现代数学
现代数学研究方向
现代数学研究方向
现代数学是一个广泛而深奥的学科，包括代数、数论、几何、拓扑、数学分析、概率论等方向。
在当今科技和经济的高速发展背景下，数学在现代社会中的地位日益重要。
以下是几个现代数学研究方向： 1. 代数几何：研究代数方程组的解集和代数簇的性质，它是现代数学领域的重要分支之一。
2. 数论：研究整数及其性质，包括素数分布、对数律、数论函数等等。
3. 拓扑学：研究空间的性质，包括连续映射、同伦等等。
4. 非线性偏微分方程：研究物理学和工程学中的非线性偏微分方程解的存在性、稳定性和发展性，是数学和物理学的重要交叉领域。
5. 概率论：研究随机事件的规律性和概率分布，涉及金融、医学、保险等方面。
6. 数学物理：研究数学和物理学之间的关系，包括量子场论、广义相对论等。
以上是现代数学的一些研究方向，每个方向都有其独特的理论和应用价值。
未来，随着科技的发展和社会的变化，现代数学将继续发展并深入到更多领域。
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现代数学的概念
现代数学的概念
现代数学是指以集合论、数理逻辑、范畴论和拓扑学等为基础的一系列数学分支。
它的概念包括：
1. 集合论：集合论是现代数学的基础，它研究集合、子集、运算和关系等概念，是数学研究的基础工具。
2. 范畴论：范畴论是研究数学结构和变换之间关系的一种学科，它通过抽象的概念和符号表示，研究不同数学对象之间的相似性。
3. 数理逻辑：数理逻辑是研究逻辑和推理规则的一种学科，它通过符号表示形式化逻辑规则，使数学的证明变得更加严密和精确。
4. 拓扑学：拓扑学研究空间形状和变形的一种学科，它研究空间中连通性、紧性和维数等性质，为现代数学中很多领域提供了重要的工具。
5. 群论：群论是研究对称性和变换的一种学科，它研究具有运算结构的数学对象及其变换规则，是许多分支的基础。
6. 数论：数论是研究整数性质和数字性质的一种学科，它涉及素数、同余式、分数和无理数等重要概念，在现代密码学、密码算法和计算机安全中有广泛应用。
现代数学大观
现代数学大观
现代数学大观是指对现代数学各个分支以及其发展和应用进行综合性的系统性阐述和总结的著作或参考资料。
现代数学大观主要目的是梳理和分类现代数学的各个分支，介绍其基本概念、理论构建、重要结果和应用，并对其发展历程和未来发展趋势进行分析和展望。
现代数学大观一般涵盖以下几个主要分支：数理逻辑、集合论、数论、代数、几何、拓扑、数学分析、概率论与数理统计等。
在每个分支中，会对其中的重要概念、定理和方法进行详细的介绍和讲解，并配以具体例子和应用，以帮助读者理解和掌握相应的数学内容。
现代数学大观的编写一般需要涵盖大量的学科知识，并且要结合各个分支之间的联系和相互作用，以及数学发展的历史和特点，因此对编写者的数学知识和综合能力有较高要求。
现代数学大观是数学工作者、教师、学生及相关领域从业人员的重要参考资料，能够提供全面的数学知识和信息，并帮助读者深入了解和应用现代数学的各个领域。
28现代数学及其发展
28现代数学及其发展现代数学及其发展一、引言数学作为一门学科，经历了漫长的发展过程。
现代数学是指从19世纪末到20世纪初开始发展起来的数学学科体系，它以严密的逻辑推理和抽象思维为基础，涵盖了广泛的分支领域。
本文将介绍现代数学的发展历程以及其中的一些重要分支。
二、现代数学的发展历程1. 19世纪末到20世纪初：数学的公理化与形式化在19世纪末，数学家们开始对数学进行公理化与形式化的研究。
公理化使得数学的推理过程更加严谨和准确，形式化则使得数学的表达更加精确和清晰。
这一时期的重要成果包括皮亚诺公理化、希尔伯特公理化以及罗素悖论的发现。
2. 20世纪初：集合论的建立与发展集合论是现代数学的基础，它的建立与发展对数学的发展起到了重要的推动作用。
在20世纪初，数学家们开始对集合论进行深入研究，并提出了一系列重要的概念和定理，如无穷公理、选择公理、集合的势等。
3. 20世纪：分析学的发展与拓展在20世纪，分析学作为数学的重要分支得到了极大的发展与拓展。
其中，实分析和复分析是两个重要的研究方向。
实分析主要研究实数和实数函数的性质，复分析则研究复数和复数函数的性质。
这两个分支的发展不仅推动了数学理论的深化，也为物理学、工程学等其他学科的发展提供了重要的数学工具。
4. 20世纪后半叶：代数学的发展与应用在20世纪后半叶，代数学成为了现代数学的重要组成部分。
代数学主要研究代数结构及其性质，包括群论、环论、域论等。
代数学的发展不仅拓展了数学的研究领域，也在密码学、编码理论等实际应用中发挥了重要作用。
5. 当代数学的发展与前沿领域当前，数学的发展已经进入了一个全新的阶段。
数学家们在不断探索新的领域和问题，如拓扑学、几何学、数论、图论等。
这些前沿领域的研究不仅拓宽了数学的应用范围，也为人类认识世界提供了新的思路和方法。
三、现代数学的重要分支1. 实分析与复分析实分析研究实数和实数函数的性质，包括极限、连续性、微积分等。
复分析则研究复数和复数函数的性质，包括解析函数、留数定理等。
现代数学发展现状
现代数学发展现状
现代数学是一门发展迅速且非常活跃的学科，涉及到许多不同的领域和分支。
以下是现代数学发展的一些重要方面和现状：
1. 数理逻辑和集合论：这些领域研究数学的基本原理和推理方法，基于集合论的公理系统构建数学结构，研究形式语言和证明理论等。
随着计算机科学和人工智能的发展，数理逻辑在计算机科学中的应用也越来越重要。
2. 代数学：代数学研究代数结构（如群、环、域等）及其性质和变换。
现代代数学的发展主要集中在代数几何、代数拓扑和代数提供的方法与工具在各个领域的应用。
3. 几何学：现代几何学包括欧几里德几何学、非欧几里德几何学、微分几何学等分支。
微分几何学在物理学、工程学和计算机图形学中有广泛应用。
4. 数论：数论研究整数性质、素数分布、数学分析、代数学和计算机科学等领域中的问题。
现代数论涉及到多个分支，如解析数论、概率数论和计算数论。
5. 拓扑学：拓扑学研究空间的性质和变形，包括点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学等分支。
拓扑学在数据分析、网络分析和计算机视觉等领域中有应用。
6. 分析学：分析学研究函数、极限、连续性、微积分等数学对象和运算规则。
现代分析学包括实分析、复分析、泛函分析和
微分方程等分支。
7. 应用数学：应用数学致力于将数学方法和技术应用于实际问题中。
现代应用数学在物理学、工程学、经济学、金融学、生物学等许多领域有广泛的应用。
总之，现代数学发展非常广泛和多样化，各个分支相互交叉和渗透，不断推动着数学的前沿和发展。
此外，计算机科学和人工智能的快速发展也为数学的研究和应用提供了新的机遇和挑战。
现代数学分支
现代数学分支数学作为一门学科，涵盖了众多的分支和领域。
在现代数学中，各个分支相互交织、相互影响，共同构成了一个庞大而完整的体系。
本文将介绍一些重要的现代数学分支，包括代数、数论、几何、概率论和数学分析。
一、代数代数是数学中最基础和最重要的分支之一，主要研究数的运算和结构。
代数包括线性代数、抽象代数和数论等子分支。
线性代数研究向量空间和线性变换，是应用广泛的数学工具。
抽象代数研究代数结构，如群、环和域等，为其他数学分支提供了基础。
数论研究整数的性质和相互关系，涉及到诸如素数、同余和数论函数等内容。
二、数论数论是研究整数性质和结构的分支，也是数学中的一个重要领域。
数论主要关注整数的性质，如素数分布、数的因子分解和同余关系等。
数论的研究对于密码学、编码理论等应用具有重要意义。
著名的费马大定理就是数论中的一个经典问题，直到1994年才被安德鲁·怀尔斯证明。
三、几何几何是研究空间和图形性质的数学分支，包括平面几何、立体几何和拓扑学等。
平面几何研究二维空间和图形的性质，如直线、圆和多边形等。
立体几何研究三维空间和立体图形的性质，如球体、多面体和立体投影等。
拓扑学研究空间的性质，如连续映射、拓扑空间和同伦等。
几何在科学、工程和艺术等领域都有广泛的应用。
四、概率论概率论是研究随机现象的数学分支，主要研究随机变量和随机过程的性质。
概率论是统计学的基础，也是现代科学研究中不可或缺的工具。
它的应用涉及到风险管理、金融学、信号处理和机器学习等领域。
著名的概率论问题包括蒙特卡洛方法和马尔可夫链等。
五、数学分析数学分析是研究极限、连续和微积分等概念和方法的数学分支。
它包括实分析和复分析两个方向。
实分析研究实数和实函数的性质，包括极限、连续和导数等内容。
复分析研究复数和复函数的性质，包括解析函数和复积分等内容。
数学分析是现代数学的核心和基础，对于其他数学分支具有重要影响。
总结现代数学分支众多，涵盖了代数、数论、几何、概率论和数学分析等领域。
现代数学基础 习题与解答
现代数学基础习题解答目录现代数学基础习题解答 (1)1 集合与映射 (2)2 实数集的紧理论 (4)3 闭区间上连续函数性质 (6)4 Lebesgue可测集 (7)5 Lebesgue可测函数 (8)6 Lebesgue积分的定义及性质 (14)7 距离空间的基本概念 (16)8 距离空间中的点集 (25)9 距离空间的完备性 (25)10 赋范线性空间的基本概念 (26)11 群的基本概念 (33)12 环与域的基本概念 (39)1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。
证明 ： 设R 11x x f ⨯-∈⊆)},(|{，()f y x ∈,当且仅当21xxy -=， 容易验证，f 是双射。
所以R ~)1,1(-。
2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。
证明： 不失一般性，设Φ=⋂A M 。
由于M 是无限集，故M 存在可数子集，设M '是M 的可数子集， 则()M M M M '⋃'-=，()()A M M M A M ⋃'⋃'-=⋃，且 ()Φ='⋂'-M M M ，()()Φ=⋃'⋂'-A M M M ，于是A M ⋃'是可数集合，记{},,,,21n m m m M ='，{},,,,21n a a a A M =⋃'， 令A M M f ⋃→:为：若Φ='-M M ，()n n a m f =； 若Φ≠'-M M ()⎩⎨⎧'-∈==M M x xm x a x f n n ,,，易知f 为双射，故A M M⋃~。
3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。
证明： 由于D 是无限集，故D 存在可数无线集，记为D '。
令[]Q Q ⋂='1,0，于是()D D D D '⋃'-=，[]()()Q D D D Q D '⋃'⋃'-='⋃=1,0，且()Φ='⋂'-D D D ，()()Φ='⋃'⋂'-Q D D D ，而且Q D '⋃'为可数集，记{},,,,21n d d d D ='，{},,,,21n q q q Q D ='⋃'，令[]1,0:→D f为：()⎩⎨⎧'-∈==D D x xd x q x f n n ,,，易知f 为双射，故[]1,0~D。
现代数学概论
1926年，希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵， 人类理智活动最精美的成果”。苏联的柯尔莫哥洛夫（1903-1987）则说：“康托 尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险挺进，他对似是而非的论点、流行的成见、 哲学的教条等作了长期的不懈的斗争。因此，他成为一门学科的创造者，而这门 学科已成为整个数学的基础。” 在德国学派影响之下，挪威数学家索福斯· 李（1842-1899）创立了李群和李 代数理论。20世纪，几乎所有的数学学科都和李群发生联系。李曾在莱比锡大学 任教授，对欧洲各国的数学产生了很大的影响。 自牛顿以来，英国数学一向偏重应用，19世纪仍然保持这一传统。但在19世 纪的下半叶，纯粹数学出现了两颗明珠：西尔维斯特（1814-1897）和凯莱 （1821-1895）。他们两人都是攻读数学出身，于19世纪50年代进入法学界，担 任过多年的律师，并因志趣相投成为终身好友。此后又双双回到数学研究，共同 发展代数不变量理论，特别是线性代数中的行列式和矩阵理论，这些工作在20世 纪变得十分重要而普及。包括哈密顿在内的四元素工作在内，他们在代数上的贡 献，形成了英国纯粹数学的一次高潮。值得一提的是西尔维斯特是美国纯粹数学 的奠基人之一，他在美国约翰霍普金斯大学任教授多年，创办了美国第一份数学 杂志：《美国数学杂志》。凯莱也曾到该校讲学。 19世纪的俄国，开始有了自己的数学研究。罗巴切夫斯基的工作自然引起国际瞩 目，切比雪夫（1821-1894）在概率论上的研究也别开生面，但在整体实力上无法 和西欧各国相比。至于东方的印度、日本和中国，数学水平落后于西方大约200年， 现代数学研究则是20世纪的事了。19世纪下半叶，能和德国数学抗衡的只有以庞 加莱为代表的法国数学。
魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭，父亲叫他到波恩大学攻读法学博士 学位。由于不喜欢，他未毕业就离开了。后来在一所神学哲学院读数学，通过中 学教师资格的考试以后，曾任中学教师达15年之久，期间他发表椭圆函数论的重 要文章，被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年到柏林皇家综合工科学 校任数学教授，次年到柏林大学任副教授，1864年升任教授。1873年出任柏林大 学校长，成为左右德国数学界的一位领袖人物。这种声誉，不仅因为他是校长、 教授、许多论文的作者，更主要的是他的学术风格。魏尔斯特拉斯是19世纪末分 析严格化进程的代表人物，反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流。他 首先给出了严密的实数理论，第一个明确使用ε-δ语言，引进有界集、无界集、集 的内点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收敛的概念得出极限交 换的定理。这一切，对今天的数学系大学生而言，似乎是理所当然的事。ε-δ语言 的精髓已经渗入现代数学的每一根血管，牵动每一根神经。追根溯源，魏尔斯特 拉斯做出了高于一切的贡献。希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精 神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、 导数等概念，他排除了在微积分中仍然在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷 大、无穷小等的各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的 困难……今天，分析学能达到这样的和谐、可靠和完美的程度……本质上应归功 于魏尔斯特拉斯的科学活动。” 另一位为数学分析严密化作出重要贡献的德国数学家是戴德金（18311916）。他以有理数的“分割”定义实数，对实数的连续性给出了严密而直观的 叙述。同时，戴德金也奠定了的代数数论的系统理论。不过，戴德金只是不伦瑞 克大学的一名教授，在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了。
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回到德国不久，犹太人诺特发现自己已无容身 之地。1933年4月26日，纳粹政府在报纸上发表 通告，哥廷根大学的6名犹太教授被勒令离开，诺 特是其中之一。她的教书许可证，被政府部门收 回。然而，在她的寓所里，她的学生还是前来找 他们的老师诺特请教和讨论问题，直至这年9月诺 特移居美国，继续她的数学研究。
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直到1923年，已担任副教授达3年之久的诺特， 在同事们的极力争取下，才有了一份微薄的工资。 而在5年之前，诺特就在自己发表的里程碑式论文 中，提出了“诺特定理”，这被视为奠定广义相 对论的一块基石，为爱因斯坦的理论提供了坚实 的数学基础。
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数学界的同行们，在1932年给了这个女人特别 的荣耀。这一年9月，国际数学大会在瑞士召开， 诺特受到特别邀请，向与会的800多名数学家作 了一个小时的学术报告。
• 第二阶段泛函分析正式发展成为一门学科， 对泛 函分析贡献最杰出的是巴拿赫．他进一步把希尔 伯特空间推广成巴拿赫空间，用公理加以刻划， 形成了系统的理论．他在1932年出版的《线性算 子论》一书统一了当时泛函分析众多成果，成为 泛函分析第一本经典著作．
• 第三阶段是泛函分析的成熟阶段．从40年代起泛 函分析在各方面取得突飞猛进的发展．施瓦兹系 统地发展了广义函数论，它现在已成为数学中不 可缺少的重要工具．
• 20世纪数学有如下特点： • 1．数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相 对独立的部分，而是随着集合论的出现涌现出大 量的新学科、新分支、新理论． • 例如：数学基础与数理逻辑，抽象代数学，一般 拓扑学、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、 随机过程论等等．
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2．数学不再像过去那样只是解决特殊问题、寻 求特殊算法的学科，而是在结构的概念下有统一 的对象、统一的方法、有自身独立的问题的独立 学科，它不仅研究数与形，而主要是研究各种结 构，其中特别是代数结构、拓扑结构、序结构， 以及这些结构互相混合产生的各种多重结构．
12.4 应用数学的崛起
• 第二次世界大战前后，纯粹数学、应用
数学及计算数学和它们之间的关系有了巨 大的变化，这表现在： • • 1．应用数学的领域大大扩展了． 2．随着电子计算机的出现，从而使应 用数学取得越来越多的成果．
12.4.1 运筹学
运筹学(Operations Research)原意为“作战研 究”． 例田忌赛马.
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在哥廷根的十几年里，她发表了多篇论文，通 过研究群、环、域、理想和模等抽象结构，深刻 地改变了代数学的研究重心，被誉为抽象代数的 奠基人。 • 在她简陋的寓所里，诺特不仅为那些数学天分 突出的学生煮饭，还先后指导多名学生完成博士 论文，其中包括中国最早从事抽象代数研究的数 学家曾炯。这些被称作 “诺特的孩子”的博士， 有十几位后来成为知名数学家。
• 2．环论 • 环的概念原始雏型是整数集合．它与域不同 之处在于对于乘法不一定有逆元素．整数的推 广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多 不同之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立， 这导致理想数概念的产生．戴德金在1871年将理 想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中 的一些特殊的子环．这开始了理想理论的研究， 在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中 去．
• 泛函分析的发展可分三个时期： • 第一阶段是创始时期，大约从19世纪80年代到20 世纪20年代．开始是意大利一些数学家引进泛函 演算，特别是他们引线性算子的概念．后来法国 数学家发展了泛函演算．阿达马为了研究偏微分 方程而考虑了闭区间[0，1]上全体连续函数所构 成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空 间，并于1903年定义了这个空间上的函数，即泛 函．
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1908年, 26岁的诺特被授予数学博士。她成 为德国第一个获得博士学位的女性，她的论文次 年发表在《纯粹和应用数学》杂志上。 即便如此，诺特在德国的大学也找不到一个 职位谋生。爱尔兰根大学接纳了她，不过是作为 “非正式、无工资”的成员。在父亲生病时，诺 特会替父亲代课。更多的时候是跟同事们讨论数 学问题。她发表的有关不变量论的论文，很快便 为她赢得了声名。
1926年，E.诺特首先洞察到群论在组合拓扑学 研究中的重要意义．在她的影响下， △霍普夫(H.Hopf)1928年定义了同调群; △1940年左右，科尔莫戈罗夫和亚历山大 (J.W.Alexander)又定义了上同调群． 同调群(包括与之对偶的上同调群)的引进就将拓扑 问题转化为代数问题．
1942年，美国数学家莱夫谢茨(S.Lefschetz)《代 数拓扑学》一书的出版，标志着代数拓扑学这一 分支学科的正式形成． 在采取组合与代数观点的同时，数学家们早 就认识到点集论也是连续性研究中的基本途径， 从而建立了所谓“点集拓扑学”或“一般拓扑 学”．
有一类实际问题需要将某些对象最大化(如利润、安全等) 或最小化(如支出、风险等)，数学规划就是为这类实际问题提 供数学模型的一种方法，具体地说，数学规划寻求函数 f ( x1 , x 2 ,, xn ) 在规定 ( x1 , x 2 ,, xn ) 必须满足一定条件时的极小 (或极大)值．f ( x1 , x 2 ,, xn ) 称为“目标函数”，必须满足的条 件称为“约束条件”．如果目标函数和约束条件都是线性的， 就叫线性规划，即 n min f ( x) ai xi ,
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3．数学的内容越来越复杂、越抽象．
但没有使得它脱离实际，而且以数学本身发展出 来的许多观念给物理学、化学、生物科学等提供 了有力的工具，比如黎曼几何学对于广义相对论， 泛函分析对于量子力学，群表示论对于原子结构 都好像是定做的工具．
• 4．随着电子计算机的发明，无论是纯粹数学还是 应用数学都受到电子计算机的强烈影响，许多应 用数学问题可以进行计算机试验，而逐步得到解 决．许多纯粹数学问题也在计算机帮助之下得到 证明，其中最突出的就是1976年阿佩尔及哈肯籍 助计算机证明四色猜想．
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一场手术让这个非凡的女人在1935年4月停止 了前进的脚步。她的意外离世，引来数学界众声 惋惜。《数学年报》杂志不顾纳粹政府的干涉， 刊载长篇文章，对诺特的一生和工作给予了赞赏。 • 爱因斯坦则在《纽约时报》上称诺特为“有 史以来最伟大的女数学家”。
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抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学 有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解 代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则 是研究具有代数结构的性质，这些对象是用公理 定义的．
12.2 抽象代数学的确立
• 德国女数学家E．诺特 (E．Noether，1882—1935) 被公认为“近世代数学之 母”．在诺特之前，不少大数 学家都对近世代数学有过这样 或那样的贡献，戴德金不仅引 进大多数抽象代数概念——如 理想、模、环、格等，而且初 步研究它们的结构及分类．
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身为女性，她在18岁那年无缘进入大学校园深 造。1900年，德国还没有大学愿意接受女学生。 由于父亲在爱尔兰根大学担任数学教授，在他的 努力下，诺特获准在爱尔兰根大学旁听语言、历 史和数学课程。 • 3年之后，旁听生通过了国家毕业考试。直到爱 尔兰根大学改变招生政策后，诺特才在1904年成 为数学系的全日制学生。全系47个学生，她是唯 一的女生。
i 1
约束条件为
b
i 1
n
ij
xi c j ( xi 0; j 1,2,, m; i m).
线性规划问题在孕育整个运筹学的理论方面扮演了重要角色， 并且至今仍是这门学科的中心课题．
线性规划的先驱者是前苏联数学家康托洛维奇， 他在1938年就给出了像寻求用8种型号的机床完成5 种类型产品加工的最合理运行计划这样的问题的数 学处理，1939年发表《生产组织与计划中的数学方 法》，是最早的线性规划著作．
12 现代数学选论
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19世纪末到20世纪初，数学迎来了一个激烈的 变革时期．一方面人们开始接受康托尔的集合论 作为统一数学的基础，但不久又在其中发现有悖 论，从而出现了严重的数学危机．另一方面，作 为未来数学的主要方法——公理化方法由希尔伯 特所奠定，他在1899年发表的《几何学基础》对 于二十世纪的数学给予很大的启示．在他的推动 下，形成了一个小小的公理化热潮．
12.3 拓扑学的起源与发展
拓扑学研究几何图形的连续性质，即在连续变形 下保持不变的性质(允许拉伸、扭曲，但不能割断和 粘合)． 拓扑学思想的萌芽可以追 溯到欧拉的哥尼斯堡七桥问 题(1736，如图，要求设计一 条散步路线，使河上每桥走 过一次且只过一次) 研究，高 斯也研究过一些与拓扑学有 关的问题(如在他关于代数基 本定理的第一个证明中)，他 们均称这类问题为“位置几 何” .
哥尼斯堡七桥
“ 拓扑学”(Topology)这一术语则是高斯的学生 李斯廷(J.B.Listing)首先引用的(1847)，源于希腊文 位置、形势．但拓扑学本质上是属于20世纪的抽象学 科． 庞加莱于1895—1905年间在同一主题《位置分析》 下发表的一组论文，开创了现代拓扑学研究．庞加莱 将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，并用代 数组合的方法研究其性质．用这样的观点加以研究的 拓扑象群开始成为独立研究的对象， 当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问 题涉及列举给定阶数的所有群． • 20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分 类． 70年代，在群的结构研究上有了新的突破， 最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不 过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家 通力合作的结果．
• 1．域论 • 从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的 运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律 和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及 分配律，而且对于加法存在零元素(0) 对乘法有逆 元素(倒数)．所有有理数的集合是人们最早认识 的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足 上述公理，它们也是域．到19世纪末，人们知道 其他域的例子还有有理函数域及代数函数域．
12.1 泛函分析的诞生
关于泛函的理论在19世纪末20世纪初首先由意大利 数学家伏尔泰拉 和法国数学家阿达马在变分法的研究 中开创．“泛函”这个名称就是由阿达马首先采用的， 伏尔泰拉称之为线函数，即曲线的函数． 变分法的典型问题是求积分