平分线交AD 于点E 、F ，则EF =______．【难度】★★ 【答案】12．【解析】由平行线和角平分线可知△ABE 和△CDF 都是等腰三角形， 所以18AE AB ==，18DF DC ==， 所以18182412EF AE DF AD =+-=+-=．【总结】本题主要考查“平行线+角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用．【例10】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO = CO ，AOD ADO ∠=∠，E是DC 边的中点．下列结论中，错误的是( ) A ．12OE AD = B ．12OE OB =C ．12OE OC =D ．12OE BC =【难度】★★ 【答案】DF EDCBAAB C D EO【解析】由AOD ADO ∠=∠得到AO OD =，又AO = CO ，得AO =AD =OC ， 因为O 、E 都是中点，所以OE 是中位线，即12OE AD =， 又90ABC ∠=︒且O 为中点，则AO =OC =OB ，所以A 、B 、C 正确，D 错误． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用．【例11】 设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③34a <<；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【难度】★★ 【答案】C【解析】勾股定理可得：a = 一对应，所以②是对的，故选C ．【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识．【例12】 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果AE = 2，ADE ∆的面积是4，四边形BCDE 的面积是5，那么AB 的长是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】因为ADE C A A ∠=∠=∠，，所以ADEACB ∆∆．因为4ADE S ∆=，459ABC S ∆=+=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：249ADE ABC S DE AB S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，得：23DE AB =，因为AE = 2，所以AB=3． 【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用．【例13】 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB // CD ，点E 是对角线AC 上一点，DEC ABC ∠=∠，且2CD CE CA =．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若FCE DCE ∠=∠， 求证：四边形EFCD 是菱形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵AB // CD ，∴BAC ECD ∠=∠， ∵DEC ABC ∠=∠，∴CDE ACB ∆~∆，∴CD CEAC AB=． ∴CD AB CE CA ⋅=⋅，又∵2CD CE CA =，∴AB =CD ， 又因为AB // CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形；（2）∵//AE BF ，//AB EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AB EF 且AB EF =，又∵ABCD 为平行四边形，∴//AB CD 且AB CD = ∴//EF CD 且EF CD =，∴四边形EFCD 为平行四边形，∵//EF CD ，∴FEC ECD ∠=∠，∵FCE DCE ∠=∠，∴FEC FCE ∠=∠， ∴EF =CF ，∴四边形EFCD 为菱形．【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 在边AC 上，AD = BD =DE ，联结BE ，72ABC DBE ∠=∠=︒．（1）联结CE ，求证：CE = BE ；（2）分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形．【难度】★★ 【答案】见解析．A B C DEO A BCD EF【解析】证明：（1）设DE 与BC 的交点为O ， ∵72ABC DBE ∠=∠=︒，AB = AC ，AD = BD =DE ，∴36ABD DBA DBC ∠=∠=∠=，72ABC ACB BDC DBE DEB ∠=∠=∠=∠=∠=， ∴BCD DBE ∆≅∆，∴DE =BC ，CD =DO =BO ，∴OC =OE ， ∴36CEO OCE CBE ∠=∠=∠=︒，∴BE =CE ．（2）∵36BDE CED ∠=∠=︒，∴//BD CF ，∵36ABD EDB ∠=∠=︒，∴//DE AB ， ∴四边形DBFE 为平行四边形，又∵BD =DE ，∴四边形DBFE 为菱形． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用．【例15】 已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = BC ，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CE = CD ，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG // BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使HCE DCG ∠=∠． （1）求证：BCE ∆≌ACD ∆； （2）求证：四边形FHCG 是正方形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵90ACB ACD ∠=∠=︒，CE =CD ，AC =BC ， ∴BCE ∆≌ACD ∆；（2）∵BCE ∆≌ACD ∆，∴CEB CDA ∠=∠，又∵HCE DCG ∠=∠，CE =CD ，∴CEH CDG ∆≅∆，∴CH =CG ， ∵HCE DCG ∠=∠且90ACB ∠=︒，∴90HCG CHF CGF ∠=︒=∠=∠，∴四边形FHCG 为矩形，又∵CH =CG ，∴四边形FHCG 为正方形． 【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用．【例16】 如图，在四边形ABCD 中，AB // DC ，E 、F 为对角线BD 上两点，且BE = DF ，AF // EC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线于点H ，求证：AD DC BH DG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵BE =DF ，∴BF =DF ， ∵//AB DC ，∴ABF EDC ∠=∠，BAF AGD ∠=∠，∵AF // EC ，∴AGD ECD BAF ∠=∠=∠，∴AFB CED ∆≅∆， ∴AB =CD ，且AB // DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴HAB AGD ∆∆，∴AD DGBH AB=， 又∵CD =AB ，∴AD DC BH DG =．【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用．【例17】 如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于点G ，交边AB 于点H ．联结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =．A BCDEF H【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AO =OC ，//AE DF ， ∴EOA FOC ∆≅∆，∴OE =OF ，又∵EF AC ⊥，且AO =OC ，∴四边形AFCE 为菱形；（2）∵四边形AFCE 为菱形，∴90EOC EDC ∠=∠=︒， ∵EGD CGO ∠=∠，∴EGDCGO ∆∆，∴DG GOEG CG=， ∵OF = 2GO =OE ，∴OG =EG ，∴2GO DG GC =． 【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用．【例18】 已知：如图，Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H ． （1）求证：MB = MD ；（2）当AB = BC ，DC = DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点M 作MN BD ⊥于N ，∵90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，∴////AB MN DE ，又∵M 为AE 中点，∴N 也为BD 中点， ∴BM D ∆为等腰三角形，∴BM =MD ； （2）延长BM 交DE 延长线于点P ，∵//AB PE ，M 为AE 中点，∴AB =PE ，∵AB =BC ，DC =DE ，∴Rt ABC ∆和Rt CDE ∆都是等腰直角三角形，∴45CED ACB ∠=∠=︒， ∴CED P ∠=∠，ACB BDM ∠=∠，∴//CE BP ，//AC DM ，A BCDE M HN P∴四边形MGCH 为平行四边形，又∵90GMH ∠=︒，∴四边形MGCH 为矩形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用．【例19】 如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，联结BE 、DF ，DF 交对角线AC于点G ，且DE = DG ． （1）求证：AE = CG ； （2）求证：BE // DF ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）取AC 中点O ，连接DO∵AD =CD ，∴DO AC ⊥．又∵DE =DG ，∴EO =OG ，∴AE =CG ；（2）∵正方形ABCD ，∴45BAC ACD ∠=∠=︒，∵AE =CG ，AB =CD ，∴EAB CGD ∆≅∆，∴ABE GDC ∠=∠，又∵90DFC FDC EBC ABE ∠+∠=∠+∠=︒，∴DFC EBF ∠=∠，∴BE // DF ． 【总结】本题主要考查正方形性质的运用．【例20】 已知：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE = AF ，AEC AFC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如图2，若AD = AF ，延长AE 、DC 交于点G ，求证：2AF AG DF =．（3）在第（2）小题的条件下，连接BD ，交AG 于点H ，若HE = 4，EG = 12，求AH 的长．A BCD E FOA BCD EF【难度】★★★ 【答案】略【解析】（1）∵AEC AFC ∠=∠， ∴AEB AFD ∠=∠，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴B D ∠=∠，又∵AE = AF ，∴ABE ADF ∆≅∆，∴AB =AD ，∴四边形ABCD 为菱形； （2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BAG AGD FAD ∠=∠=∠，又∵D D ∠=∠， ∴AFDGDA ∆∆，∴AD FDGA AD=，又∵AD =AF ，∴2AF AG DF =； （3）∵//AB DC ，//AD BC ，∴AH BH HG HD =，BH EH HD AH =，∴AH EHHG AH=， 又∵HE =4，EG =12，∴416AH AH=，∴AH =8． 【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用．【巩固1】（2019春•浦东新区校级月考）已知四边形ABCD ，在①//AB CD ；②AD BC =；③AB CD =；④A C ∠=∠四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是( ) A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③【分析】根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有两组对边相互平行的四边形是平行四边形；即可得出结论．【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以选①③和①④； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选②③； 所以不能推出四边形ABCD 为平行四边形的是①②； 故选：A ．【巩固2】（2019春•浦东新区校级月考）在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若10BD =，14AC =，那么BC 的取值范围为 ．【分析】根据平行四边形的性质可得BO 、CO 的长，然后再根据三角形的三边关系可得BC 的取值范围． 【解答】解：如图：四边形ABCD 是平行四边形，12BO BD ∴=，12CO AC =，10BD =，14AC =， 5BO ∴=，7CO =， 212BC ∴<<，故答案为：212BC <<．【巩固3】（2018春•浦东新区期中）如图，以BC 为底边的等腰ABC ∆，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且//EG BC ，//DE AC ，延长GE 至点F ，使得BE BF =． （1）求证：四边形BDEF 为平行四边形；（2）当45C ∠=︒，4BD =时，联结DF ，求线段DF 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，证出AEG ABC C ∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形，得出DEG C ∠=∠，证出F DEG ∠=∠，得出//BF DE ，即可得出结论；（2）证出BDE ∆、BEF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF BE ===作FM BD ⊥于M ，连接DF ，则BFM ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出2FM BM ===，得出6DM =，在Rt DFM ∆中，由勾股定理求出DF 即可．【解答】（1）证明：ABC ∆是等腰三角形， ABC C ∴∠=∠，//EG BC ，//DE AC ，AEG ABC C ∴∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形， DEG C ∴∠=∠，BE BF =，BFE BEF AEG ABC ∴∠=∠=∠=∠，F DEG ∴∠=∠， //BF DE ∴，∴四边形BDEF 为平行四边形；（2）解：45C ∠=︒，45ABC BFE BEF ∴∠=∠=∠=︒，BDE ∴∆、BEF ∆是等腰直角三角形，BF BE ∴=== 作FM BD ⊥于M ，连接DF ，如图所示： 则BFM ∆是等腰直角三角形，2FM BM ∴===， 6DM ∴=，在Rt DFM ∆中，由勾股定理得：DF即D ，F 两点间的距离为【巩固4】（2018•上海）已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A ．A B ∠=∠B ．AC ∠=∠C ．AC BD =D ．AB BC ⊥【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、A B ∠=∠，180A B ∠+∠=︒，所以90A B ∠=∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B 、AC ∠=∠不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C 、AC BD =，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；D 、AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B ．【巩固5】（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的23，那么矩形的宽的值是 ．【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF x =，则23CF x =，根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ， 设AF x =，则23CF x =， 在Rt CBF ∆中，1CB =，1BF x =-， 由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)， 即它的宽的值是1813， 故答案为：1813．【巩固6】（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD CD =，E 是对角线BD 上一点，且EA EC =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证：四边形ABCD 是正方形．【分析】（1）首先证得ADE CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质可得ADE CDE ∠=∠，由//AD BC 可得ADE CBD ∠=∠，易得CDB CBD ∠=∠，可得BC CD =，易得AD BC =，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD 为平行四边形，由AD CD =可得四边形ABCD 是菱形；（2）由BE BC =可得BEC ∆为等腰三角形，可得BCE BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理可得1180454CBE ∠=⨯=︒，易得45ABE ∠=︒，可得90ABC ∠=︒，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．【解答】证明：（1）在ADE ∆与CDE ∆中， AD CD DE DE EA EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ADE CDE ∴∆≅∆，ADE CDE ∴∠=∠， //AD BC ， ADE CBD ∴∠=∠， CDE CBD ∴∠=∠，BC CD ∴=， AD CD =， BC AD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，AD CD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）BE BC =BCE BEC ∴∠=∠，:2:3CBE BCE ∠∠=，218045233CBE ∴∠=⨯=︒++，四边形ABCD 是菱形， 45ABE ∴∠=︒， 90ABC ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形．【巩固7】（2019•杨浦区二模）已知：如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，连接HA 、HC ．求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG ，//GH BF ，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH 是菱形；（2）连结BH ，交AC 于点O ，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH =，OF OG =，又AF CG =，所以OA OC =．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH 是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）点F 、G 是边AC 的三等分点， AF FG GC ∴==．又点D 是边AB 的中点， //DH BG ∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=，=，AB BC∴⊥，BH FG∴四边形FBGH是菱形；（2）四边形FBGH是平行四边形，=．∴=，FO GOBO HO==，又AF FG GC=．AF FO GC GO∴+=+，即：AO CO∴四边形ABCH是平行四边形．=，AC BH⊥，AB BC∴四边形ABCH是正方形．模块二：梯形【例21】顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________形．【难度】★【答案】菱形．【解析】连接对角线，得出新的四边形的每条边为对角线的中位线且分别平行对角线，得出四边形为平行四边形，由因为等腰梯形的对角线相等，所以新的四边形为菱形．【总结】本题主要考查三角形中位线的运用．【例22】如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______．【难度】★【答案】3．【解析】梯形中位线等于上底加下底和的一半．【总结】本题主要考查梯形中位线的运用．【例23】梯形ABCD中，AD // BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的面积平分，那么BE的长是______．【难度】★★【答案】4．【解析】设梯形的高为h，则1(26)42ABCDS h h=⨯+⨯=梯形，因为AE将梯形ABCD的面积平分，所以114222ABES BE h h h =⨯⨯=⨯=，所以4BE=．【总结】本题主要考查梯形的面积及三角形面积的运用．【例24】如果梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD = 1，BC = 3，那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是______．【难度】★★【答案】35．【解析】因为EF为梯形ABCD的中位线，所以EF=2，又因为四边形AEFD与EBCF为梯形，且他们的高相等，所以面积之比等于123 235 +=+．【总结】本题主要考查梯形中位线及面积的综合运用．【例25】如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，已知AD = 2，4cot3ACB∠=，梯形ABCD的面积是9．（1）求AB的长；（2）求tan ACD∠的值．【难度】★★【答案】（1）3；（2）617．E D CBAA B CDH【解析】（1）设AB x =，则43BC x =，梯形面积等于42392x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，解得：3x =， 即AB 的长为3；（2）过D 作DH AC ⊥于H ，∵AD // BC ，∴ACB CAD ∠=∠，∴4cot cot 3CAD ACB ∠=∠=， ∴65DH =，85AH =，∵AC=5，∴175CH =， ∴6tan 17DH ACD CH ∠==． 【总结】本题主要考查梯形的面积与锐角三角比的综合运用．【例26】 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 是边CD 的中点，点F 在边BC 上，EF // AB ． 求证：()12BF AD BC =+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】取AB 的中点G ，连接EG ，∵点E 是边CD 的中点，∴EG 为梯形ABCD 的中位线，∴()12EG AD BC =+， 又∵//EF AB ，且//EG BC ，∴四边形BFEG 为平行四边形， ∴BF =EG ，∴()12BF AD BC =+．【总结】本题主要考查梯形的中位线和平行四边形性质的综合运用．【例27】 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC // AB ，AB >CD >AD ，90A ∠=︒，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片；AB C D EF GAB C D EF GA BC DH（1）求证：四边形ADEF 为正方形；（2）取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG = CD 时，求证：四边形GBCE 为等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵//CD AB ，∴90ADE A ∠=∠=︒， 由翻折性质，知ADF EDF ∆≅∆，∴90A DEF ∠=∠=︒， ∴四边形ADEF 为矩形，∵45ADF FDE ∠=∠=︒，∴DA =AF ， ∴四边形ADEF 为正方形；（2）连接DG ，EG ，∵BG =CD ，//AB CD ，∴四边形DGBC 为平行四边形，∴BC =DG ， 又∵AG =GF ，AD =EF ，90A EFA ∠=∠=︒，∴AGD FGE ≅，∴EG =DG ， ∴BC =EG ，∵//BG CE 且不相等，∴四边形GBCE 为等腰梯形．【总结】本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质 的运用．【例28】 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的点，AE 与BD 交于点O ，且CD = CE ，12∠=∠．（1）求证：四边形ABED 是等腰梯形；（2）若EC = 2，BE = 1，21AOD ∠=∠，求AB 的长．【难度】★★★ 【答案】（1）略；（2）32． 【解析】（1）∵C C ∠=∠，CD = CE ，12∠=∠， ∴ACE BCD ∆≅∆，∴BC =AC ，∴AD =BE ，CAB ABC ∠=∠，∴ABC DEC ∠=∠，∴//DE AB ，又∵DE AB ≠，∴四边形ABED 为等腰梯形；A BC DE 1 2 O AB CD E FGA B CD E FG（2）∵四边形ADEB 为等腰梯形，∴ADE BED ∠=∠．∵12∠=∠，∴EDO OED ∠=∠，又∵21AOD ∠=∠，∴1ODE ∠=∠， ∴DE =BE =1，∵//DE AB ，∴DE EC AB BC =，∴32AB =． 【总结】本题一方面考查等腰梯形的判定，另一方面考查三角形一边平行线性质定理的运用．【例29】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE ． （1）求证：60ACE ∠=︒；（2）在边AB 上取一点F ，使BF = BD ，联结DF 、EF ．求证：四边形CDEF 是等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形， ∴60BAC DAE ∠=∠=︒，AB =AC ，AD =AE ， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE ∆≅∆， ∴60ACE ABC ∠=∠=︒；（2）∵CE =BD ，BF =BD ，60B ∠=︒，∴BDF ∆为等边三角形， ∴DF =BD =CE ，∵ACE ACB B ∠=∠=∠，∴120BCE ∠=︒， ∴180B BCE ∠+∠=︒，∴//BF CE ，∵BF =CE ，∴四边形BFEC 为平行四边形，∴//CD EF 且DF =CE ， ∴四边形CDFE 为等腰梯形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质与等腰梯形判定的综合运用．【例30】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于F ，过点F 作FG // AB ，AB C D EF交AE 于点G ． （1）求证：AG = BF ；（2）当2AD CA CF =时，求证：AB AD AG AC =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AD BC =，D BCE ∠=∠．又∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，∴ADE BCE ∆≅∆，∴AE =BE ． ∵//GF AB ，∴EGF ∆和AEB ∆均为等腰三角形，∴AG =BF ； （2）∵AD =BC ，且2AD CA CF =，∴2BC CA CF =， 又∵BCF FCB ∠=∠，∴BCFACB ∆∆，∴AB ACBF BC=．又∵AD =BC ，AG =BF ，∴AB AD AG AC =． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质与相性质的综合运用．【巩固1】（2018•青浦区一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )A ．ABC DCB ∠=∠ B ．DBC ACB ∠=∠C ．DAC DBC ∠=∠D ．ACD DAC ∠=∠【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A 、ABC DCB ∠=∠， BD BC ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B 、DAC DBC ∠=∠，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，DAC ACB ∠=∠， OBC OCB ∴∠=∠，OAD ODA ∠=∠OB OC ∴=，OD OA =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C 、ADB DAC ∠=∠，//AD BC ， ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠，OA OD ∴=，OB OC =， AC BD ∴=， //AD BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；D 、根据ACD DAC ∠=∠，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确．故选：D ．【巩固2】（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米）故答案为：7．【巩固3】（2019春•浦东新区期末）已知，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AD =，6AB CD ==，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为 ．【分析】首先过A 作//AE DC 交BC 与E ，可以证明四边形ADCE 是平行四边形，进而得到4CE AD ==，再证明ABE ∆是等边三角形，进而得到6BE AB ==，从而得到答案． 【解答】解：如图，过A 作//AE DC 交BC 与E ， //AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，5AD EC ∴==，AE CD =， 6AB CD ==，6AE AB ∴==，60B ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，6BE AB ∴==， 6511BC ∴=+=．故答案为：11．1．（2019春•嘉定区期末）如果平行四边形ABCD 两条对角线的长度分别为8AC m =，12BD cm =，那么BC 边的长度可能是( ) A ．2BC cm =B ．6BC cm =C ．10BC cm =D ．20BC cm =【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可． 【解答】解：设平行四边形ABCD 的对角线交于O 点， 4OA OC ∴==，6OB OD ==，6464BC ∴-<<+ 210BC ∴<<， 6cm ∴符合，故选：B ．2．（2019春•浦东新区期中）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有( ) A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【解答】解：A 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B 、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C 、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D 、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B ．3．（2019春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，10AC =，24BD =，则AD = ．【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO 的长． 【解答】解：ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1122BO DO BD ∴===，152AO CO AC ===，AB AC ⊥，13AD ∴，故答案为：13．4．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果4AB =，5BC =，32OE =，那么四边形EFCD 的周长为 ．【分析】根据平行四边形的性质知，4AB CD ==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE ∠和COF ∠是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到 1.5OF OE ==，CF AE =，所于是得到结论．【解答】解：四边形ABCD 平行四边形，4AB CD ∴==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE COF ∠=∠，()OAE OCF AAS ∴∆≅∆， 1.5OF OE ∴==，CF AE =，∴四边形EFCD 的周长ED CD CF OF OE =++++ED AE CD OE OF =++++ AD CD OE OF =+++45 1.5 1.5=+++12=．故答案为：12．5．（2019春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，28BC AB ==，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ，则BEG S ∆= ．【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．构建BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆=+-计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．2BC AB =，BH CH =，60ABC ∠=︒，BA BH CH ∴==，ABH ∴∆是等边三角形，HA HB HC ∴==， 90BAC ∴∠=︒，30ACB ∴∠=︒，EC BC ⊥，180120BCD ABC ∠=︒-∠=︒， 60ACE ∴∠=︒，30ECM ∠=︒， 28BC AB ==，4CD ∴=，CN EN ==，EC ∴=EM =， BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆∴=+-11182224ABCD S =⨯⨯⨯⨯平行四边形==故答案为．6．（2019春•杨浦区期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 ． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB AE =；分两种情况：①当2AE =，4DE =时；②当4AE =，2DE =时；即可求出平行四边形ABCD 的周长． 【解答】解：如图所示：①当2AE =，4DE =时， 四边形ABCD 是平行四边形， 6BC AD ∴==，AB CD =，//AD BC ， AEB CBE ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，2AB AE ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长2()16AB AD =+=；②当4AE =，2DE =时， 同理得：4AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()20AB AD =+=；故答案为：16或20．7．（2019春•金山区期末）已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆． AE CF ∴=．8．（2019春•杨浦区期中）在平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，BD AD ⊥，2BD =． （1）求平行四边形ABCD 的周长和面积； （2）求A 、C 两点间的距离．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出2AD BD ==，由勾股定理求出AB =行四边形的性质得出DC AB ==，2BC AD ==，即可得出平行四边形的周长和面积； （2）连接AC ，与BD 相交于点O ，由平行四边形的性质得出112OD BD ==，2AC AO =，由勾股定理求出OA ，得出AC =【解答】（1）解：90BD AD ADB ⊥∴∠=︒ 又45452A ABD AD BD ∠=︒∴∠=︒∴==，AB ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴==2BC AD ==，∴()22224ABCD C AB AD =+==平行四边形，224ABCD S AD BD ∴=⨯=⨯=平行四边形；（2）解：连接AC ，与BD 相交于点O ，如图所示：四边形ABCD 是平行四边形， ∴112OD BD ==，2AC AO =， 在Rt AOD ∆中，90ADO ∠=︒，∴OA∴AC =所以A 、C 两点间的距离为．9．（2018秋•黄浦区校级月考）已知：如图，在ABCD 中，4AC =，6BD =，CA AB ⊥，求ABCD 的周长和面积．【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【解答】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥，Rt AOB ∴∆中，AB ==Rt ABC ∴∆中，BC ，ABCD ∴的周长==，ABCD 的面积4AB AC =⨯=．10．（2018春•金山区期中）已知，如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 边上一点，F 为AB 边上一点，且CD BF =，以AD 为边作等边ADE ∆，联结EF 、FC ．求证： （1）ADC CFB ∆≅∆；（2）四边形EFCD 是平行四边形．【分析】（1）ACD ∆和CBF ∆中，已知的条件有：AC BC =，CD BF =，60ACD CBF ∠=∠=︒；根据SAS 即可判定两个三角形全等．（2）由（1）的全等三角形知：AD CF =，即DE CF AD ==；因此只需判断DE 与CF 是否平行即可，由（1）的全等三角形，可得DAC BCF ∠=∠，而60BCF ACG ∠+∠=︒，即60CAD ACG ∠+∠=︒；根据三角形外角的性质，可得60AGF CGD ∠=︒=∠，由此可判定//DE FC ，即可得出四边形CDEF 的形状． 【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形， AC BC ∴=， 60ACD B ∠=∠=︒，CD BF =，()ACD CBF SAS ∴∆≅∆；（2）四边形CDEF 为平行四边形； ACD CBF ∆≅∆；DAC BCF ∴∠=∠，CF AD =；AED ∆是等边三角形； AD DE ∴=；CF DE ∴=①；60ACG BCF ∠+∠=︒； 60ACG DAC ∴∠+∠=︒；180()120AGC ACG DAC ∴∠=︒-∠+∠=︒； 120DGF AGC ∴∠=∠=︒；AED ∆是等边三角形；60ADE ∴∠=︒；180DGF ADE ∴∠+∠=︒；//CF DE ∴②；综合①②可得四边形CDEF 是平行四边形．11．（2018春•浦东新区期中）如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =． 求证：（1）BE DF =； （2）//BE DF【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可； （2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可． 【解答】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=，//AD BC ， DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠， AE CF =， AF EC ∴=，在FAD ∆和ECB ∆中， AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()FAD ECB SAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）FAD ECB ∆≅∆，F E ∴∠=∠，//BE DF ∴．12．（2018春•浦东新区期中）在平行四边形ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE ∆和等边BCF ∆，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】由题意先证60DAE BCF ∠=∠=︒，再由SAS 证DCF BAE ∆≅∆，继而题目得证． 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， CD AB ∴=，AD CB =，DAB BCD ∠=∠．又ADE ∆和CBF ∆都是等边三角形，DE BF ∴=，AE CF =．60DAE BCF ∠=∠=︒． DCF BCD BCF ∠=∠-∠，BAE DAB DAE ∠=∠-∠，DCF BAE ∴∠=∠．()DCF BAE SAS ∴∆≅∆．DF BE ∴=．∴四边形BEDF 是平行四边形．13.（2017•上海）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A ．BAC DCA ∠=∠B ．BAC DAC ∠=∠C ．BAC ABD ∠=∠ D ．BAC ADB ∠=∠【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、BAC DCA ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；B 、BAC DAC ∠=∠，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C 、BAC ABD ∠=∠，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；D 、BAC ADB ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；故选：C ．14．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，90BAD ∠=︒，BO DO =，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．90BCD ∠=︒C ．AB CD =D ．//AB CD【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分。
四边形的存在性.doc
中考数学压轴题全面突破之五.四边形的存在性题型特点四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等.解题思路%1寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；%1转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；%1借助儿何特征建等式.难点拆解%1平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解.%1菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理.%1等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解.%1直角梯形存在性关键是利用好直角.1.(2012湖北孝感)如图，抛物线错误！未找到引用源。
(。
乂0)与x轴交于点』(-1, 0), B0,0),与)，轴交于点。
(0, 3).(1)求抛物线的解析式及顶点〃的坐标.(2)P为线段必上的一个动点，过点尹作刃吐工轴于点M求四边形0所。
面积的最大值和此时点P的坐标.(3)点。
是抛物线在第一象限上的一个动点，过点。
作QV〃/交］轴于点N.当点。
的坐标为时，四边形QMC是平行四边形；当点。
的坐标为时，四边形。
俱。
是等腰梯形.2.（2012黑龙江牡丹江）如图，（M,游的长分别是关于工的方程A12X+32=0的两根，且以〉阳.请解答下列问题：（1）求直线的解析式.（2）若P为成上一点，且错误！未找到引用源。
，求过点户的反比例函数的解析式.（3）在坐标平面内是否存在点。
，使得以爪P, 0,。
为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点。
的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2012湖北褰阳)如图，在矩形中，AO 10, AB 8,沿直线切折叠矩形A4必的一•边例；使点〃落在04边上的点8、处.分别以OC,以所在的直线为x 轴，)，轴建立平面直角坐标系，抛物线错误！未找到引用源。
中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练 --答案版
中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练评卷人得分一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．求S关于m的函数表达式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为F，对称轴为直线l，当S最大时，在直线l上，是否存在点M，使以M、Q、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO 时，求Q点的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．5．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．6．如图，对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△P AO＝2S△PCO，求出P点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P （m，n）是线段AB上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．10．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m、n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B 两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．（1）试判断点C与⊙D的位置关系；（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．16．如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0）．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△P AB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x＝﹣1，且与x轴交于E点．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图2，连接AD，设点P是线段AD上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点G，交x轴于点H，连接AG、GD，当△ADG的面积为1时，①求点P的坐标；②连接PC、PE，探究PC、PE的数量关系和位置关系，并说明理由（3）设M为抛物线上一动点，N为抛物线的对称轴上一动点，Q为x轴上一动点，当以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）如图1，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC 于点E．当线段PE长取得最大值时，在直线AC上找一点Q，使得△PQD周长最小，求出这个最小周长；（2）把抛物线沿直线AC平移，抛物线上两点A、D平移后的对应点分别是A′、D′，在平面内是否存在一点M，使得以点A′、D′、M、B为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．20．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点B坐标；（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．21．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m的值．②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N．（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P 在何位置时，线段PQ的长度有最大值？（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知平面直角坐标系xOy（如图1，一次函数y＝x+3的图象与y轴交于点A，点M 在正比例函数y＝x的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y＝x+3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．26．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在直线AB上，当P，Q关于原点O成中心对称时，求点Q 的坐标；（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．29．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求B、D两点的坐标；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．30．如图，已知直线y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．31．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，点D是第一象限内抛物线上一动点，过点D作DG⊥BC于点G，求DG的最大值；（3）抛物线上有一点E，横坐标为，点P是抛物线对称轴上一点，试探究：在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B （4，0），与y轴交于点C，C点的坐标为（0，﹣2），连接BC，以BC为边，点O为对称中心作菱形BDEC．点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x 轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在一点P，使三角形PBC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣3交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A，点C重合），过点P作PD⊥x 轴交AC于点D，求PD的最大值；（3）将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B′，点O平移后的对应点为点O′，点C平移后的对应点为点C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S的坐标．35．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧）与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）已知点M在抛物线上，点N在该抛物线的对称轴上，①当∠ACM＝90°时，求点M的坐标；②是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．（1）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结P A，PB．求△P AB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．37．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．38．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．39．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x的另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝x+与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断△AA′B的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．41．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF ＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．42．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足P A+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）43．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．44．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．45．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A （﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．46．综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．48．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．49．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．50．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可得出答案；（2）求出C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，由待定系数法求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，由二次函数的性质得出当m＝2时，△BCD的面积最大，﹣m2+m+6＝6，即可得出答案；（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：设直线BC的解析式为y＝kx+c，把B（4，0），C（0，6）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，∵﹣＜0，∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，∵1＜m＜4，此时点D的坐标为（2，6）；（3）存在，理由如下：（3）分情况讨论：①当BD是平行四边形的一条边时，如图2所示：M、N分别有三个点，设点N（n，﹣n2+n+6），∵D（2，6），∴点N的纵坐标为绝对值为6，即|﹣n2+n+6|＝6，解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+，1﹣，∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；即点M的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），∴N与C重合，BM＝CD＝2，∴M（4+2，0），即M（6，0）；综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．【点评】本题是二次函数综合问题，涉及到一次函数、平行四边形性质、坐标与图形性质、待定系数法、面积计算等知识；本题综合性强，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．2．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．。
中考压轴题动态几何之动点形成的四边形存在性
中考压轴题动态几何之动点形成的四边形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动态几何之动点形成的四边形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，动态几何之动点形成的四边形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA= °；（2）求抛物线的函数表达式；（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】（1）90；（2）21584y x x=-+；（3）16．【解析】试题解析：（1）∵OA 是⊙O 的直径，∴∠OBA=90°，故答案为：90；（2）连接OC ，如图1所示，∵由（1）知OB ⊥AC ，又AB=BC ，∴OB 是AC 的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt △OCD 中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C （6，8），B （8，4），∴OB 所在直线的函数关系为12y x =，又∵E 点的横坐标为6，∴E 点纵坐标为3，即E （6，3），抛物线过O （0，0），E （6，3），A （10，0），∴设此抛物线的函数关系式为(10)y ax x =-，把E 点坐标代入得：3=6a （6﹣10），解得18a =-．∴此抛物线的函数关系式为1(10)8y x x =--，即21584y x x =-+； （3）设点P （p ，21584p p -+），①若点P 在CD 的左侧，延长OP 交CD 于Q ，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：15()84y p x =-+，∴当x=6时，y=31542p -+，即Q 点纵坐标为31542p -+，∴QE=315342p -+-=3942p -+， S 四边形POAE=S △OAE+S △OPE=S △OAE+S △OQE ﹣S △PQE=12•OA•DE+12QE•OD ﹣12•QE•Px=12×10×3+12×（3942p-+）×6﹣12•（3942p-+）•（6﹣p）=2391584p p-++；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，P（p，21584p p-+），A（10，0），∴设AP所在直线方程为：y kx b=+，把P和A坐标代入得，21001584k bpk b p p+=⎧⎪⎨+=-+⎪⎩，解得：1854k pb p⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AP所在直线方程为：1584y px p=-+，∴当x=6时，15684y p p=-⨯+=12p，即Q点纵坐标为12p，∴QE=132p-，∴S四边形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE﹣S△PQE=12•OA•DE+12•QE•DA﹣12•QE•（Px﹣6）=12×10×3+12•QE•（DA﹣Px+6）=15+12•（12p﹣3）•（10﹣p）=2144p p-+=21(8)164p--+，∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令239151684p p-++=，解得，p=573±，∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．学。
二次函数中考精品压轴题(四边形的存在性问题)解析精选
二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。
∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。
∴C 点的坐标为（0，3）。
设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。
∴直线AC 的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q 。
如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。
（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。
过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。
中考数学二次函数复习类型五特殊四边形存在性问题课件
类型五 特殊四边形存在性问题
(3)存在．
①当点 P 在 x 轴上方时，要使以 A、C、P、N 为顶点的四边形为平行四
边形，如解图，过点 C 作 CP1∥x 轴，交对称轴于点 P1，对称轴与 x 轴交
于点 D，
∵点 P1 在对称轴直线 x＝－3 上，点 C 的坐标为(0，5)，
∴点 P1(－3，5)，
由勾股定理得 OG2＝OD2＋DG2＝9＋g2，AG2＝AD2＋GD2＝4＋g2，
∵GK∥AO，
①当 OG＝AO＝5，且 GK＝AO 时，四边形 OGKA 是菱形，
此时有 9＋g2＝25，
解得 g1＝4，g2＝－4， ∴点 G 的坐标为(－3，4)或(－3，－4)，
则相对应的点 K 的坐标为(－8，4)或(－8，－4)；
解得 g1＝6，g2＝－1， 此时点 G 的坐标为(－3，6)或(－3，－1)；
例题图⑦
综上所述，存在满足题意的点 G，点 G 的坐标为(－3，8)或(－3，－2)或
(－3，6)或(－3，－1)；
类型五 特殊四边形存在性问题 (8)设 P 是抛物线上一点，Q 是 x 轴上一点，R 为坐标平面内一点，若以 A、 P、Q、R 为顶点的四边形是正方形，求出点 Q 的坐标．
∴x1＝0，x2＝－6， ∴CP1＝AN1＝6， ∴ON1＝6＋5＝11， 此时 N1(－11，0)． 若点 P 在 x 轴下方，不存在；
例题解图
类型五 特殊四边形存在性问题
②当 AC 为平行四边形的对角线时，如解图，
满足 AN2＝P2C＝6，
∴ON2＝6－5＝1，
此时 N2(1，0)．
例题解图
综上所述，存在满足题意的点 N，点 N 的坐标为(－11，0)或(1，0)；
中考数学二轮复习压轴专题：四边形
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学二轮复习压轴专题《四边形》1．【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM ＝∠FEM．（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF 交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE．（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°．【习题变式】解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点，∴MF∥BP，，∴∠MFE＝∠BPE．∵E，M分别是AB，BD的中点，∴ME∥AN，，∴∠MEF＝∠ANE．∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠EFM＝∠FEM，∴∠ANE＝∠BPE．（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH．∵H，F分别是BD和AD的中点，∴HF∥BG，，∴∠HFE＝∠FGA．∵H，E分别是BD，BC的中点，∴HE∥AC，，∴∠HEF＝∠EFC＝60°．∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HFE＝∠EFC＝60°，∴∠A GF＝60°，∵∠AFG＝∠EFC＝60°，∴△AFG为等边三角形．∴AF＝GF，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝60°+30°＝90°．2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．3．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）BE和DG的数量关系是BE＝DG，BE和DG的位置关系是BE⊥DG；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE ＝CE +OC ＝2+3＝5，在Rt △BOE 中，由勾股定理得：DG ＝BE ＝＝；综上所述，若A 、C 、E 三点共线，DG 的长为或．4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点D 从点C 出发，沿CA 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时，动点E 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm /s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点D ，E 运动的时间是t （s ）（0＜t ＜5）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）t 为何值时，DE ⊥AC ？（2）设四边形AEFC 的面积为S ，试求出S 与t 之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得S 四边形AEFC ：S △ABC ＝17：24，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）当t 为何值时，∠ADE ＝45°？解：（1）∵∠B ＝90o ，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ， ∴AC ＝＝＝10（cm ），若DE ⊥AC ，∴∠EDA ＝90°， ∴∠EDA ＝∠B ， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴＝，即：＝，∴t ＝，∴当t ＝s 时，DE ⊥AC ；（2）∵DF ⊥BC ， ∴∠DFC ＝90°， ∴∠DFC ＝∠B ， ∵∠C ＝∠C ， ∴△CDF ∽△CAB ， ∴＝，即＝，∴CF ＝， ∴BF ＝8﹣，BE ＝AB ﹣AE ＝6﹣t ，∴S ＝S △ABC ﹣S △BEF ＝×AB •BC ﹣×BF •BE ＝×6×8﹣×（8﹣t ）×（6﹣t ）＝﹣t 2+t ；（3）若存在某一时刻t ，使得S 四边形AEFC ：S △ABC ＝17：24， 根据题意得：﹣t 2+t ＝××6×8，解得：t 1＝，t 2＝（不合题意舍去），∴当t ＝s 时，S 四边形AEFC ：S △ABC ＝17：24； （4）过点E 作EM ⊥AC 与点M ，如图所示： 则∠EMA ＝∠B ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△AEM ∽△ACB ，∴＝＝，即＝＝，∴EM＝t，AM＝t，∴DM＝10﹣2t﹣t＝10﹣t，在Rt△DEM中，当DM＝ME时，∠ADE＝45°，∴10﹣t＝t，∴t＝∴当t＝s时，∠ADE＝45°．5．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB 的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为150 度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC ＝45°，求BD的长．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：以BP为边构造等边△BPM，连接CM，如图（3）所示：∵△ABC与△BPM都是等边三角形，∴AB＝BC，BP＝BM＝PM，∠ABC＝∠PBM＝∠BMP＝60°，∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBM﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBM，在△ABP和△CBM中，，∴△ABP≌△CBM（SAS），∴AP＝CM，∠APB＝∠CMB，∵PA：PB：PC＝3：4：5，∴CM：PM：PC＝3：4：5，∴PC2＝CM2+PM2，∴△CMP是直角三角形，∴∠PMC＝90°，∴∠CMB＝∠BMP+∠PMC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝150°，故答案为：150；（3）解：过点A作EA⊥AD，且AE＝AD，连接CE，DE，如图（4）所示：则△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，∴DE＝AD＝4，∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°+45°＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝．6．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO ＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）请回答：∠ADB＝75 °，AB＝3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB ＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案为75，3．（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（负根已经舍弃）．7．正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、BC边上（不与点A、B重合）．（1）如图1，连接CE，作DM⊥CE，交CB于点M．若BE＝3，则DM＝ 5 ；（2）如图2，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；再将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…，①如图3，线段EF经过两次操作后拼得△EFD，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：AE＝CF；②若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH，（3）请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；（4）以1中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCM＝90°，∵BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∵DM⊥EC，∴∠DMC+∠MCE＝90°，∠MCE+∠CEB＝90°，∴∠DMC＝∠CEB，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDM（AAS），∴DM＝EC＝5．故答案为5．（2）如题图3，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．故答案为等边三角形．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH 是菱形， 由△EGM ≌△FHN ，可知EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 的形状为正方形． ∴∠HEF ＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝∠4． 在△AEH 与△BFE 中，，∴△AEH ≌△BFE （ASA ） ∴AE ＝BF ．故答案为正方形，AE ＝BF ．（4）利用①中结论，易证△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 均为全等三角形， ∴BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝x ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ＝4﹣x ．∴y ＝S 正方形ABCD ﹣4S △AEH ＝4×4﹣4×x （4﹣x ）＝2x 2﹣8x +16． ∴y ＝2x 2﹣8x +16（0＜x ＜4） ∵y ＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，∴当x ＝2时，y 取得最小值8；当x ＝0时，y ＝16， ∴y 的取值范围为：8≤y ＜16．8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点B 的坐标是（6，4）．（1）直接写出A 点坐标（ 6 ， 0 ），C 点坐标（ 0 ， 4 ）；（2）如图2，D 为OC 中点．连接BD ，AD ，如果在第二象限内有一点P （m ，1），且四边形OADP 的面积是△ABC 面积的2倍，求满足条件的点P 的坐标；（3）如图3，动点M 从点C 出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB 运动，同时动点N 从点A 出发．以每秒2个单位的速度沿线段AO 运动，当N 到达O 点时，M ，N 同时停止运动，运动时间是t 秒（t ＞0），在M ，N 运动过程中．当MN ＝5时，直接写出时间t 的值． 解：（1）∵四边形OABC 是长方形， ∴AB ∥OC ，BC ∥OA ， ∵B （6，4），∴A （6，0），C （0，4）， 故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，A （6，0），C （0，4）， ∴OA ＝6，OC ＝4， ∵四边形OABC 是长方形， ∴S 长方形OABC ＝OA •OC ＝6×4＝24， 连接AC ，∵AC 是长方形OABC 的对角线， ∴S △OAC ＝S △ABC ＝S 长方形OABC ＝12， ∵点D 是OC 的中点， ∴S △OAD ＝S △OAC ＝6，∵四边形OADP 的面积是△ABC 面积的2倍， ∴S 四边形OADP ＝2S △ABC ＝24，∵S 四边形OADP ＝S △OAD +S △ODP ＝6+S △ODP ＝24， ∴S △ODP ＝18，∵点D 是OC 的中点，且OC ＝4， ∴OD ＝OC ＝2， ∵P （m ，1），∴S＝OD•|m|＝×2|m|＝18，△ODP∴m＝18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m＝﹣18，∴P（﹣18，1）；（3）如图3，由（2）知，OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝6，由运动知，CM＝t，AN＝2t，∴ON＝OA﹣AN＝6﹣2t，过点M作MH⊥OA于H，∴∠OHM＝90°＝∠AOC＝∠OCB，∴四边形OCMH是长方形，∴MH＝OC＝4，OH＝CM＝t，∴HN＝|ON﹣CM|＝6﹣2t﹣t|＝|6﹣3t|，在Rt△MHN中，MN＝5，根据勾股定理得，HN2＝MN2﹣MH2，∴|6﹣3t|2＝52﹣42＝9，∴t＝1或t＝3，即：t的值为1或3．9．综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB ＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数．请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程．类比探究（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，，求∠APB的度数．拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点O，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，则△AOC的面积是．解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二、同思路一的方法．（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝3，∴AP2+P'P2＝9+2＝11，又∵，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．（3）如图，将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接OE．则△BAO≌△BCE，∠AOB＝∠BEC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵△BOE是等边三角形，∴∠BEO＝∠BOE＝60°，∴∠OEC＝90°，∠OEC＝120°﹣60°＝60°，∴sin60°＝＝，设EC＝k，OC＝2k，则OA＝EC＝k，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，∴3k2+4k2＝7，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴OA＝，OC＝2，＝•OA•OC＝××2＝．∴S△AOC故答案为．10．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形AB CD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CFM＝＝＝．11．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是1＜AD＜7 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．解：（1）延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE，如图①所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△A DC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB＝6，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）①延长ED到点N，使ED＝DN，连接CN、FN，如图②所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△NDC和△EDB中，中，，∴△NDC≌△EDB（SAS），∴BE＝CN＝4，∵DF⊥DE，ED＝DN，∴EF＝FN，在△CFN中，CN﹣CF＜FN＜CN+CF，∴4﹣2＜FN＜4+2，即2＜FN＜6，∴2＜EF＜6；②CE⊥ED；理由如下：延长CE与DA的延长线交于点G，如图③所示：∵点E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，∴DG∥BC，∴∠GAE＝∠CBE，在△GAE和△CBE中，，∴△GAE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，AG＝BC，∵BC＝CF，DF＝AD，∴CF+DF＝BC+AD＝AG+AD，即：CD＝GD，∵GE＝CE，12．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．解：（1）AF＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠FAO＝∠ECO，∴在△AFO与△CEO中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），（2）BF＝DF；理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝1，∴AB＝AO，又∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∵α＝45°，∠AOF＝45°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOF＝45°+45°＝90°，∴EF⊥BD，∵BO＝DO，∴BF＝DF；（3）∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠AOF＝α＝90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB＝EF＝1，由（1）得：△AFO≌△CEO，∴OF＝OE＝EF＝，由（2）得：AO＝1，∵AB∥EF，AO⊥EF，∴S△BOF ＝S△AOF＝AO•OF＝×1×＝．13．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为90°；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为35 ．解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．故答案为：90°，AE＝BE+2CM；（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案为：35．14．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．（1）证明：如图1中，∵△OPD和△PQE是等边三角形，∴PO＝PD，PQ＝PE，∠OPD＝∠QPE＝60°，∴∠OPQ＝∠DPE，∴△OPQ≌△DPE（SAS），∴DE＝OQ．（2）①∵△OPQ≌△DPE，∴∠EDP＝∠POQ＝90°，∵∠DOP＝∠ODP＝60°∴∠FDO＝∠FDO＝30°，∴∠EFC＝∠FOC+∠FDO＝60°．②如图2中，当点Q与点C重合时，以PQ为边作正三角形PQM．∵∠EFC＝60°为定值，点E的运动路径为线段DM，过点P作PH⊥EA，垂足为H，∴当AE⊥DE时，AE的值最小∵∠PDE＝∠DEH＝∠PHE＝90°，∴四边形PDEH是矩形，∴∠DPH＝90°，EH＝PD＝2，∴EH＝DP＝2，在△PHA中，∠AHP＝90°，∠HPA＝30°∴AH＝PA＝3，∴AE＝EH+AH＝2+3＝5．15．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．。