复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数论第5章第2节
并且只有当f ( z) eia z 时等号才成立.
4 极点
1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
m 负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) ,
1
即
f ( z ) cm ( z z0 )m c2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z a
z a
由函数极限的性质, f ( z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f ( z) M , z K {a} 考察f ( z)在点a的主要部分 c n ( z a) n n 1 1 f ( ) c n d , (n 1, 2,...) ( n ) 1 2 i ( a) 而为K内的圆周 a , 可以充分小, 于是由 f ( ) 1 1 M c n d 2 ( n ) 1 ( n ) 1 2 a 2
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z0 ) 0. (3) 利用极限 lim f ( z ) 判断(但不知道阶数) .
3) 如果f ( z )在点a主要部分为无穷多项,则称a为
f ( z ) 的本质奇点.
sin z z2 z4 z 2n n , 如： 1 (1) z 3! 5! (2n 1)!
0 点. z
2 n 2 sin z 1 1 z 2 z n ( 1) , 3 2 z z 3! 5! (2n 1)!
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
复变函数中的孤立奇点理论
复变函数中的孤立奇点理论复变函数是数学中重要的一个分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复数域是由实数和虚数构成的数学集合，其中虚数单位i满足$i^2=-1$。
在复变函数中，孤立奇点是一个重要的概念，它在函数的定义域内是孤立的奇异点。
本文将深入探讨复变函数中的孤立奇点理论。
1. 孤立奇点的定义与分类在复变函数中，孤立奇点是指在某个开集内除去某一点后，函数在该点附近没有定义或者发散的点。
根据Laurent级数的理论，孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
1.1 可去奇点可去奇点是指在该点附近可以通过定义函数的方式使函数在该点连续。
在数学上，对于一个函数在孤立奇点的邻域内能定义一个解析函数，则称该孤立奇点为可去奇点。
1.2 极点极点是指在该点附近函数趋向于无穷大的奇点。
具体地说，如果一个函数在孤立奇点的邻域内的绝对值趋近于无穷大，则称该孤立奇点为极点。
1.3 本性奇点本性奇点是指函数在该点附近无法通过定义解析函数的方式使其连续的奇点。
在复变函数中，本性奇点附近函数具有无限多个奇异点。
2. 孤立奇点的性质与表示孤立奇点具有一些重要的性质和表示方法。
2.1 高斯-麦克劳林定理高斯-麦克劳林定理是关于复变函数在孤立奇点附近的展开定理。
它表明，如果函数在孤立奇点附近解析，并且在孤立奇点中心点的一个小圆盘内有定义，则该函数可以展开成Laurent级数。
2.2 孤立奇点处的留数在复变函数中，孤立奇点处的留数是描述孤立奇点附近函数特性的一个重要概念。
对于一个函数在孤立奇点处的留数，可以通过Laurent 级数展开式求得。
留数可以用于计算函数在孤立奇点附近的积分值等问题。
3. 孤立奇点理论的应用孤立奇点理论在实际问题中有广泛的应用。
3.1 物理学中的应用在物理学中，特别是量子力学中，复变函数中的孤立奇点理论有重要的应用。
例如，在计算物理系统的量子态密度时，通过计算系统的配分函数确定系统的状态分布。
3.2 工程领域的应用复变函数中的孤立奇点理论也在工程领域得到了应用。
复变函数5.3解析函数在无穷远点的性质
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能 表成 f ( z) zm ( z), 其中 (z )在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0); (3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m阶零点(只要令 g(∞)=0). 定理5.5 (对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点 ∞为极点的充要条件是 lim f ( z ) . z
5.3解析函数在无穷远点的性质
一、点为孤立奇点的定义及分类
二、点为孤立奇点的性质
5.3解析函数在无穷远点的性质
定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|≥0 内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点. 设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z, 于是 在去心邻域: 1 1 K {0} : 0 | z ' | (如r 0规定 )内解析 r r
定理5.6(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点 ∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成 立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
不等于零; (2) lim f ( z ) 广义不存在(即当z趋向于∞ z 时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
1 例5.11 f ( z ) ( z 1)(z 2)
n
bn z n (5.13)
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: ( z' 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z )在z=0
的主要部分,我们称 的主要部分.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbn z n
n 1
为f(z)在z=∞
定理5.3 (对应于定理5.3) f(z)的孤立奇点z=∞ 为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一 条成立: (1) f(z)在 z= 的 主要部分为零
复变函数-孤立奇点及分类讲解
于是f (z)在0 z z0 内可展开为洛朗级数
f (z) an(z z0 )n an(z z0 )n an(z z0 )n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式中不含有(z z0)的负幂项，即an 0,
(n 1,2,......) 则称孤立奇点z0为f (z)的可去奇点。
显然，函数的奇点是
z 1,
zk
1 k
2
(k 0, 1, 2...)
由于lim tan( z 1) lim sin( z 1) 1 z1 z 1 z1 z 1 cos(z 1)
1
所以，z 1为可去奇点。
又
sin(z 1) z 1
zk
(vi)
若f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z0 )
0且P ( z )在z0点 解 析 ，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为f (z)的m级极点。
例 试确定函数 f (z) tan( z 1) 的奇点类型。
z 1
解：由于 f (z) tan( z 1) sin(z 1) z 1 (z 1)cos(z 1)
定理 z 为 f (z) 的可去奇点、极点、本性奇点的 充要条件分别为当 z 时， f (z) 的极限为有限数、 为无穷大、不存在也不为无穷大。
例
函数 z 1 z2
是否以 z 为孤立奇点？
若是，属于哪一类？
例 函数 sin z cos z 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
z
于是1
cos z2
复变函数与积分变换：5.1 孤立奇点
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
(z)在 z0 解析,且 (z0 ) 0 .
z0是f (z)的m级极点.
例
求f
(z)
(1
z2
z )(1
(1) sin z 1 z2 z4 (1)n z2n
z
3! 5!
(2n 1)!
特点：没有负幂次项
ez
(2)
1
zn
z n1
1 1
z
z n1
z z n0 n! n0 n! z
2!
n!
特点：只有有限多个负幂次项
1
(3)e z
1 z1
1
z2
1
zn
2!
n!
特点：有无穷多个负幂次项
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
对 上 式 两 边 沿 简 单 闭 曲线c逐 项 积 分 得 ：
c f (z)dz c1
dz c z z0
2ic1
定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内 的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z) 在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。
Q(z) z z0
(z)在z0处解析且 (z0 ) 0
故f (z) 1 g(z) z z0
复变函数讲解第一节孤立奇点
公式知: f( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m m)(!z0)c0 0.
充分性证明略 .
16
例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f(z)z31, (2) f(z)sizn .
解 (1)由于 f(1)3z2 30, z1 知 z1是 f (z) 的一阶零点 . (2)由于 f(0)cozz s010, 知 z0是 f (z) 的一阶零点.
f(z)Fc(0z,),zzz0z0
6
例1 函数 sin z 的孤立奇点 z0的类型 z
解：sizn11z21z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
故 z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
7
2) 极点
定义 如果洛朗级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 ) 那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
8
说明: 定义式可改写为：
其中，
f(z)(z1z0)mg(z)
g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 奇点并不一定都是孤立的。
例如:
z
0 不是奇点的分类
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数的解析点是复变函数在某一点处可以被写成一系列幂级数的点，而孤立奇点是复变函数中只有单个奇次幂项且系数不为零的点。
解析点的运算性质
对于复变函数的解析点，有如下几条运算性质：
如果复变函数的解析点有公共部分，那么这些点就是复变函数的公共解析点。
如果复变函数的解析点不存在公共部分，那么这些点就是复变函数的交替解析点。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数也是解析的。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数的导数也是解析的。
孤立奇点的运算性质
对于复变函数的孤立奇点，有如下几条运算性质：
如果复变函数有孤立奇点，那么这些点就是复变函数的孤立奇点。
孤立奇点是复变函数中的特殊点，因为在这些点处复变函数的导数不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么在这些点处复变函数的导数不存在，但是如果将复变函数按照某种方式拓展，那么复变函数的导数可能在这些点处存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数也不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数的导数可能存在。
对于复变函数的孤立奇点，如果复变函数在这些点处可以被写成一系列幂级数，那么这些点就不再是孤立奇点，而是解析点。
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JOURNAL OF DALI UNIVERSITY
第 9 卷 第 4 期 2010 年 4 月 Vol.9 No.4 Apr. 2010
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
何彩香， 张晓玲
（大理学院数学与计算机学院， 云南大理 671003 ）
［摘要］讨论了复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质， 并给出了简单的证明。利用这些性质可以快速准确地判定某些复变 函数的孤立奇点的类型， 这对研究某些复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内的性质、 复积分的计算等是很有意义的。 ［关键词］解析点； 可去奇点； 极点； 本质奇点 ［中图分类号］O174.5 ［文献标志码］A ［文章编号］1672-2345 （2010 ） 04-0017-03 Operational Properties of Analytic Point and Isolated Singularity of Complex Function HE Caixiang，ZHANG Xiaoling （College of Mathematics and Computer Science, Dali University, Dali , Yunnan 671003, China） 〔Abstract〕 This paper discusses operational properties of analytic point and isolated singularity of complex function and gives out simple proofs about them. By the properties, we can decide the type of isolated singularity of some complex functions. This is very meaningful for the researcher about the properties of isolated singularity in the deleted neighborhood and the computation of complex integration. 〔Key words〕analytic point; moving singularity; pole; essence singularity
z→a
（有限复数 ） 由f （z）在点 z=a 解 析 知 f （z）在 点 z =a 必 连 续 ， 从而 lim（ f z ） =f （a ） ， 于是 lim 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =f （a ） ±b （有限复
z→a z→a
f z ） 在点a的主要部分为零圳lim（ f z ） =b （≠∞ ） 。 点圳（ 引理 2 函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的 m 阶极
z→a z→a
g （z ） b = （有限复 f a （ f z ） （ ）
数
1 1 ± 的一阶极点〔 4-5〕。 cosz z 定理4 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点
数 ） 。 ∴点z=a也为 定理2′ g （z ） 的可去奇点。 （ f z ） 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
c-m 点圳（ f z ） 在点a的主要部分为有限多项， 设为 m （z-a ） cc- 1 （m-1 ） + +…+ （c -m ≠0 ） 圳（ f z ） 在点 a 的某去心 m-1 z-a （z-a ） λ （z ） f z ） = ， 其中λ （z ） 在点a解析， 且 邻域内能表成（ m ） （z-a λ （a ） ≠0。
g （z ） 的可去奇点， 且 lim g （z ） ≠0， 则点 z=a 也为函数 （ f z ） 的可去奇点。 g （z ） 可仿照定理2证明 （略 ） 。 例1 函数cosz在z=0解析， z=0为
sinz sinzcosz z =0 必为函数 cosz ± ， 的 点， 由定理 1 知， z z 可去奇点。 又由于cos0=1≠0， 据定理2， z=0也必为函 sinz sinz 的可去奇点。 类似地， 由于lim =1≠0， 据 数 z → a zcosz z 定理2′， z=0亦必为函数 定理3 极点〔 3〕。 证明： ∵点z=a为g （z ） 的m阶极点， ∴g （z ） 在点a的 λ （z ） 某去心邻域内能表成g （z ） = ， 其中λ （z ） 在点a m ） （z-a 解析， 且λ （a ） ≠0.于是
g （z ） 的m阶极点， 则点 z=a 也为函数（ f z ） ±g （z ） 的m阶
的二阶极点，由定理 4 知， z =1 必为函数 及 2 （z-1 ）z 1 （z-1 ）ze 注
2 z
e
z
的二阶极点〔 6-7〕。 若定理 4 的条件中去掉（ f a ） ≠0， 结论将改 （ f z ） 〔 8-9 〕 的可去奇点” 。 g （z ）
复变函数的解析点与孤立奇点都是复变函数 积分及其 论中的重要概念， 复变函数的某些性质 、 在孤立奇点处的留数等均与孤立奇点的类型有关， 因此，准确快速地判定复变函数的孤立奇点的类 型， 对研究复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内 的性质、 复积分的计算等是至关重要的。本文讨论 了两个复变函数的和、 差、 积、 商所得新函数与其中 某个复函数的孤立奇点的类型的关系， 并给出了简 单的证明和应用。
在， 即limg （z ） ≠
z→a
z=0必为函数 阶极点， 由定理3知， 又由于函数 点。
b （有限复数 ） （1 ） ≠ ∞ c （有限复数 ） 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =≠ ， 由（ f z ） 在点 z=a 假若 lim ∞
z→a z→a z→a z→a
1 π 在点z= +kπ （k=0， ± 1， ±2， … ） 解 z 2
z→a
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
1 z-2
的本质奇点。
［参考文献］
〔1〕钟玉泉.复变函数论 〔M〕 .3版.北京： 高等教育出版社， 2003： 193-203. 〔2〕西安交通大学高等数学教研室.复变函数 〔M〕 .4版.北京： 2005： 145-153. 高等教育出版社， 〔3〕何彩香.复函数极点的运算性质 〔J〕 .大理学院学报， 2004， 3 （5 ） ： 77-78. 〔4〕张元林.积分变换 〔M〕 .4版.北京： 高等教育出版社， 2006： 32-38. 〔5〕何彩香， 姚恩瑜， 葛浩.带有宵禁限制的动态最短费用路 问题 〔J〕 .浙江大学学报： 理学版， 2008， 35 （4 ） ： 390-394. 〔6〕何彩香， 姚恩瑜.带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的 讨论 〔J〕 .科技通报， 2007， 23 （4 ） ： 463-467. 〔7〕何彩香， 姜秀燕， 施冰.有宵禁限制的时间最短路 〔J〕 .大理 2006， 5 （6 ） ： 10-13. 学院学报， 〔8〕何彩香， 胡竟湘， 李汝烯.有宵禁限制的成本最短路问题 〔J〕 .湖南工程学院学报， 2006， 16 （3 ） ： 73-76. 〔9〕顾作林， 闫心丽， 方影.高等数学 〔M〕 .4版.北京， 人民卫生 出版社， 2008： 267-268. 〔10〕毛宗秀， 姚金华.高等数学 〔M〕 .3版.北京， 人民卫生出版 社， 2005： 127-129. 〔11〕何彩香， 寸仙娥.带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问 题的讨论 〔J〕 .大理学院学报， 2008， 7 （8 ） ： 67-70. 〔12〕Cai-Xiang He， Shao-Ming Wang.The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 〔J〕 .Intrenational Journal of Combinaorial Graph Throry and Applications， 2008， 1 （2 ） ： 161-169. ［基金项目］大理学院科研基金资助项目 （2007X05 ） ［收稿日期］2010-01-18 ［作者简介］何彩香， 副教授， 主要从事复变函数论及组合优 化研究.
解析知lim（ f z ） =f （a ） 从而limg （z ） =±lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 （ ） ｝ = f z ± 〔c-f （a ） 〕 （有限复数 ） ， 这与 （1 ）式矛盾， 故 ≠ ∞ c （有限复数 ） 必有lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 ≠≠ ， ∞
m （z-a ）（ f z ） ±λ （z ） （ f z ） ±g （z ） = ， 这里 φ （z ） = （z-a ）（ f z ） m （z-a ） m
zcosz 的可去奇点。 sinz
z 1 1 函数e 在z=1解析， e =e≠0； z=1为 2 （z-1 ）z
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
为 “点z=a为函数 定理5 奇点。
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
g （z ） 的本质奇点， 则点z=a也为函数（ f z ） ±g （z ） 的本质 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存
z→a
±λ （z ） 在点z=a解析， 且φ （a ） =±λ （a ） ≠0 ∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） 的m阶极点。 例2 函数 1 1 在 z =0 解析， z =0 为函数 的一 cosz z 1 1 ± 的一阶极 cosz z
18
总第 76 期
何彩香， 张晓玲
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
第9卷
z=a为函数g （z）的 本 质 奇 点 ， 则点z=a也为函数 g （z ） （ f z ） g （z ） ， 的本质奇点。 （ f z ） 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存