复变函数-孤立奇点及分类PPT
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复变函数-孤立奇点及分类市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
4、函数在无穷远点性态
在扩充的复平面上，如果函数 f (z) 在 z 的
去心邻域 R | z | 内解析（R 0）, 则称点
为 f (z) 的孤立奇点
定义 如果t 0是f (1)的可去奇点，m阶极点或本性奇点，
t 则称z 为f (z)的可去奇点，m阶极点或本性奇点
例 函数 1 2z 3z2 4z3 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
sin z
(ez
z
1)
由于 sin z z
zk
0且
sin z
z
在zk解析，
而(ez 1) zk 0, (ez 1) zk ezk 0
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于是 zk 2ki (k 1,2,...)是ez 1的一级零点。
因此是f (z)的一级极点。
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所以，z 1为f (z)的一级零点。
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（v)
z0为f
( z )的m级极点
z0为
f
1 的m级零点； (z)
(vi)
若f
(z)
P(z) , Q(z)
P(z0 )
0且P ( z )在z0点解析，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为 f (z)的m级极点。
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第五章 留数及其应用
• 孤立奇点概念 • 留数定义、计算、留数定理 • 留数定理应用（积分计算）
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5.1 孤立奇点分类
1、孤立奇点定义
若f (z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域内解析
复变函数4 - 4 孤立奇点
过所有的奇点画圆，展开区域为相邻 两个圆之间的圆环；
在每一个圆环内展开式都不一样；
一种极端情形：r=0，并且，z0 为函 数 f 的奇点
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
解析，在 z0 处不解析，则称 z0 为 f 的孤
立奇点。
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
例4：求零点和极点
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
分析与解：展开知 sin z 有一阶零点 k，
cos z 有一阶零点 k+/2，并且都没有其
他零点。
例4：求零点和极点
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
洛必达法则
设函数 f 和 g 解析，且 f (z0)=g(z0)=0。则
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
证明：设 f ( z ) cm ( z z0 ) ...， cm 0 n g ( z ) d n ( z z0 ) ...， d n 0
类似地， z=0 为 g 的可去奇点。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
去奇点，只需要在 z0 补充定义
f ( z0 ) lim f ( z )
z z0
则 f (z) 成为解析函数。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
在每一个圆环内展开式都不一样；
一种极端情形：r=0，并且，z0 为函 数 f 的奇点
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
解析，在 z0 处不解析，则称 z0 为 f 的孤
立奇点。
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
例4：求零点和极点
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
分析与解：展开知 sin z 有一阶零点 k，
cos z 有一阶零点 k+/2，并且都没有其
他零点。
例4：求零点和极点
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
洛必达法则
设函数 f 和 g 解析，且 f (z0)=g(z0)=0。则
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
证明：设 f ( z ) cm ( z z0 ) ...， cm 0 n g ( z ) d n ( z z0 ) ...， d n 0
类似地， z=0 为 g 的可去奇点。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
去奇点，只需要在 z0 补充定义
f ( z0 ) lim f ( z )
z z0
则 f (z) 成为解析函数。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
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《复变函数》(第四版) 第五章
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定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
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《复变函数》(第四版) 第五章
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§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
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《复变函数》(第四版) 第五章
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∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
复习课件复变函数第16讲.ppt
ez :
z 0是它的1级极点或者称为单极点.
z
e z
1
zn 1 1
z zn-1 .
z z n0 n! z
2!
n!
1 的极点是z 0和z 1. z2 (z - 1)
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5
2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,
则z0称为f (z)的本性奇点.
特点?
1
e z : z 0是它的本性奇点.
2 r Mr n ,
由于r为任意小的正数，故c-n 0.证毕.
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8
性质2（m级极点的特征）
若 z0 为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价 ：
(i) f (z)在点z0的主要部分为
c- m (z - z0 )m
c-1 z - z0
(
c- m
0, m
1).
去心 邻域
h( z ) (ii) f (z) (z - z0 )m
)(z
-
z0
)
h ''( z0 2!
)
(z
-
z0
)2
则
f
(z)
h(z0 ) (z - z0 )m
h'(z0 ) (z - z0 )m-1
h(m)(z0 ) m!
例如：
z2 2 f (z) (z2 1)(z - 1)4
z 1为f (z)的一个4级极点，z i 为f (z)的单极点.
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(z z0 ),
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性质6 （极点的运算性质）
若z0分别是f (z)和g(z)的 m级和n级零点，则
(1) z0是f (z) g(z)的 m n级零点；
复变函数与积分变换孤立奇点
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
孤立奇点分类
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称
孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d
1 定理：z0是f ( z )的m级极点 z0是 的m级零点 f ( z)
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
例 1 函数1 sin z 有什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解： 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.故奇点是 z=k(k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k= cos z|z=k= (1)k 0, 所以 z=k是 sin z 的一级零点, 也就是 1/sin z 的一级极点.
且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知
lim f ( z ) .
z z0
1 g ( z) z0为f ( z )的m级极点 f ( z ) m ( z - z0 )
Complex Analysis and Integral Transform
sin z 例如 z 0是 的可去奇点。因为函数在z 0 z 的去心邻域内的洛朗级数 sin z 1 1 3 1 5 1 2 1 4 (z z z ) 1 z z z z 3! 5! 3! 5! sin z 中不含负幂项.如果定义 在 z 0的值为1, z sin z 则 在z 0点便为解析的了. z
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点
重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
复变函数讲解第一节孤立奇点
公式知: f( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m m)(!z0)c0 0.
充分性证明略 .
16
例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f(z)z31, (2) f(z)sizn .
解 (1)由于 f(1)3z2 30, z1 知 z1是 f (z) 的一阶零点 . (2)由于 f(0)cozz s010, 知 z0是 f (z) 的一阶零点.
f(z)Fc(0z,),zzz0z0
6
例1 函数 sin z 的孤立奇点 z0的类型 z
解：sizn11z21z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
故 z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
7
2) 极点
定义 如果洛朗级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 ) 那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
8
说明: 定义式可改写为：
其中，
f(z)(z1z0)mg(z)
g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 奇点并不一定都是孤立的。
例如:
z
0 不是奇点的分类
复变函数第五章5-1
sinh z 思考 z 0 是 3 的几级极点? z
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z ) 在无穷远点 z 的去心 邻域 R z 内解析, 则称点 为 f (z ) 的孤 y 立奇点. R o
x
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1 1 (t ), 令变换 t :则 f ( z ) f 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
课堂练习 求 f ( z ) z 5 ( z 2 1)2 的零点及级数 .
答案
z 0 是五级零点, z i 是二级零点.
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3.零点与极点的关系
定理
如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 那末 z0 就是 1 的 m 级零点. 反过来也成立. f (z) 如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 则有
3)含有无穷多的正幂项; 那末 z 是 f (z ) 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .
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z 在圆环域 1 z 例10 (1)函数 f ( z ) z 1
内的洛朗展开式为:
1 1 n 1 f (z) 1 2 ( 1) n 1 z z z 1 z 不含正幂项
特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g( z0 ) 0
(2) 如果 z0 为函数 f (z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) .
z z0
10
*2)极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
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(n1,2,......则 ) 称孤立 z0为 奇 f(z)点 的可去奇
例如：
由于 si1 zn z z2 1zz(4z ..z33.!..z5.！ 0 5 z... ....)
3! 5! 所 以z， 0是sinz的 可 去 奇 点 。
z
可去奇点的判别法： (i) 展开为洛朗级数； (ii) z 0 为 f ( z ) 的 可 去 奇 点 的 充 分 必 要 条 件 是
因 为 f(z)z12(zz22 !z33 !...)
z11 z ... 2! 3!
所以z， 系：
零点： 使解 f(z 析 )0 的 函 z0 称 点 数 f(z 为 )的零点 m 级零点： 若 f(z)可表 f(z) 示 (z z0 ) 为 m g (z), 其g 中 (z)在 z 0 点 ，解 g (z 0 析 ) 0 ,m 为 ，正 且整
第五章 留数及其应用
• 孤立奇点的概念 • 留数的定义、计算、留数定理 • 留数定理的应用（积分计算）
5.1 孤立奇点的分类
1、孤立奇点的定义
若 f ( z ) 在 z 0 点 不 解 析 ， 但 在 z 0 的 某 个 去 心 邻 域 内 解 析
则称 z0为f (z)的孤立奇点。 例如： z 0是sinz、e1z的孤立奇点。
则称 z0为f(z)的m级零点。
零点的判别： 若 z0 为 f(z)的解z 析 0 为 f(z) 点 的 m 级 ， 零 则
例如：
f(k )(z0 ) 0(k 0 ,1 ,.m . .1 )而f(m)(z0)0
f (z) z3 1, f(1 ) 0 ,f'(1 ) 3 z2|z 1 3 0
所 以 ， z 1 为 f( z ) 的 一 级 零 点 。
1
k
0
(当k时）
2、孤立奇点的分类
设z0是f (z)的孤立奇则 点，存 z0的 在 去心 0z 邻 z0域
f (z)在该邻域内解析。
于是 f(z)在0zz0 内可展开为洛朗级数
f(z) an(zz0)n an(zz0)n an(zz0)n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式(z中 z0不 )的含 负有 幂即 项 an ， 0,
2 ! 4 !
(2 n )!
z
于 1 z c 是 2z o 2 1 s ! z 4 2 ! .. ( . 1 )n 1( z 2 2 n n )2 !... 所以 z0为可去奇点。
（2）极点
若洛朗展开有 式限 中 (z 项 只 z0)的 含负 有幂项
则 称 z0为 f(z)的 极 点 。
显然，函数的奇点是
z 1 , zk 1 k 2(k 0 , 1 , 2 ...)
由
于 limtanz(1)lim sin z(1) 1 z1 z1 z 1 z1 cozs(1)
1
所以， z1为可去奇点。
又
s
inz(1) z1
zk0,
cosz(1) zk 0
[czo1 s)]z(ksizn 1 ()zk
（iv) z0为 f(z)的 m 阶 极 点 zl im z0(zz0)mf(z)cm ， 这 里 c-m0， m 为 正 整 数
例如：
f(z)(z2z1)(z21)2
z1为 f(z)的 二 级 z极 i是 f点 (z)的 ，一 级
注意判别条件
例如： f(z)ezz21 z 0不是f (z)的二级极点
sin(k
)
2
（1）k（1） k10
所zk以 是 coz s1()的一级 f(z零 )的点 一， 级
3、本性奇点
若 f(z)的洛朗展开 穷 式 多 (z中 项 z0)的 含负 有 则称z0为f (z)的本性奇点。
判别法：
(i) 把 f( z ) 展 开 为 洛 朗 级 数 ， 用 定 义 判 别 ；
若洛朗展开有 式限 中 (z 项 只 z0)的 含负 有幂项 且 其 中 关 于 (z-z 0 ) 1的 最 高 幂 为 (z z 0 ) m ， 这 里 m 是 正 整 数 ， 则称 z0为f(z)的m级极点。
例如：
因
为f
(z)
ez z2
z12
(1zz2 2!
...)
z2z11zz2... 2! 3! 4!
z
f(z) 1 (zi)(z1)
有两个孤立 z奇 i,z点 1
注 ： 当 z0 为 不 解 析 点 ， 又 是 一 系 列 奇 点 的 极 限 点 ， 则 z0 为 非 孤 立 奇 点 。
例
z0是函数 si1n1z的奇点，但不是点孤，立奇
因 为 z1(k 为 非 零 整 数 )都 是 它 的 奇 点 ， k
由 si于 z1 n 1 n 0 ( 1 )n (2 n 1 )( 1 z ! 1 )2 n 1 0z1 有无穷 z多 1的个 负幂项， 所以z， 1是f(z)的本性奇点。
limf(z)l(有 限 值 ） ，
z z0
例解 法z 一 0 由 是 于 1 lz im 0z c 1o 2 s zc2z o的 zs 什 lzim么 0 2类 sizn2型 2 2z的 12孤 立 奇 点 ？
所以 z0为可去奇点。
解 法 二 由 c于 o z 1 sz2z4 .. ( . 1 )nz2 n ...
所以z， 0是f(z)的二级极点。
极点的判别法： (i) 展开为洛朗级数，用定义判别；
（ii) z 0 为 f(z) 的 极 z l i z 0m f 点 (z)
(iii)
z0为 f(z)的 m级 极 点 f (z)
(z
h(z) z0)m
其 中 ， h ( z 0 ) 0 且 h ( z ) 在 z 0 解 析 ；
(ii) z0是 f(z)的本性 l奇 im f(点 z)不存在 ，
z z0
例如：
1
函数f(z)ez以z 0为本性奇点，因为
e1 z1z 11z2.. .1zn.中 .. 含有 z的无 负
2!
n !
例 讨 论 sin1的 孤 立 奇 点 及 类 型 。 z 1
解：（ 1） z1是sin 1 的孤立奇点。 z1
（v) z0为 f(z)的 m 级极 z点 0为 f1 (z)的 m 级零 (vi) 若 f(z)Q P((zz)),P(z0)0且 P(z)在 z0点解析 若 z0是 Q (z)的 m 级零点f， (z)的 m 则 级必 极为 点
例 试确定f函 (z)数 tan z(1) 的奇点类型
z1
解：由f于 (z)taz n 1 ) ( sizn 1 )( z 1 (z 1 )co z s 1 )(