复变函数5-1孤立奇点
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点
复变函数有许多性质，其中一些比实变函数更加有趣，例如，复变函数的孤立奇点。
在数学中，孤立奇点是复数平面上某个点处的奇点，该点周围的一个充分小的半径范围内函数无定义。
孤立奇点可以被分类为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
这些类型的定义如下：
1.可去奇点：如果一个函数在这个点处的极限是有限的，则该奇点为可去奇点。
孤立奇点的性质不止是一般奇点的性质。
对于孤立奇点，我们可以将整个函数拆分为主函数和解析部分。
主函数在孤立奇点处没有定义，而解析部分可以使用洛朗级数展开式表示。
这种展开式是一种类型的级数，可以帮助我们更好地理解和研究复变函数的行为。
当我们通过洛朗级数展开来研究孤立奇点时，我们发现级数中的常数项是解析部分。
这个解析部分没有奇点，可以扩展到整个复平面上，那么它就是整个函数的主函数。
这种展开式在很多数学和工程应用中都有很好的应用，例如电子电路和信号处理。
对孤立奇点的研究在数学和应用领域都有重要意义。
在数学研究中，这些奇点是理解多复变数函数的关键。
在物理学研究中，例如在量子力学中，对解析函数的研究也是重要的。
而在工程中，对展开式的应用则是帮助我们计算信号的傅立叶变换或者在电子电路中分析振荡器和滤波器的行为。
总结来说，复变函数中的孤立奇点是复杂数学的一个亮点。
它们有着很多有趣的性质和应用，对于研究多元函数和应用技术都有重要的意义。
因此，深入研究复变函数的孤立奇点，不仅只是一个数学课题，也是应用和工程领域探索的前沿。
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
复变函数论中的孤立奇点分类理论概述
复变函数论中的孤立奇点分类理论概述复变函数论（Complex Analysis）是数学分析领域的重要分支，研究复数域上的函数性质和相关理论。
在复变函数中，孤立奇点（Isolated Singularity）是指函数在某个点附近出现的特殊性质的点。
孤立奇点分类理论旨在系统地研究和分类这些孤立奇点。
本文将概述复变函数论中的孤立奇点分类理论。
孤立奇点可以分为可去奇点（Removable Singularity）、极点（Pole）和本性奇点（Essential Singularity）三类。
一、可去奇点若函数在某点z=a处的极限存在且有限，即lim_(z→a) f(z)=b（b为有限数），则称a处为可去奇点。
此时，可以通过定义一个新的函数，使得在a点附近没有奇异性，使函数在a点处得到有界的延拓。
换句话说，可去奇点可以通过在函数原有定义域上对函数进行连续地延拓来消除。
二、极点若函数在某点z=a处的极限存在，但是无穷大，即lim_(z→a)f(z)=∞或者lim_(z→a) |f(z)|=∞，则称a处为极点。
极点分为无穷级极点和有限级极点两种情况。
1. 无穷级极点：若函数在无穷远点（z→∞）处的极限存在，即lim_(z→∞) f(z)=∞或者lim_(z→∞) |f(z)|=∞，则称无穷远点为无穷级极点。
2. 有限级极点：若函数在某有限点z=a处的极限存在且为无穷大，即lim_(z→a) f(z)=∞或者lim_(z→a) |f(z)|=∞，则称a处为有限级极点。
极点可以通过定义一个新的函数，使得在极点附近的函数有有界的延拓。
通常情况下，极点构成了复变函数的奇异性中的一种较为简单的形式。
三、本性奇点若函数在某点z=a处的极限不存在（或为无穷大），则称a处为本性奇点。
本性奇点是最复杂的一类奇点，函数在这类点附近的行为相当不规则。
本性奇点不可能通过有界的延拓来消除其奇异性。
在复变函数论中，孤立奇点与数学实际应用密切相关，例如在物理学、电子工程、天文学和统计力学等领域中都有广泛的应用。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
复变函数ppt课件
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指有两个实变量的函数，即z = x + iy，其中x,y为实数，i为虚数单位。
复变函数的定义域和值域都是复数域。
在复变函数中，孤立奇点是一个重要的概念。
孤立奇点是指在某个区域内，函数在该点附近没有定义，但在该点附近却存在有定义的点。
孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点附近函数存在有极限，但是该点处函数没有定义。
换句话说，如果将该点的函数值定义为它的极限值，那么函数在该点变得连续。
可去奇点通常是由于函数在该点附近的奇异行为被消除掉了，例如通过洛必达法则计算得到的极限。
可去奇点可以通过修正函数定义来消除，使函数在该点处得到定义。
极点是指在该点附近函数的绝对值趋于无穷大。
即函数在该点附近的值无界。
极点通常出现在分母为零的情况下，例如有理函数的分母为零时。
极点分为两类：一阶极点和高阶极点。
一阶极点也叫做简单极点，高阶极点也叫做多重极点。
极点的阶数是指函数在该点附近的奇异性质。
本性奇点是指在该点附近函数的行为非常复杂，无法通过有限次修正函数定义来消除。
本性奇点通常是由于函数在该点附近的奇异行为无法被任何方法消除掉。
本性奇点可能是由于函数的周期性或者随机性等特殊性质导致的。
孤立奇点在复变函数的分析中具有重要的作用。
孤立奇点可以影响函数的性质，例如函数的收敛性、连续性和可导性等。
孤立奇点的存在使得函数在该点附近的行为与其他点附近的行为有很大的差异，从而使得函数的特殊性质显现出来。
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数的解析点是复变函数在某一点处可以被写成一系列幂级数的点，而孤立奇点是复变函数中只有单个奇次幂项且系数不为零的点。
解析点的运算性质
对于复变函数的解析点，有如下几条运算性质：
如果复变函数的解析点有公共部分，那么这些点就是复变函数的公共解析点。
如果复变函数的解析点不存在公共部分，那么这些点就是复变函数的交替解析点。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数也是解析的。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数的导数也是解析的。
孤立奇点的运算性质
对于复变函数的孤立奇点，有如下几条运算性质：
如果复变函数有孤立奇点，那么这些点就是复变函数的孤立奇点。
孤立奇点是复变函数中的特殊点，因为在这些点处复变函数的导数不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么在这些点处复变函数的导数不存在，但是如果将复变函数按照某种方式拓展，那么复变函数的导数可能在这些点处存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数也不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数的导数可能存在。
对于复变函数的孤立奇点，如果复变函数在这些点处可以被写成一系列幂级数，那么这些点就不再是孤立奇点，而是解析点。
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例6
.
注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
16
2.零点的判定
如果
f (z)
在 z 0 解析, 那末 z 0为
f (z)的m
级
零点的充要条件是
f
(n)
( z 0 ) 0 , ( n 0 ,1 , 2 , m 1 ) ;
f
(m )
( z0 ) 0.
17
例7
求以下函数的零点及级数: (1) f
( z z0 )
m
1
的最高幂为 ( z z 0 )
2
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
的本性奇点.
1
课堂练习 说出函数 答案
f (z) z e z
的奇点及其 类型.
, z 0 是本性奇点 .
z 是一级极点
28
判别法2 : (利用极限特点) 如果极限
lim f ( z )
n
1)存在且为有限值 ; 2)无穷大;
3)不存在且不为无穷大 ;
那末
z
是
f (z)
1 ( z z0 )
m
g(z) ,
那末孤立奇点
z0
称为函数
f (z)
的 m 级极点.
10
说明: (1)
g ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) cm 2 ( z z0 )
2
特点:
1. 在 2.
z z 0 内是解析函数
g ( z0 ) 0
n
解析且 ( 0 )
1 z
0
1 z
1 2!
z 3!
( z ),
所以 z
注意:
0 不是二级极点,
而是一级极点.
不能以函数的表面形式作出结论 .
22
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 邻域 R
z
f ( z ) 在无穷远点 z
的去心
内解析, 则称点 为 f ( z ) 的孤
是
f (z)
的 1)可去奇点 ;
2) m 级极点; 3)本性奇点 .
26
例10 (1)函数 f ( z )
z z 1
在圆环域
1 z
内的洛朗展开式为:
f (z) 1 1 1 z 1 1 z 1 z
2
( 1)
n
1 z
n
不含正幂项
f (z)
所以
z
6
2)
可去奇点的判定
f ( z )在z0
(1)由定义判断: 如果 幂项则 z 0 为 (2)判断极限 limz z 则 z0 为
的洛朗级数无负
f ( z ) 的可去奇点.
f ( z ) : 若极限存在且为有限值,
0
f ( z ) 的可去奇点.
7
例3
z 0
sin z z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 3!
z
z z0
存在且为 有限值
含有限个负幂项 m级极点 关于( z z 0 ) 1的最高幂 为 ( z z0 )m 本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
15
二、函数的零点与极点的关系
1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 能表示成
f ( z ) ( z z 0 ) ( z ),
的1)可去奇点 ; 2)m 级极点 ; 3)本性奇点 .
29
例11 函数f ( z )
( z 1 )( z 2 ) (sin z )
3
2
3
在扩充复平面内
有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解 在 函数
f (z)
除点 z
0 , 1 , 2
外,
z
内解析 .
n
1)
1
z
z
, 0 z
无负幂项 所以 z 0 为
e 1
z
z
m 另解：因为 li 0 z e
z
的可去奇点.
1,
1 z
z
所以
z 0
为
e 1 z
的可去奇点.
9
2. 极点 1)
z 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z0 的
m
负幂项, 其中关于 即
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z 0 解析的函数. (2) 无论
f ( z0 ) c0 ,
f (z)
在 z 0 是否有定义, 补充定义
f (z)
则函数
在
z0
解析.
f ( z 0 ) lim f ( z )
z z0
F ( z ) , z z0 f (z) c0 , z z0
( k 1 , 2 , )
因为：
即在 z
0
lim
1 k
k
0，
的不论怎样小的去心邻域内,总有 f ( z )
0
的奇点存在, 所以 z
不是孤立奇点.
4
孤立奇点的分类 依据
f ( z ) 在其孤立奇点 z 0 的去心邻域
0 z z0
内的洛朗级数的情况分为三类:
f (z)
的 m 级极点, 则有
g(z)
( g ( z0 ) 0 )
当 z z 0 时,
1 f (z)
( z z0 )
m
1 g(z)
( z z0 ) h( z )
m
函数 h ( z 0 ) 在 z 0 解析且 h ( z 0 )
0.
19
由于
lim
1 f (z)
z z0
.
因 (sin z ) cos z 在 z 0 , 1 , 2 , 处均不为零
所以这些点都是 sin
z
的一级零点,
故这些点中除1,-1,2外,都是 f ( z ) 的三级极点.
30
因 z 1 ( z 1 )( z 1 ), 以 1 与 1 为一级零点，
z k
(sin z )
cos z
z k
( 1)
k
0,
所以 z k 是 sin z 的一级零点，
即
1 sin z
的一级极点.
21
例9 问
z
z 0
是
e 1 z
2
z
的二级极点吗?
解
e 1 z
2
1 2 z
n0
z
1 n!
则称
为
f ( z ) 的孤立奇点.
1
例1 z 0 是函数
e ,
1
z
sin z z
的孤立奇点.
z 1 是函数
z 1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
3
例2 指出函数
f (z)
z sin
2
1 z
在点 z
0
的奇点特性.
解 函数的奇点为
z 0, z 1 k
本性奇点, 那末就称点 z
是 f ( z ) 的可去奇点、
m 级奇点或本性奇点 .
25
2.判别方法: 判别法1 (利用洛朗级数的特点) 如果
f ( z ) 在 R z
内的洛朗级数中:
1)不含正幂项;
2)含有有限多的正幂项且 z 3)含有无穷多的正幂项; 那末 z
m
为最高正幂;
立奇点.
y R x
o
23
1 令变换 t : 则 f ( z ) f ( t ), 规定此变换将: z t
1
z
映射为
映射为 映射为 映射为
t 0,
扩充 z 平面
{ zn } ( zn )
扩充 t 平面
1 tn (tn 0 ) zn
(2) 如果
z0
为函数
f (z)
的极点 , 则
lim f ( z ) .
z z0
例5 有理分式函数
f (z)
3z 2 z (z 2)
2
,
z 0 是二级极点, z 2
是一级极点.
11
2)极点的判定方法
(1)由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z 的负幂项为有限项. 0
0, 1 f (z)
只要令
1 f ( z0 )
0,
那末z 0 就是
的m 级零点.
1 f (z)
m
反之如果 z 0 是 那末
1 f (z)
的m 级零点, 解析且
( z ),
( z0 ) 0
( z z 0 ) ( z ),
f (z) 1 ( z z0 )
m
当 z z 0时, 所以
第五章 留 数
• 孤立奇点 • 留数 • 留数在定积分计算上的应用
1
第一节
孤立奇点
一、孤立奇点的概念
二、函数的零点与极点的关系
三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
一、孤立奇点的概念