解析函数的孤立奇点
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(优选)解析函数的孤立奇点与留数.
内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
4.0解析函数的孤立奇点
其中
( z ) a m a m1 ( z z 0) ( z0 ) 0
z z0
a0 ( z z0 ) m 是解析函数，且
如果z0是f(z)的极点，lim | f ( z ) | 或写作 lim f ( z )
z z0
极点的判定定理 （1）f(z)在奇点z0的去心邻域内的Laurent级数的主要 部分为有限多项； （2）f(z)在z0点的去心邻域0<|z-z0|<R内能表示为如下 ( z) 形式：
f ( z0 ) f '( z0 )
f
( m 1)
( z0 ) 0,
f
( m)
( z0 ) 0
例如：z=0,z=1分别为函数f(z)=z(z-1)3的一级与三级零点。
（2）极点的概念 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域内，Laurent级数中的主 要部分为优先多项（即有限个负幂项），即为
奇点是z=kπ (k=0,±1, ±2, …)，很显然他们都是孤立 奇点，又
(sin z )'| z k cos z | z k (1) 0 1 所以z=kπ都是sin z的一级零点，从而是 的一阶 sin z 极点
k
3.本性奇点 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域的Laurent级数中 主要部分为无限多项（即含无限多个负幂项），则 称z0为f(z)的本性奇点。
2、非孤立奇点
z z0
f ( z)
( z)
二、孤立奇点的分类 奇点
z0
k k k 0 0
∞
| R
k
类型
展开 a ( z z ) ,0 | z z 式
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法有限孤立奇点是一种重要的数学概念，它是一种有限、孤立的特殊点，具有解析函数的性质。
有限孤立奇点的存在及其判断具有重要的理论和应用价值。
本文主要就解析函数中的有限孤立奇点作一深入的研究，主要介绍以下内容：一、有限孤立奇点的定义有限孤立奇点是指一类有限的孤立的点，这些点具有解析函数的性质。
可定义为：若函数f（x）在x=x_0处及它的邻域内无有限值，则称x_0是f（x）的有限孤立奇点。
这里，f（x）一般指定义域上的可导分析函数，并且特征点x_0也要满足函数f（x）在有限范围内无有限值。
二、有限孤立奇点的重要性有限孤立奇点对于解析函数有着重要的意义。
首先，有限孤立奇点可以帮助数学研究人员更加深入地研究函数，从而有助于函数分析。
其次，有限孤立奇点也可以用来分析一些特定问题，比如求解方程。
在应用中，有限孤立奇点的存在也可以提供一种有力的理论基础，涉及到一些数学上的研究，如解析函数的求解、有限元素分析等。
三、有限孤立奇点的判定方法判断一个点是否为有限孤立奇点，有多种方法可以实现。
首先，是通过函数的求导，利用极值定理，从而判断函数是否有孤立的极值点，若是的话，这个点就可能是有限孤立奇点。
其次，还可以利用超参数曲面，观察曲面的拐点以及曲线的行为来判定。
再次，可以利用数值求解的方法，给定函数的定义域，进行穷举，并利用精确数值计算和迭代法，不断收敛，最后达到极值点。
最后，还可以通过分离变量法来进行求解。
四、总结本文讨论了解析函数中有限孤立奇点的判定方法，提出了多种判定方法，以便解析函数中有限孤立奇点的判断。
借助这些方法，可以更深入地了解函数的性质，为函数分析和应用提供有力的理论支持。
第四章-解析函数的孤立奇点--有限点
10
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断：若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2)，则
z
k
是
sin
z的一阶零点，即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级
数
（2） f2(z) sin z z 12 z 13
解： 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点，分别取
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断：若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2)，则
z
k
是
sin
z的一阶零点，即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级
数
（2） f2(z) sin z z 12 z 13
解： 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点，分别取
第2节解析函数的孤立奇点
f (z)
A.这样由定理5.7,函数(z)
1 f (z) A
在K {a}内解析,且以a为本质奇点.
由(1)的结论, 必有一个趋于a的点列{zn}存在,使得
lim
zn a
(
zn
)
.
从而
lim
zn a
f
(zn )
A.
注: 设a为函数f (z)的本质奇点,则无论怎样小的去心邻
域内,函数f (z)可以取任意接近于预先给定的任何数值.
za
即 M 0, 0,使当0 z a 时, f (z) M; 即f (z)在0 z a 内无异于a的零点, 矛盾
故z a为f (z)的本质奇点.
五 Picard定理
1定理5.8(Weierstrass) 如果a为函数f (z)的本质奇点,
则对任何常数A, 不管它是有限还是无穷, 都有一个收
证明 "(1) (2)" 由于
f (z) c0 c1(z a) cn(z a)n (0 z a R)
"(2)
故
lz(i3m)a"f由(z于) licm0
; f (z)
b,
(b
);
za
由函数极限的性质, f (z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f (z) M, z K {a}
六 Schwarz定理
如果函数f (z)在单位圆 z 1内解析,并且满足条件
f (0) 0; f (z) 1,( z 1); 则在单位圆 z 1内恒有
f (z) z 且有 f ' (0) 1;
如果上式等号成立,或在圆 z 1内一点z0 0处 前一式的等号成立, 则(当且仅当)
解析函数的孤立奇点
f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点，
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析，则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0，得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点，此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,
孤立奇点
z 0 是函数 e z , z 1 是函数
1
sin z z
的孤立奇点.
z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z 0, z 因为 1 k 1 k
z sin
2
在点 z 0 的奇点特性. 1
2
m
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z 0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
1 ( z z0 )
m
(z) ,
那么孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z ) 的 m 阶(级)极点.
当 n 0时，令 r 0，得 c n 0．即 ( 1 ) 成立．
由定理可得可去奇点的判定方法：
(1) 由Leabharlann 义判断: 如果 f ( z ) 在 z 0 的洛朗级数无负
幂项，则 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点.
(2) 判断极限 lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z z
(2) 由定义的等价形式判别
z 0 是 f ( z )的 m 阶极点 f ( z ) lim ( z z 0 )
z z0
(z)
( z z0 )
m m
f ( z ) cm 0.
0
其中 ( z ) 在 z 0 的邻域内解析, 且 ( z ) 0 .
(3) 利用极限 lim f ( z ) 判断 . z z
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
❖ 定义5.3 设 a 是 f z 的孤立奇点，
❖ （ 1 ） 若 主 要 部 分 为 0 ， 则 称 f z 是 的可去奇点 f(z)。
❖ （2）若主要部分为有限多项，则称 a 是
的 f z 极点，此时主要部分的系数必满足
cm 0 此时称a 为 f z 极点 m 阶级点，
亦称为 m 级极点。
❖ 若主要部分有无限多项，则称 a 是f(z)
在
z 1
的（最大）去心邻域
0 z 1 1
内
f z 1 1
z 1 z 2
z
1＋ 1
z
1
1
１
1
z 1n
z 1 n0
❖ 在 z 2 的（最大）去心邻域
0 z 1 1
内
f
z
z
1
2
z
1
2 １
1
1n z 2n
z 2 n0
5.2 解析函数的孤立奇点
❖ １孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点。
亦为 1 的本性奇点。
ez
❖ 6、毕卡定理
❖ 定理5.8 若 a 为 f z 的本性奇
点，则对任意数 （可以是 ），
都有一个收敛于 A 的点列 zn
使
lim
n
f
zn
A
❖ 定理5.9（毕卡大定理） 若a f 为z
的本性奇点，则对每一个 A ，
a 除 掉 可 能 一 个 值A A0 外 ， 必 有 趋 于
的本性奇点。
❖ 2、可去奇点的判断
❖ 定理5.3 设 a 为 f z 的孤立奇点，
则下述等价：
❖ （1）f z 在 a 的主要部分为0；
❖ （2） lim f z b za （３） f z 在点 a 的某去心邻域内 有界。
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在 z z0 内是解析函数, 且 (z0 ) 0
由此可得：
z0 为函数 f (z) 的m级极0 )m
(z)
这里z0 为函数(z) 的解析点，并且有(z0 ) 0
15
由此也得：
z0 为函数 f (z) 的极点的充要条件是
lim f (z) .
zz0
例
有理分式函数
k k
(k 1, 2, )
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点 z0为函数 f (的z)孤立奇点，则在点 某z去0
心邻域 0 内z 可z0设 的Laurfe(nzt)级数展开式 为
f (z) cn (z z0 )n n
z0若是f (z)的孤立奇点，则 在 0 z z0 内
f (z) c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
其和函数F(z)在 z0 处解析.
6
无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 可补充定义
F (z0 )
c0
lim
zz0
f
(z)
则函数 F(z) 在 z z0 解析.
使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
10
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的(m级)极点.
13
由极点的定义
f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 )
由有界性判断： 若f(z)在点z0的去心邻域内有界
则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规
f (z0 ) c0
定
8
例 说明 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
其中
1 f (z)dz
cn 2i c (z z0 )n1
(n为整数)
C 为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭 曲线。
4
定义1 若Laurent级数(5-1-1)中所含(z-z0)的负幂 项的项数分别为
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个， 则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。
f (z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
16
由定义判别：f (z) 的Laurent展开式中含有z z0
的负幂项为有限项. 由定义的等价形式判别：在点z0 的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中(z) 在 z的0 邻域内解析, 且 (z0 ) 0.
(由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做 f(z) 的可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0 z z0 解析， 且
lim f (z) 存在， 则z0 必是 f (z的) 可去奇点。
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
|f(z)|≤|z|且有|f'(0)|≤1
特别的，如果上式等号成立或存在圆内一点z0 使得|f(z0)|=|z0 |,则有f(z)= eiαz(|z|<1)
12
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1 的最高幂为 (z z0 )m ,
(z z0)m [ cm cm1(z z0) cn(z z0)nm ] (m 1, cm 0)
记 (z) cm cm1(z z0 ) cn(z z0 )nm
则
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
14
注意到:
(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2
且当z0为极点时，若级数中负幂的系数c-m≠0 并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ∙∙∙), 则称z0为f(z)的m级极点，
一级极点又称为简单极点。
5
二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含z z的0 负幂项, 则称孤立奇点z0 称为f (z的) 可去奇点.
函数的孤立奇点及其分类(P193)
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
1
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在z0 不解析, 但 f (z)在
z0 的某一去心邻0域 z z0 内处处解析, 则
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
另解
因为
ez lim
1
lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
9
由于z=0为函数 f (z) (ez 1) 的z 可去奇点， 且当z→0时，f(z)→1，因此可补充定义 f(0)=1，
称 z0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
1
z 0 是函数 e z ,
sin z 的孤立奇点.
z 1
是函数 1 z1
z 的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
2
例2 指出函数f (z)
z
2
1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为 lim 1 0，
由此可得：
z0 为函数 f (z) 的m级极0 )m
(z)
这里z0 为函数(z) 的解析点，并且有(z0 ) 0
15
由此也得：
z0 为函数 f (z) 的极点的充要条件是
lim f (z) .
zz0
例
有理分式函数
k k
(k 1, 2, )
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点 z0为函数 f (的z)孤立奇点，则在点 某z去0
心邻域 0 内z 可z0设 的Laurfe(nzt)级数展开式 为
f (z) cn (z z0 )n n
z0若是f (z)的孤立奇点，则 在 0 z z0 内
f (z) c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
其和函数F(z)在 z0 处解析.
6
无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 可补充定义
F (z0 )
c0
lim
zz0
f
(z)
则函数 F(z) 在 z z0 解析.
使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
10
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的(m级)极点.
13
由极点的定义
f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 )
由有界性判断： 若f(z)在点z0的去心邻域内有界
则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规
f (z0 ) c0
定
8
例 说明 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
其中
1 f (z)dz
cn 2i c (z z0 )n1
(n为整数)
C 为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭 曲线。
4
定义1 若Laurent级数(5-1-1)中所含(z-z0)的负幂 项的项数分别为
1）零个， 2）有限个， 3）无穷多个， 则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。
f (z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
16
由定义判别：f (z) 的Laurent展开式中含有z z0
的负幂项为有限项. 由定义的等价形式判别：在点z0 的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中(z) 在 z的0 邻域内解析, 且 (z0 ) 0.
(由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做 f(z) 的可去奇点。)
反过来，若 f (z) 在 0 z z0 解析， 且
lim f (z) 存在， 则z0 必是 f (z的) 可去奇点。
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
|f(z)|≤|z|且有|f'(0)|≤1
特别的，如果上式等号成立或存在圆内一点z0 使得|f(z0)|=|z0 |,则有f(z)= eiαz(|z|<1)
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2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1 的最高幂为 (z z0 )m ,
(z z0)m [ cm cm1(z z0) cn(z z0)nm ] (m 1, cm 0)
记 (z) cm cm1(z z0 ) cn(z z0 )nm
则
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
14
注意到:
(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2
且当z0为极点时，若级数中负幂的系数c-m≠0 并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ∙∙∙), 则称z0为f(z)的m级极点，
一级极点又称为简单极点。
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二、函数各类孤立奇点的充要条件
1 可去奇点
定义 如果Laurent级数中不含z z的0 负幂项, 则称孤立奇点z0 称为f (z的) 可去奇点.
函数的孤立奇点及其分类(P193)
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
1
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在z0 不解析, 但 f (z)在
z0 的某一去心邻0域 z z0 内处处解析, 则
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
另解
因为
ez lim
1
lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
9
由于z=0为函数 f (z) (ez 1) 的z 可去奇点， 且当z→0时，f(z)→1，因此可补充定义 f(0)=1，
称 z0 为 f (z) 的孤立奇点.
例1
1
z 0 是函数 e z ,
sin z 的孤立奇点.
z 1
是函数 1 z1
z 的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
2
例2 指出函数f (z)
z
2
1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1
k
因为 lim 1 0，