解析函数的孤立奇点

..解析函数的孤立奇点
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第五章
教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；
2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；
3、归纳奇点的所有情况；
4、充分理解关于本性奇点的两大定理。

教学重点：孤立奇点的三种类型
教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。

教学过程：
1、解析函数的孤立奇点：
设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。

在D 内，f (z )有洛朗展式
,)()(0∑+∞
-∞
=-=
n n n
z z z f α
其中
,...)2,1,0(,)()
(211
0±±=-=
⎰+ρζζζπαC n n n d z f i
ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。

,)(0
0∑+∞
-=-n n
n z z α为f(z)的正则部分， ,)(1
0∑+∞
=---n n n
z z α
为f(z)的主要部分。

例如，0是z e z
z z z 1
2,sin ,sin 的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f (z )，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：
2、可去奇点 如果当时n =-1,-2,-3,…，0=n α，那么我们说0z 是f (z )的可去奇
点，或者说f (z )在
0z 有可去奇点。

这是因为令0
)(α=z f ，就得到在整个圆盘
R z z <-||0内的解析函数f (z )。

例如，0分别是z e z
z z z 1
2,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。

定理5.3函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0
z 是f (z )的可去奇
点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim 0
α=→z f z z ，其中0α是一个复数。

证明：（必要性）。

由假设，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗级数展式：
...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在R z z <-||0内解析，于是显然存在着0)(lim 0
α=→z f z z 。

（充分性）。

设在R z z <-<||00内，f (z )的洛朗级数展式是
,)()(0∑+∞
-∞
=-=
n n n
z z z f α
由假设，存在着两个正数M 及)(0R ≤ρ，使得在00||0ρ<-<z z 内，
,|)(|M z f <
那么取ρ，使得00ρρ<<，我们有
,...)2,1,0(221||1±±==≤
+n M
M n n n ρ
ρπρπα 当n =-1,-2,-3,…时，在上式中令ρ趋近于0，就得到,...)3,2,1(0---==n n α。

于是
0z 是f (z )的可去奇点。

推论5.3设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数)(0R ≤ρ，使得f (z )在00||0ρ<-<z z 内有界。

3.席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数)(z f 在单位圆1<z 内解析，并且满足条件
)1(,1)(,0)0(<≤=z z f f 则在单位圆1<z 内恒有
1)0()(≤'≤f z z f 且有
如果上述等式成立或在圆1<z 内一点00≠z 出前一式等号成立则
当且仅当
)1(,)(<=z z e z f i α
4.极点 下面研究极点的特征。

如果只有有限个（至少一个）整数n ，使得0≠n α，那么我们说0z 是
f (z )的极点。

设对于正整数m ，0
≠-m α，而当n<-m 时，0=n α，那么我
们
0z 是f (z )的m 阶极点。

按照m=1或m>1，我们也称0z 是f (z )的单极点或m
重极点。

设函数f (z )在R z z <-<||00内解析，0z 是f (z )的)1(≥m 阶极点，那么在
R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：
...
)(...)(...)()()(0010011
010+-++-++-+
+-+
-=
--+--n n m m m
m z z z z z z z z z z z f αααααα
在这里0≠-m α。

于是在R z z <-<||00内
...
)(...)(...)()()(001001
1
01
0+-++-++-+
+-+
-=
--+--n n m m m
m
z z z z z z z z z z z f αααααα
在这里)(z ϕ是一个在R z z <-||0内解析的函数，并且0)(0≠z ϕ。

反之，如果函数f (z )在R z z <-<||00内可以表示成为上面的形状，而)(z ϕ是一个在R z z <-||0内解析的函数，并且0)(0≠z ϕ，那么可以推出0z 是f (z )的m 阶极点。

定理5.4设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是f (z )的极点的
必要与充分条件是：∞=→)(lim 0
z f z z 。

证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。

在定理的假设下，存在着某个正数
)(0R ≤ρ，使得在00||0ρ<-<z z 内，0)(≠z f ，于是)
(1
)(z f z F =
在0
0||0ρ<-<z z 内解析，不等于零，而且0)
(1
lim
)(lim 0
==→→z f z F z z z z 。

因此0z 是F (z )的一个可去奇点，从而在00||0ρ<-<z z 内，有洛朗级数展式：
...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z F βββ
我们有0)(lim 0
0==→z F z z β。

由于在00||0ρ<-<z z 内，0)(≠z F ，由定理5.1，可以
设0,0...110≠====-m m ββββ。

由此得)()()(0z z z z F m Φ-=，其中)(z Φ在
00||ρ<-z z 内解析，并且不等于零)0)((0≠=Φm z β。

于是在00||0ρ<-<z z 内，
)()
(1
)(0z z z z f m
ϕ-=
， 在这里，
)
(1)(z z Φ=
ϕ在00||ρ<-z z 内解析，)0)()((10≠==--m m z βαϕ。

因此0z 是
f (z )的m 阶极点。

推论5.4设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是f (z )的m 阶
极点的必要与充分条件是：m m z z z f z z -→=-α)()(lim 00
，在这里m 是一个正整数，
m -α是一个不等于0的复数。

5.本性奇点
关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论： 如果有无限个整数n<0，使得0≠n
α
，那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。

定理5.6函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是f (z )的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限)(lim 0
z f z z →。

例0是函数z e 1
的本性奇点，不难看出z
z e 10
lim →不存在。

解：当z 沿正实轴趋近于0时，z
e 1趋近于∞+；
当z 沿负实轴趋近于0时，z
e 1趋近于0； 当z 沿虚轴趋近于0时，z
e 1
没有极限。

6.毕卡（Picard ）定理
定理5.7如果a 为f(z)的本性奇点，则对于任何常熟A 不管它是有限数还是无限数，都有一个收敛于a 的点列
{}n z ，使得
A z f a
z n =→)(lim {证略}。