(优选)解析函数的孤立奇点与留数.
函数的孤立奇点及其分类
可以计算右端的积分。这类积分非常广泛， 其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭 曲线。C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多 个奇点。
有时将函数展开成Laurent级数，求系 数C-1很麻烦。这就需要介绍一种求C-1的 新方法：用留数计算积分的方法。
§5-1 函数的孤立奇点及其分类
一、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型
则称孤立奇点 z0 为 f ( z ) 的可去奇点.
z0若是f ( z )的孤立奇点，则 在 0 z z0 内
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
其和函数 F ( z ) 在 z0 处解析.
sin z 1 2 1 4 观察 1 z z 中不含负幂项, z 3! 5!
sin z z0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:
z 0 时,
Байду номын сангаас
sin z 那末 在 z 0 解析. z
sin z 且有：lim 1. z 0 z
sin z 1, z
(由于这个原因，因此把这样的奇点叫做f(z)的可去奇点。)
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
讨论函数在孤立奇点的情况 设 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点， 则在去心邻域
0 z z0 内, f ( z ) 可以展开成Laurent级数:
1 f ( ) f ( z ) cn ( z z0 ) , c n n 1 d 2 πi C ( z0 ) n
1 z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
孤立奇点与留数
( 2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线 , 函数f ( z )在c内有
有限个孤立奇点 z1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) 在c内及c上解析, 则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
c k 1
n
k
]
( 3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)将c内孤立奇点 zk围绕,
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点.
z 例 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶。
解 显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e
z
z
1 k 0, 1, 2,
z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 项幂 次 项 l i m f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
n
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
~~~~~~~~~
例如
----z=0为孤立奇点 f ( z) e 1 f ( z) ----z=1为孤立奇点 z 1
1 z
1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
f ( z)
1
1 但 li m 0, 在z 0不 论 多 么 小 的 去 心 n n y 邻域内 , 总 有f ( z )的 奇 点 存 在 ，
ch5.解析函数的孤立奇点,留数定理
z → z0
例1
sin z 因为 在 0 < z < +∞内的展开式为 z sin z = 1, 或者 lim sin z 1 2 1 4 z →0 = 1 − z + z − ⋯, z 3! 5! z ⎧ sin z , z ≠ 0; ⎪ f ( z) = ⎨ z 无负幂项 ⎪ z = 0, ⎩ 1, sin z 的可去奇点 . 所以z=0是 z
（2）极点 定义5.2 如果f (z)在 0 < z − z0 < δ 的Laurent级数展开
式中只有有限多个z-z0负幂项，其中关于(z-z0)-1最高次幂为m,即
f ( z ) = c− m ( z − z 0 )
−m
+ ⋯ + c− 2 ( z − z 0 ) + c− 1 ( z − z 0 )
在点 z0的某去心邻域内有 f ( z ) = ( z − z0 )− m g ( z ) ( m ≥ 1), 其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z 0 ) ≠ 0. （3）判断极限 lim f ( z ) = ∞, 即 lim f ( z ) = +∞,
z → z0 z → z0
n+m g ( z ) = c + c ( z − z ) + ⋯ + c ( z − z ) +⋯, 令 −m − m+1 0 n n
则 g(z)在 z − z0 < δ 内解析，且 g( z0 ) = c− m ≠ 0, 即
复变函数第五章
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型
解析函数的孤立奇点
f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点，
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析，则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0，得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点，此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,
4.3.2 解析函数的孤立奇点
第四章 级 数 第三节 洛朗展式 8、解析函数的孤立奇点：设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。
在D 内，f (z )有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n nnz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f i ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。
例如，0是z e zz z z 12,sin ,sin 的孤立奇点。
一般地，对于上述函数f (z )，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：（1）、如果当时n =-1,-2,-3,…，0=n α，那么我们说0z是f (z )的可去奇点，或者说f (z )在0z有可去奇点。
这是因为令00)(α=z f ，就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数f (z )。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n ，使得0≠n α，那么我们说0z是f (z )的极点。
设对于正整数m ，0≠-m α，而当n<-m时，0=n α，那么我们0z 是f (z )的m 阶极点。
按照m=1或m>1，我们也称0z是f (z )的单极点或m 重极点。
（3）、如果有无限个整数n<0，使得0≠n α，那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。
例如，0分别是z e zz z z 12,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。
定理8.1函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim 0α=→z f zz ，其中0α是一个复数。
证明：（必要性）。
由假设，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗级数展式：...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在R z z <-||0内解析，于是显然存在着0)(lim 0α=→z f z z 。
解析函数的孤立奇点
( 0 z z0 ) 其和函数F (z)为在 z0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 补充定义 f (z0 ) c0 , 则函数 f (z) 在 z0 解析.
f
(z)
F(z)
c0
,
, z
z z0 z0
lim
zz0
f
(z)
c0
2) 可去奇点的判定
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim ez 1 lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,
f (z) 的 m 级零点. 例6 z 0是函数 f (z) z(z 1)3的一级零点，
z 1是函数 f (z) z(z 1)3的三级零点.
2.零点的判定
如果 f (z) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z)的 m级 零点的充要条件是
f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1); f (m)(z0 ) 0.
z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1 (k 1, 2,) k
因为 lim 1 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0不是孤立奇点.
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内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
Res[
f
(z),
z0
]
lim ( z
zz0
z0
)
f
(z)
(3) 若z0为f (z)的m级极点,则
m 1
1
d m1
Res[
f
(z),
Res[
f
(z), z0 ]
1
2
i
L f ( z)dz C 1
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z
内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的
简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
Re s[
f
(z
(z)dz
C 1
其 中C1为f (z)在R z 内 的Laurent展 式
(m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z) 的可去奇点(m级极点, 本性奇点).
(2) 判定
若f(z)在R<|z|<+内解析, 则在此圆环内有
f (z) cn z n cn z n , (*)
n1
n0
z 为可去奇点
lim
z
f
(z)＝c0
f (z) C n z（ n R z )不含正幂项
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
f (z) (z z0 )m (Cm Cm1 (z z0 ) C1 (z z0 )m1 C0 (z z0 ) )
的系数 Cm ,Cm1 , 中可能有一个或几个为零 而已，这不影响证明结果。
z 0为非孤立奇点
zk
1
k
为1级 极 点
(2) f (z) (z 1)2 sin z z 2 (z 2 1)2
z 1为2级极点
z 1为可去奇点
z 0为1级极点
(3) f (z)
1
z 2 (e z 1)
z 0为f (z)的3级极点,
zk 2ki(k 1,)为f (z)的1级极点
若c-m 0, 而cn = 0 (n<-m), 则称z0为f(z) 的m级极点,
3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。
判别：
(1)如果z0为f(z)的可去奇点,
lim
zz0
f (z)
c0 ,
(2) z0为f(z)的极点
lim f (z) ; zz0
z0为f(z)的m级极点
例3 求下列函数的奇点并计算留数：
(1) f (z) 3z 2 z 2 (z 2)
Res[ f (z),2] 1
Res[ f (z),0] 1
Res[ f (z),] 0
1
(2) e 1z
Re s[ f (z),1] C1 1. Re s[ f (z), ] C1 1.
lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为 zz0
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成
f(z) = (zz0)m(z),
其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整 数, 则称z0为f(z)的m级零点.
(2) 性质
(a) 如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点
f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m1), f (m)(z0) 0.
(b) z0为f(z)的m级极点 z0为
f
1 (z)
的m级零点.
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1) f (z) z 2 (sin 1 )1 z
z0
]
(m
1)!
lim
zz0
dz m1
(z z0 )m
f (z)
(4)
设f
(z)
P(z) Q(z)
,
P ( z )及Q( z )在z 0 解 析 ， 且P ( z 0
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
11
(5) Res[f (z),] Res[f ( z ) z2 ,0]
解析函数的孤立奇点与留数
2. 分类
由Laurent级数中负幂项的个数来分类
设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|zz0|< 内
解析， Laurent展式为 cn (z z0 )n . n
1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；
2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点；
(4) f (z) z cos 1 z
z 0为f (z)的本性奇点
(5)
f
(z)
1 sin z2
(6)
f
(z)
(1
z z 2 )(ez
1)
三. 函数在无穷远点的性态
(1) 分类: 若f(z)在z = 的去心邻域R<|z|<+内解析, 则称为f(z)的孤立奇点.
令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点. 我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点